专题05 整式的加减 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题05 整式的加减 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整式核心概念：认识单项式、多项式、整式，掌握系数、次数、项、常数项的标准判定方法 2.同类项基础：掌握同类项定义，熟练运用法则合并同类项 3.去括号法则：掌握正负括号变形规则，规避符号错误、漏乘错误 4.整式加减运算：掌握标准化简步骤，熟练完成整式化简与代入求值 ✅ 本节遵循概念认知→法则掌握→运算应用的学习逻辑。先精准掌握整式的基础分类与核心定义，再攻克同类项合并、去括号两大核心运算规则，最终掌握整式加减的标准化简与求值方法，是后续一元一次方程、分式、函数等代数内容的重要基础。 ✺学习目标 1.能准确区分单项式、多项式、整式，熟练掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数的判定规则； 2.能精准识别同类项，熟记合并同类项法则，规范完成同类项合并运算； 3.熟练掌握去括号法则，正确处理带正负号、带数字因数的括号变形，规避运算易错点； 4.掌握整式加减的完整运算流程，能规范进行整式化简，熟练运用“先化简后代入”的方法完成求值运算。 ✺题型归纳 题型1.同类项的判断 题型2.已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型3.合并同类项 题型4.去括号 题型5.添括号 题型6.整式的加减运算 题型7.整式的加减中的化简求值 题型8.整式加减中的无关型问题 题型9.整式加减的应用 题型10.单项式的判断 题型11.单项式的系数、次数 题型12.写出满足某些特征的单项式 题型13.单项式规律题 题型14.多项式的判断 题型15.多项式的项、项数或次数 题型16.多项式系数、指数中字母求值 题型17.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型18.整式的判断 题型19.数字类规律探索 题型20.图形类规律探索 题型21.带有字母的绝对值化简问题 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、整式的相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 ① 系数：单项式中的数字因数（包含单项式前面的正负符号）； ② 次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，数字系数的指数不计入次数，单独的常数项次数为0。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 ①项：组成多项式的每一个单项式都是多项式的项，项自带正负符号；不含字母的项叫做常数项； ②次数：多项式中次数最高的项的次数，即为该多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 知识点二、同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也完全相同的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 2.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 口诀：系数相加减，字母指数不变样 3.合并同类项步骤：准确找出式子中的同类项→将同类项集中排列→合并同类项的系数，字母和字母的指数保持不变。 知识点三、去括号法则 1.括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变； 2.括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内各项符号全部改变。 ★重点提示：当括号前含有数字因数时，要根据乘法分配律将数字因数与括号内每一项相乘，绝对不能漏乘其中任意一项。 知识点四、整式的加减运算 1.运算本质：整式的加减运算本质是去括号、合并同类项的综合运算，是化简整式的唯一方法。 2.整式加减运算步骤 ①去括号：依据去括号法则逐层去括号，修正符号错误； ②找同类：全面筛查式子，精准找出全部同类项； ③合并同类：按法则合并同类项，初步化简式子； ④整理结果：规范整理，得到最简整式。 3.化简求值步骤 整式化简求值严格遵循先化简、再代入、后运算的标准化解题流程，具体步骤如下： ①化简整式：对原式逐层去括号、合并同类项，消去式子中所有可合并项，将原式化为最简整式形式； ②代入数值：将题目给定的字母取值，准确代入化简后的最简整式中； ③规范运算：依据有理数混合运算顺序计算，先乘方、再乘除、最后加减，含括号优先计算括号内部； ④得出结果：准确计算出最终数值，规范书写解题答案。 ✺题型精讲 题型1.同类项的判断 1．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 2．写出一个与同类项为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义写出符合条件的项即可． 【详解】解：与是同类项的式子可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．指出一元一次式中的同类项． 【答案】和是同类项，和是同类项，和5是同类项 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题关键．根据同类项的定义判断是否是同类项即可． 【详解】解：由题意知，中， 和是同类项，和是同类项，和5是同类项． 题型2.已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项． 根据同类项定义，相同字母的指数相同，可得，． 将，代入，得． 2．若与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， 解得，， ∴． 3．（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查单项式的相关概念和同类项的定义，解题的关键是掌握单项式系数、次数的相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，以及字母和字母指数相同的单项式是同类项． （1）根据单项式次数的定义，得出，即可解答； （2）根据同类项的定义，得出，，求出m和n的值，再将其代入，即可解答． 【详解】解：（1）因为单项式与次数相同， 所以， 所以； （2）∵单项式与单项式是同类项， ∴，， 所以， 所以原式：， 所以的值为． 题型3.合并同类项 1．下面计算正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、，∴D计算正确． 2．化简： ______ 【答案】 【详解】解：． 3．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)8 【分析】（1）利用材料给出的“整体思想”合并同类项； （2）对原式进行整理，添加括号，整体代入求值； （3）利用原式进行整理，利用加法结合律，最后整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 将代入上式得， 原式； （3）解： 将，，代入上式得， 原式． 【点睛】注意“整体思想”的灵活应用． 题型4.去括号 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单项式乘多项式法则展开各选项左边，与右侧对比判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 2．_______． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 题型5.添括号 1．下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的变号操作，需逐一验证每个等式是否成立. 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 等式成立. 对于选项B：左边 ，右边 ，∵ ，∴ 等式不成立. 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ ，等式成立. 对于选项D：右边 ，与左边相等，∴ 等式成立. 故变号不正确的是B. 2．若，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．观察这两个式子；．我们发现了什么？ 【答案】整式的加减过程中一样可以使用加法结合律 【分析】本题考查整式的加减，根据加法结合律判断即可． 【详解】解：观察这两个式子；．我们发现整式的加减过程中一样可以使用加法结合律． 题型6.整式的加减运算 1．当时，化简得（     ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 由已知，可得出，再去绝对值，然后去括号、合并同类项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 3．化简： 【答案】 【详解】解：原式． 题型7.整式的加减中的化简求值 1．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 2．已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用．通过将两个已知等式相加，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 3．化简：已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】计算，将和的表达式代入，展开括号后合并同类项，再代入已知条件，即可求解． 【详解】解： ， 代入，可得：． 题型8.整式加减中的无关型问题 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 2．化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 3．已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 题型9.整式加减的应用 1．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（     ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【详解】解：由题意得：总进价为：元，共进了（包）， ∵商家以每包元的价格卖出， ∴总收入为：元， ∴利润为：， ， ， ∴盈利了． 2．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分析得造型桌面的长、宽分别为，则可求得该桌面的周长． 【详解】解：造型桌面的长为，宽为， 则该造型桌面的周长为． 3．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 【答案】(1) (2)解：，其中a为任意实数，理由如下： ∵输出结果为，没有项， ∴为多项式， ∵为多项式，输出结果为， ∴的最高次项为，即的最高次项为， 设整式为， ∴， ∵最高次项为，最低次项为x， ∴a为任意实数， 解得， 综上结论：，其中a为任意实数． 【分析】（1）先求出，为多项式，再根据题意进行求解即可． （2）先推导出为多项式，且的最高次项为，设整式为，求出，再根据题意，得到a为任意实数，继而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为多项式， 最高次项，最低次项， ∴输出结果为； （2） 略 题型10.单项式的判断 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2．在中，单项式有_______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义；根据单项式的定义：只包含数字与字母的乘积，或单独的数字或字母，且分母中不含字母，字母的指数均为整数，逐个判断各代数式即可． 【详解】解：可化为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 分母中含有字母，故不是单项式； 含有加法运算，故不是单项式； 化简为，是数字与字母的乘积，故为单项式； 是开方运算，相当于，字母的指数不是整数，故不是单项式； 是字母的乘积，故为单项式． 因此，单项式有3个． 故答案为：3． 3．观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 题型11.单项式的系数、次数 1．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 2．单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 3．请指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)系数：3，次数：3 (2)系数：，次数：3 (3)系数：0.12，次数：1 (4)系数：，次数：3 【分析】本题考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的定义是解题关键． （1）（2）（3）（4）根据单项式的系数和次数进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，系数：3，次数：3； （2），系数：，次数：3； （3），系数：0.12，次数：1； （4），系数：，次数：3． 题型12.写出满足某些特征的单项式 1．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 2．写出一个与是同类项的单项式_____ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解即可． 【详解】解：单项式所含字母为和，它们的指数都为1， 因此只需满足含有和，且指数都为1，系数不为0和的数，例如（答案不唯一）． 