第十八章 分式（五大考点+七大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学“分式”单元知识清单系统梳理了分式的概念性质、运算规则、整数指数幂、分式方程及实际应用，通过“基础知识点-典型易错点-分层练习题”的架构，搭建从概念理解到运算推理再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识点细分+易错点精析+题型训练”三级体系呈现知识，如将“分式方程”细分解法步骤与增根问题，7个易错点均配“错误总结+注意事项+对点训练”，培养数学思维与模型意识。例如“分式值为整数”易错点通过拆分整式法引导学生高效求解，教师可利用分层练习实施精准教学，助力学生自主突破重难点。

第十八章 分式 知识点一 分式的概念及基本性质 1. 分式概念 （1）定义：形如 （ 均为整式， 中含有字母，）的式子叫做分式； 为分子， 为分母。 （2）三类取值要求 ① 分式有意义：分母 ； ② 分式无意义：分母 ； ③ 分式值为0：分子 且 分母 ，二者缺一不可。 （3）区分整式与分式：关键看分母是否含字母，分母不含字母为整式，含字母为分式。 2. 分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式： 3. 衍生运用 · 约分：依据基本性质，约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）； · 通分：找各分母最简公分母，统一分母，用于分式加减运算； · 符号法则：，任意改变两处符号，分式值不变。 知识点二 分式的运算 1. 乘法法则 分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母： 计算前可先约分再相乘，简化运算。 2. 除法法则 除以一个分式等于乘它的倒数： 3. 乘方运算 分子、分母分别乘方： 4. 加减运算 （1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减： （2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再计算： 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。 知识点三 整数指数幂 1. 正整数指数幂基础公式 2. 零指数幂 任意非零数的0次幂等于1：； 无意义。 3. 负整数指数幂 4. 拓展应用 可用于极小数字用科学记数法表示：（）。 知识点四 分式方程定义及解法 1. 定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 解题完整步骤 ① 去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为整式方程； ② 解整式方程：求出整式方程的未知数解； ③ 检验（必不可少）：把解代入最简公分母 - 若公分母 ：是原分式方程的解； - 若公分母 ：该解是增根，原分式方程无解。 3. 增根含义 去分母过程中，整式方程的解让原分式分母为0，使原方程无意义，这个根就是增根。 知识点五 分式方程的实际应用 解题通用步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验（双重检验） → 作答 双重检验要求 1. 数学检验：检验是否为分式方程的根，排除增根； 1. 实际意义检验：结果要符合生活实际（人数、路程、速度、时间不能为负数，小数不合理情况舍去）。 常考题型 工程问题（工作总量、效率、时间）、行程问题（路程、速度、时间）、销售利润问题、工作量调配问题。 易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 只考虑分子分母同号/异号，漏掉分式分母≠0这个前提条件，最终取值范围包含让分母为0的无效数值； 2. 列不等式组时分情况讨论不全，只写一种符号搭配，遗漏另一组； 3. 不等式求解过程不等号方向出错； 4. 最终不会取两个不等式组解集的并集。 注意事项总结 1. 分式值大于0：分子分母同正或同负，列两组不等式组； 分式值小于0：分子分母一正一负，列两组不等式组； 2. 全程硬性约束：分母不等于0，最后解集必须剔除使分母为0的数； 3. 分别解完两组不等式，结果取并集。 【对点训练】1．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值 易错提醒 易错点总结 1. 不会变形拆分整式+真分式，直接盲目试数，效率低易漏解、多解； 2. 只考虑正约数，忘记负约数，整数解找不全； 3. 求出数值后，忘记检验分母不能等于0，带入无效根； 4. 约数列举杂乱，出现重复数字。 注意事项总结 1. 通用方法：将分式拆分，写成整式+分子为常数的分式形式； 2. 常数分子的所有正负约数全部列举，令分母等于每一个约数，算出未知数； 3. 每一个解都要验证：代入分母，分母≠0才符合要求； 4. 最后把所有有效整数从小到大整理。 【对点训练】2．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 易错点3 分式方程无解与增根问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆增根和无解：误以为增根=无解，忽略两种情况； 2. 找不出增根：不会依据最简公分母=0算出增根； 3. 含参数方程无解只算整式方程无解，漏掉整式方程有解但解全是增根的情况； 4. 把增根带入整式方程计算参数时符号计算错误。 注意事项总结 1. 增根定义：去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0，不是原方程的解； 2. 分式方程无解分两类： ① 去分母得到的整式方程本身无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根； 3. 步骤：先求增根→代入整式方程求参数；两类情况都要逐一讨论。 【对点训练】3．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 求出整式方程的解后，只限定正负，忘记排除增根； 2. 不等式边界分不清能否取等号； 3. 含多个参数讨论不全面； 4. 系数含字母时，忽略整式方程一次项系数不为0的限制。 注意事项总结 1. 先去分母化为一元一次整式方程，用参数表示出方程的解； 2. 根据根大于0、小于0、非负数等条件列不等式； 3. 额外附加条件：解≠增根，剔除会造成分母为0的取值； 4. 一次项系数含参数时，要保证一次项系数≠0，方程才有唯一解。 【对点训练】4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式，求解即可得到的取值范围； 【详解】解：原方程 方程两边同时乘以，得： ， 整理得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， ∴，且 解得且； 易错点5 分式的化简求值问题 易错提醒 易错点总结 1. 通分、约分时常数项、符号出错，括号前是负号去括号不变号； 2. 乘除运算未颠倒除式分子分母就直接相乘； 3. 化简完毕代入数值时，选取了使原式分母为0的数字； 4. 运算顺序混乱，先代入数字再化简，计算繁琐易错； 5. 整体代入题型执着求单个字母值，不会整体替换。 注意事项总结 1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； 2. 分式除法必须转化为乘以倒数； 3. 自选数字代入题：所选数字必须让原式所有分母、除式均不为0； 4. 一定先彻底化简，再代入求值；优先整体代入简化计算。 【对点训练】5．先化简再求值：，且． 【答案】，2021 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后将数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 易错点6 分式方程的实际应用 易错提醒 易错点总结 1. 审题找不到等量关系，行程、工程、利润类等量关系式列错； 2. 单位不统一、速度时间工作量对应关系颠倒； 3. 列出分式方程求解后，只检验计算对错，忘记双重检验； 4. 解出负数、不符合现实意义的正数不会舍去。 注意事项总结 1. 三类常用等量关系： 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间； 2. 解完方程两步检验： ①检验是否为分式方程的根； ②检验结果符合实际生活意义（时间、速度、人数不能为负）； 3. 作答完整，不要遗漏单位。 【对点训练】6．【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 (1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； (2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 【答案】(1)每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元 (2)小赵至少需要购买44件桶装坚果 【分析】（1）设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元，根据用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件建立方程求解即可； （2）设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件，根据总利润不少于1500元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元． （2）解：设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件， 由题可得：， 解得， ∵为整数， 的最小值为44， 答：小赵至少需要购买44件桶装坚果． 易错点7 与分式及分式运算有关的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 固守原有分式运算法则，不按题目自定义规则计算； 2. 前后字母顺序颠倒，代入位置错乱； 3. 多层嵌套新运算不会分步计算； 4. 化简结束忽略分式分母不为0的隐含条件。 注意事项总结 1. 严格照搬题干给出的新运算公式，不得自创运算法则； 2. 分清前后两项对应位置，顺序不可调换； 3. 多层运算由内向外分步计算； 4. 求解参数、取值范围时，始终兼顾分式有意义条件：分母不为0。 【对点训练】7．【定义新运算】对正实数，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，请计算：__________． 【探究运算律】 对正实数运算“”是否满足交换律？ ， ． ∴运算“”满足交换律． (2)对正实数，运算“”是否满足结合律？请说明理由． 【答案】(1) (2)满足，理由如下， 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，运算“”满足结合律． 【分析】（1）因为新运算规则为，所以将分别代入对应位置，按照规则计算即可； （2）如果要验证结合律是否成立，那么需要分别计算和的结果，再对比二者是否相等，计算时先将括号内的运算按照新运算规则化简，再将化简结果作为新的运算元素代入外层的新运算，最后整理表达式验证是否相等． 【详解】（1）解：． （2）略 一、单选题 1．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 2．如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先根据题意得出，，，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足， ∴，，， ∴ ． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后，使原分式方程分母为零的根，先确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出m的值． 【详解】解：原方程为，方程的最简公分母为， 原方程有增根， ， 令或， 解得或 原方程两边同乘去分母得： 整理得： 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 的值为或． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 5．若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有三个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解且分母不为零，找出符合条件的a，最后计算所有符合条件a的和即可. 【详解】解： 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且仅有三个整数解，三个整数解为， ∴， 解得， ， 去分母得， 整理得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即 ，得， 又∵方程的解为整数，且，， ∴符合条件的整数为或； 所有满足条件的的值之和为. 二、填空题 6．若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 【答案】3 【分析】先化简，再根据分式的值为整数得出分母或求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，此时，使分式无意义，故舍去； 当时，； 综上，满足条件的整数x的个数共3个． 7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【答案】 【分析】设进价与A，B两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B进货量的关系，再根据总利润之比列方程即可求解B降价后的利润率． 【详解】解：设每部手机进价为，A种手机总进货量为，B种手机总进货量为，B种手机降价销售时的利润率为， 由题意，A的定价为，B的定价为， 根据已售出部分营业额比为，列方程得：， 约去后化简得：，即，即， A种手机价格不变，全部售完后总利润为：， B种手机总利润分两部分计算：， 根据总利润比为，列方程得：， 将代入，约去得：，即， 交叉相乘计算得：，解得， 则B种手机在降价销售时的利润率为． 8．用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 【答案】 6 【分析】由题意可得①的宽为，②的长为，可得的长，再分别表示长方形的面积，长方形的面积，最后，运用“整体换元”思想进一步代入计算可得答案． 【详解】解：∵用面积分别为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，，， ∴①的宽为，②的长为， ∴， ∴长方形的面积为， 长方形的面积为， ∵， ∴， ∴． 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 10．方程的解是_______. 【答案】 【详解】解：原方程变形为：， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 检验：当时，原方程所有分母都不为0， 故是原方程的解. 三、解答题 11．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 12．化简求值：已知：，求代数式的值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再进行乘法运算，约分后可得化简结果，再将方程变形为，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 13．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议： ． 【答案】(1)二，去括号时没有变号 (2)解：原式 ， ∵且， ∴且， ∴可以取0， 当时，原式； (3)分式化简求值时，选取的代入数值必须使原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况（答案不唯一） 【分析】（1）第二步去括号时符号出现错误； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：小彬的化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号； （2）略 （3）略 14．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 15．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 知识点一 分式的概念及基本性质 1. 分式概念 （1）定义：形如 （ 均为整式， 中含有字母，）的式子叫做分式； 为分子， 为分母。 （2）三类取值要求 ① 分式有意义：分母 ； ② 分式无意义：分母 ； ③ 分式值为0：分子 且 分母 ，二者缺一不可。 （3）区分整式与分式：关键看分母是否含字母，分母不含字母为整式，含字母为分式。 2. 分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式： 3. 衍生运用 · 约分：依据基本性质，约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）； · 通分：找各分母最简公分母，统一分母，用于分式加减运算； · 符号法则：，任意改变两处符号，分式值不变。 知识点二 分式的运算 1. 乘法法则 分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母： 计算前可先约分再相乘，简化运算。 2. 除法法则 除以一个分式等于乘它的倒数： 3. 乘方运算 分子、分母分别乘方： 4. 加减运算 （1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减： （2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再计算： 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。 知识点三 整数指数幂 1. 正整数指数幂基础公式 2. 零指数幂 任意非零数的0次幂等于1：； 无意义。 3. 负整数指数幂 4. 拓展应用 可用于极小数字用科学记数法表示：（）。 知识点四 分式方程定义及解法 1. 定义 中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 解题完整步骤 ① 去分母：方程两边同乘，消去分母，转化为； ② 解整式方程：求出整式方程的未知数解； ③ 检验（必不可少）：把解代入最简公分母 - 若公分母 ：是原分式方程的解； - 若公分母 ：该解是，原分式方程无解。 3. 增根含义 去分母过程中，整式方程的解让原分式分母为0，使原方程无意义，这个根就是增根。 知识点五 分式方程的实际应用 解题通用步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验（双重检验） → 作答 双重检验要求 1. 数学检验：检验是否为分式方程的根，排除； 1. 实际意义检验：结果要符合生活实际（人数、路程、速度、时间不能为负数，小数不合理情况舍去）。 常考题型 工程问题（工作总量、、）、行程问题（、、）、销售利润问题、工作量调配问题。 易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 只考虑分子分母同号/异号，漏掉分式分母≠0这个前提条件，最终取值范围包含让分母为0的无效数值； 2. 列不等式组时分情况讨论不全，只写一种符号搭配，遗漏另一组； 3. 不等式求解过程不等号方向出错； 4. 最终不会取两个不等式组解集的并集。 注意事项总结 1. 分式值大于0：分子分母同正或同负，列两组不等式组； 分式值小于0：分子分母一正一负，列两组不等式组； 2. 全程硬性约束：分母不等于0，最后解集必须剔除使分母为0的数； 3. 分别解完两组不等式，结果取并集。 【对点训练】1．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值 易错提醒 易错点总结 1. 不会变形拆分整式+真分式，直接盲目试数，效率低易漏解、多解； 2. 只考虑正约数，忘记负约数，整数解找不全； 3. 求出数值后，忘记检验分母不能等于0，带入无效根； 4. 约数列举杂乱，出现重复数字。 注意事项总结 1. 通用方法：将分式拆分，写成整式+分子为常数的分式形式； 2. 常数分子的所有正负约数全部列举，令分母等于每一个约数，算出未知数； 3. 每一个解都要验证：代入分母，分母≠0才符合要求； 4. 最后把所有有效整数从小到大整理。 【对点训练】2．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 易错点3 分式方程无解与增根问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆增根和无解：误以为增根=无解，忽略两种情况； 2. 找不出增根：不会依据最简公分母=0算出增根； 3. 含参数方程无解只算整式方程无解，漏掉整式方程有解但解全是增根的情况； 4. 把增根带入整式方程计算参数时符号计算错误。 注意事项总结 1. 增根定义：去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0，不是原方程的解； 2. 分式方程无解分两类： ① 去分母得到的整式方程本身无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根； 3. 步骤：先求增根→代入整式方程求参数；两类情况都要逐一讨论。 【对点训练】3．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 求出整式方程的解后，只限定正负，忘记排除增根； 2. 不等式边界分不清能否取等号； 3. 含多个参数讨论不全面； 4. 系数含字母时，忽略整式方程一次项系数不为0的限制。 注意事项总结 1. 先去分母化为一元一次整式方程，用参数表示出方程的解； 2. 根据根大于0、小于0、非负数等条件列不等式； 3. 额外附加条件：解≠增根，剔除会造成分母为0的取值； 4. 一次项系数含参数时，要保证一次项系数≠0，方程才有唯一解。 【对点训练】4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 易错点5 分式的化简求值问题 易错提醒 易错点总结 1. 通分、约分时常数项、符号出错，括号前是负号去括号不变号； 2. 乘除运算未颠倒除式分子分母就直接相乘； 3. 化简完毕代入数值时，选取了使原式分母为0的数字； 4. 运算顺序混乱，先代入数字再化简，计算繁琐易错； 5. 整体代入题型执着求单个字母值，不会整体替换。 注意事项总结 1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； 2. 分式除法必须转化为乘以倒数； 3. 自选数字代入题：所选数字必须让原式所有分母、除式均不为0； 4. 一定先彻底化简，再代入求值；优先整体代入简化计算。 【对点训练】5．先化简再求值：，且． 易错点6 分式方程的实际应用 易错提醒 易错点总结 1. 审题找不到等量关系，行程、工程、利润类等量关系式列错； 2. 单位不统一、速度时间工作量对应关系颠倒； 3. 列出分式方程求解后，只检验计算对错，忘记双重检验； 4. 解出负数、不符合现实意义的正数不会舍去。 注意事项总结 1. 三类常用等量关系： 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间； 2. 解完方程两步检验： ①检验是否为分式方程的根； ②检验结果符合实际生活意义（时间、速度、人数不能为负）； 3. 作答完整，不要遗漏单位。 【对点训练】6．【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 (1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； (2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 易错点7 与分式及分式运算有关的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 固守原有分式运算法则，不按题目自定义规则计算； 2. 前后字母顺序颠倒，代入位置错乱； 3. 多层嵌套新运算不会分步计算； 4. 化简结束忽略分式分母不为0的隐含条件。 注意事项总结 1. 严格照搬题干给出的新运算公式，不得自创运算法则； 2. 分清前后两项对应位置，顺序不可调换； 3. 多层运算由内向外分步计算； 4. 求解参数、取值范围时，始终兼顾分式有意义条件：分母不为0。 【对点训练】7．【定义新运算】对正实数，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，请计算：__________． 【探究运算律】 对正实数运算“”是否满足交换律？ ， ． ∴运算“”满足交换律． (2)对正实数，运算“”是否满足结合律？请说明理由． 一、单选题 1．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 2．如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 8．用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 10．方程的解是_______. 三、解答题 11．定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 12．化简求值：已知：，求代数式的值． 13．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议： ． 14．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 15．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $