18.1.1 从分数到分式-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

18 第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 重点和难点 课标要求 1.了解分式的意义，知道分式与整式的区别和联系. 重点：分式的意义，分式有意义的含义 2.理解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有 难点：分式值为0时分子、分母应具备 意义时字母所满足的条件 的条件，会求出分式为0时相应字母所满 3.理解分式值为0时分子、分母应具备的条件，会求出分式 足的条件. 为0时相应字母所满足的条件. 01一必备知识梳理。 知识点1正确理解分式的概念 例如代数武货异·号2 21x+1 般地，如果A,B表示两个整式，并且B 中，属于分式的有( 中含有字每，那么式子合叫作分式A叫作分 A.2个 B.3个 子，B叫作分母. C.4个 D.5个 特别提醒 部析夫中为分式的有，为共 (1)分式可以理解为两个整式相除的商，其中 3个. 分母是除式，分子是被除式，分数线既起除号的作 答案B 用，又兼有括号的功能.如： 总结判断一个式子是否为分式的关键 3x2-4x+1=(5x-2)÷(3x2-4x+1D. 5x-2 点：①式子中必须有分母；②分母中必须含有 (2)分式的分母必须含有字母，而对分子不作 字母，注意字母π为圆周率的专用数学符号， 3 是常数 要求，即分子可含字母，也可不含字母.知2x一是 易错点误将分式化简后再判断 分式，62是基式，票是娄式 元 例在代数式，士1x-5, 2 3 (3)符合定义的式子是分式，但分式不仅仅只 c 有这一种类型，如繁分式 c,中，分式的个数为 a十b'3π'x (4)分式的概念可类比分数的概念，形式上分 A.2 B.3 C.4 D.5 式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分 错解A 式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母， 错因 这是分式的一个重要标志. 漏选了二不能先化简再判断， 102 第十八章分式收超 是分式，不能直接化简为x,因为两式取值范 反之，若会-0，则A=0且B≠0， 围不同. 1 c 正解 22 其中，B≠0是分式号有意义的条件 其中为分式的有中1'a十b'元， 共3个 例园若分式十的值为0，则工应满足 的条件是( 知识点2分式有意义应满足的条件 A.x=-1 B.x≠-1 在分式骨中，当分母B≠0时，分式异有意义 C.x=士1 D.x=1 解析直接利用分式的值为0的条件，有x 例回若3有意义，则x的取值范围是 +1≠0且x2-1=0. ) 答案D A.x>3 B.x<3 总结正确理解分式值为0时分子、分母应 C.x≠一3 D.x≠3 具备的条件 解析直接利用分式有意义的条件即分母 易错点混淆分式无意义与分式值为0的条件 不为0. 例当m= 时，分式m2-9 m2-5m+6 答案D 的值为0. 总结(1)分式有意义，分母不为0；分式无 错解依题意得m2一9=0，故m=士3. 意义，分母为0，与分子无关 错因有的同学常把分式无意义与分式 (2)分母不为0，并不是说分母中的字母不 值为0混为一谈.实际上，分式无意义可看作 能为0，而是表示分母的整式的值不能为0，二 分式不存在，即只有分母为0时，分式才不存 者不能混淆。 在，无意义；而分式值为0是在分式存在，即 知识点3分式的值为0应满足的条件 分母不为0的前提下，因分子为0而导致分 要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： 式为0. (1)分母的值不为0： m2-9=0, 正解 (2)分子的值为0. 依题意得 m2-5m+6≠0， 即若A=0且B≠0，则哈=0， ∴.m=-3. 02关键能力提升。一 题型1判断分式有无意义时的“且” 分式君无意义的条件为B=0, 与“或” 其中，若B=CXD, 分式君有意义的条件为B≠0： 则B≠0的条件为C≠0且D≠0， B=0的条件为C=0或D=0. 103 重难点手册人年级数学上册划 例④已知分式 5x-2 3z2-4x十1，求： ③若会的值为1，测A=B且B≠0 (1)当x为何值时，此分式有意义？ @若含的值为-1，则A+B=0且B≠0. (2)当x为何值时，此分式无意义？ 解析 5x-2 5x-2 例同当x取何值时，分式，： 3x2-4x+1(3.x-1)(x-1) (1)为正值； ①当(3x-D(x1D≠0，即x≠具 (2)为负值. x≠1时，分式有意义. 解析(1)2>0→ 2x-1>0,或 1-x 1-x>0 (2)当(3x-1)(x-1)=0,即x 3 /2x-1<0, x=1时，分式无意义. 1-x<0. 总结分式的分母3x2一4x十1=(3x一1)· 、1 |2x-1>0, 依 即 (x一1)，当分母为0时，x有多个值.当分式有 1-x>0, x<1, 意义时，x不能取诸值中的任何一个，故用 1 “且”；当分式无意义时，x只需取诸值中的任何 2x-1<0, 依 即 一个，故用“或” 1-x<0, x<2'此不等式组无解。 x>1, 8 ◆变式1若无论x取何值，分式x2十4x十m 故当1时，分式为正值 总有意义，求m的取值范围. 220→-220 。12x-1<0,.2x-1>0, 1-x 或 ◆变式2已知分式号当x=-2时， 1-x<0, 分式的值为0；当x=一1时，分式无意义.试求 解得x<或x>1. ab的值. 故音&1时分式为负位 题型2分式取正值或负值的判断 总结分式值为正，分子、分母同号；分式 A 1.先将分式整理为合的形式，根据除法法 值为负，分子、分母异号.均有两种情况： 则可知，当A,B的取值同号时，原式值为正； ◆变式3已知m会当0取何值时： 当A,B的取值异号时，原式值为负.两种情况 (1)m>0;(2)m<0;(3)m=0. 不能遗漏 题型3简单分式的条件求值 A中： 2.在分式 特别提醒 分式的求值即代数式的求值，一般有以下两种 ①若合>0，则A,B同号，即 A>0, 或 基本方法： B>0 (1)分别代入字母的取值计算. A<0, (2)整体代入计算，有些特殊分式可以整体约 B<0. 分求值.解题时应视具体情况区别对待. ②若君0，则AB异号，即 <0,.A0, 或 -0B<0. 例B已知x=4,=7且xy<0,则 104 第十八章分式么 工的值为 .工的值为一8 y 解折x=4,y1=分，且xy<0知， 答案一8. 总结方法一依xy<0进行分类讨论. [x=4, （x=-4, =-1或1 有 两种情况. 方法三南0加号=号引8， 2y=2 此法可避免分类讨论 当x=4,y= 时，=一81 1 y ◆变式4已知x求分式+ 1 当x=-40y=2时，子=-8， y 的值 口03热点老向聚焦。 考向1讨论分式有无意义的条件 考向2给定分式值求未知数的值 例7(2024·湖北武汉江汉区期末)对于 分式会当x=-2时，分式无意义，当工=4 例图(2024·古株中考)当分式的值 为正数时，写出一个满足条件的x的值： 时，分式值为0，求a十b的值. 解析，当x=一2时，分式无意义， ∴.-2十a=0. 解析“分式十7的值为正教。 ∴.a=2. .x十1>0. .当x=4时，分式值为0， ∴.4-b=0. .x>-1. ∴.b=4. ∴.满足题意的x的值可以为0. ∴.a+b=2+4=6. 答案0（答案不唯一）. 105