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 题型13.单项式规律题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 2．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 3．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 题型14.多项式的判断 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 2．式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 3．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 题型15.多项式的项、项数或次数 1．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 2．多项式是_____次______项式 【答案】 三 三 【分析】先利用合并同类项法则化简多项式，再根据多项式的次数和项数的定义确定结果． 【详解】解： ∴该多项式是三次三项式． 3．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 题型16.多项式系数、指数中字母求值 1．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，绝对值方程的解法，解题关键是掌握多项式的项数是单项式的个数，次数是最高项的次数． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为2，且项数为3，因此需满足且，再求解即可． 【详解】解：∵ 多项式是二次三项式， ∴ ，且， 由，得 或， 但，即， ∴ ． 故选：D． 2．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 3．在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的定义，整式的加减． （1）根据二次三项式的定义得到且，求解即可； （2）根据A为二次二项式得到，根据得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵A为二次三项式， ∴且， ∴且， 解得； （2）解：∵为二次二项式， ∴， 解得：， 即， ， ． 题型17.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按x的降幂排列：． 故选：C． 2．将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． 3．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，同类项的定义等知识，熟练掌握合并同类项是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算并按照字母m的降幂排列； （2）根据同类项的定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵与是同类项， ∴， ∴ ∴原式 题型18.整式的判断 1．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式分类，利用分类讨论思想按的不同取值枚举所有情况，再分别验证三个说法即可． 【详解】解：∵ 为自然数， 为正整数，且 ， ∴， ∴ ， 按分类讨论： 当 时，，得整式，共1个，是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为 ，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，即 ，正整数 可取 ，对应整式为，，，共3个，其中1个是单项式； 当 时，，得 ，其余系数为0，对应整式 ，共1个，是单项式； 验证说法：① 单项式共有 个，故①正确； ② 各对应整式个数为 ，不存在有且仅有2个的，故②错误； ③ 整式总个数为 个，不是10个，故③错误； 综上，正确的说法共1个，故选B． 2．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是明确整式是单项式和多项式的统称，分母中含字母、根号下含字母的式子不是整式． 根据整式定义，判断各式：分母含字母的式子不是整式；根号下含字母的式子不是整式；单项式和多项式是整式． 【详解】解：①是多项式，属于整式； ②分母含字母，不是整式； ③根号下含字母，不是整式； ④是多项式，属于整式； ⑤是单项式，属于整式； ⑥是多项式，属于整式； 故整式是①④⑤⑥． 3．把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式． 根据单项式与多项式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 题型19.数字类规律探索 1．如图，数轴被折成，已知圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，固定数轴让圆周上的数2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，若圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，则滚动过程中圆周上与数轴上的数2026重合的点表示的数是（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】圆周长为4，说明每滚动4个单位长度，圆上的数字与数轴的对应关系循环一次． 根据初始位置和滚动方向确定数字变化顺序，利用余数性质求解． 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴圆在数轴上滚动时，每4个单位长度为一个循环周期． 由图可知，圆上数字沿顺时针方向依次为2，1，0，3． 当圆向右滚动时，与数轴重合的圆上数字依次为2，1，0，3，2， ， 初始时，数轴上的数3与圆上的数2重合． ∵， ， ∴数轴上的数2026对应的圆上数字，应从初始数字2开始，按2，1，0，3的顺序向后推3个位置． 即： 余数为1时，对应数字1； 余数为2时，对应数字0； 余数为3时，对应数字3． ∴数轴上的数2026将与圆周上的数字3重合． 2．已知一列数，，，…满足，，，，…，依此类推，则，，…，，这2022个数的积为________． 【答案】 【分析】先根据递推公式计算前几项，得到数列的循环周期，计算出一个周期内三个数的乘积，再根据是周期的整数倍计算总乘积． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵, ∴． ∵, ∴， 由此可知，数列每个数为一个周期循环. 计算一个周期内三个数的乘积：． ∵，即个数包含个完整的周期， ∴这个数的积为． 3．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 题型20.