第十六章 整式的乘法（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“整式的乘法”单元内容，涵盖幂的运算性质、整式乘法三大类型、两大核心乘法公式及整式除法等知识范畴，搭建了从基础运算规则到综合应用的递进式学习支架。 清单通过分类分级呈现知识体系，如幂的运算性质按公式前提、法则、举例分层，乘法公式标注“必考”并附变形技巧，培养学生运算能力与推理意识。特别设计“易错点总结”专栏，如“符号频繁出错”“幂的运算法则混用”等分类及“完全平方公式口诀”，不同学生可高效突破难点，教师能据此设计针对性教学，提升课堂实效。

第十六章 整式的乘法 知识点一 幂的运算性质（整式乘除基础，， 均为正整数） 所有公式前提：底数不为0，区分指数运算规则，严禁混用 1. 同底数幂相乘 · 公式： · 法则：底数不变，指数相加 · 举例：； 1. 幂的乘方 · 公式： · 法则：底数不变，指数相乘 · 举例：； 1. 积的乘方 · 公式：，拓展： · 法则：积中每个因式分别乘方，再把幂相乘 · 举例： 1. 同底数幂相除 · 公式： · 法则：底数不变，指数相减 1. 零指数幂 · ；非零数的0次幂等于1， 无意义 1. 负整数指数幂（拓展） · 易错提醒： 相乘指数加、乘方指数乘；负数乘方，指数偶数结果为正，指数奇数结果为负。 知识点二 整式乘法三大类型 类型1：单项式 × 单项式 运算步骤： 1. 系数相乘作积的系数； 2. 同底数幂依照幂的乘法法则运算； 3. 独有字母连同指数直接保留在积中。 类型2：单项式 × 多项式 · 依据： 乘法分配律 · 公式： · 法则： 用单项式去乘多项式里每一项，再把所有积相加 · 注意： 多项式每一项都要乘到，切勿漏项，留意符号 类型3：多项式 × 多项式 · 公式： · 法则： 先用第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，展开后合并同类项 · 易错： 展开时容易漏乘某一项，正负号极易出错 知识点三 两大核心乘法公式（必考简便运算公式） 1. 平方差公式 · 标准形式： · 文字表述： 两数之和乘两数之差，等于这两个数的平方差 · 适用条件： 两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 · 变形： （逆向用于因式分解） 2. 完全平方公式 ① 和的完全平方： ② 差的完全平方： · 口诀： 首平方，尾平方，乘积二倍放中央，符号跟随中间项 · 常用拓展变形： · · · · 易错点： 经常遗漏 中间项 知识点四 整式的除法 1. 单项式 ÷ 单项式 法则： 1. 系数相除； 2. 同底数幂分别相除，指数相减； 3. 只在被除式里含有的字母，连同指数直接作为商的因式。 例题： 2. 多项式 ÷ 单项式 · 公式： · 法则： 多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加 · 易错： 每一项都要除以单项式，常数项不可遗漏 易错点1 整式的混合运算 易错提醒 易错点总结 1. 运算顺序混乱：颠倒乘方、乘除、加减先后顺序，优先算了加减，后算乘方乘除；有括号忘记先算括号内部。 2. 符号频繁出错：负号、负数乘方、单项式去括号时，括号前是负因数，括号内各项变号不彻底。 3. 幂的运算法则混用：同底数幂加减误套指数相加法则；幂的乘方、积的乘方公式记混。 4. 计算末尾遗漏合并同类项，式子没有化到最简形式，步骤残缺扣分。 5. 零指数幂忽略限制条件：随意计算，底数为0时套用。 注意事项总结 1. 严格遵循运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里。 2. 去括号口诀：正号去括号不变号，负号去括号每一项都要变号；负数乘方分清奇偶次符号。 3. 牢记幂运算适用范围：只有同底数幂相乘、相除才能加减指数；幂的加减不能合并指数。 4. 运算结束必须检查：合并所有同类项，结果化为最简整式。 5. 成立前提：a≠0，底数为0时零次幂无意义。 【对点训练】1．化简并求值，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时，原式 易错点2 多项式乘法中的规律性问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从前几组算式提炼通用代数式规律，只会单纯计算数值，找不到通项公式。 2. 展开多个多项式相乘时漏项、重复相乘，项数统计错误。 3. 正负交替数列符号规律判断失误，奇数项、偶数项符号写反。 4. 求出规律后，代入指定项数计算时，指数、次数对应错位。 5. 无法利用平方差连续相乘简化一串多项式乘积，硬算过程繁琐极易算错。 注意事项总结 1. 找规律三步走：计算前3组结果→拆分数字结构→用含 n 的式子写出通用规律。 2. 多项式相乘牢记不重不漏，项数=两个多项式项数之积，做完核对项数。 3. 正负交替规律：常用或控制符号，区分奇偶项。 4. 连续相乘式子优先拼凑平方差公式简化运算，避免逐次硬算。 5. 最后代入数值时，核对序号与代数式完全对应，不要偏移次数。 【对点训练】2．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 易错点3 通过对乘法公式变形求值 易错提醒 易错点总结 1. 完全平方公式基础变形记不牢，已知,，无法求,。 2. 做题只会正向套用公式，逆向变形运用生疏，不会拆分、拼凑完全平方式。 3. 整体代入求值时，括号添加错误，符号出错。 4. 忽略，纠结两数大小，没必要分类讨论却反复计算。 5. 多个式子联立求值时，等量代换混乱，计算数值偏差。 注意事项总结 1. 熟记三大核心恒等变形（必考）： 2. 求值题优先整体代入，不单独求出字母具体数值，简化计算量。 3. 平方数恒为非负数，与永远相等，无需区分大小。 4. 做题先观察所求式子结构，主动凑出完全平方、平方差形式再计算。 【对点训练】3．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： (1)________________________． 初步尝试： (2)已知，，求的值． 迁移应用： (3)已知，求的值． 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方差公式直接展开变形，将单独放等式一侧即可得到恒等变形式； （2）利用（1）推导的恒等式，直接代入已知数值计算； （3）设,，先求的值，再套用恒等式求解． 【详解】（1）解：由完全平方差展开： ， 等式移项，把移到左边： ． （2）解：由变形公式： ， 把，代入： ， ． （3）解：令，, ， 已知，由完全平方变形，代入： ． 易错点4 乘法公式在几何图形中的应用 易错提醒 易错点总结 1. 无法根据正方形、长方形面积等式，对应写出乘法公式，数形结合脱节。 2. 图形拼接、割补后，边长标注错误，面积等量关系式列写错误。 3. 阴影面积计算：大面积减小面积时分不清图形边界，列式出错。 4. 完全平方几何背景中，漏掉小正方形、小长方形区域，等量关系不完整。 5. 利用图形验证公式时，左右两边代数式无法统一化简。 注意事项总结 1. 核心思路：同一个图形面积，用两种不同代数式表示，建立等式。 2. 大正方形边长、分割后的小矩形边长逐一标注清楚，再写面积表达式。 3. 阴影面积通用方法：整体图形面积 − 空白部分总面积。 4. 大正方形分割四块（两个长方形+两个小正方形），严格对应完全平方公式结构。 5. 写完等式后左右两边化简，验证公式相等。 【对点训练】4．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； (2)在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 (3)若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 (4)如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)13 (3)10 (4) 【分析】（1）根据对图形面积的两种计算方式可解题目； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，，根据进行计算即可； （4）设米，米，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积等于边长的平方，也等于里面四个图形的面积和，则得： ； （2）解：，而，， ∴， ，， ； （3）解：设，，则，， ， ， ， 即； （4）解：设米，米，由题意得，米，平方米， 即，， ， ， ， 种草区域的面积和（平方米）． 易错点5 以整式的混合运算为背景的新定义问题 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂题目自定义新运算符号，擅自套用加减乘除原有运算法则，曲解题意。 2. 代入数字、字母对应位置错乱，把前后数字顺序颠倒计算。 3. 多层嵌套新运算，不会分步计算，直接整体化简导致逻辑错误。 4. 结合乘法公式化简时，去括号、合并同类项符号出错。 5. 最后求解参数取值时，忘记回看题干附加限制条件。 注意事项总结 1. 严格依照题目给出的运算规则计算，不凭借固有经验自创公式。 2. 找准新定义中前后两个数对应的位置，依次代入，顺序不可调换。 3. 多层运算遵循：先算内层新运算，再算外层，分步书写步骤。 4. 化简过程规范运用幂运算、乘法公式，每一步核对符号。 5. 算出结果或参数后，带回题干条件检验，舍去不符合要求的答案。 【对点训练】5．现定义一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d规定．例如：．请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为a，b，若，，求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面积和)． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； （2）解：， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）解：， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和 一、单选题 1．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可知，只需将代数式中的替换为、替换为，再结合完全平方公式展开并合并同类项，即可完成化简． 【详解】解：新运算定义为， ， 展开并合并同类项得． 故选：． 2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】由题意知，对于，当令时，的结果即为展开式中所有项的系数和，所以取代入计算即可． 【详解】解：当时， ∴展开式中所有项的系数和是． 3．将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等列出等式即可． 【详解】解：由图可得，图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ． 4．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 【答案】D 【详解】解：设重叠部分的长和宽分别为、， 由题意得，， 又长方形与重叠部分面积之差为， ， 整理得， ， ， ，即重叠部分周长为，为定值，即D选项符合题意， 长方形的面积为， 、非定值， 非定值， 长方形的面积非定值，即A选项不符合题意； 长方形的周长为， 长方形的周长非定值，即B选项不符合题意； 由于，故、有多种取值的可能，如：，，；，，；故的值非定值，即C选项不符合题意． 5．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题 6．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 7．若实数满足，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 9．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 【答案】 【分析】根据规律可得，根据乘方的计算规律可得的个位数是，的个位数是． 【详解】解： ， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， ，个位数是， 每次运算一个循环， ， 的个位数是， 的个位数是． 三、解答题 10．先化简再求值：，其中 ， 【答案】 ， 【详解】解： ； 当，时，原式. 11．定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】(1) (2)证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义， 是“平方和式”； (3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下： ，是“平方和式”， 可设，，其中、、、都是整式， 则 、、、都是整式， 和均为整式， 因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”． 【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和； （2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和； （3）设出，的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义． 【详解】（1）解：逐个验证三个整式： 为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， ，和均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”， ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”， 故符合要求的是； （2）略 （3）略 12．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)①45；② 【分析】（1）边长为的大正方形，整体面积为；将其分割为9个小长方形，各部分面积和为．由面积相等可得等式； （2）①由公式变形得，将，代入计算解；②先将等式全部化为以2为底的幂，由同底数幂乘除法则得，即，再利用（1）的公式代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，图2的大正方形的边长为， ∴其面积为， 又∵该大图形面积可分为9个小长方形的面积， ∴ ； （2）解：①由（1）可得， ； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ， ∴ 解得． 13．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【答案】(1)6，5； (2)见解析 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为： ∴当时，解得： ∴ 故答案为：，； 由表格可得：的倍数的规律为： 故答案为：． （2）解：②若均为奇数， 设，其中均为自然数． ∴ ． ∵为的倍数，而不是的倍数，矛盾， ∴不可能均为奇数． 14．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 15．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式规律直接得到答案； （2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律写出第n个等式： （2）解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 知识点一 幂的运算性质（整式乘除基础，， 均为___________） 所有公式前提：底数不为_______，区分指数运算规则，严禁混用 1. 同底数幂相乘 · 公式： · 法则：底数不变，指数相加 · 举例：； 1. 幂的乘方 · 公式： · 法则：底数不变，指数相乘 · 举例：； 1. 积的乘方 · 公式：，拓展： · 法则：积中每个因式分别乘方，再把幂相乘 · 举例： 1. 同底数幂相除 · 公式： · 法则：底数不变，指数相减 1. 零指数幂 · ；非零数的0次幂等于1， 无意义 1. 负整数指数幂（拓展） · 易错提醒： 相乘指数加、乘方指数乘；负数乘方，指数偶数结果为正，指数奇数结果为负。 知识点二 整式乘法三大类型 类型1：单项式 × 单项式 运算步骤： 1. 系数相乘作积的系数； 2. 同底数幂依照幂的乘法法则运算； 3. 独有字母连同指数直接保留在积中。 类型2：单项式 × 多项式 · 依据： 乘法分配律 · 公式： · 法则： 用单项式去乘多项式里每一项，再把所有积相加 · 注意： 多项式每一项都要乘到，切勿漏项，留意符号 类型3：多项式 × 多项式 · 公式： · 法则： 先用第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，展开后合并同类项 · 易错： 展开时容易漏乘某一项，正负号极易出错 知识点三 两大核心乘法公式（必考简便运算公式） 1. 平方差公式 · 标准形式： · 文字表述： 两数之和乘两数之差，等于这两个数的平方差 · 适用条件： 两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 · 变形： （逆向用于因式分解） 2. 完全平方公式 ① 和的完全平方： ② 差的完全平方： · 口诀： 首平方，尾平方，乘积二倍放中央，符号跟随中间项 · 常用拓展变形： · · · · 易错点： 经常遗漏 中间项 知识点四 整式的除法 1. 单项式 ÷ 单项式 法则： 1. 系数相除； 2. 同底数幂分别相除，指数相减； 3. 只在被除式里含有的字母，连同指数直接作为商的因式。 例题： 2. 多项式 ÷ 单项式 · 公式： · 法则： 多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加 · 易错： 每一项都要除以单项式，常数项不可遗漏 易错点1 整式的混合运算 易错提醒 易错点总结 1. 运算顺序混乱：颠倒乘方、乘除、加减先后顺序，优先算了加减，后算乘方乘除；有括号忘记先算括号内部。 2. 符号频繁出错：负号、负数乘方、单项式去括号时，括号前是负因数，括号内各项变号不彻底。 3. 幂的运算法则混用：同底数幂加减误套指数相加法则；幂的乘方、积的乘方公式记混。 4. 计算末尾遗漏合并同类项，式子没有化到最简形式，步骤残缺扣分。 5. 零指数幂忽略限制条件：随意计算，底数为0时套用。 注意事项总结 1. 严格遵循运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里。 2. 去括号口诀：正号去括号不变号，负号去括号每一项都要变号；负数乘方分清奇偶次符号。 3. 牢记幂运算适用范围：只有同底数幂相乘、相除才能加减指数；幂的加减不能合并指数。 4. 运算结束必须检查：合并所有同类项，结果化为最简整式。 5. 成立前提：a≠0，底数为0时零次幂无意义。 【对点训练】1．化简并求值，其中，． 易错点2 多项式乘法中的规律性问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从前几组算式提炼通用代数式规律，只会单纯计算数值，找不到通项公式。 2. 展开多个多项式相乘时漏项、重复相乘，项数统计错误。 3. 正负交替数列符号规律判断失误，奇数项、偶数项符号写反。 4. 求出规律后，代入指定项数计算时，指数、次数对应错位。 5. 无法利用平方差连续相乘简化一串多项式乘积，硬算过程繁琐极易算错。 注意事项总结 1. 找规律三步走：计算前3组结果→拆分数字结构→用含 n 的式子写出通用规律。 2. 多项式相乘牢记不重不漏，项数=两个多项式项数之积，做完核对项数。 3. 正负交替规律：常用或控制符号，区分奇偶项。 4. 连续相乘式子优先拼凑平方差公式简化运算，避免逐次硬算。 5. 最后代入数值时，核对序号与代数式完全对应，不要偏移次数。 【对点训练】2．观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 易错点3 通过对乘法公式变形求值 易错提醒 易错点总结 1. 完全平方公式基础变形记不牢，已知,，无法求,。 2. 做题只会正向套用公式，逆向变形运用生疏，不会拆分、拼凑完全平方式。 3. 整体代入求值时，括号添加错误，符号出错。 4. 忽略，纠结两数大小，没必要分类讨论却反复计算。 5. 多个式子联立求值时，等量代换混乱，计算数值偏差。 注意事项总结 1. 熟记三大核心恒等变形（必考）： 2. 求值题优先整体代入，不单独求出字母具体数值，简化计算量。 3. 平方数恒为非负数，与永远相等，无需区分大小。 4. 做题先观察所求式子结构，主动凑出完全平方、平方差形式再计算。 【对点训练】3．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： (1)________________________． 初步尝试： (2)已知，，求的值． 迁移应用： (3)已知，求的值． 易错点4 乘法公式在几何图形中的应用 易错提醒 易错点总结 1. 无法根据正方形、长方形面积等式，对应写出乘法公式，数形结合脱节。 2. 图形拼接、割补后，边长标注错误，面积等量关系式列写错误。 3. 阴影面积计算：大面积减小面积时分不清图形边界，列式出错。 4. 完全平方几何背景中，漏掉小正方形、小长方形区域，等量关系不完整。 5. 利用图形验证公式时，左右两边代数式无法统一化简。 注意事项总结 1. 核心思路：同一个图形面积，用两种不同代数式表示，建立等式。 2. 大正方形边长、分割后的小矩形边长逐一标注清楚，再写面积表达式。 3. 阴影面积通用方法：整体图形面积 − 空白部分总面积。 4. 大正方形分割四块（两个长方形+两个小正方形），严格对应完全平方公式结构。 5. 写完等式后左右两边化简，验证公式相等。 【对点训练】4．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可以推导出的乘法公式是 ； (2)在（1）中公式里，若，（，），求的值． 【类比探究】 (3)若满足，求的值．小度的想法是设，，那么求出的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 (4)如图②，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 易错点5 以整式的混合运算为背景的新定义问题 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂题目自定义新运算符号，擅自套用加减乘除原有运算法则，曲解题意。 2. 代入数字、字母对应位置错乱，把前后数字顺序颠倒计算。 3. 多层嵌套新运算，不会分步计算，直接整体化简导致逻辑错误。 4. 结合乘法公式化简时，去括号、合并同类项符号出错。 5. 最后求解参数取值时，忘记回看题干附加限制条件。 注意事项总结 1. 严格依照题目给出的运算规则计算，不凭借固有经验自创公式。 2. 找准新定义中前后两个数对应的位置，依次代入，顺序不可调换。 3. 多层运算遵循：先算内层新运算，再算外层，分步书写步骤。 4. 化简过程规范运用幂运算、乘法公式，每一步核对符号。 5. 算出结果或参数后，带回题干条件检验，舍去不符合要求的答案。 【对点训练】5．现定义一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d规定．例如：．请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为a，b，若，，求出阴影部分的面积． 一、单选题 1．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 4．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 5．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 7．若实数满足，则代数式的值为__________． 8．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 9．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字是________． 三、解答题 10．先化简再求值：，其中 ， 11．定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”． (1)在，，中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明是“平方和式”； (3)如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 12．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：______； (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，则的值为______； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 13．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 14．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    15．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据规律写出第n个等式：______； (2)根据规律计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $