期末总复习：二次函数中直角三角形存在性问题（专项提升：例题讲、好题练） 2025-2026学年沪教版数学九年级上册

沪教版九年级数学上册（专项提升——例题精讲、好题精练 ） 二次函数中的直角三角形存在性问题 策略分析 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。关于二次函数中直角三角形存在性问题，有如下两种种策略： ①通过边的数量关系来判定——利用两点的距离公式，先得到三角形三边长的代数式，再根据勾股定理的逆定理列方程求解； ②通过角的数量关系来判定——三角形若有一个角是直角，或有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 例题精讲 例1（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 策略一：通过边的数量关系来判定直角三角形的存在性 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出点B和点C的坐标，得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）出对称轴，设出点Q的坐标，利用两点距离计算公式得到，再分C、B、Q分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或，则， ∴， ∵， ∴； （2） 解：如图1， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴，， 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点Q为直角顶点时，则， ∴， 解得 ∴或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 策略二：通过角的数量关系来判定直角三角形的存在性 【分析】如图2-4，因为△QCB是直角三角形，所以有一个角是直角，通过对谁是直角的分类讨论可以得到三种情况四个答案. 【详解】（2）解：由策略1可知A（-1,0）B（4,0）C（0，3），对称轴为直线x=. ①若∠QCB是直角，如图1过点Q作QE⊥y轴于点E,设， 则有∠1+∠2=90，∠2+∠OBC=90 ∴∠1=∠B ∴△EQC△OCB ∴ = ∴ ∴m=5. ∴Q ②若∠BQC是直角，如图2过点Q作MN⊥y轴于点M,过点B作BN⊥MN于点N 则有∠1+∠2=90，∠2+∠NBQ=90 ∴∠1=∠B ∴△MQC△NBQ ∴ = ∴ ∴m= ∴Q或 ③若∠QBC是直角，如图3设对称轴交x轴于点F 则有∠1+∠2=90，∠2+∠FQB=90 ∴∠1=∠FQB ∴△OBC△FQB ∴ = ∴ ∴m=- ∴Q 综上所述点Q的坐标为或或或． 好题精练 1． （24-26九年级上·上海·月考）已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 二、解答题 3．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． (1)求点和点的坐标； (2)如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 5．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 8．（24-25九年级上·上海崇明·月考）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 10．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 12．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点， （1）为抛物线的对称轴上一个动点，写出当为直角三角形时，点的其他坐标 ． （2）设点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值是 ，并写出此时点的坐标 ． 13．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版九年级数学上册（专项提升——例题精讲、好题精练 ） 二次函数中的直角三角形存在性问题 策略分析 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。关于二次函数中直角三角形存在性问题，有如下两种种策略： ①通过边的数量关系来判定——利用两点的距离公式，先得到三角形三边长的代数式，再根据勾股定理的逆定理列方程求解； ②通过角的数量关系来判定——三角形若有一个角是直角，或有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 例题精讲 例1（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 策略一：通过边的数量关系来判定直角三角形的存在性 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出点B和点C的坐标，得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）出对称轴，设出点Q的坐标，利用两点距离计算公式得到，再分C、B、Q分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或，则， ∴， ∵， ∴； （2） 解：如图1， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴，， 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点Q为直角顶点时，则， ∴， 解得 ∴或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 策略二：通过角的数量关系来判定直角三角形的存在性 【分析】如图2-4，因为△QCB是直角三角形，所以有一个角是直角，通过对谁是直角的分类讨论可以得到三种情况四个答案. 【详解】（2）解：由策略1可知A（-1,0）B（4,0）C（0，3），对称轴为直线x=. ①若∠QCB是直角，如图1过点Q作QE⊥y轴于点E,设， 则有∠1+∠2=90，∠2+∠OBC=90 ∴∠1=∠B ∴△EQC△OCB ∴ = ∴ ∴m=5. ∴Q ②若∠BQC是直角，如图2过点Q作MN⊥y轴于点M,过点B作BN⊥MN于点N 则有∠1+∠2=90，∠2+∠NBQ=90 ∴∠1=∠B ∴△MQC△NBQ ∴ = ∴ ∴m= ∴Q或 ③若∠QBC是直角，如图3设对称轴交x轴于点F 则有∠1+∠2=90，∠2+∠FQB=90 ∴∠1=∠FQB ∴△OBC△FQB ∴ = ∴ ∴m=- ∴Q 综上所述点Q的坐标为或或或． 好题精练 1．（24-26九年级上·上海·月考）已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∵抛物线， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴，点到轴的距离为， ∵为直角三角形，点关于对称轴对称， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 二、解答题 3．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． (1)求点和点的坐标； (2)如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数和几何图形综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据坐标和锐角三角函数比求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出交点坐标即可； （2）分情况进行讨论，假设，利用勾股定理表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）根据重心的性质，求出，，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 将，代入得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； （2）解：抛物线对称轴为直线， ①如图所示，当时，连接， 假设， 根据勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，当时，连接， 同上，此时， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，点恰好为的重心， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，且对称轴为直线，， ∴， ∴线段的中点坐标为，即， 根据重心的性质得，点的横坐标为，纵坐标为， 解得，， ∴，， 假设平移后的抛物线解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴平移后的抛物线解析式为． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 5．（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，符合条件的点P的横坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，一次函数的几何综合，解一元二次方程，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： ，解得：或， 根据题意， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴所有符合条件的点P的横坐标是或． 7．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 8．（24-25九年级上·上海崇明·月考）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 9．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数解析解即可，根据抛物线解析式再求对称轴即可． （2）①作于C，证明，由相似三角形的性质可得出， 可得出， 进而可求出点C的坐标， 则可得出点P的坐标． ②延长交轴于点，可得，设，解方程得出，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 10．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 12．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点， （1）为抛物线的对称轴上一个动点，写出当为直角三角形时，点的其他坐标 ． （2）设点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值是 ，并写出此时点的坐标 ． 【答案】 或或或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出直线和抛物线解析式，则设，根据勾股定理计算得：，，．然后根据为直角三角形进行分类求解即可． （2）过点Q作轴，交直线于点H，由题意可设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可得，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设，又，， ∴根据勾股定理得：，，， 由为直角三角形可分： 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴； 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴或； 当为直角， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，点的其他坐标为或或或； 故答案为或或或； （2）过点Q作轴，交直线于点H，如图所示： 由（1）可知：直线的解析式为，抛物线， 设点，则有， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，面积的最大值，最大值为，此时点Q的坐标为； 故答案为；． 13．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 14．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)不存在，理由见解析 (3)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小． （3）解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ②当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $