第二十五章 一元二次方程（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学一元二次方程单元复习卷，覆盖概念、解法及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，结合阅读进馆、勾股定理图形等情境，体现模型意识与推理能力，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|定义、解法、根的判别式、实际应用（矩形小路、流感传染）|基础巩固，层次递进，考查抽象能力| |填空题|4/12|方程根代入、一般形式转化、分支问题|简单应用，体现符号意识| |解答题|6/64|解方程、增长率问题、根与系数关系、平行四边形与方程、勾系方程|综合应用，融入阅读进馆（模型意识）、勾股定理图形（文化传承），发展推理能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第二十五章一元二次方程（参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A D B D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 2 10. 、3 2 11. 6 12. 1 025 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【详解】 解：(K-2)(+6=0,2分 X-2-0或X+6-0,3分 .X1=2,X2=6.5分 (2)3x2-11x+9=0,2分 △=(-112-4×3×9=13>0.3分 x-1+Ex匝 5分 6 6 14.(7分) 【详解】 (I)设进馆人次的月平均增长率为X,1分 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得120+120(1+x计120(1+x=5702分 整理得x2+3x-1.75-0, 解得X10.5-506,X2-3.5(舍去)3分 答进馆人次的月平均增长率为50%4分 (②)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次5分 理由由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%， :10月份的进馆人次为120×(1+50%广270， .11月份的进馆人次为270×(1+506)=405,6分 .405>400, ..学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次…7分 15.(10分) 【详解】 解：根据题意，得△=1+12水>0且k≠03分 1 二k的取值范围为k之2且k0.5分 1 3 (②)由根与系数的关系，得X+X一衣XX2衣6分 (x:-25x 7分 即4k2+3k-1=0 8分 .(4k-1)k+1)=0, 解得k4或k1… 9分 经检验太女1都是原分式方程的解 1 由()，可得k>12且k0, 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 .10分 16.(12分) 【详解】 (1)证明：.△=(-2m2-4(m2-1)）=40,.4分 .对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.6分 (2)将X=2代入原方程中，得4-4m+m2-1=08分 pm2-4m=-3,.10分 ..-3m2+12mt21=-3(m2-4m）+21=-312分 17.(12分) 【详解】 (I)☐ABCD是菱形， AB=AD,1分 .△=(-4m)2-4×4×(2m-1)=0,3分 解得m=1..4分 .当m=1时，ABCD是菱形 当m=1时，原方程为4x2-4x十1=0， 解得X1=X,2 5分 菱形ABCD的边长是2： 6分 (2)把x=2代入4x2-4mx+2m-1=0, 得4×22-4×2n十2n-1=0,7分 5 解得m= 2 8分 把m= 代入原方程，得4x2-10x十4=0,9分 1 解得X=2,2=2: 10分 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AD=1 11分 ,四边形ABCD是平行四边形， 1 口ABCD的周长是2×2+2=5. 12分 18.(13分) 【详解】 【答案】(1)3x2+5V2x+4=0(答案不唯一).3分 (2).-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根， .a-2c+b0.4分 ab25分 △ABC的面积是25， 解得b-506分 ∵a2+b2=c2, .(a+b}2-2ab=27分 (V2c到2×50c28分 ∴.c2=100, 解得C-10,C2=10(舍)，10分 .ab10V211分 ∴.四边形ACDE的周长为 2a+2b+V2-2(ab-2-20210V230V2.13分 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列方程是一元二次方程的是(     ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路小路的宽度相同，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为(    ) A. B. C. D. 7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是(    ) A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加了个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共人患流感 8.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9.若是方程的一个根，则          ． 10.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为          ． 11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是          ． 12.已知是方程的一个根，则的值为          ． 三、解答题（共6小题，共64分） 1310分.用适当的方法解方程： (1) ． ． 14.7分读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，月份进馆人次，进馆人次逐月增加，到月份累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． 求进馆人次的月平均增长率． 因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳月份的进馆人次说明理由． 15.分已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围 设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 16.分已知关于的方程． 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根 若是该方程的一个根，求代数式的值． 17.分 已知▱的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 当为何值时，▱是菱形？并求出此时菱形的边长． 若的长为，则▱的周长是多少？ 18.分 如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 写出一个“勾系一元二次方程”           若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 【详解】解：、是二元二次方程，故A错误； B、是一元三次方程，故B错误； C、是分式方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 2.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程一般式的概念，判断一元二次方程的二次项、一次项、常数项，即可解答。 【详解】解：原方程可整理为， 该一元二次方程不含一次项，， 解的：a=4 故选：． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解题过程即可解答。 【详解】解：配方得 即， ，，则故选：． 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程实数根的情况，利用判别式与0的关系，即可解答。 【详解】解：原方程可化为，，，， ， 方程有两个不相等的实数根．故选：． 5.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：方程有两个实数根， 根的判别式， 即，且． 故选：． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为． 6.如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路小路的宽度相同，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用等量关系建立一元二次方程，即可解答。 【详解】小路的宽度为，由题意得， 整理得，解得，舍去故选B． 