第十七章 因式分解（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学因式分解单元知识清单系统梳理了因式分解的概念、四大基本方法、一般步骤及五大应用场景，构建了从“概念辨析”到“方法实操”再到“综合应用”的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类突破”和“口诀化步骤记忆”呈现知识体系，如将“提公因式法”明确为基础首选方法，用“一提二套三叉四分组”口诀强化步骤，培养学生的抽象能力与推理意识。设计“方法适用条件表”和“应用场景示例”，如十字相乘法专用于二次三项式，几何问题中通过分解面积多项式求边长，助力不同学生高效掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

第十七章 因式分解 知识点一 因式分解的概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 1. 核心判定要点（区分整式乘法与因式分解） · 左边：必须是_______________（多个单项式相加/相减）； · 右边：若干个整式___________（整式包含单项式、多项式，不能出现分式、分母含字母）； · 变形关系：因式分解 整式乘法（二者互为逆运算） 例：整式乘法： 因式分解： 1. 分解终极要求 分解要彻底：结果中每一个因式都不能再继续分解为止（有理数范围内）。 知识点二 因式分解的基本方法 方法1：提公因式法（最基础首选方法） 1. 公因式确定三要素：系数取各项系数___________；相同字母取最_____次幂；整体相同多项式视作整体字母 1. 公式： 1. 注意：首项为负时，统一提取__________，括号内各项__________ 方法2：公式法（套用乘法公式逆变形） 1. 平方差公式： 适用：两项、平方形式、符号一正一负 1. 完全平方公式 适用：三项式，首尾平方，中间项为两底数乘积2倍 方法3：十字相乘法（二次三项式专用） 1. 基础型： 满足 ， 1. 进阶型： 拆分二次项系数、常数项，交叉相乘求和等于一次项系数 方法4：分组分解法（四项及以上多项式） 适用：无法直接提公因式、套公式，分组后可分别分解，整体再提公因式 分类：两两分组、一三一分组 知识点三 因式分解的一般步骤（口诀：一提、二套、三叉、四分组） 1. 一提：优先查看多项式各项是否有__________，有公因式必先全部提出； 1. 二套：提取公因式后，剩余多项式判断项数套用公式： · 两项 _______________公式 · 三项 _______________公式/十字相乘法 1. 三叉：二次三项式无法套完全平方，用十字相乘法分解； 1. 四分组：四项及以上多项式，选用分组分解法拆分后再分解； 1. 最终检验两步 ① 检查每个因式能否继续分解，务必分解彻底； ② 展开因式乘积，核对是否与原式一致，避免变形错误。 知识点四 因式分解的应用 1. 简便有理数计算 提取公因数、套用平方差/完全平方公式简化大数运算，无需硬算； 例： 1. 代数式化简、求值 对多项式因式分解后代入数值计算，大幅降低计算难度； 1. 判断代数式正负、最值 通过完全平方配方，利用平方非负性判断式子取值范围； 1. 解方程（一元二次方程） 将方程左侧因式分解，转化为两个一次因式乘积=0，快速求方程的根； 1. 几何应用题 计算图形面积拼接、边长推导，拆分面积多项式进行因式分解求解边长。 易错点1 已知因式分解的结果求参数 易错提醒 易错点总结 1. 不懂得利用多项式恒等，对应各项系数相等列方程求解，随意代值计算； 2. 展开整式乘积时一次项、常数项符号、数值计算失误； 3. 多个参数题目所列方程数量不足，出现漏解； 4. 忽略因式分解结果必须是整式乘积的要求； 5. 算出参数后不回代验证，答案不符合原式。 注意事项总结 1. 标准步骤：展开因式乘积 → 左右两边二次项、一次项、常数项逐一对应 → 列方程组求解； 2. 几项含未知系数就列出几个等式； 3. 求出参数务必代入原式验算，保证两边完全一致。 【对点训练】1．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 易错点2 综合提公因式和公式法分解因式 易错提醒 易错点总结 1. 跳过提取公因式，直接套用平方差、完全平方公式； 2. 公因式找寻不全，遗漏数字系数、字母、负号以及整体多项式因式； 3. 混淆平方差与完全平方公式结构，套用错误； 4. 分解半途终止，剩余因式仍可继续分解，分解不彻底； 5. 多项式首项为负时，未先提取负号，造成后续符号出错。 注意事项总结 1. 固定顺序：先提公因式，再套用乘法公式； 2. 首项系数为负，最先提取负号，保证括号内首项为正数； 3. 两项异号平方结构用平方差，三项首尾平方、中间两倍乘积用完全平方； 4. 最终要分解至每一个因式都不能再分解为止。 【对点训练】2．因式分解： (1)； (2)． 易错点3 十字相乘法因式分解 易错提醒 易错点总结 1. 拆分常数项时正负搭配混乱，交叉相乘之和无法匹配原式一次项； 2. 二次项系数不为1时，盲目拆分系数，凑不出正确组合； 3. 常数项为负数依旧拆成同号两数，符号规则记错； 4. 分解完毕不验算，结果出错； 5. 未提前提取公因式就直接十字相乘，式子繁琐极易算错。 注意事项总结 1. 先用提公因式化简原式，再使用十字相乘法； 2. 符号口诀：常数项正，两因数同号，符号跟随一次项；常数项负，两因数一正一负； 3. 二次项系数大于1，两端系数同时拆分，多次试凑； 4. 分解后口算交叉相乘求和，核对是否等于原式一次项。 【对点训练】3．利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 易错点4 分组分解法因式分解 易错提醒 易错点总结 1. 随意分组，分组后两组没有公共因式，无法继续分解； 2. 添加括号时，括号前是负号，括号内各项变号不完整； 3. 只会二二分组，不会三一分组应对三项凑平方+平方差题型； 4. 提取公共整体因式后不再继续分解，化简不到终点。 注意事项总结 1. 分组原则：分组后可提取公因式或者运用公式分解； 2. 常用两类分组：四项式子多用二二分组；五项、六项适合三一分组； 3. 添括号严格遵循变号规则； 4. 每一步分解后检查剩余因式能否再次分解。 【对点训练】4．阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 易错点5 因式分解的应用 易错提醒 易错点总结 1. 大数简便运算不先因式分解，直接硬算，计算量大易出错； 2. 代数式求值执意单独求出字母数值，不会整体代入； 3. 判断代数式正负、最值不会配方，无法利用平方非负性解题； 4. 几何面积题型不会借助因式分解化简边长关系； 5. 颠倒运算方向，把因式分解做成整式乘法展开。 注意事项总结 1. 简便计算优先变形为平方差、完全平方形式简化运算； 2. 求值题整体代换为主，不用逐个求解未知数； 3. 判断正负将式子配方成平方相加形式； 4. 牢记核心方向：多项式化成几个整式相乘的形式，禁止逆向展开。 【对点训练】5．观察下列等式： ；；，…． 小聪猜想：若一个数是4的倍数，则比这个数大5的数与该数的平方差能被5整除． (1)计算的结果，并判断它是否是5的倍数； (2)设这个数为（m为正整数），试说明能被5整除． 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 3．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 4．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 5．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．24 二、填空题 6．计算：_____ ． 7．如图，为宣城市某校七年级（1）、（2）班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示七（1）、（2）两个班级的基地面积．若，，则________． 8．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 9．若是多项式的一个因式，则的值为_____________． 三、解答题 10．因式分解： (1)． (2)． 11．材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 12．【综合应用】 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：． 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式：； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 13．阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 14．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 15．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 知识点一 因式分解的概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 1. 核心判定要点（区分整式乘法与因式分解） · 左边：必须是多项式（多个单项式相加/相减）； · 右边：若干个整式相乘（整式包含单项式、多项式，不能出现分式、分母含字母）； · 变形关系：因式分解 整式乘法（二者互为逆运算） 例：整式乘法： 因式分解： 1. 分解终极要求 分解要彻底：结果中每一个因式都不能再继续分解为止（有理数范围内）。 知识点二 因式分解的基本方法 方法1：提公因式法（最基础首选方法） 1. 公因式确定三要素：系数取各项系数最大公约数；相同字母取最低次幂；整体相同多项式视作整体字母 1. 公式： 1. 注意：首项为负时，统一提取负号，括号内各项变号 方法2：公式法（套用乘法公式逆变形） 1. 平方差公式： 适用：两项、平方形式、符号一正一负 1. 完全平方公式 适用：三项式，首尾平方，中间项为两底数乘积2倍 方法3：十字相乘法（二次三项式专用） 1. 基础型： 满足 ， 1. 进阶型： 拆分二次项系数、常数项，交叉相乘求和等于一次项系数 方法4：分组分解法（四项及以上多项式） 适用：无法直接提公因式、套公式，分组后可分别分解，整体再提公因式 分类：两两分组、一三一分组 知识点三 因式分解的一般步骤（口诀：一提、二套、三叉、四分组） 1. 一提：优先查看多项式各项是否有公因式，有公因式必先全部提出； 1. 二套：提取公因式后，剩余多项式判断项数套用公式： · 两项 平方差公式 · 三项 完全平方公式/十字相乘法 1. 三叉：二次三项式无法套完全平方，用十字相乘法分解； 1. 四分组：四项及以上多项式，选用分组分解法拆分后再分解； 1. 最终检验两步 ① 检查每个因式能否继续分解，务必分解彻底； ② 展开因式乘积，核对是否与原式一致，避免变形错误。 知识点四 因式分解的应用 1. 简便有理数计算 提取公因数、套用平方差/完全平方公式简化大数运算，无需硬算； 例： 1. 代数式化简、求值 对多项式因式分解后代入数值计算，大幅降低计算难度； 1. 判断代数式正负、最值 通过完全平方配方，利用平方非负性判断式子取值范围； 1. 解方程（一元二次方程） 将方程左侧因式分解，转化为两个一次因式乘积=0，快速求方程的根； 1. 几何应用题 计算图形面积拼接、边长推导，拆分面积多项式进行因式分解求解边长。 易错点1 已知因式分解的结果求参数 易错提醒 易错点总结 1. 不懂得利用多项式恒等，对应各项系数相等列方程求解，随意代值计算； 2. 展开整式乘积时一次项、常数项符号、数值计算失误； 3. 多个参数题目所列方程数量不足，出现漏解； 4. 忽略因式分解结果必须是整式乘积的要求； 5. 算出参数后不回代验证，答案不符合原式。 注意事项总结 1. 标准步骤：展开因式乘积 → 左右两边二次项、一次项、常数项逐一对应 → 列方程组求解； 2. 几项含未知系数就列出几个等式； 3. 求出参数务必代入原式验算，保证两边完全一致。 【对点训练】1．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 易错点2 综合提公因式和公式法分解因式 易错提醒 易错点总结 1. 跳过提取公因式，直接套用平方差、完全平方公式； 2. 公因式找寻不全，遗漏数字系数、字母、负号以及整体多项式因式； 3. 混淆平方差与完全平方公式结构，套用错误； 4. 分解半途终止，剩余因式仍可继续分解，分解不彻底； 5. 多项式首项为负时，未先提取负号，造成后续符号出错。 注意事项总结 1. 固定顺序：先提公因式，再套用乘法公式； 2. 首项系数为负，最先提取负号，保证括号内首项为正数； 3. 两项异号平方结构用平方差，三项首尾平方、中间两倍乘积用完全平方； 4. 最终要分解至每一个因式都不能再分解为止。 【对点训练】2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先对原式变形提取公因式，再用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 易错点3 十字相乘法因式分解 易错提醒 易错点总结 1. 拆分常数项时正负搭配混乱，交叉相乘之和无法匹配原式一次项； 2. 二次项系数不为1时，盲目拆分系数，凑不出正确组合； 3. 常数项为负数依旧拆成同号两数，符号规则记错； 4. 分解完毕不验算，结果出错； 5. 未提前提取公因式就直接十字相乘，式子繁琐极易算错。 注意事项总结 1. 先用提公因式化简原式，再使用十字相乘法； 2. 符号口诀：常数项正，两因数同号，符号跟随一次项；常数项负，两因数一正一负； 3. 二次项系数大于1，两端系数同时拆分，多次试凑； 4. 分解后口算交叉相乘求和，核对是否等于原式一次项。 【对点训练】3．利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 易错点4 分组分解法因式分解 易错提醒 易错点总结 1. 随意分组，分组后两组没有公共因式，无法继续分解； 2. 添加括号时，括号前是负号，括号内各项变号不完整； 3. 只会二二分组，不会三一分组应对三项凑平方+平方差题型； 4. 提取公共整体因式后不再继续分解，化简不到终点。 注意事项总结 1. 分组原则：分组后可提取公因式或者运用公式分解； 2. 常用两类分组：四项式子多用二二分组；五项、六项适合三一分组； 3. 添括号严格遵循变号规则； 4. 每一步分解后检查剩余因式能否再次分解。 【对点训练】4．阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：是等腰三角形；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法把分解因式，再代入已知条件计算即可； （3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）解： . （2）解：∵，， ∴ . （3）解：略． 易错点5 因式分解的应用 易错提醒 易错点总结 1. 大数简便运算不先因式分解，直接硬算，计算量大易出错； 2. 代数式求值执意单独求出字母数值，不会整体代入； 3. 判断代数式正负、最值不会配方，无法利用平方非负性解题； 4. 几何面积题型不会借助因式分解化简边长关系； 5. 颠倒运算方向，把因式分解做成整式乘法展开。 注意事项总结 1. 简便计算优先变形为平方差、完全平方形式简化运算； 2. 求值题整体代换为主，不用逐个求解未知数； 3. 判断正负将式子配方成平方相加形式； 4. 牢记核心方向：多项式化成几个整式相乘的形式，禁止逆向展开。 【对点训练】5．观察下列等式： ；；，…． 小聪猜想：若一个数是4的倍数，则比这个数大5的数与该数的平方差能被5整除． (1)计算的结果，并判断它是否是5的倍数； (2)设这个数为（m为正整数），试说明能被5整除． 【答案】(1)计算结果为，它是的倍数． (2)解： ， 是正整数，是整数 是的整数倍，即能被整除． 【分析】（1）利用因式分解计算出结果，再判断能否被5整除即可； （2）利用因式分解把原式变形为，进而可得出结论． 【详解】（1）解：， ∵， ∴它是5的倍数； （2）略． 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．从左到右属于整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．展开得，变形错误，不符合题意； C．，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，属于因式分解，符合题意； D．右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意． 2．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 3．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 4．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 5．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】C 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 二、填空题 6．计算：_____ ． 【答案】 【详解】解 ． 7．如图，为宣城市某校七年级（1）、（2）班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示七（1）、（2）两个班级的基地面积．若，，则________． 【答案】39 【分析】根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ． ． ∴ ， 又． ． 8．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 9．若是多项式的一个因式，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据因式的定义，若是多项式的因式，则当时，多项式的值为，将代入多项式，整理即可得到的值． 【详解】解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，． 将代入得：． 整理得：． 等式两边同时除以得：． 即． 三、解答题 10．因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 11．材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 12．【综合应用】 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：． 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式：； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：该式子的值不能大于，理由如下： ， 是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ； 即的值不能大于0； (3) 解：是等边三角形，理由如下： ， ∴， ∴， ， ，，， ，，， ， 是的三条边长， 是等边三角形. 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）先对原式因式分解，再根据三角形三边关系判断两个因式的符号，进而得到原式的符号； （3）将等式变形后分组凑完全平方，利用平方的非负性得到三边相等，即可判断三角形形状. 【详解】（1）解： ； （2）略 （3）略 13．阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“m”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 14．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 15．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $