2.4 《用一元二次方程解决问题1》课件2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决面积与几何体问题，课堂导入通过薄钢片做无盖盒子、场地中央建花坛等身边情境，衔接一元二次方程解法，搭建从实际问题抽象等量关系到列方程的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，通过分层练习（A/B/C层）和规范解题步骤（审设列解验答），强化数学建模与运算能力。如例1无盖盒子问题引导学生抽象等量关系，例4勾股定理应用训练方程求解与验根，帮助学生养成严谨思维，教师可直接使用分层资源提升教学效率。

2.4　用一元二次方程解决问题（1 ） （面积问题与几何体计算） 2026—2027学年　苏科版　九年级数学上册 教学目标（核心素养导向） 数学抽象：从面积、几何图形中抽象出方程，形成方程模型意识. 数学建模：经历"问题→等量关系→方程"过程， 会用方程表示图形中的数量关系. 数学运算：会列、解一元二次方程，并检验根的合理性， 舍去不合题意的根. 教学重难点 ▶ 教学重点 ① 从图形中找出等量关系； ② 列出一元二次方程并求解； ③ 检验根的合理性（舍去不合题意的根）； ④ 规范书写（解：…答：…）. ● ▶ 教学难点 ● ① 设元并准确表示图形各边长； ● ② 把几何条件译为代数等式； ● ③ 检验：负根、超界根必须舍去； ● ④ 靠墙围矩形时"哪边靠墙"的分类讨论. 环节一　情境导入（身边的方程） 环节一　情境导入（身边的方程） 观察三类熟悉的实物，引出"用一元二次方程解决问题" 身边的场地与图形 情境导入　三类熟悉的实物 这三类问题，都来自我们身边的真实场景， 它们的共同点是： ① 都涉及几何图形的 边长、面积； ② 都有需要求的未知量； ③ 都能用一个等量关系列出一元二次方程， 本节课就以这三类情境为例， 体会"列方程解实际问题"的通法. 薄钢片做无盖盒子 场地中央建花坛 靠墙围矩形菜园 ● 本节目标 ● 从图形 → 设元 → 列方程 → 解方程 → 验根 → 写答， ● 体会方程模型的威力. 例1　无盖盒子（薄钢片截角） 一块长方形薄钢片，长 cm，宽 cm， 在四角各截去边长相等的正方形， 折起四边做成一个无盖的长方体盒子， 盒子的底面积等于原钢片面积的一半， 求截去的小正方形边长， 设截去的边长为 cm， 则盒底长为 cm，宽 cm， 根据等量关系列方程： 40-2x 30-2x A B C D 例1　等量关系分析 ● 等量关系 ● 设截去小正方形边长为 cm； ● 折起后盒子：长 ，宽 ，高 ， ● 等量关系：盒底面积 = 原面积的一半， ● ，故 ， ● 实际意义： 且 （盒底边长须为正）. 例1　解答（规范示范） 解：由 ， 展开得 ， 整理为 ， 分解因式得 ， 解得 ，， 检验：当 时，，不合题意，舍去， 所以 答：截去的小正方形边长为 cm. ● 易错提醒 ● 必须检验根的合理性： ● 盒底边长 且 ， ● 故 ， 舍去. 环节二　探究建模（一般步骤） 环节二　探究建模（一般步骤） 从一道题到一个方法：归纳列方程解应用题的通法 探究：四类常见面积模型 观察四类典型面积模型， 截去四角 纵横小路 四周留路 靠墙围栏 它们都靠"设未知数 表示各边长"建立方程 列一元二次方程解应用题的一般步骤 把"实际问题"翻译成"方程模型"，可归纳为六步： 1 ① 审：审题，弄清已知与所求，确定等量关系 2 ② 设：设未知数（直接设元或间接设元） 3 ③ 列：用含未知数的式子表示相关量，列方程 4 ④ 解：解一元二次方程 例2　长宽差面积问题 一个矩形，长比宽多 m，面积为 m²， 求这个矩形的长和宽， 设宽为 m，则长为 m， 依题意得等量关系： 即 ， 解得 ，（舍去）， 长 ， 答：宽 m，长 m. ● 审题·设元 ● 等量关系：矩形面积 = 长 × 宽， ● 设宽为 ，长用 表示， ● 负根不合题意，舍去. 例3　四周留等宽道路（花坛） 矩形场地长 m，宽 m， 中央建矩形花坛，四周留等宽道路， 道路面积为 m²，求道路宽， 设道路宽为 m， 则花坛长为 m，宽 m， 场地 − 花坛 = 道路，列方程： 32-2x 20-2x A B C D 例3　等量关系分析 ● 等量关系 ● 场地 ，四周留路宽 ， ● 中央花坛：长 ，宽 ， ● 等量关系：场地 − 花坛 = 道路， ● ， ● 实际意义：（花坛边长须为正）. 例3　解答（规范示范） 解：由 ， 展开得 ， 整理为 ， 分解因式得 ， 解得 ，， 检验：当 时，，不合题意，舍去， 所以 答：道路宽为 m. ● 易错提醒 ● 花坛边长须为正： ● 长 ，宽 ， ● 故 ， 舍去. 例4　几何体计算（勾股定理） 直角三角形的两条直角边相差 cm， 斜边长为 cm，求两条直角边长， 设较短的直角边长为 cm， 则较长的直角边长为 cm， 由勾股定理得： a a+7 13 A B C 例4　几何关系分析 ● 几何关系 ● 斜边最长，为 ；设较短直角边 ，则较长 ， ● 勾股定理：两直角边平方和 = 斜边的平方， ● ， ● 展开 ，即 ， ● 实际意义：. 例4　解答（规范示范） 解：由 ， 展开得 ， 整理为 ， 分解因式得 ， 解得 ，（舍去）， 较长直角边 ， 答：两条直角边分别为 cm 和 cm. ● 方法 ● 设较短直角边为 ， ● 用 表示三边后列方程， ● 负根不合题意，舍去. 易错提醒：三条红线 列方程解面积、几何问题，务必守住三条红线： ① 解后不检验——负根、超界根混进答案； ② 等量关系写反——把"小路面积"当"花坛面积"； ③ 忽略范围——靠墙围矩形未讨论哪边靠墙、两解是否都合理， 正确做法：解出根后，代入图形条件逐一检验， 使边长为负或超界的一律舍去. ● 关键 ● 检验是两步： ● ① 边长为正； ● ② 不超过原图形范围， ● 两步都过才保留. 方法归纳 ① 矩形面积=长×宽；和差比设一表一； ② 无盖盒/截角：底面=(原边长−2x)²，按剩余部分算； ③ 等宽道路：道路面积=整体面积−净地面积； ④ 勾股：直角三角形中 ；翻折用对应边相等； ⑤ 靠墙围矩形：先定靠墙边，分两类各列一式. 巩固练习·A层 第 1 题 《田亩比类》中：一块矩形田，长与宽之和为 步， 面积为 步²，求长宽. ● 第 1 题 解答 ● 设宽为 步，则长为 步， ● 列方程 ，即 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 答：宽 步、长 步. 环节三　巩固练习（分层） 环节三　巩固练习（分层） A 层基础 · B 层能力 · C 层挑战（先练后揭） 巩固练习·A层 第 2 题 用长 m 的篱笆围一个不靠墙的长方形苗圃，面积 m²，求长宽 ● 第 2 题 解答 ● 设宽为 m，则长为 m（长+宽=18）， ● 列方程 ，即 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 答：宽 m、长 m. 巩固练习·B层 第 3 题 场地长 m、宽 m，四周留等宽道路， 道路面积为 m²，求道路的宽. ● 第 3 题 解答 ● 设道路宽为 m，则花坛长 m、宽 m， ● 由题意 ， ● 化简得 ，分解 ， ● 检验：花坛宽 即 ， 舍去；答：路宽 m. 巩固练习·B层 第 4 题 直角三角形两直角边相差 cm，斜边 cm，求两直角边长. ● 第 4 题 解答 ● 设较短直角边长为 cm，则较长边 cm， ● 由勾股定理 ，展开得 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 检验：边长取正， 舍去；答：两直角边 cm、 cm. 巩固练习·C层 拓展挑战 一块矩形空地长比宽多 m，四周留 m 宽道路， 道路面积恰好是中央花坛面积的一半，求空地尺寸. 设空地宽为 m，则长为 m， ● 解答 ● 花坛 ，道路=空地-花坛=， ● 由题意 道路是花坛的一半：， ● 整理得 ，解 ；答：空地 . x+6 x-4 A B C D 当堂检测 第 1 题 《九章算术》方田：矩形田长 步，对角线比宽多 步，求宽. ● 第 1 题 答案 ● 设宽为 步，则对角线 步；勾股得 ， ● 化简得 ，解得 （对角线 ）； ● 答：宽 步. 12 x A B C D x+8 当堂检测 第 2 题 长方形操场长与宽之比为 ，面积为 m²，求长宽. ● 第 2 题 答案 ● 设宽为 ，长为 ， ● 列方程 ，即 ， ● 解得 ，（负根舍去）， ● 答：宽 m、长 m. 课堂小结 ① 会建模：矩形面积等问题化方程； ② 会验根：负根、超界根要舍去； ③ 会画图：图形题先画图、标数据； ④ 会分类：靠墙两类须讨论； ⑤ 一句话：建模比套公式更重要. 作业布置·A层 第 1 题 A层·基础：矩形长比宽多 m，面积 m²，求长宽. ● 第 1 题 解答 ● 设宽为 m，则长为 m， ● 列方程 ，即 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 检验： 舍去；答：宽 m、长 m. 作业布置·A层 第 2 题 场地 m，四周留路，道路面积 m²，求路宽. ● 第 2 题 解答 ● 设路宽为 m，则内部长 m、宽 m， ● 由题意 ， ● 化简得 ，分解 ， ● 检验： 使 舍去；答：路宽 m. 作业布置·B层 第 3 题 B层·提升：两直角边相差 ，斜边 ，求直角边长. ● 第 3 题 解答 ● 设较短直角边长为 cm，则较长边 cm， ● 由勾股定理 ，展开得 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 检验：边长取正， 舍去；答：两直角边 cm、 cm. 作业布置·B层 第 4 题 用 m 篱笆靠墙围矩形，面积为 m²，求矩形的长与宽. ● 第 4 题 解答 ● 设垂直墙的边为 m，则平行墙的边为 m， ● 列方程 ，即 ， ● 分解 ，解得 或 ， ● 检验：两解均满足 ；答： 或 （单位 m）. 作业布置·C层 挑战 C层·挑战 5. 一张照片长 cm、宽 cm， 镶上等宽边框后，整体面积是原面积的 倍，求边框宽. ● 第 5 题 解答 ● 设边框宽为 cm，则整体长 、宽 ， ● 列方程 （原面积 ）， ● 展开得 ，即 ， ● 分解 ，解得 ；答：边框宽 cm. 板书设计（知识脉络） 2.4 用一元二次方程解决问题（1） 一、解题地图 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 二、核心公式 矩形面积 = 长 × 宽 道路面积 = 总面积 − 净地面积 勾股定理：a² + b² = c² 三、设元诀窍 小量先设 x 等宽类：原长-2x、原宽-2x 靠墙：先定靠墙边 四、验根铁律 负根、使边长≤0 或超界根一律舍去 五、数学思想 数形结合 · 分类讨论 · 方程建模 环节四　小灶课（素养提升） 环节四　小灶课（素养提升） 梯子下滑 · 靠墙分类 · 图形折叠 小灶① 梯子下滑问题 一架长 m 的梯子靠在竖直墙上，梯脚离墙 m， 若梯顶下滑 m，求梯脚向外滑动的距离. 初始墙高 m；设梯脚外移 m， ● 解答 ● 下滑后墙高 m，新梯脚离墙 m， ● 由勾股 ，即 ， ● 3+x=4，；答：梯脚外移 m. 3+x 4-1=3 5 A B C 小灶② 图形折叠 矩形 中， cm、 cm，点 P 在 上； 将 △ABP 沿 翻折，点 B 落在对角线 上的 E 处， 求 的长. ● 解答 ● 翻折：，，故 ；设 ， ● 则 ；Rt△PEC 中 ， ● 得 ，；答： cm. 6 8 A B C D AC E P 课后巩固与要点回顾 ① 必背：矩形面积=长×宽； ② 勾股：（方程核心）； ③ 设元诀：小量设 ； ④ 验根铁律：负根、超界根一律舍去； ⑤ 行动：作业全做 → 红笔订正 循理而行，来日再研 $