2.4《用一元二次方程解决问题2》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦用一元二次方程解决平均增长率、几何计算、动点问题，以已学的配方法、因式分解法、公式法及根与系数关系为求解工具，构建“建模+检验”的应用体系，为后续二次函数综合学习奠定基础。 资料通过分层训练（A/B/C层）、方法梳理（思维导图、解题流程图）及典例精讲（如几何平移法、动点分段讨论），培养学生模型意识、直观想象与逻辑推理能力。课中助力教师高效授课，课后学生可通过自查与拓展练习巩固知识，弥补薄弱环节。

配 套 讲 义 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 平均增长率问题 · 几何计算题 · 动点问题 配套教材：苏科版（2024）九年级数学上册 2026—2027 学年 一、学习目标 数学建模：能把平均增长率、几何图形、动点这三类实际问题，抽象为一元二次方程. 数学运算：熟练运用配方法、因式分解法、公式法求解，并会检验根的合理性、舍去不合题意的根. 逻辑推理：在动点问题中能正确分段（分类讨论），找准各运动时段内的等量关系. 直观想象：借助示意图理解几何与动点中的数量关系，体会数形结合思想. 二、知识回顾 在 2.2 节，你已经学完解一元二次方程的全部三种方法；2.3 节又认识了根与系数的关系.本讲你将用这些工具，去解决现实中的三类问题.下面用一张表看清“已经学过—本讲重点—后续延伸”. 阶段 内容 本讲定位 已经学过 配方法、因式分解法、公式法；根与系数关系 求解工具，直接用 本讲重点 用方程解决：平均增长率、几何计算、动点问题 建模 + 检验 后续延伸 二次函数、一元二次方程与函数的综合 更高观点下的统一 ▶ 问题引入 某品牌手机两年前售价 4000 元，今年降到 2560 元.先猜一猜：平均每年降价百分之几？学完本讲，你会用方程准确算出来，而不是靠感觉. 三、学习导航 ① 读“方法梳理”，记住三类问题的核心等量关系与解题流程图. ② 遮住“典例精讲”的解答，自己先列方程、求解，再对照. ③ 完成“分层训练”A→B→C，遇到卡壳回看对应例题. ④ 挑战“附加拓展提高”六大题型，重点练应用题的审题与配图. ⑤ 用“本讲要点回顾”自查，能流畅说出三类模型即可. 四、方法梳理 列方程解应用题，关键在于“把文字翻译成等式”.下面三类是本讲的主角. 模型 核心等量关系 常见设元 平均增长率 a(1+x)² = b（增）；a(1−x)² = b（降） 设平均增长率（降低率）为 x 几何计算 平移后“长×宽 = 面积”或勾股关系 设道路宽、边长、路宽为 x 动点问题 用时间 t 表示线段长，面积 = 方程 设运动时间为 t 秒 图1 列方程解应用题 · 解题流程图 图2 本讲三大模型 · 解法体系思维导图 ▶ 方法点拨 ① 增长率问题列方程后多用直接开平方法，别急着展开括号； ② 几何问题优先“平移法”，把弯曲的边拉直再算面积； ③ 动点问题一定先画示意图，用 t 表示各线段，再写面积等式. ▶ 易错警示 解出两个根时，务必代回实际意义检验：增长率 x 应满足 x>0（降低率还应 0<x<1）；几何中边长、路宽必须为正且不大于场地尺寸；动点时间 t 必须在运动时段内.不合题意的根要舍去. 图3 平均增长率模型：连续两次变化 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 平均增长率：a(1±x)² = b 的构造与直接开平方； ② 几何计算：平移法把“路”移走，转化为矩形面积； ③ 动点问题：用 t 表示动线段，面积等式列方程. ▶ 学习难点·如何突破 难点在“找等量关系”和“动点分段”.突破办法：先圈出已知数和所求量，再问自己“谁等于谁”；动点先固定一个时刻 t，在图上标出各点位置，线段长自然用 t 表示出来. 例1 平均增长率问题（直接开平方法） 【审题·思路】某商店 6 月份利润 2500 元，要使 8 月份利润达到 3600 元，求这两个月的月平均增长的百分率.已知：6 月 2500 元，目标 8 月 3600 元，间隔 2 个月.所求：月平均增长率 x.等量关系：基数 ×(1+月增长率)² = 末期值. 【突破】这里“增长两次”（6→7→8 月），所以用 a(1+x)²=b，而不是 a(1+x).为求解简便，直接开平方比展开更快，还能避免出现负号判断错误. 【解答】 设月平均增长率为 x，由题意得 两边同除以 2500 直接开平方 解得 因为 x = −2.2 表示“月均下降 220%”，不符合“增长”的实际意义，舍去. ▶ 方法小结 增长率问题“基数×(1±x)次数 = 末期”是最常用的模型；解这类方程优先直接开平方，并注意舍去负根与超范围的根. 例2 几何计算题（平移法） 图4 例2 示意图：矩形场地修两条等宽道路 【审题·思路】某小区在长 32 m、宽 20 m 的矩形场地上修建两条互相垂直且等宽的道路，其余部分种草，草坪面积为 540 m²，求道路的宽.已知：场地 32×20，路宽相等为 x， 草坪 540.所求：x.等量关系：剩余草坪面积 = 540. 【突破】两条路交叉会把场地切成几块，直接计算很乱.用“平移法”：把横向路、纵向路分别平移到边，草坪就变成一个长为 (32−x)、宽为 (20−x) 的矩形，面积直接相乘即可. 【解答】设道路宽为 x m，由题意得 展开整理 因式分解 解得 ▶ 方法小结 几何中“路”“边框”类问题，平移法是首选：把路移到边上，剩余部分仍是矩形，面积 = (原长−路宽)×(原宽−路宽).最后别忘检验路宽是否在场地尺寸内. 因为 x = 50 超过了场地的宽 20 m，路比场地还宽，不合题意，舍去.所以道路宽为 2 m. 例3 动点问题（用时间 t 表示线段） 图5 例3 示意图：Rt△ABC 上两动点 【审题·思路】在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm.点 P 从 A 出发沿 AB 向 B 以 1 cm/s 移动，点 Q 从 B 出发沿 BC 向 C 以 2 cm/s 移动.若 P、Q 同时出发，几秒后 △PBQ 的面积为 8 cm²？已知：AB=6、BC=8、速度已知. 所求：时间 t.等量关系：S△PBQ = ½·PB·BQ = 8. 【突破】先固定时刻 t：AP = 1·t = t，所以 PB = AB − AP = 6 − t；BQ = 2·t = 2t.△PBQ 是直角三角形（直角在 B），面积 = ½·PB·BQ.把这两个含 t 的式子代入面积公式，就得到关于 t 的一元二次方程. 【解答】运动 t 秒时，有 由 S△PBQ = 8 得 化简 整理为标准式 因式分解 解得 ▶ 方法小结 动点问题的通法：设时间 t → 在图上用 t 标出动点位置 → 用 t 表示相关线段 → 代入面积（或勾股）等式列方程.算完后务必核对 t 是否超出运动范围. 检验：P 到达 B 需 6 s，Q 到达 C 需 4 s，t = 2 与 t = 4 都在运动时段内，均符合题意. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 某钢铁厂去年一月份某种钢产量 5000 吨，三月份上升到 7200 吨，求这两个月平均每月增长的百分率. 2. 一块矩形菜地，长比宽多 3 m，面积为 70 m²，求这块菜地的长和宽. 3. 矩形 ABCD 中，AB = 10 cm，BC = 8 cm.点 P 从 A 沿 AB 向 B 以 1 cm/s 运动，点 Q 从 B 沿 BC 向 C 以 1 cm/s 运动.问出发几秒后 △PBQ 的面积为 8 cm²？ 4. 某商品原价 100 元，经过连续两次降价后售价为 81 元，求平均每次降价的百分率. ★★ B层 · 提升训练 1. 某农场粮食产量两年内从 3000 吨增加到 3630 吨，求平均每年增产的百分率. 2. 在长 40 m、宽 26 m 的矩形场地上修一横一竖两条等宽通道，其余铺草坪，草坪面积为 864 m²，求通道的宽. 3. 正方形边长为 6 cm.点 P 从 B 沿 BC 向 C 以 1 cm/s 运动，点 Q 从 C 沿 CD 以 1 cm/s 运动.几秒后 △PCQ 的面积为 4 cm²？ 4. 智能车间一条矩形流水线长 12 cm、宽 5 cm（示意）.点 P 从 A 沿 AB 以 2 cm/s 运动，点 Q 从 B 沿 BC 以 1 cm/s 运动.几秒后 △PBQ 面积为 8 cm²？ ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 矩形 ABCD 中，AB = 8 cm，BC = 10 cm.点 P 从 A 沿 AB 以 1 cm/s 向 B 运动，点 Q 从 B 沿 BC 以 2 cm/s 向 C 运动.由于两点速度不同，Q 先到达 C（t = 5 s）后停在该点.问几秒后 △PBQ 面积为 12 cm²？（提示：需分段讨论） 2. 某县 2023 年接待游客 120 万人次，2025 年达 172.8 万人次，求这两年的平均年增长率. 3. 直角三角形两直角边相差 7，面积为 30，求两直角边及斜边长. 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（增长率列式） 1. 某厂产值两年间从 200 万元增长到 288 万元，求平均年增长率. 题型2 易错警示（根的取舍） 1. 某种药品原价 100 元，连续两次降价后降至 64 元，求平均每次降价的百分率. ▶ 易错警示 降低率 x 必须满足 0 < x < 1.若解出 x = 1.8（即 180%），表示价格变为负的，显然荒谬，必须舍去.看到“降低率”先默念：范围在 0 到 1 之间. 题型3 实际应用型（配图 + 审题） 图6 题型3 示意图：矩形菜地四周留等宽小路 1. 用长 30 m、宽 20 m 的矩形菜地，四周留出宽度相等的笔直小路，中间种菜.若中间草坪面积为 416 m²，求小路的宽. 【审题】已知：菜地 30×20，小路宽相等为 x，中间草坪 416.所求：x.等量关系：平移后中间草坪 = (30−2x)(20−2x) = 416.设元：设小路宽为 x m.列方程： 题型4 换元与设元技巧 1. 某数连续两次增加相同的百分数后，变为原来的 2.25 倍，求这个百分数.（提示：设 1+x = t 换元更简捷） 题型5 分类讨论（动点沿周边运动） 图7 题型5 示意图：点 P 沿矩形周边运动 1. 矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm.点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 的边界以 1 cm/s 匀速运动，连接 PD.当 △APD 面积为 12 cm² 时，求运动时间 t. ▶ 方法点拨 动点跑到不同边上，面积表达式会变化，必须分段讨论：P 在 AB 上、在 BC 上、在 CD 上分别列式，再检验 t 是否落在该段时间内. 题型6 创新综合（最新情境） 1. 据行业数据，某市新能源汽车保有量 2024 年为 50 万辆，2026 年达 72 万辆.求这两年的平均年增长率.（数据背景参考 2025—2026 年新能源发展态势） 八、参考答案与详细解析 A层 1. 设平均月增长率为 x. 列方程 x = −2.2 不合题意，舍去.答：平均每月增长 20%. 2. 设宽为 x m，则长为 (x+3) m. x = −10 不合题意，舍去，长为 10 m.答：宽 7 m，长 10 m. 3. 设出发 t 秒.PB = 10−t，BQ = t，S = ½(10−t)t = 8. t = 8 时 Q 恰到 C，仍在范围内.答：2 秒或 8 秒后. 4. 设平均每次降价率为 x. x = 1.9 > 1 不合题意（降价率应小于 1），舍去.答：平均每次降价 10%. B层 1. 设平均年增长率为 x.3000(1+x)² = 3630 → (1+x)² = 1.21 → 1+x = ±1.1 → x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = −2.1（舍去）.答：平均每年增产 10%. 2. 设通道宽为 x m. x = 64 超过场地尺寸，舍去.答：通道宽 2 m. 3. 设 t 秒后.PC = 6−t，CQ = t，S = ½(6−t)t = 4. t = 2 或 4，均在正方形边长范围内.答：2 秒或 4 秒后. 4. 设 t 秒后.PB = 12−2t，BQ = t，S = ½(12−2t)t = 8. t = 4 时 Q 到 C，仍有效.答：2 秒或 4 秒后. C层 1. 分段讨论.Q 在 t = 5 s 到达 C 后停住. 当 0 ≤ t ≤ 5 时，PB = 8−t，BQ = 2t，S = ½(8−t)·2t = t(8−t) = 12. t = 2 落在 [0,5] 内，保留；t = 6 不在该段，舍去. 当 5 < t ≤ 8 时，Q 停在 C，BQ = BC = 10，PB = 8−t，S = ½(8−t)·10 = 5(8−t) = 12. t = 5.6 落在 (5,8] 内，保留.答：2 秒或 5.6 秒后. 2. 设平均年增长率为 x.120(1+x)² = 172.8 → (1+x)² = 1.44 → 1+x = ±1.2 → x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = −2.2（舍去）.答：平均年增长率 20%. 3. 设较短直角边为 x，则另一边长为 x+7. x = −12 不合题意，舍去，两直角边为 5、12，斜边 = √(5²+12²) = 13.答：两直角边 5、12，斜边 13. 附加六大题型 题型1：设平均年增长率为 x.200(1+x)² = 288 → (1+x)² = 1.44 → 1+x = ±1.2 → x₁ = 20%，x₂ = −2.2（舍去）.答：20%. 题型2：设平均每次降价率为 x. x = 1.8 超过 1，不符合降低率范围，舍去.答：平均每次降价 20%. 题型3：设小路宽为 x m. x = 23 超过菜地尺寸，舍去.答：小路宽 2 m. 题型4：设 1+x = t，则 t² = 2.25 → t = ±1.5.t = 1.5 得 x = 0.5 = 50%；t = −1.5 得 x = −2.5（舍去）.答：50%. 题型5：分段.P 在 AB（0≤t≤6）：S = ½·t·8 = 4t = 12 → t = 3，有效.P 在 BC（6<t≤14）：S 恒为 24 ≠ 12，无解.P 在 CD（14<t≤20）：S = ½·(20−t)·8 = 4(20−t) = 12 → t = 17，有效.答：3 秒或 17 秒后. 题型6：设平均年增长率为 x.50(1+x)² = 72 → (1+x)² = 1.44 → 1+x = ±1.2 → x₁ = 20%，x₂ = −2.2（舍去）.答：平均年增长率 20%. 九、方法总结（一页回顾） 三类模型一句话：增长率用 a(1±x)²=b；几何用“平移法”化矩形；动点用 t 表示线段、面积列方程. 解题七步不能跳：审题→设元→找等量关系→列方程→求解→检验→作答. 检验是生命线：负根、超范围根、超出运动时段的根，一律舍去. 动点必画图：先固定 t，在图上标动点，再写含 t 的线段与面积. 十、本讲要点回顾 □ 我能写出平均增长率的基本公式 a(1±x)² = b，并说明各字母含义. □ 我会用平移法把“修路/留边框”问题转化为矩形面积方程. □ 遇到动点问题，我会设时间 t、画示意图、用 t 表示线段并列方程. □ 解出两个根时，我会结合实际问题检验并舍去不合题意的根. □ 我能区分三类模型，并选择恰当的解法求解一元二次方程. — 讲义完 — 学科网（北京）股份有限公司 $