图形类规律探索 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多2张黑色正方形纸片，据此得出规律求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有张； 第②个图中有张； 第③个图中有张； …… ∴第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为张． 2．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 【答案】54 【分析】由题意，分别求出前面几个的小木棒数量，然后得到数量的规律，再求出第6个图形的数量即可． 【详解】解：根据题意可知： 第1个图案需4根小木棒，， 第2个图案需10根小木棒，， 第3个图案需18根小木棒，， ……， 第n个图案需根小木棒， 则第6个图案需：（根）． 3．综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3） 解：略 题型21.带有字母的绝对值化简问题 1．下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 【答案】D 【分析】依据绝对值的概念，通过举反例、性质推导，逐一判断个命题的正误，筛选出正确结论． 【详解】解：若，，符合，但，故①错误； 若，，符合，但，故②错误； 若，则一定有或，③正确； 若，则一定有，④正确； 故正确的为③④． 2．若，，则________． 【答案】 【分析】根据已知第一个方程判断的符号，去掉的绝对值符号，再分和两种情况讨论解方程组，得到，的值后计算的值． 【详解】解：由 ， 可得 ， ， ， ， 将代入得， ，即 把代入 得： 整理得 分两种情况讨论： （1）当时，， 方程化为 ，即， 解得， 把代入，解得， ， （2）当时， ， 方程化为 ，即， 等式不成立，此情况无解， 综上所述，． 3．若，，且，求的值． 【答案】5或7 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，带有字母的绝对值化简问题，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出x，y的值，再分，；，；，；，四种情况，得出符合题意的情况，再分别代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， 当，时， ，满足题意， 此时； 当，时， ， 不满足题意； 当，时， ， 满足题意， 此时； 当，时， ， 不满足题意； 综上所述，或7． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是2 B．和不是同类项 C．的次数为3 D．多项式的项分别是和5 【答案】D 【详解】解：A．的系数是，故A错误； B．和是同类项，故B错误； C．的次数为4，故C错误； D．多项式的项分别是和5，故D正确． 2．若，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】将所求代数式中的变形为，整体代入已知条件计算． 【详解】解：， ∵ ， ∴ 原式． 3．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从最内层绝对值开始，根据已知判断每层绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号逐步化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入原式得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此化简结果为． 4．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 5．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．四次项的系数是 C．常数项是1 D．按y的降幂排列为 【答案】C 【分析】本题考查多项式的次数，项的系数，常数项以及按字母降幂排列的概念，熟悉理解多项式是解题的关键． 根据多项式的次数，项的系数，常数项以及按字母降幂排列的概念逐一验证各选项即可． 【详解】解：A：多项式最高次项为，次数为，A说法正确，故A不符合； B：多项式四次项为，系数为，B说法正确，故B不符合； C：多项式常数项是，C说法不正确，故C符合； D：按的降幂排列为，D说法正确，故D不符合； 故选：C． 二、填空题 6．若与的和仍是单项式，则______． 【答案】 【分析】先判断两个单项式与是同类项，根据同类项的定义得到，的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：单项式与的和仍是单项式， 单项式与是同类项， 根据同类项的定义可得：，， 解得：，， ． 7．已知，，，则的值为_____． 【答案】 或 【分析】根据绝对值的定义得到x，y的所有可能取值，结合绝对值的性质推出，确定符合条件的x，y，代入计算得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为 或． 8．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 9．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 10．下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的： 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 40 2 9 3 20 4 35 5 54 b x 根据此规律确定的值为_____． 【答案】819 【分析】根据题意，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，由此列式求解． 【详解】解：表格从左往右，从上往下，上方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是，下方第一格的数值依次是（为的整数），第二格的数值依次是， ∴， 解得， ∴， ∴． 三、解答题 11．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 13．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 14．找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 【答案】(1) （为非负整数） (2) (3) 示例：，（答案不唯一，符合规律即可） 【分析】（1）根据个例题的计算过程找到规律，用含的代数式表示出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规律的算式． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据规律可得：（为非负整数）； （2）解：根据规律可得： ； （3）解：， （答案不唯一）． 15．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的加减 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整式核心概念：认识单项式、多项式、整式，掌握系数、次数、项、常数项的标准判定方法 2.同类项基础：掌握同类项定义，熟练运用法则合并同类项 3.去括号法则：掌握正负括号变形规则，规避符号错误、漏乘错误 4.整式加减运算：掌握标准化简步骤，熟练完成整式化简与代入求值 ✅ 本节遵循概念认知→法则掌握→运算应用的学习逻辑。先精准掌握整式的基础分类与核心定义，再攻克同类项合并、去括号两大核心运算规则，最终掌握整式加减的标准化简与求值方法，是后续一元一次方程、分式、函数等代数内容的重要基础。 ✺学习目标 1.能准确区分单项式、多项式、整式，熟练掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数的判定规则； 2.能精准识别同类项，熟记合并同类项法则，规范完成同类项合并运算； 3.熟练掌握去括号法则，正确处理带正负号、带数字因数的括号变形，规避运算易错点； 4.掌握整式加减的完整运算流程，能规范进行整式化简，熟练运用“先化简后代入”的方法完成求值运算。 ✺题型归纳 题型1.同类项的判断 题型2.已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型3.合并同类项 题型4.去括号 题型5.添括号 题型6.整式的加减运算 题型7.整式的加减中的化简求值 题型8.整式加减中的无关型问题 题型9.整式加减的应用 题型10.单项式的判断 题型11.单项式的系数、次数 题型12.写出满足某些特征的单项式 题型13.单项式规律题 题型14.多项式的判断 题型15.多项式的项、项数或次数 题型16.多项式系数、指数中字母求值 题型17.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型18.整式的判断 题型19.数字类规律探索 题型20.图形类规律探索 题型21.带有字母的绝对值化简问题 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、整式的相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 ① 系数：单项式中的数字因数（包含单项式前面的正负符号）； ② 次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，数字系数的指数不计入次数，单独的常数项次数为0。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 ①项：组成多项式的每一个单项式都是多项式的项，项自带正负符号；不含字母的项叫做常数项； ②次数：多项式中次数最高的项的次数，即为该多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 知识点二、同类项与合并同类项 1.同类项定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也完全相同的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 2.合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 口诀：系数相加减，字母指数不变样 3.合并同类项步骤：准确找出式子中的同类项→将同类项集中排列→合并同类项的系数，字母和字母的指数保持不变。 知识点三、去括号法则 1.括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变； 2.括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内各项符号全部改变。 ★重点提示：当括号前含有数字因数时，要根据乘法分配律将数字因数与括号内每一项相乘，绝对不能漏乘其中任意一项。 知识点四、整式的加减运算 1.运算本质：整式的加减运算本质是去括号、合并同类项的综合运算，是化简整式的唯一方法。 2.整式加减运算步骤 ①去括号：依据去括号法则逐层去括号，修正符号错误； ②找同类：全面筛查式子，精准找出全部同类项； ③合并同类：按法则合并同类项，初步化简式子； ④整理结果：规范整理，得到最简整式。 3.化简求值步骤 整式化简求值严格遵循先化简、再代入、后运算的标准化解题流程，具体步骤如下： ①化简整式：对原式逐层去括号、合并同类项，消去式子中所有可合并项，将原式化为最简整式形式； ②代入数值：将题目给定的字母取值，准确代入化简后的最简整式中； ③规范运算：依据有理数混合运算顺序计算，先乘方、再乘除、最后加减，含括号优先计算括号内部； ④得出结果：准确计算出最终数值，规范书写解题答案。 ✺题型精讲 题型1.同类项的判断 1．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．写出一个与同类项为__________． 3．指出一元一次式中的同类项． 题型2.已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若与是同类项，则的值为________． 3．（1）单项式与是次数相同的单项式，求m的值． （2）已知单项式与单项式是同类项，求的值． 题型3.合并同类项 1．下面计算正确的是（    ） A．B．C． D． 2．化简： ______ 3．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有：．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 题型4.去括号 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．_______． 3．计算： 题型5.添括号 1．下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则代数式的值为__________． 3．观察这两个式子；．我们发现了什么？ 题型6.整式的加减运算 1．当时，化简得（     ）． A． B． C．2 D． 2．的结果是________． 3．化简： 题型7.整式的加减中的化简求值 1．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．已知，，则_____． 3．化简：已知，，且，求的值． 题型8.整式加减中的无关型问题 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 2．化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 3．已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 题型9.整式加减的应用 1．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（     ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 2．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 3．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 题型10.单项式的判断 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，单项式有_______个． 3．观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 题型11.单项式的系数、次数 1．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 2．单项式的系数是 ___________． 3．请指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型12.写出满足某些特征的单项式 1．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个与是同类项的单项式_____ 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 题型13.单项式规律题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 2．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 3．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 题型14.多项式的判断 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 2．式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 3．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 题型15.多项式的项、项数或次数 1．对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．多项式是_____次______项式 3．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 题型16.多项式系数、指数中字母求值 1．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 3．在七年级数学活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别写了，，，三个整式，其中是未知的． C (1)若A为二次三项式，求的值； (2)若A为二次二项式，，求整式C； 题型17.将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将多项式按字母的降幂排列为_____． 3．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 题型18.整式的判断 1．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式M中有4个整式是单项式；②存在一个n，使得满足条件的整式M有且仅有2个；③满足条件的整式M共有10个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列各式中，哪些是整式？①；②；③；④；⑤0；⑥ 3．把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 题型19.数字类规律探索 1．如图，数轴被折成，已知圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，固定数轴让圆周上的数2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，若圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，则滚动过程中圆周上与数轴上的数2026重合的点表示的数是（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 2．已知一列数，，，…满足，，，，…，依此类推，则，，…，，这2022个数的积为________． 3．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 题型20.图形类规律探索 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（     ） A．11 B．13 C．15 D．17 2．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 3．综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 题型21.带有字母的绝对值化简问题 1．下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 2．若，，则________． 3．若，，且，求的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是2 B．和不是同类项 C．的次数为3 D．多项式的项分别是和5 2．若，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 5．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．四次项的系数是 C．常数项是1 D．按y的降幂排列为 二、填空题 6．若与的和仍是单项式，则______． 7．已知，，，则的值为_____． 8．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 9．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 10．下面表格中每组的四个数都是按相同规律填写的： 1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 40 2 9 3 20 4 35 5 54 b x 根据此规律确定的值为_____． 三、解答题 11．化简： (1)； (2)． 12．若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 13．先化简，再求值： ，其中，． 14．找规律 (1)观察：，，，，…… 你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？ (2)利用（1）中的规律计算． (3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例． 15．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $