2.4《用一元二次方程解决问题3》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决销售与图表问题，衔接已学的方程解法及传播、面积问题，构建“利润模型（单件利润×销量=总利润）”和“图表规律提取”核心方法，为后续二次函数学习奠定建模基础。 资料通过分层训练（A/B/C层）和六大拓展题型适配不同学情，典例用表格梳理量的关系培养数学抽象与模型观念，图表问题训练直观想象，课中助教师分层教学，课后学生可自查要点、巩固练习，有效查漏补缺。

配 套 讲 义 2.4.3 用一元二次方程解决问题（3） —— 销售问题 · 图表问题 配套教材：苏科版(2024) 九年级数学上册 2026 – 2027 学年 一、学习目标 ① 数学抽象与模型观念：能从“涨价降价—利润—销量”的实际情境中提取数量关系，建立一元二次方程模型. ② 数学运算：熟练求解所列的一元二次方程（配方、因式分解、公式法均可），并规范书写解题过程. ③ 逻辑推理：结合实际问题检验方程的根，舍去不符合实际意义的解（如销量为负、价格不合理、折扣越界等），并完整作答. ④ 直观想象：能从统计图表、表格中读取数据、发现变量间的线性变化规律，再把规律“翻译”成代数式. 二、知识回顾 本讲是“2.4 用一元二次方程解决问题”的第3课时.此前你已掌握解一元二次方程的全部方法，并能用方程解决传播增长、面积几何类问题；本讲把目光转向生活中最常见的两类情境——销售与图表. 学习阶段 内容 本课作用 已学 一元二次方程三种解法（配方法 / 因式分解法 / 公式法） 本课所列之方程，三种方法任选其一求解 已学 2.4.1 传播与增长问题、2.4.2 面积与几何问题 建模思路一致：找等量关系 → 列方程 → 求解检验 本课 2.4.3 销售问题、图表问题 重点：利润模型 + 读图读表建模 后续 二次函数（九年级下册） 本课只求“达到某利润时的定价”，暂不用函数图像求最值 三、学习导航 ① 先读“四、方法梳理”，弄清销售问题与图表问题的核心等量关系； ② 遮住“五、典例精讲”的解答，自己列式求解，再对照； ③ 完成“六、分层训练” A → B → C，遇到卡点回看对应例题； ④ 挑战“七、附加拓展提高”六类题型，覆盖易错、应用、换元、分类、创新； ⑤ 最后翻到“十、本讲要点回顾”自查掌握情况. 四、方法梳理 解决实际问题，本质是把“文字”翻译成“方程”.无论销售还是图表，都遵循下面四步： 步骤 关键动作 注意 ① 审题 弄清已知、所求，区分常量与变量 标注单位，避免张冠李戴 ② 设元 选关键量作未知数（如涨价 x 元） 用含 x 的代数式表示其余量 ③ 列方程 找等量关系，翻译成方程 销售：单件利润 × 销量 = 总利润；图表：先读规律 ④ 求解检验 解方程，结合实际意义舍根 销量 > 0、价格合理、折扣 ∈ (0,1] 等 图1 解题流程图 图2 本节模型体系思维导图 ▶ 方法点拨 ① 销售问题抓住一条主线：单件利润 × 销售量 = 总利润. ② 涨价 x 元：单件利润增加 x，销售量减少（与 x 成比例）；降价 x 元则相反. ③ 图表问题先“读图读表”：从折线或表格中找出“变 1 个单位，另一量变多少”的线性规律. ④ 列方程后务必检验：把根代回实际条件，舍去使销售量 ≤ 0、价格不合常理、折扣越界的根. ▶ 易错警示 ① 误把“售价”当“单件利润”：利润 = 售价 − 进价. ② 销售量随价格反向变化，符号易错（涨价则销量减、降价则销量增）. ③ 求得两个根都“数学成立”，但可能有一个不符合实际，必须结合题意舍选并说明理由. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 销售问题核心等量关系：单件利润 × 销售量 = 总利润. ② 图表问题关键：从图中数据抽象出“单价—销量”的线性变化规律. ▶ 学习难点 · 如何突破 ① 难点：价格与销量“联动反向变化”，容易列错代数式. ② 突破：用表格把“原价/现价、原利/现利、原量/现量”三行对齐填写，相乘即得方程. 例1 销售问题（涨价型） 某商店将进价为 8 元的商品按 10 元售出时，每天可售出 200 件.经市场调查发现，该商品每涨价 1 元，其日销售量就减少 20 件.若商店希望每天盈利 640 元，这种商品应涨价多少元？ 【审题·思路】已知：进价 8 元，原售价 10 元（原单件利润 2 元），原日销量 200 件；涨价 1 元 → 销量减 20 件.所求：涨价 x 元.等量：单件利润 × 日销量 = 总利润 640. 【突破】设涨价 x 元，则单件利润 = 10 − 8 + x = 2 + x（元），日销量 = 200 − 20x（件）.注意销量随涨价减少，且须 200 − 20x > 0 即 x < 10. 【解答】列方程： 展开整理： 因式分解得： 检验：x = 2 时日销量 = 200 − 40 = 160 > 0；x = 6 时日销量 = 200 − 120 = 80 > 0，均符合实际. 答：这种商品应涨价 2 元或 6 元. ▶ 方法小结 涨价型：单件利润 = 原利润 + x，销量 = 原销量 − k·x（k 为“每涨1元少售的件数”）.列完方程先观察两根是否都使销量 > 0. 例2 销售问题（降价打折型） 某特产专卖店销售一种干果，进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售时，平均每天可售出 100 千克.后来调查发现，单价每降低 2 元，平均日销售量就增加 20 千克.若该店想平均每天获利 2240 元，并且尽可能让利于顾客，应按原售价的几折出售？ 【审题·思路】已知：进价 40，原售价 60（原单件利润 20），原日销量 100 千克；每降 2 元 → 销量增 20 千克（即每降 1 元 → 增 10 千克）.所求：降价 x 元（或折扣）.等量：单件利润 × 日销量 = 总利润 2240. 【突破】设每千克降价 x 元，则单件利润 = 60 − 40 − x = 20 − x（元），日销量 = 100 + 10x（千克）.“尽可能让利于顾客”意味着在满足利润前提下选降价更多的根. 【解答】列方程： 展开整理： 因式分解得： 检验：x = 4 时利润 16 元、销量 140 千克，16 × 140 = 2240；x = 6 时利润 14 元、销量 160 千克，14 × 160 = 2240，均成立. 为让利选降价 6 元：售价 = 60 − 6 = 54（元），折扣 = 54 ÷ 60 = 0.9，即九折. 答：应按原售价的九折出售. ▶ 方法小结 降价型：单件利润 = 原利润 − x，销量 = 原销量 + k·x.出现两个根时，按“让利于顾客 / 扩大销量”等现实目标选其一，并说明舍根理由. 例3 图表问题（读表建模） 某超市统计一种商品在不同售价时的日销售量，得到如下表格： 售价(元/件) 150 140 130 120 日销量(件) 100 200 300 400 图3 例3 售价—日销量 数据关系 观察发现：售价每降低 10 元，日销售量就增加 100 件（即每降 1 元，日销量增加 10 件）.已知该商品进价为每件 100 元.若要使该商品日盈利达到 8000 元，售价应定为多少？ 【审题·思路】已知：进价 100 元；表格四组(售价,销量)呈线性——售价每降 10 元销量增 100 件.所求：定价.等量：单件利润 × 日销量 = 总利润 8000. 【突破】设降价 x 元（相对原售价 150 元），则售价 = 150 − x（元），单件利润 = 150 − x − 100 = 50 − x（元），日销量 = 100 + 10x（件）.先“读表”确认规律：150 → 140（降10）销量 100 → 200（增100），规律成立. 【解答】列方程： 展开整理： 因式分解得： 检验：x = 10 → 售价 140 元，利润 40 元，销量 200 件，40 × 200 = 8000；x = 30 → 售价 120 元，利润 20 元，销量 400 件，20 × 400 = 8000，均符合（且对应表格第 2、4 列）. 答：售价应定为 140 元或 120 元. ▶ 方法小结 图表问题“三部曲”：① 读图读表，找出两变量的线性变化规律；② 用含 x 的代数式表示现价、现利、现量；③ 套用核心等量关系列方程、求解、检验.答案往往就藏在表格的某一列里. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 某商品进价 30 元，按 40 元售出时每天可卖 200 件.调查发现每涨价 1 元，日销量就减少 10 件.若商店想每天盈利 2160 元，应涨价多少元？ 2. 某书店销售一种参考书，进价 12 元，售价 20 元时每天售 20 本.每降价 1 元，每天可多售 5 本.若每天盈利 175 元，应降价多少元？ 3.（图表）某奶茶店记录“单价”与“日销量”关系如下表.发现单价每降 1 元，日销量增 20 杯.该奶茶成本每杯 4 元.若想日盈利 700 元，单价应定为多少？ 单价(元) 12 11 10 9 日销量(杯) 80 100 120 140 ★★ B层 · 能力提升 1. 某商场销售一款服装，每件进价 120 元，按标价 200 元销售时每月可卖 200 件.为促销决定降价，每降价 1 元每月可多卖 5 件.若商场希望每月盈利 17500 元，并且为了扩大销售（多走量），应选择降价多少元？此时打几折？ 2.（图表）某景区统计缆车票价与当日乘坐人次，数据如下.发现票价每涨 10 元，人次减 200（每涨 1 元减 20 人）.缆车单程成本折算为每人 40 元.若当日净收益（收入 − 成本）要达到 49500 元，票价应定为多少？ 票价(元) 80 90 100 110 人次(人) 1200 1000 800 600 ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 某网店销售一种小家电，每件进价 150 元.当售价定为 250 元时，每周可售出 200 件；售价每降低 5 元，每周可多售出 25 件（即每降 1 元多售 5 件）.店主希望每周盈利 22500 元，且尽量给顾客实惠，售价应定为多少？（注意：降价幅度不一定是 5 的整数倍，直接设降价 x 元列方程） 2.（创新情境）某主播直播带货一种坚果礼盒，进货价每盒 59 元.直播定价 99 元时预计售出 1200 盒；直播间规则：每优惠 10 元，销量就增加 600 盒（每降 1 元增 60 盒）.若本场直播希望总利润达到 52500 元，应将活动价降低多少元？为让利选哪个？ 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固型（换设元法） 1. 某商品进价为 50 元，当售价为 80 元时每天售 200 件，售价每提高 5 元每天少售 20 件（即每提 1 元少 4 件）.若每天盈利 6000 元，售价应为多少？ 题型2 易错警示型（根的检验） 2. 某超市销售大米，每袋进价 60 元，售价 80 元时每天售 40 袋.每降价 2 元，每天多售 8 袋（每降 1 元多 4 袋）.若每天盈利 864 元，应降价多少元？（提示：求得的根都要代回实际检验，说明取舍理由） 题型3 实际应用型（图表问题，配图+审题） 3. 某公园游船出租，定价与日均租出只数的关系如图所示（如下表）.发现定价每提高 5 元，日均租出减少 10 只（每提 1 元减 2 只）.每只船日均成本折算 20 元.若要使日均净收益（租出收入 − 成本）达到 750 元，定价应为多少？ 定价(元/小时) 20 25 30 35 日均租出(只) 60 50 40 30 图4 题型3 定价—日均租出 数据关系 【审题】已知：每只成本 20 元；表格四组(定价,租出)呈线性，每涨 5 元租出减 10 只.所求：定价.等量：单只净收益 × 租出只数 = 净收益 750.设元：设提价 x 元（相对 20 元），则定价 = 20 + x，单只净收益 = 20 + x − 20 = x，租出 = 60 − 2x.列方程： 题型4 换元构造型（直接设售价） 4. 某商品进价为每件 30 元，当售价为 50 元时每天售 100 件.售价每上涨 2 元，每天少售 5 件（每涨 1 元少 2.5 件）.若每天盈利 2000 元，售价应定为多少？（提示：也可设涨价 x 元，两种设法结果一致） 题型5 分类讨论型（带约束舍根） 5. 某商品进价 100 元，标价 180 元，每月售 150 件，每降价 1 元多售 6 件.商场规定售价不得低于 160 元.若每月盈利 15600 元，应降价多少？ 题型6 创新综合型（最新素材 · 以旧换新） 6. 某品牌家电推出“以旧换新 + 国补”活动，一款空气炸锅进货价 199 元，活动价定为 299 元时预计售出 8000 台；活动规则：每降价 10 元，销量增加 2000 台（每降 1 元增 200 台）.若本次活动总利润目标为 960000 元，应将活动价降低多少元？为让利选哪个？ 八、参考答案与详细解析 ★ A层 A1 解： 整理： 分解得： 检验：涨价 2 元时利润 12 元、销量 180 件，12 × 180 = 2160；涨价 8 元时利润 18 元、销量 120 件，18 × 120 = 2160，均成立.答：应涨价 2 元或 8 元. A2 解： 整理： 分解得： 检验：降价 1 元时利润 7 元、销量 25 本，7 × 25 = 175；降价 3 元时利润 5 元、销量 35 本，5 × 35 = 175，均成立.答：应降价 1 元或 3 元. A3 解： 整理： 分解得： 检验：降价 1 元 → 单价 11 元，利润 7 元、销量 100 杯，7 × 100 = 700；降价 3 元 → 单价 9 元，利润 5 元、销量 140 杯，5 × 140 = 700，均成立.答：单价应定为 11 元或 9 元. ★★ B层 B1 解： 整理： 分解得： 检验：降价 10 元 → 售价 190 元（9.5 折），利润 70 元、销量 250 件，70 × 250 = 17500；降价 30 元 → 售价 170 元（8.5 折），利润 50 元、销量 350 件，50 × 350 = 17500，均成立.为扩大销售选降价 30 元，即打 8.5 折. B2 解： 整理： 分解得： 检验：提价 5 元 → 票价 85 元，单只净收益 45 元、人次 1100，45 × 1100 = 49500；提价 15 元 → 票价 95 元，净收益 55 元、人次 900，55 × 900 = 49500，均成立.答：票价应定为 85 元或 95 元. ★★★ C层 C1 解： 整理： 分解得： 检验：降价 10 元 → 售价 240 元，利润 90 元、销量 250 件，90 × 250 = 22500；降价 50 元 → 售价 200 元（8 折），利润 50 元、销量 450 件，50 × 450 = 22500，均成立.为实惠选售价 200 元（8 折）. C2 解： 整理： 分解得： 检验：优惠 5 元 → 活动价 94 元，利润 35 元、销量 1500 盒，35 × 1500 = 52500；优惠 15 元 → 活动价 84 元，利润 25 元、销量 2100 盒，25 × 2100 = 52500，均成立.为让利选优惠 15 元（活动价 84 元）. 七、附加拓展提高 · 详解 题型1 解： 整理： 设售价 x 元，单件利润 = x − 50，销量 = 200 − 4(x − 80) = 520 − 4x.检验：售价 80 元时利润 30 元、销量 200 件，30 × 200 = 6000；售价 100 元时利润 50 元、销量 120 件，50 × 120 = 6000，均成立.答：售价应定为 80 元或 100 元. 题型2 解： 整理： 分解得： 检验：降价 2 元时利润 18 元、销量 48 袋，18 × 48 = 864；降价 8 元时利润 12 元、销量 72 袋，12 × 72 = 864，均符合实际（利润、销量均为正）.答：应降价 2 元或 8 元.易错点：两根都有效，须逐一检验并写明，不可漏根. 题型3 解： 整理： 分解得： 检验：提价 5 元 → 定价 25 元，净收益 45 元、租出 50 只，45 × 50 = 750；提价 15 元 → 定价 35 元，净收益 55 元、租出 30 只，55 × 30 = 750，且均对应表格中数据.答：定价应定为 25 元或 35 元. 题型4 解： 整理： 分解得： 设售价 x 元，单件利润 = x − 30，销量 = 100 − 2.5(x − 50) = 225 − 2.5x.检验：售价 50 元时利润 20 元、销量 100 件，20 × 100 = 2000；售价 70 元时利润 40 元、销量 50 件，40 × 50 = 2000，均成立.答：售价应定为 50 元或 70 元. 题型5 解： 整理： 分解得： 检验：降价 15 元 → 售价 165 元（≥160，符合规定），利润 65 元、销量 240 件，65 × 240 = 15600；降价 40 元 → 售价 140 元（<160，违反“售价不低于 160 元”的规定），舍去.答：应降价 15 元. 题型6 解： 整理： 分解得： 检验：优惠 20 元 → 活动价 279 元，利润 80 元、销量 12000 台，80 × 12000 = 960000；优惠 40 元 → 活动价 259 元，利润 60 元、销量 16000 台，60 × 16000 = 960000，均成立.为让利选优惠 40 元（活动价 259 元）. 九、方法总结（一页回顾） ① 一条主线：单件利润 × 销售量 = 总利润（销售问题）；读图读表找规律 → 代数式 → 方程（图表问题）. ② 一套四步：审题 → 设元（用 x 表出其余量） → 列方程（抓等量关系） → 求解检验（舍不合题意的根）. ③ 一个习惯：列方程后必检验，把根代回实际，舍去销量 ≤ 0、价格不合理、折扣越界的根，并完整作答. 十、本讲要点回顾 □ 我能说出销售问题的核心等量关系：单件利润 × 销售量 = 总利润. □ 我能正确表示“涨价 / 降价 x 元”后的单件利润与销售量（注意反向变化符号）. □ 我能从图表、表格中读出两个变量之间的线性变化规律，并据此列方程. □ 我能求解所列的一元二次方程，并结合实际意义检验、舍去不合题意的根. — 讲义完 — 学科网（北京）股份有限公司 $