7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是(    ) A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加了个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共人患流感 【答案】D  【分析】本题考查了利用一元二次方程解决流感传染问题，利用等量关系建立一元二次方程，即可解答。 【详解】每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮后有个人患了流感 第二轮后又增加了个人患流感 第二轮传染后共有个人患了流感， 可得方程， 解得，舍去， 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共人患流感． 故A，，选项结论正确，选项结论错误故选D． 8.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】本题考查了一元二次方程整体思想； 【详解】是的一个根， ，即． 原式故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若是方程的一个根，则          ． 【答案】  【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解定义，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：代入方程中，  得到：， ， 故答案为：． 根据题意将代入方程中即可求出答案． 10.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为          ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式 【详解】解：原方程可化为， 由题意，得，， 解得，，． 11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是          ． 【答案】  【分析】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题 【详解】设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 依题意得， 解得，舍去． 12.已知是方程的一个根，则的值为          ． 【答案】  【分析】本题考查了一元二次方程整体思想； 【详解】是方程的一个根， ， ，， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13.（10分）用适当的方法解方程： ． ． 【答案】 (1) 解:(x-2)(x+6)=0, x-2=0或x+6=0, =2,=-.  (2)3-11x+9=0, =-439=13>. =,=.  14.分 读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，月份进馆人次，进馆人次逐月增加，到月份累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． 求进馆人次的月平均增长率． 因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳月份的进馆人次说明理由． 【答案】(1)设进馆人次的月平均增长率为x, 由题意得120+120(1+x)+120=570, 整理得+3x-=0, 解得==50%,=-(舍去). 答:进馆人次的月平均增长率为50%. (2)学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次. 理由:由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%, 10月份的进馆人次为120=270, 11月份的进馆人次为270(1+50%)=405, 405>400, 学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次. 15.10分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围 设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1)解:根据题意,得=1+12k>0且k0, k的取值范围为k>-且k.  (2)由根与系数的关系,得+=-,=-. +5=4, +=+(-)=. 即4+3k-1=. (4k-1)(k+1)=0, 解得k=或k=-. 经检验,k=,k=-1都是原分式方程的解. 由(1),可得k>-且k0, k=. 16.分 已知关于的方程． 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根 若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 (1)证明:=-4(-1)=4>0, 对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根. (2)将x=2代入原方程中,得4-4m+-1=0, 即-4m=-3, -3+12m+21=-3(-4m)+21=-3(-3)+21=. 17.12分 已知▱的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 当为何值时，▱是菱形？并求出此时菱形的边长． 若的长为，则▱的周长是多少？ 【答案】 (1) ∵▱ABCD是菱形， ∴B＝AD， ∴Δ＝（－4m）2－4×4×（2m－1）＝0， 解得m＝1． ∴当m＝1时，▱ABCD是菱形． 当m＝1时，原方程为4x2－4x＋1＝0， 解得，菱形 ABCD的边长是．  (2)把x＝2代入4x2－4mx＋2m－1＝0， 得4×22－4×2m＋2m－1＝0， 解得． 把代入原方程， 得4 x2－10x＋4＝0， 解得x1＝2，． ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的周长是．  18.13分 如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 写出一个“勾系一元二次方程”           若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 【答案】(1)3+5x+4=0（答案不唯一） (2)-1是“勾系一元二次方程”a+cx+b=0的一个根, a-c+b=0,a+b=c. ABC的面积是25, ab=25,解得ab=. +=,-2ab=, -250=, =100,解得=10,=-10(舍), a+b=10, 四边形ACDE的周长为 2a+2b+c=2(a+b)+c=20+10=30. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列方程是一元二次方程的是(     ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路小路的宽度相同，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为(    ) A. B. C. D. 7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是(    ) A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加了个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共人患流感 8.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9.若是方程的一个根，则          ． 10.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为          ． 11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是          ． 12.已知是方程的一个根，则的值为          ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 10分用适当的方法解方程： ． ． 14.7分读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，月份进馆人次，进馆人次逐月增加，到月份累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． 求进馆人次的月平均增长率． 因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳月份的进馆人次说明理由． 15.分已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围 设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 16.分已知关于的方程． 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根 若是该方程的一个根，求代数式的值． 17.分 已知▱的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 当为何值时，▱是菱形？并求出此时菱形的边长． 若的长为，则▱的周长是多少？ 18.分 如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 写出一个“勾系一元二次方程”           若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $