第四章 整式的加减（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学第四章“整式的加减”知识清单系统梳理了整式相关概念与运算，涵盖单项式、多项式、同类项、去括号法则及整式加减核心内容，搭建了从概念定义到运算规则再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三维架构呈现知识体系，如用“系数相加减，字母指数永不变”口诀强化合并同类项法则，通过“不含某一项⇒系数为0”等核心结论破解易错点，培养学生的抽象能力与运算能力。设计规律探究专题和分步解题流程，助力学生自主突破难点，教师可直接用于课堂教学与分层辅导。

第四章 整式的加减 知识点一 单项式及相关概念 1. 单项式定义 由数或字母的积组成的代数式叫做单项式；单独一个数字、单独一个字母也都是单项式。 · ❌ 注意：含有加减运算（如 ）、分母中含字母的式子（如 ）不是单项式。 1. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫作单项式的系数。 · 系数包含前面正负号； · 是常数，算作数字系数，不是字母； · 只含字母的单项式，系数为 或 （ 省略不写）。 1. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数；常数单项式（纯数字）次数为 。 知识点二 多项式及整式相关概念 1. 多项式定义 几个单项式的和叫做多项式。 1. 多项式的项 多项式中的每个单项式都叫做多项式的项；每一项必须自带前面符号；不含字母的项叫作常数项。 1. 多项式的次数 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 1. 整式概念 单项式和多项式统称为整式。 · 核心判定：分母不能含有字母，分母带字母属于分式，不属于整式。 知识点三 同类项及合并同类项 1. 同类项定义 所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 · ✅ 判定要点：与系数大小无关、与字母排列顺序无关。 1. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 · 口诀：系数相加减，字母指数永不变 1. 合并步骤 ① 标记找出所有同类项； ② 逆用乘法分配律，系数相加； ③ 写出化简结果，不同类项不能合并。 知识点四 去括号法则 依据：乘法分配律 1. 括号前面是正号 ：去掉括号和正号，括号内各项符号都不改变； 1. 括号前面是负号 ：去掉括号和负号，括号内每一项全都变号（正变负，负变正）； 1. 拓展：括号前有数字因数，要把数字乘进括号内每一项。 知识点五 整式的加减 1. 整式加减运算本质：去括号与合并同类项 1. 通用解题步骤： ① 根据题意列出代数式； ② 按照去括号法则去掉所有括号； ③ 找出同类项，逐项合并同类项； ④ 结果化为最简整式（不含同类项）。 1. 求值题型固定流程：先化简，再代入数值计算 · 优势：简化式子，大幅降低计算出错概率。 1. 常见应用：求两个整式的和、差；化简求值。 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 易错提醒 易错点总结 1. 看错题干条件：题目说明“几次几项式、不含某项、最高次项”，抓不住关键条件，乱列式。 2. 系数含参数时，忽略系数整体为0的情况，漏解、错解。 3. 分不清“项的次数”和“多项式次数”，误把普通项当成最高次项。 4. 忽略隐藏条件：单项式、多项式中字母指数为非负整数，求出负数、分数不会舍去。 注意事项总结 1. 不含某一项 ⇒ 该项系数等于0（核心万能公式）。 2. 多项式次数 = 最高次项的次数，做题先锁定最高次项。 3. 求出参数后必须检验：字母指数必须是非负整数，不符合直接舍去。 4. 含参多项式求值，优先找：次数条件、缺项条件、常数条件列式。 【对点训练】1．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 易错提醒 易错点总结 1. 同类项概念记不牢：只看字母相同，忽略相同字母指数必须完全相等。 2. 多个字母同类项，只列一个方程，漏列方程导致少解。 3. 解出字母值后，直接作答，忘记题目要求的是代数式整体的值（如 a+b、a-b）。 4. 混淆 π：把 π 当成字母，误参与同类项指数对比。 注意事项总结 1. 同类项铁律：字母全同、同字母指数全同，系数无关、顺序无关。 2. 几个不同字母就列几个方程，一一对应，不遗漏。 3. 做题步骤：先求字母值 → 再代入所求代数式计算，不要直接写字母答案。 4. π是常数，永远不算字母，不参与同类项对比。 【对点训练】2．已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算以及同类项的定义，关键是掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，以及同类项中相同字母指数相等的性质． （1）将已知的、代入，通过去括号、合并同类项化简式子； （2）根据同类项的定义列出关于、的一元一次方程，求解得到、的值后，代入（1）中化简的结果计算最终数值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与是同类项， ∴，解得， ∴原式． 易错点3 整式加减中的无关型问题 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂题意：不知道“与某字母取值无关”的含义，无从下手。 