2.4 《用一元二次方程解决问题2》课件2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决平均增长率、几何计算、传播问题，以劳动实践基地矩形花圃浇水实验为情境导入，衔接方程解法与实际应用，搭建从生活问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于通过情境导入激发探究欲，分层巩固（A/B/C层）适配不同学生，课堂小结六步法系统归纳方法。体现数学建模（如传播问题与增长率模型同构）、直观想象（几何图形辅助分析），帮助学生理解应用，为教师提供清晰教学路径。

2.4　用一元二次方程解决问题（2） （平均增长率 · 几何计算 · 传播问题） 2026—2027学年　苏科版　九年级数学上册 学习目标 能识别平均增长率、几何计算、传播三类问题的等量关系. 能根据题意正确设元，列出一元二次方程并规范求解. 能结合图形与运动过程分析动点问题，并对根进行合理性检验. 体会方程是刻画现实问题的有效模型，发展数学建模思想. 教学目标 数学建模：能从平均增长率、几何图形、动点三类问题中抽象出等量关系，列出一元二次方程. 数学运算：能选择合适方法求解方程，并正确进行根的检验与取舍. 直观想象：能借助矩形、直角三角形、动点轨迹等图形直观呈现已知与所求. 逻辑推理：能有条理地分析动点问题的运动过程，论证根的合理性. 评价回扣：本课目标将在课堂小结与分层巩固中对应回检. 教学重难点 重点：从三类问题中寻找等量关系，列出一元二次方程并求解、检验. 难点：动点问题中运动过程分段与等量关系建立；几何图形中隐含条件的挖掘. 方法：启发引导、问题驱动、数形结合、分层练习. 情境导入 情境导入 我校劳动实践基地是一块矩形花圃. 同学们在花圃边设计“两点匀速浇水”的小实验，这背后就藏着一元二次方程. 校园花圃 设计意图 ● 为什么从这里开始 ● 以本校熟悉的劳动实践基地切入， 制造“生活问题→数学模型”的认知冲突. ● 激发探究欲，并为本课问题链埋下伏笔. 模块一　平均增长率问题 模块一　平均增长率问题 从利润增长到病毒传播，同一模型处处可见. 例1 平均增长率 某商店2024年利润为100万元，计划2026年利润达到144万元. 若年平均增长率相同，求这个增长率. 审题：基数100万元，经过2年增长到144万元，增长次数n=2. 设年增长率为x. 建模： ● 关键提醒 ● 增长次数 = 终止年份 - 起始年份. ● 平均增长率是复利模型. 例1 解答 解：设年平均增长率为x. 根据题意，得 两边同除以100，得 开平方，取正根，得 所以x=0.2=20%. 检验：符合题意. 答：年平均增长率为20%. 易错警示 · 平均增长率 ● 常见错误 ● 不要写成 100(1+2x)=144，这是“两年共增长2x”的线性错误. ● 正确形式是复利模型，其中n为增长次数. 模块二　几何计算题 模块二　几何计算题 矩形看面积，直角三角形看勾股定理. 例2 矩形面积 矩形苗圃长比宽多2m，面积为48m². 求这个矩形的长和宽. 审题：设宽为x m，则长为(x+2) m，由长乘宽等于面积列式. 列方程： x+2 x A B C D 例2 解答 解：设宽为x m，则长为(x+2) m. 由题意，得 展开整理，得 因式分解，得 解得x=6或x=-8，舍去负根，得长8m、宽6m. 检验：6乘8=48，符合题意. 答：长8m，宽6m. x+2 x A B C D 变式1 直角三角形 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=x+3，BC=2x，斜边AB=15. 求x的值. 审题：由勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方. 列方程： x+3 2x 15 A C B 变式1 解答 解：由勾股定理，得 展开整理，得 因式分解，得 解得x=6或x=-7.2，舍去负根. 所以AC=9，BC=12. 检验：9²+12²=225=15². 答：x=6. x+3 2x 15 C B A 方法点拨 · 几何计算 ● 几何计算的桥梁 ● 矩形：长乘宽等于面积. ● 直角三角形：两直角边平方和等于斜边平方. ● 设元时优先选“出现次数最多”的量作为x. 模块三　传播问题 模块三　传播问题 病毒传播、握手问题，本质上都是平均增长模型. 例3 传染病传播 某传染病初期有2人患病. 若每轮每人传染给x人，经过两轮传染后共有50人患病. 求每轮每人传染的人数. 审题：第1轮后患者2(1+x)人；第2轮后患者2(1+x)²人. 难点：每轮传染都在上一轮总人数基础上进行，不是线性叠加. ● 思路启发 ● 两轮后人数 = 初始量乘(1+x)². ● 这与平均增长率模型同构. 例3 解答 解：设每轮每人传染x人. 第1轮后患病人数： 第2轮后患病人数： 由题意，得 即开平方，得 所以x=4，x=-6舍去. 检验：第1轮10人，第2轮50人，符合. 答：每轮每人传染4人. 变式2 握手问题 一次同学聚会，所有人两两握手一次，共握手28次. 求参加聚会的人数. 分析：设参加聚会的有n人，每人握手(n-1)次，总次数为n(n-1)的一半. 列方程： 解：整理得 因式分解，得 解得n=8或n=-7，舍去负根. 答：参加聚会的有8人. 方法总结 · 三类问题本质 ● 通法归纳 ● 三类问题本质相同：把实际问题翻译成一元二次方程. ● 解方程后，再把结果“翻译回实际”并检验合理性. ● 传播问题体现了平均增长思想. 分层巩固 · A层（基础） A1 某厂今年产值500万元，预计后年产值达到720万元. 若年平均增长率相同，求这个增长率. A2 矩形苗圃长比宽多4m，面积为60m². 求长与宽. A3 直角三角形两直角边分别为x与x+2，斜边长10. 求两直角边长. ● A层 参考答案 ● A1 设增长率为x：500(1+x)²=720，解得x=0.2=20%. ● A2 设宽x，则x(x+4)=60，解得x=6，长10m、宽6m. ● A3 x²+(x+2)²=100，解得x=6，两直角边为6和8. 分层巩固 · B层（提升） B1 某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，每次降价率相同. 求每次降价率. B2 用32m篱笆围建一面靠墙（墙长15m）的矩形花园，其他三边用篱笆，面积120m². 求花园的长与宽. B3 某传染病初期有3人患病，每轮每人传染人数相同，经过两轮传染后共有48人患病. 求每轮每人传染的人数. ● B层 参考答案 ● B1 100(1-x)²=81，解得x=0.1=10%. ● B2 x(32-2x)=120，x=10符合墙长限制，长12m、宽10m. ● B3 3(1+x)²=48，解得x=3. 分层巩固 · C层（拓展） C1 矩形ABCD中AB=9cm，BC=6cm. P从A沿AB以1cm/s向B，Q从B沿BC以2cm/s向C，同时出发到终点停. 何时△PBQ面积为8cm²？ A B C P Q 9 6 D C1 解答 ● C1 参考答案 ● 设运动t秒，则PB=9-t，BQ=2t. ● 面积方程，解得t=1. ● 答：运动1秒时△PBQ面积为8cm². 课堂小结 列方程解应用题六步：审题→设元→列式→求解→检验→作答. 平均增长率：基数乘(1+x)的n次方等于终值，n为变化次数. 几何计算：矩形看面积，直角三角形看勾股定理. 动点问题：先定时间范围，再列等量关系，根必须落在区间内. 核心思想：把实际问题翻译成一元二次方程，再翻译回实际并检验. 板书设计 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 一、平均增长率 例1 100(1+x)²=144 → x=20% 二、几何计算 例2 矩形 x(x+2)=48 → 长8宽6 变式1 勾股 → x=6 三、传播问题 例3 2(1+x)²=50 → x=4 易错提醒 • 增长率是复利模型 • 动点先定t范围 • 解出的根要检验实际意义 • 几何题先画图再列式 作业布置 A层：完成教材2.4（2）课后基础题. B层：1.某城市 2023 年底汽车保有量为 100 万辆.为了缓解交通压力，计划此后每年底汽车保有量不超过上一年的 1.21 倍.那么到哪一年底，该市汽车保有量将首次超过 146 万辆？ 2.某小区 2024 年绿化面积为 4000 平方米，计划 2025 年和 2026 年两年内每年都比上一年增加相同的百分率，使 2026 年的绿化面积达到 4900 平方米.求每年的增长率大约多少. 解：设需要 n 年后首次超过 146 万辆.每年末的保有量为上一年的 1.21 倍 即 100×1.21n>146 注意到 1.21=1.12，所以 100×1.12n>146，即 1.12n>1.46. n=2 时 100×1.212≈146.41>146. 所以到 2025 年底（即 n=2）首次超过 146 万辆. 解：设每年的增长率为 x. 于是，4000(1+x)2=4900. 得， (1+x)2=1.225， 开平方得， 1+x=±1.105 左右，可知 x≈0.1，即每年增长率大约 10%. C层：1.某人将一笔钱存入银行，年利率为 r（按复利计算），两年后本息和恰好是本金的 1.44 倍.求年利率 r. 2.某地 2022 年 PM2.5 年均浓度为 58 微克/立方米，经过两年治理后降至约 37 微克/立方米.若每年下降的百分率相同，求年平均下降率.（结果保留一位小数） 解：设本金为 A 元，年利率为 r.按复利计算，两年后的本息和为 A(1+r)2 元. 依题意有 A(1+r)2=1.44A， 得 (1+r)2=1.44. 开平方得 1+r=±1.2，舍去负值得 r=0.2，即年利率为 20%. 解：设年平均下降率为 x.两年后浓度满足 58(1−x)2≈37， 于是 (1−x)2≈0.638. 开平方得 (1−x)2≈±0.799，取正值 1−x≈0.799，解得 x≈0.201， 即年平均下降率约为 20.0% 拓展提高 · 数字问题 一个两位数，十位数字比个位数字小2，且两个数字的平方和等于34. 求这个两位数. 解：设十位数字为x，则个位数字为x+2. 整理得 解得x=3，所以这个两位数为35. 拓展提高 · 连续正整数 变式3 两个连续正整数的平方和为25，求这两个连续正整数. 解：设较小正整数为n. 整理得 解得n=3. 答：3和4. 循理而行，来日再研 $