第1章 有理数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数单元，融合生活情境（如微信零钱明细、气温海拔）与文化素材（算筹计数、《九章算术》程序框图），通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，提升抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|有理数大小比较、绝对值、数轴应用|程序框图题（第6题）考查数学思维，幻圆游戏（第10题）培养创新意识| |填空题|4/20|科学记数法、数轴原点、算筹计数|算筹计数（第14题）渗透文化传承，二阶行列式（第13题）拓展知识应用| |解答题|9/90|实际应用（工资收支、白菜称重）、数轴动点、地铁运行|地铁运行探究（第22题）体现应用意识，数轴动点（第20题）强化几何直观|

第一章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 2．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 4．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 5．如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 7．一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 8．某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 12．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 13．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 14．在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算 (1)； (2)． 16．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{          } (2)分数集合：{             } (3)非负整数集合：{             } (4)非负有理数集合：{             } 17．（8分）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． (2)超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 18．（8分）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 19．（10分）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 20．（10分）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 21．（12分）已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 22．（12分）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 23．（14分）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C D C D D B A B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． 12．6 13．16 14． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．【答案】(1) (2) (3)0，2005 (4) 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合：． 17．【答案】(1) (2)这6筐白菜现价比原价便宜了元 【详解】（1）解：∵， ∴的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为：（千克）； （2）解：由题意得：（千克）， （元）； 答：这6筐白菜现价比原价便宜了元． 18．【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 19．【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． 20．【答案】(1)，8； (2)①；②2秒或4秒 【详解】（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 21．【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 22．【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 23．【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在，0，3，6这四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：，故最小数为． 2．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：零上记作，则零下可记作， 故选：C． 4．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 5．如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元，所以李叔叔月日至日扫码付款给超市元之前的钱数即为月日扫二维码付款给便利店后余额，即为元． 【详解】解：李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元， 月日扫二维码付款给便利店后余额为元． 故选：C． 6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 7．一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，需先依次计算前几次的截取长度，总结出第n次截取长度的规律，再代入求解，即可作答． 【详解】解：∵木棍原长，第1次截取后，剩余长度为， 第2次截取剩余部分的一半，截取长度为. 第3次截取剩余部分的一半，截取长度为. 以此类推，第n次截取的长度为. 当时，第5次截取的长度为， 故选：D． 8．某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，解题的关键是根据气温差计算出海拔差，再结合已知海拔求出目标海拔． 先计算甲乙两地的气温差；再根据海拔每增加100米气温下降的规律，计算出两地的海拔差；最后用甲地海拔减去海拔差得到乙地海拔． 【详解】解：， ， ， ． 所以乙所在地的海拔为1300米． 故选：B． 9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算；由数轴可知，，，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则①，正确； ②，正确； ③，原结论错误； ④因为，所以，正确． 因此错误的有1个． 故选：A． 10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 12．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 13．把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 14．在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，绝对值，有理数的乘法运算律，有理数的除法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{          } (2)分数集合：{             } (3)非负整数集合：{             } (4)非负有理数集合：{             } 【答案】(1) (2) (3)0，2005 (4) 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合：． 17．（8分）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． (2)超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】(1) (2)这6筐白菜现价比原价便宜了元 【分析】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）先算得总质量，再算得便宜的钱． 【详解】（1）解：∵， ∴的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为：（千克）； （2）解：由题意得：（千克）， （元）； 答：这6筐白菜现价比原价便宜了元． 18．（8分）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 19．（10分）下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【分析】（1）收入用正数表示，支出用负数表示，据此求解即可； （2）将所有收入项目相加，计算得到总收入即可； （3）先将所有支出项目相加得到总支出，再用总支出除以总收入，计算即可得到对应的百分比． 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． 20．（10分）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【答案】(1)，8； (2)①；②2秒或4秒 【分析】知识点：非负数性质、数轴动点问题（相遇/距离）．方法：利用非负数和为0求数，用“路程差=速度差×时间”解动点问题．关键：分相遇前/后讨论距离问题．易错点：忽略距离问题的两种情况． （1）求A、B表示的数：由，得，． （2）动点问题： ① 算初始距离（12）、速度差（4），得相遇时间（3秒），再算P移动后的数． ② 分相遇前、相遇后，分别算时间． 【详解】（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 21．（12分）已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义求出与的值，代入代数式计算即可求值； （2）把的值代入定义的算式中即可求解； （3）根据，可得，得出或，再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 22．（12分）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 23．（14分）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【分析】（1）根据数轴上点的位置直观判断各点对应数到原点的距离，得出离原点最近和最远的数即可； （2）先由数轴确定各代数式的符号，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数混合运算得出结果即可； （3）将式子转化为数轴上点到、、三点的距离之和，利用奇数个点取中间点求最值的方法，代入计算即可得最小值； （4）先算、首次相遇时间，再求相遇后到第秒的时间差与此时的间距，最后根据改向后的相向运动速度和，即可计算出相遇所需时间． 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 【点睛】本题考查了数轴的综合应用，数轴上点到原点的距离、绝对值的代数化简与几何意义、有理数的混合运算，以及数轴上的分段动点相遇问题，将抽象的数与数轴上的点对应，结合数轴直观判断数的符号与大小关系，对动点问题按运动状态分阶段拆解并运用相对速度计算是解题的关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $