4.1 正方形的性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形性质的分层巩固，通过基础辨析、中档计算证明到综合探究的三阶设计，逐步深化概念理解与应用能力，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、与菱形矩形关系、边和角性质|以选择填空为主，如辨析正方形与特殊平行四边形性质差异，夯实概念理解| |中档层|对角线性质、对称性、面积计算|结合坐标系与几何图形计算，如利用对角线求等腰直角三角形个数，提升运算与空间观念| |综合层|性质综合应用|通过折叠、动态探究等解答题，如正方形折叠中的角度与线段关系证明，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 ▌课时目标 1. 理解正方形的定义，能准确表述正方形与菱形、矩形的从属关系，明确正方形是兼具菱形和矩形所有特征的特殊平行四边形。 2. 掌握正方形的四条边相等、四个角为直角、对角线互相垂直平分且相等并平分每组对角等核心性质，能运用这些性质进行边、角、对角线的相关计算和简单证明。 3. 能综合运用正方形的性质解决几何计算与证明问题，体会特殊平行四边形知识之间的内在联系和融会贯通。 ▌课时目录 知识点01：正方形的定义 知识点02：正方形与菱形、矩形的关系 知识点03：正方形的边的性质 知识点04：正方形的角的性质 知识点05：正方形的对角线的性质 知识点06：正方形的对称性 知识点07：正方形的面积计算公式 知识点08：正方形性质的综合应用 ▌知识点01：正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 几何语言：在▱ABCD中，若AB＝AD且∠A＝90°，则▱ABCD为正方形。定义包含三层含义： 1. 正方形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质； 2. 附加“一组邻边相等”，使其满足菱形的特征； 3. 附加“一个角是直角”，使其满足矩形的特征。 因此，判定一个四边形为正方形，通常的路径是先判定为平行四边形，再同时满足“邻边相等”和“有一个直角”两个条件。 1．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）下列命题：①平行四边形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③菱形的对角线互相垂直；④正方形的对角线相等且互相垂直．其中是真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①平行四边形的对角线相等，是假命题． ②矩形的对角线相等，是真命题． ③菱形的对角线互相垂直，是真命题． ④正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题． ∴真命题的个数是3个． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形指平面内，把图形绕某点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形，逐一判断选项即可． 【详解】解：对各选项逐一判断： ∵平行四边形绕对角线交点旋转后能与自身重合，但没有对称轴， ∴平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意； ∵等边三角形沿对称轴折叠能重合，是轴对称图形，但旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，B不符合题意； ∵等腰三角形沿对称轴折叠能重合，是轴对称图形，但旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，C不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线或对角线折叠都能重合，且绕对角线交点旋转后能与自身重合， ∴正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列命题中，真命题的是（     ） A．平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A．只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，普通平行四边形的对角线不平分一组对角，因此A是假命题； B．矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，因此B是假命题； C．菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，因此C是假命题； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的性质，因此D是真命题； 4．（25-26八年级下·山西临汾·期末）下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． ▌知识点02：正方形与菱形、矩形的关系 正方形是菱形和矩形的交集： 1. 正方形是特殊的矩形（矩形＋一组邻边相等＝正方形）； 2. 正方形是特殊的菱形（菱形＋一个角是直角＝正方形）。 性质上，正方形同时继承了矩形的所有性质（四个角为直角、对角线相等）和菱形的所有性质（四条边相等、对角线垂直平分每组对角），是性质最完备的特殊平行四边形。 反之，矩形不一定四边相等，菱形不一定四个角为直角，因此矩形和菱形都不一定是正方形。 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】A 【详解】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 6．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 7．（25-26八年级下·天津蓟州·期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（     ）． A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：对角相等、邻边互相垂直、对角线相等均为矩形的性质， 正方形是特殊的矩形，正方形也具有这三个性质， 选项A、B、C不符合题意， 正方形的对角线互相垂直，普通矩形的对角线不互相垂直，只有矩形为正方形时对角线才互相垂直， 对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质． 8．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． ▌知识点03：正方形的边的性质 正方形的四条边都相等，且每组对边平行。即：若四边形ABCD是正方形，则AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，AD∥BC。该性质继承自菱形，是正方形区别于一般矩形（邻边可以不等）的核心特征。由此可得正方形周长＝4a（a为边长）。在证明线段相等时，可直接利用“正方形四边相等”得出结论，无需再通过三角形全等证明。 9．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，连接，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，，在中利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在中，由勾股定理得：． 10．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴． 11．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 12．（25-26八年级下·北京房山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，请写出与满足的数量关系__________． 【答案】 【分析】根据题意，当，时有，求得点B坐标，进而得到点N坐标，代入可得满足的关系． 【详解】解：直线和直线被正方形的边所截得的线段分别为、，如图， 根据题意，当，，又， ∴， ∴， ∵对于直线当时，，即，则 当时，，即，则 ∴，， ∵点的坐标为，， ∴， ∴，代入中，得， ∴． ▌知识点04：正方形的角的性质 正方形的四个角都是直角。即：若四边形ABCD是正方形，则∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。该性质继承自矩形，是正方形区别于一般菱形（角可为任意锐角和钝角组合）的核心特征。结合边的性质，正方形内角均为90°且四边相等，是平面几何中最规整的四边形。在证明两线垂直时，可利用“正方形内角为直角”直接得出。 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理可得， ∴． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）以正方形的边作等边，连、，则____________． 【答案】/度 【分析】根据正方形和等边三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 同理可得， ∴ 16.（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，点在正方形的边的延长线上，点在边上，且，的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)证明：如图所示，过点C作，交的延长线于点H， ∴， 由（2）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）证明，得到，则可证明，得到，即； （2）连接，取的中点O，连接，可证明，得到；设，则，，据此可求出，则可求出； （3）过点C作，交的延长线于点H，则是等腰直角三角形，推出，；证明，得到，则可证明． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，取的中点O，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 ▌知识点05：正方形的对角线的性质 正方形的对角线具有以下性质： 1. 对角线相等（继承自矩形）； 2. 对角线互相垂直（继承自菱形）； 3. 对角线互相平分（继承自平行四边形）； 4. 每条对角线平分一组对角（继承自菱形）。即：在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 由勾股定理可得对角线长与边长的关系：若边长为a，则对角线AC＝BD＝a。对角线将正方形分割为4个全等的等腰直角三角形。 17．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，不添加其它的字母和辅助线，则图中的等腰直角三角形有（     ） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴等腰直角三角形有，， ∴一共有8个等腰直角三角形． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 【答案】 1 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【详解】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 19．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证； （2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，， 又， ， 即， 故四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形， ． ， 故四边形的周长为． 20．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）在正方形中，对角线与交于点O，，点M在线段上，连接，将沿翻折，得到． (1)如图①，当点N落在对角线上时，求线段的长； (2)如图②，点P在线段上，且，连接，当点N落在线段上时，的面积为______（直接填空）； (3)如图③，连接，，延长交于点H，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出的长，由折叠得，，证得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出的长； （2）连接，利用勾股定理求出，过点M作，，由角平分线的性质得到，证明四边形是正方形，得到，设，由四边形的面积，求出，最后根据面积公式求出的面积； （3）连接，过点D作，过点N作，根据折叠的性质及等腰三角形的性质证得，，利用余角的性质推出，证明，得到，利用勾股定理得，求出，，根据面积法求出，勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理求出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得， 由折叠得，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ， ∴， 过点M作，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵四边形的面积， ∴， 解得， ∴的面积为； （3）解：连接，过点D作，过点N作 由折叠得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何图形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一的性质，折叠的性质，综合掌握各知识点并熟练应用是解题的关键 ▌知识点06：正方形的对称性 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 1. 轴对称性：有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和两条过对边中点的直线。这是特殊平行四边形中对称轴最多的图形（矩形和菱形各有2条对称轴）。 2. 中心对称性：对称中心是对角线的交点O，绕O旋转90°、180°、270°、360°都能与自身重合，最小旋转角为90°。利用对称性解题时，可通过折叠或旋转构造等量关系。 21．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质．根据对角线相等的性质求对角线的长度，注意有两种情况． 【详解】解：有两种情况： （1）连接， ∵四边形是正方形，顶点的坐标是， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为2， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为2，C点纵坐标为， 故A点坐标， （2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标， 故选：D． 22．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为．则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质及点的坐标，结合图形确定点相对于点的位置关系，利用边长进行坐标平移计算即可． 【详解】解：由图可知，四边形是正方形，且边分别平行于坐标轴． 正方形的边长为，点的坐标为， ∴点在点的右侧个单位，下方个单位处． ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 23．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 24．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过点作轴于点，由正方形的性质可得，，进而得到，即可证明，得到，，由的坐标可得，，由此可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． ▌知识点07：正方形的面积计算公式 正方形面积有三种常用计算方法： 1. 边长平方：（a为边长），这是最基本公式。 2. 对角线乘积的一半：（d为对角线长），源自菱形面积公式且正方形。 3. 利用直角三角形面积：对角线将正方形分为4个等腰直角三角形，每个面积为，总面积 4. 三者的关系为：，可用于已知边长求对角线或已知对角线求边长。 25．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质及轴对称的性质，根据图形的对称性可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分与空白部分关于对角线对称， 所以 因为正方形的边长为2， 所以， 所以． 26．（2026·河北邯郸·三模）在正方形的四条边上分别取点，，，，使得，连接，，，，易得．若，则． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干的例题总结出规律，再进行作答即可． 【详解】解：观察前三个式子可得，当时，． 27．（2026·河北石家庄·二模）如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形的四个顶点分别在正方形的各边上，四边形的四个顶点是正八边形的四个顶点．经测量可知，，则四边形与正方形的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质证明四边形是正方形，，再证明可得，由此即可求出两个正方形的面积比． 【详解】解：设，则，， 连接、， 在正八边形中，，， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴四边形是正方形， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∵正方形的面积， ∴四边形与正方形的面积之比． 28．（2026·四川成都·一模）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：9． ▌知识点08：正方形性质的综合应用 典型综合题型： 1. 已知边长求对角线和面积 2. 已知对角线求边长和面积 3. 结合全等三角形证明 4. 坐标系中应用 解题关键：紧扣正方形的多重性质，灵活选用边、角、对角线等不同角度切入，必要时构造直角三角形或全等三角形辅助求解。 29．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】 证明：∵四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ， 即． 【详解】略 30．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）请完成以下作图和填空． (1)如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点作的垂线，与交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：（补全证明过程）． 证明：四边形是正方形， ，． 在和中，， ．  ，_______________①． ，， ∴在四边形中，． ． ， ∴_______________②． 又， ∴_______________③． ∴_______________④． ， 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点，再分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为，连接直线，与线段的交点即为，再连接即可； （2）先证明，得到，根据正方形的一个直角和垂线所得直角，由四边形内角和得，根据平角两角互补证得，故，得到结论． 【详解】（1）解：理由如下：以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点， ， 分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 31．（23-24八年级下·广西柳州·期中）实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 【答案】(1) (2)，作图如下： (3) 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【详解】（1）解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 32．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)等边三角形， 理由：如图，连接， 矩形纸片， ， 折叠， 垂直平分，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)①；②或． 【分析】（1）连接，由折叠的性质先证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得出，即可判断的形状； （2）①证明，得到，同（1）理可得，，则，即可得解； ②设，再分两种情况讨论：当点在点下方和上方时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①正方形， ，， 折叠， ，， ，， 又， ， ， 同（1）理可得，， ， ， ②正方形纸片边长为， ，， 折叠， ，， 由①可知，， ， 设，则， 如图，当点在点下方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 如图，当点在点上方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的值为或． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 3．（25-26七年级下·广东河源·期末）为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形的性质和证明重叠处两个小三角形全等，实现面积等量代换，可推得单个重叠区域面积为正方形面积的​，两处重叠面积总和就是边长为的正方形面积的． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即． 4．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，，点在上，连接，将沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到，延长与交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用折叠性质得到，再根据正方形的性质分别证明，，进而得出，再根据求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 沿所在直线翻折至正方形所在平面内得到， ， ，， ,， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形和四边形分别是菱形与正方形．若，则________． 【答案】/40度 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接， ， 在菱形和正方形中， ∴平分， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴． 6．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为________． 【答案】8 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ． 7．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得， 正方形的边长为，正方形面积等于边长的平方， 正方形的面积为． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】①根据正方形性质，找出边和角的相等关系，推出两个三角形全等即可． ②先假设是否垂直平分，找出相等的角和边，再根据角度关系，判断是否垂直平分即可． ③先找出边和角的对应关系，推出全等三角形，再根据全等三角形的性质，推出结论． ④先找出与的面积关系，因为两个三角形中都包含的面积，由此得出结论即可． 【详解】解：①根据题意可知， ， 为中点， （）． ③：在正方形中， ，，， （） 又 ． ②解：先假设垂直平分， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 与交于点， ， 这与相矛盾，假设不成立， 垂直平分是错误的． ④的边上的高与的边上的高相同， ， ， ； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 三、解答题 9．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； (2)∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级下·福建福州·期末）在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵正方形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接，过点P作于点E， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得证； （2）连接，过点P作于点E，根据正方形的性质证明，即可得证； （3）连接，过点G作于点M，作于点N，根据正方形的判定与性质，勾股定理，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，过点G作于点M，作于点N， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形；， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 课时目标 理解正方形的定义，能准确表述正方形与菱形、矩形的从属关系，明确正方形是兼具 菱形和矩形所有特征的特殊平行四边形。 2. 掌握正方形的四条边相等、四个角为直角、对角线互相垂直平分且相等并平分每组对 角等核心性质，能运用这些性质进行边、角、对角线的相关计算和简单证明。 能综合运用正方形的性质解决几何计算与证明问题，体会特殊平行四边形知识之间的 内在联系和融会贯通。 课时目录 知识点01：正方形的定义 知识点02：正方形与菱形、矩形的关系 知识点03：正方形的边的性质 知识点04：正方形的角的性质 1/17 知识点05：正方形的对角线的性质 知识点06：正方形的对称性 知识点07：正方形的面积计算公式 知识点08：正方形性质的综合应用 知识点01：正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 几何语言：在ABCD中，若AB=AD且∠A=90°，则~ABCD为正方形。定义包含三层含 义： 正方形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质： 附加“一组邻边相等”，使其满足菱形的特征： 附加“一个角是直角”，使其满足矩形的特征。 因此，判定一个四边形为正方形，通常的路径是先判定为平行四边形，再同时满足“邻边 相等”和“有一个直角”两个条件。 1.(25-26八年级下·重庆荣昌·期末)下列命题：①平行四边形的对角线相等：②矩形的对角线相等；③ 菱形的对角线互相垂直；④正方形的对角线相等且互相垂直.其中是真命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26八年级下·山西晋中期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（) A.平行四边形B.等边三角形 C.等腰三角形 D.正方形 3.(25-26八年级下·福建福州期末)下列命题中，真命题的是() A.平行四边形的每一条对角线平分一组对角 B,矩形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线相等 2/17 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 4.(25-26八年级下·山西临汾·期末)下列说法正确的是() A.平行四边形是轴对称图形 B.矩形的四条边都相等 C.菱形的四个内角都相等 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 知识点02：正方形与菱形。、矩形的关系 正方形是菱形和矩形的交集： 正方形是特殊的矩形（矩形十一组邻边相等=正方形）； 正方形是特殊的菱形（菱形十一个角是直角=正方形）。 性质上，正方形同时继承了矩形的所有性质（四个角为直角、对角线相等）和菱形的所有 性质（四条边相等、对角线垂直平分每组对角），是性质最完备的特殊平行四边形。 反之，矩形不一定四边相等，菱形不一定四个角为直角，因此矩形和菱形都不一定是正方 形。 5.(25-26八年级下辽宁大连期末)正方形具有而菱形不一定有的性质是（) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角相等 D.邻边相等 6.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)矩形、菱形、正方形都具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 7.(25-26八年级下·天津蓟州期末)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(). A.对角相等 B.邻边互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 8.(2026黑龙江绥化中考真题)下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是() A.正六边形 B.矩形 C.正方形 D.等边三角形 知识点03：正方形的边的性质 正方形的四条边都相等，且每组对边平行。即：若四边形ABCD是正方形，则AB=BC= CD=DA,ABCD,ADBC。该性质继承自菱形，是正方形区别于一般矩形（邻边可以不 等)的核心特征。由此可得正方形周长=4a(α为边长)。在证明线段相等时，可直接利 用“正方形四边相等”得出结论，无需再通过三角形全等证明。 3/17 9.(25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末)如图，在正方形ABCD中，连接AC,若AB=1,则AC的长度为 () D B A.1 B.2 C.√2 D.3 10.(25-26八年级下陕西榆林期末)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接 AE、EF、AF,取AF的中点G,连接EG、DG,若∠BAE=∠CEF,EG=4,则DG的长为 () A D @ B E A.3 B.4 c.5 D.6 11.(25-26八年级下~内蒙古赤峰期末)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC 的中点，连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH,则GH的长度为一 E G B 分 4/17 12.(25-26八年级下·北京房山期末)如图，在平面直角坐标系xO少中，四边形0ABC为正方形，点A的 -4,0) 坐标为 若直线：y=+凸和直线：y=+6伯≠6)被正方形018C的边所截得的线段长度 相等，请写出与满足的数量关系 b 知识点04：正方形的鱼的性质 正方形的四个角都是直角。即：若四边形ABCD是正方形，则∠A=∠B=∠C=∠D= 90°。该性质继承自矩形，是正方形区别于一般菱形（角可为任意锐角和钝角组合）的核心 特征。结合边的性质，正方形内角均为90°且四边相等，是平面几何中最规整的四边形。 在证明两线垂直时，可利用“正方形内角为直角”直接得出。 13.(25-26八年级下浙江杭州期末)如图，在正方形ABCD中，B,F分别是BC,CD边上的点， ∠EAF=45°，∠AFD=65°，则∠AEB的度数为一· BL E 14.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，M是正方形ABCD外一点，MC=MD=AD,则∠AMB的 5/17 度数为 B 15.(25-26八年级下湖北武汉·期末)以正方形ABCD的边AB作等边△ABE,连CE、DE,则∠CED= A B 16.(25-26八年级下·四川泸州期末)如图，点G在正方形ABCD的边BA的延长线上，点E在边AD上， 且AE=AG,BE的延长线交DG于点F,连接CF, G G B 备用图 (I)求证：BF⊥GD: (2)求∠BFC的度数； )求证： BF+DF=2CF 知识点05：正方形的对角线的性质 正方形的对角线具有以下性质： 对角线相等（继承自矩形）； 对角线互相垂直（继承自菱形）； 对角线互相平分（继承自平行四边形）； 每条对角线平分一组对角（继承自菱形）。即：在正方形ABCD中，AC=BD, 6/17 AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC。 由勾股定理可得对角线长与边长的关系：若边长为a,则对角线AC=BD=V2a。对角线 将正方形分割为4个全等的等腰直角三角形。 17.(25-26八年级下·辽宁铁岭期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,不添加 其它的字母和辅助线，则图中的等腰直角三角形有() B A.10个 B.8个 C.6个 D.4个 18.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形 48C0作一个限点，卫这两个正方形销这长均为2，正方形4C0可能点”转动且发雀保特“点作 ABCO 正方形 内部，则四边形EBFO 的面积为 AE、EB和OE 的数量关系为 A E B C 19.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E, F是对角线BD上的两点，且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF. D B (I)求证：△ADE≌aCBF: 7/17 (2)若AB=4N2，BE=2,直接写出四边形CEAF的周长 20.(25-26八年级下辽宁沈阳期末)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AD=4,点M在 线段AC上，连接DM,将△ADM沿DM翻折，得到aNDM, D M 图① 图② 图③ I)如图①，当点N落在对角线BD上时，求线段MN的长： (2)如图②，点P在线段BC上，且BP=1,连接DP,当点N落在线段DP上时，△ADM的面积为 (直接填空)： 3)如图③，连接AN,BN,延长DM交AN于点H,若∠CDN=2∠ABN,求线段AN的长. 知识点06：正方形的对称性 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 轴对称性：有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和两条过对边中点的直线。这是 特殊平行四边形中对称轴最多的图形（矩形和菱形各有2条对称轴）。 中心对称性：对称中心是对角线的交点0，绕0旋转90°、180°、270°、360°都能与自身重 合，最小旋转角为90°。利用对称性解题时，可通过折叠或旋转构造等量关系。 21.(23-24八年级下湖北荆州期中)在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是(0,0)，顶 点B的坐标是(4,0)，则顶点A的坐标是() A.(2,2) B.（-2,2)或(2,2)C.（-2,2) D.(2,-2)或(2,2) 22.(25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点A的坐 标为-1,2).则点C的坐标为() 8/17 B A.(3,2) B.(2,-3) C.(3,-2) D.(2,3) 23.(2025江苏徐州：一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为 (-2,0),点E在边CD上.将BCE沿B距折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为0,6，则点巴的 坐标为 B衣 24.(23-24八年级下·福建福州期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标 为0,2），点®的坐标为作 (4,0) ,则点C的坐标为 D 知识点07：正方形的面积计算公式 正方形面积有三种常用计算方法： 边长平方：S=a2(a为边长)，这是最基本公式。 s=ld 对角线乘积的一半： s=dd;=ah 2(d为对角线长)，源自菱形面积公式2 且正方 9/17 形d=d,=d。 I dd d2 222-8 利用直角三角形面积：对角线将正方形分为4个等腰直角三角形，每个面积为 4装- =4 ,总面积 1 S=a2= d2 三者的关系为： 2 可用于已知边长求对角线或已知对角线求边长。 25.(25-26八年级下江西赣州期末)如图，正方形ABCD的边长为2，则图中阴影部分的面积为() D A B A.2 B.4 C.6 D.8 26.(2026河北邯郸三模)在正方形ABCD的四条边上分别取点E,F,G,H,使得 AE=BF=CG=DH,连接EF,FG,GH,HE,易得△AEH≌aBFE≌aCGF≌aDHG.若 S正方形ABCD=1S正方形EGH=1-4S△ABH ，则 AE 1 1111 如图1，当AB2时，SE为形0=1-4× 2222: 如图2，当1B3时，SE方m=1-4×x2x{5 AE 1 `2339: AE 1 1315 如图3，当AB=4时，S正形0m=1-4× 2448； AE 1 当AB10时，S正方形GH=（） 10117 图1 图2 图3 5 41 43 A.6 B.50 C.50 9 D.10 27.(2026河北石家庄·二模)如图是某种装饰瓷砖的图案，其中正八边形EFGHMNPO的四个顶点分别 在正方形ABCD的各边上，四边形FHNO的四个顶点是正八边形的四个顶点.经测量可知， AE:EB=3:5 FHNO ABCD 则四边形 与正方形 的面积之比为 D B G 28,(2026四川成都一模)如图，在正方形48CD中，B=35.点从、水八0分别是边 ,点 AB、BC、CD、AD MN、NP、Pg、QM MNPO 的中点，连接 ,则四边形 的面积为一 A D B 知识点08：正方形姓性质的综合应里 典型综合题型： 已知边长求对角线和面积 11/17 已知对角线求边长和面积 结合全等三角形证明 坐标系中应用 解题关键：紧扣正方形的多重性质，灵活选用边、角、对角线等不同角度切入，必要时构 造直角三角形或全等三角形辅助求解。 29.(25-26八年级下河南洛阳期末)如图，E,F是正方形ABCD边上的点，连接BE,CF交于点G, CE=DF,判断BE与CF的位置关系，并证明你的结论. E 30.(25-26八年级下·重庆巫山期末)请完成以下作图和填空. E (I)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE,用直尺和圆规完成以下作图： 过点E作DE的垂线，与AB交于点F,连接BE(保留作图痕迹，不写作法)， (2)求证：DE=EF(补全证明过程). 证明：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠BAE」 AD=AB ∠DAE=∠BAE 在 和 中， ADE△ABE AE=AE .△ADE≌△ABE(SAS) .DE=BE ① DE⊥EF,∠DAF=90°， .在四边形ADEF中，∠DAF+∠DEF=180° 12117 ∴.∠ADE+∠AFE=180° :∠BFE+∠AFE=180° ② 又：∠ADE=∠ABE, ③. ④. DE BE, ..DE EF 31.(23-24八年级下广西柳州期中)实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,AD上的点，GE⊥BF于 点O,那么GE=BF.证明过程如下： A 6 D D M ! M 于点， B H E D B 图1 图2 图3 ,GE⊥BF 0 ·∠G0B=90°， 过点A作AH∥GE交BC于点H,交BF于点M, ∠AMB=∠GOB=90 .∠ABM+∠BAM=90°， 四边形ABCD为正方形， .AG∥HE,AB=BC,∠ABC=∠C=90°， ∠ABM+∠FBC=LABC=90°， .∠BAM=∠FBC △ABH≌△BCF(依据)， .AH=BF, :AH∥GE,AG∥HE ∴四边形AHEG为平行四边形， .AH=GE 13/17 ..GE =BF 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是」 【问题解决】 (2)如图2，在5×6的正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC为 °，并在网格中作图： 【拓展延伸】 B)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形 PBEF,连接DE分别交线段BC,PC于点M,N.求∠DMC的度数. 32.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动 A D D M E W E E F B 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平： 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的M处，折痕为BP,展平后连接BP,BP与EF 交于点V,请判断△MP的形状，并说明理由 (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为6的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD 按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于 0 BO 交于点，连接 ①如图2，当点M在EF上时，求∠MOB的度数： ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），使点A落在正方形内部的点M处，连接PM、 BM,并延长PM交CD于点2，连接BO.当F=l时，请直接写出AP的长. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·河南周口期末)如图，点E为正方形ABCD内部的一点，△BCE为等边三角形，则 ∠BAE的度数为() 14117 D B A.45° B.55° C.65 D.75° 2.(25-26八年级下内蒙古鄂尔多斯·期末)按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为8c 和18cm的两个小正方形，则大正方形的边长是() 18cm2 8cm2 A.10cm B.26cm C.52 em D.6V2cm 3.(25-26七年级下·广东河源·期末)为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为lm的正方形按如 AA 图所示的方式摆放， 分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为() A.om 1 B.Icm2 cm2 C.4 D.2cm2 4.(25-26七年级下·重庆期末)如图，在正方形ABCD中， ,点“在C上，连接D,将△CDE沿DE AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°EBC 沿所在直 线翻折至正方形ABCD所在平面内得到△FDE,延长EF与AB交于点G,若EG=2AG,则∠ADE的 度数是() 15117 D G B E A.66 B.66.5° C.67° D.67.5° 二、填空题 5.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，四边形ABCD和四边形AECF分别是菱形与正方形.若 ∠BAE=25°，则∠D=」 B E 6.(25-26八年级下山东聊城期末)如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM1AC, PN⊥BD,垂足分别为点M、N,若BD=16,则PM+PN的值为」 D M B 7.(25-26八年级下·云南曲靖期末)在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,以AB为边 作正方形ABDE,则正方形ABDE的面积为 8.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，连结AC与BE交 于点F,连结CE、DF.给出下面四个结论：①△ABE≌aDCE;②EC垂直平分DF;③ ∠DFC=∠AFE,④Sr=S。c.上述结论中，正确结论的序号有 16117 D B 三、解答题 9.(25-26八年级下·重庆秀山期末)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别是AB和CB的中点， 连接DE和DF. M B (I)求证：△ADE≌△CDF, (2)连接AC,分别交DE,DF于点M,N.求证：NF=ME 10.(25-26八年级下福建福州期末)在正方形ABCD中，F是BC边上一点，PF⊥AF,且PF=AF. G 图1 图2 备用图 I)如图1，过点P作PE⊥BC于点E,求证：PE=CE; (2)如图2，连接BD,AP交于点G,求证：AG=PG: 3)在(2)的条件下，若FC=4,BG=4V2,请直接写出AF的长. 17117