2.4 《用一元二次方程解决问题3》课件2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决销售利润与分段收费问题，通过饮品店降价实例导入，引出总利润=单利×销量的核心等量关系，借助列表梳理原价、变价、销量的联动变化，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模为核心，通过分层例题（基础销售降价、单位降价、分段收费）和分层练习，引导学生从实际问题中抽象数量关系（数学抽象），结合逻辑推理检验根的合理性（如分段收费中舍去人均低于下限的解）。小结用“审设列解验答”六字诀和两类模型结构化梳理，提升学生应用意识与运算能力，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

2.4.3　用一元二次方程解决问题（3 ） 销售利润问题 · 分段收费与图表问题 2026—2027学年　苏科版　九年级数学上册 教学目标（核心素养） 数学建模：能将销售利润、分段收费等实际问题抽象为一元二次方程模型，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型. 数学运算：能根据实际问题列出一元二次方程，并熟练求解，正确进行根的检验与取舍. 数学抽象：能从文字或图表中提取数量关系，用含参代数式表示单价、销量等联动变化的量. 逻辑推理：能结合约束条件（盈利为正、单价不低于下限、人数为整数等）对根进行筛选与说理. 应用意识：体会函数思想（单价—销量联动）与分段思想，增强用数学解决身边实际问题的意识. 教学重难点 教学重点 两类模型（销售利润、分段收费）的等量关系分析与一元二次方程的建立. 教学难点 ① 销量随售价变化的一次函数表示；② 分段收费的区间判断与含参表示；③ 结合实际意义检验与舍去根. ● 突破策略 ● 列表梳理“原价—变价—销量”对应，避免写反. ● 用反例强化分段区间判断. ● 养成逐根检验实际意义的习惯. 环节一　导入（约4分钟） 环节一　导入（约4分钟） 从熟悉的饮品店入手，引出核心等量关系 导入　饮品店降价问题 小明家的饮品店原来每天卖出200杯鲜果茶，每杯赚8元. 为吸引顾客，他计划降价促销，但犯愁了：降价太少多赚不到，降价太多单杯利润又薄了. 他想保证每天盈利1800元，该降价多少呢？ 每天的盈利由哪两个量决定？它们之间是怎样的关系？ ● 核心等量关系 ● 总利润 = 单杯利润 × 销售杯数. ● 降价联动改变利润与销量——两个量在变化. ● 这就是今天要研究的销售利润问题. 环节二　新授（约22分钟） 环节二　新授（约22分钟） 例1 销售降价 · 例2 单位降价 · 例3 分段收费与图表 例1　销售降价问题（基础模型） 【审题】某商场销售一批衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元；单价每降1元，平均每天多售出2件. 所求：每天盈利达到1250元时，单价应降多少元？ 等量关系：单件利润 × 销售量 = 总利润. 设元：设衬衫单价降低 x 元. ● 方法点拨 ● 销量随降价一次函数变化. ● 销量=(20+2x)件，单利=(40-x)元. ● 先列表再列式，避免写反. 例1　解答 列方程： 展开整理： 同除以 -2： ● 检验与答 ● 降15元：单利25元，销量50件. ● 25×50=1250(元)，符合题意. ● 答：单价降15元（唯一解）. 例2　单位降价问题（化为整数系数） 【审题】某冰箱每台进货价2500元；售价2900元时，平均每天售出8台；售价每降低50元，平均每天多售出4台. 所求：使冰箱销售利润平均每天达到5000元，每台定价多少？ 等量关系：单台利润 × 销售量 = 总利润. 设元：设每台冰箱降价 50x 元（x 为 50 元的个数）. ● 方法点拨 ● 设降50x元，系数化整数. ● 单利=(400-50x)，销量=(8+4x). ● 避免分数运算. 例2　解答 列方程： 同除以 4： 展开： 同除以 -50： ● 检验与答 ● 降150元，定价=2750元. ● 单利250元，销量20台，符合. ● 答：定价2750元. 例3　分段收费问题（图表问题） 【审题】某旅行社组团旅游，人数不超过30人时，人均收费800元；超过30人时，每多1人，人均收费降低10元（但人均收费不低于500元）. 某校九年级师生共付门票费28000元. 所求：参加旅游的人数. 等量关系：人数 × 人均收费 = 总费用. ● 方法点拨 ● 先判区间，再列式. ● x≤30时800x=28000不成立. ● 改用人均1100-10x，用≥500检验. 例3　分段收费表 人数范围 人均收费（元/人） 总费用 不超过30人 800 800x 超过30人 800-10(x-30)=1100-10x x(1100-10x) ● 读表要点 ● 先判区间，再选人均收费列式. ● x>30 时人均=1100-10x，须≥500. 例3　解答 若x≤30，800x=28000得x=35，矛盾，故x>30. 列方程： 解得：x=40 或 x=70. ● 检验与答 ● x=70时人均400<500，舍去. ● x=40时人均700≥500，符合. ● 答：40人. 环节三　巩固（约8分钟） 环节三　巩固（约8分钟） 当堂分层练习，独立完成，同伴互评 巩固　分层练习 A层（基础） A1（基础）某服装店每天售出20件衣服，每降1元多售5件，盈利1600元，应降多少？ A2（基础）某商品成本40元每千克，售价50元每千克月售500千克；每涨1元少10千克，月利润8000元，定价？ B层（提升） B1（提升）某商店售台灯，每天售20盏，每盏盈利24元；每降1元多售5盏，日盈利855元，降价？ B2（提升）某旅行社：不超30人人均750元；超30人每多1人降10元（最低450），付26000元，求人数. C层（拓展） C1（拓展）某童装成本50元；售价60元日销80件，70元日销60件，80元日销40件（每涨1元少2件），日利润1200元，售价多少？ 巩固　参考答案 A1：降价4元或36元. A2：定价60元或80元. B1：降价5元或15元. B2：40人（65舍去）. C1：售价70元或80元. 环节四　小结（约3分钟） 环节四　小结（约3分钟） 师生梳理“审—设—列—解—验—答”与两类模型 小结　六字诀与两类模型 六字诀：审、设、列、解、验、答. 销售利润：单利×销量=总利. 分段收费：人数×人均=总收入. 关键思想：函数思想、分段思想、区间检验. 板书设计 2.4.3 用一元二次方程解决问题（3） 一、销售利润：单利×销量=总利 例1 → x=15；例2 → 定价2750 二、分段收费：人数×人均=总收 例3 → x=40 易错提醒 · 销量随价联动 · 分段先判区间 · 逐根检验取舍 · 不合题意舍去 环节五　作业（约3分钟） 环节五　作业布置（约3分钟） 分层布置，明确要求 作业　分层布置 A层（全员必做） HA1 某商场售衬衫，每天20件、每件盈利40元；每降1元多售2件，盈利1200元，单价降多少？ HA2 某水产品成本40元每千克，售价50元每千克月售500千克；每涨1元少10千克，月利润9000元，定价？ B层（多数必做） HB1 某商店售文具，每天20个、每个盈利30元；每降1元多售4个，盈利1000元，降价？ HB2 某旅行社：不超30人人均700元；超30人每多1人降10元（最低450），付24000元，求人数. C层（挑战选做） HC1 某童装成本50元：售价60元日销80件，70元日销60件，80元日销40件（每涨1元少2件），利润1250元，售价？ HC2 在HB2中，要求刚好只有一个整数人数解，求付费金额及对应人数（用判别式）. 作业　参考答案 HA1：降价10元或20元. HA2：定价70元. HB1：降价5元或20元. HB2：40人（60舍去）. HC1：售价70元或80元. HC2：人数40，付费24000元. 附加拓展提高 附加拓展提高 知识 → 能力 → 素养进阶 附加1　手套问题 【数学运算·数学抽象】某商店售手套，每天20双、每双盈利17元；每降1元多售4双. ① 若每天盈利420元，降价多少？ ② 若要尽快减少库存（销量尽可能大），应降多少？ ● 提示 ● (17-x)(20+4x)=420，x=2或15. ● 库存越少销量越大，取x=15. 附加2　景区门票 【数学建模·数据分析】某景区门票：不超50人，人均120元；超50人，每多1人人均降2元（最低80元）. 某团体付6000元，求人数. ● 提示 ● x≤50时120x=6000 → x=50，符合. ● x>50时人均220-2x，x(220-2x)=6000 → 50或60；60时人均100≥80，符合. 附加3　商品读表 【数学建模·数据分析】某商品调查：售价30元时周销120件，售价35元时周销100件（每涨1元少销4件），成本20元. 若周利润1200元，售价多少？ ● 提示 ● 销量=240-4x，单利(x-20)元. ● (x-20)(240-4x)=1200 → x=30或50.答：售价30元或50元. 循理而行，来日再研 $