2. 化简不彻底，残留同类项未合并，导致系数找错。 3. 只令一次项系数为0，忘记二次项、高次项也要系数为0。 4. 符号错误，合并系数正负搞反，整题答案错误。 注意事项总结 1. 万能结论：与某个字母取值无关 ⇒ 该字母所有项的系数全部为0。 2. 解题固定步骤：先去括号 → 彻底合并同类项 → 令对应系数 =0 → 解方程。 3. 看清题目：与 x 无关、与 y 无关、不含二次项、不含一次项，精准对应系数。 4. 化简必须最简，残留任何一项都会导致题目出错。 【对点训练】3．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 易错点4 与单项式有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会分开找规律：系数符号、系数绝对值、字母指数三项混在一起，找不到通项。 2. 符号规律最容易错：正负交替数列不会用或表示。 3. 指数规律数错，第 n 项指数和项数对应关系混乱。 4. 求第 n 项写成具体项，不会写通用通项公式。 注意事项总结 1. 单项式规律三步拆分法：符号、数字系数、字母指数分别找规律。 2. 符号规律：奇数项负、偶数项正用；奇数项正、偶数项负用 。 3. 指数大多与项数 n 成等差关系，逐次对比列出。 4. 最后必须写出第 n 项通用公式，不能写具体数字式子。 【对点训练】4．有一串代数式：，，，，…，，，…． (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律； (2)写出第2011个代数式； (3)写出第n个，第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数的绝对值、x的次数均为从1开始的连续正整数，且奇数项系数为负，偶数项系数为正． (2)． (3)第个代数式为，第个代数式为． 【分析】（1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 易错点5 与图形有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 只会数前几项，不会提炼通用公式，求第 n 项只能瞎猜。 2. 看错图形变化规律：增加数量、变化节奏判断错误。 3. 图形规律和代数式对应不上，列式结构错误。 4. 不验证，写出公式不代回前3项检验，隐藏错误无法发现。 注意事项总结 1. 图形规律万能法：数第1、2、3、4项数量 → 找等差/倍数规律 → 写通项。 2. 优先观察：每次增加几个、是否固定增量。 3. 公式写完必须检验：代入 n=1、n=2 验证是否和原图数量一致。 4. 图形规律最终全部转化为整式表达式作答。 【对点训练】5．如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，点B、C、F在同一直线上，为正方形与正方形的公共边，点G是边上的动点（不与点C、F重合）．若，，记阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，阴影部分③的面积为，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用代数式表示结合图形的面积，熟练掌握题意及图形中的面积计算是解题的关键．通过设未知数表示出各个正方形的边长，进而分别求出阴影部分①、②、③的面积，最后找出它们之间的数量关系． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ， ，正方形与正方形的边长为， 阴影部分①中，， 阴影部分②中，， 阴影部分③中，， ， 故选A． 易错点6 与数字有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 只会肉眼观察，不会用差值法找数列规律。 2. 正负交替数列符号规律总结错误。 3. 分数规律分子、分母不分开看，整体混乱。 4. 找规律只求具体数值，不会写通用规律式，大题直接扣分。 注意事项总结 1. 数字规律拆分技巧：整数、分数、符号、奇偶分开找规律。 2. 等差规律：后项减前项差固定，通项为一次整式 an+b。 3. 分数规律：分子单独数列、分母单独数列分别求解。 4. 所有规律题最终要求：写出第 n 项代数式，并代入检验。 【对点训练】6．【问题背景】在课本页的活动2中，探究了“自然数被3整除的规律”．以三位数为例，假设一个三位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c，则可记为，若能被3整除，则这个数能被3整除．论证过程如下：．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【拓展探究】同学们继续探究此类问题，在查阅资料后发现了自然数被7整除的规律： 割尾法：一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除． 举例1：判断812是否为7的倍数的过程如下：，因为77可以被7整除，所以812是7的倍数； 举例2：判断5994是否为7的倍数的过程如下：，因为57不可以被7整除，所以5994不是7的倍数，其余类似的进行推理． (1)请使用“割尾法”解决以下两个问题： ①仿照举例2，判断2026是否可以被7整除（写出判断过程）； ②若五位自然数m能被7整除，m的后四位数为2026，求m的所有可能取值． (2)以三位数为例验证割尾法的正确性，请你试说明：若能被7整除，则三位数能被7整除． 【答案】(1)①2026不能被7整除；②m的可能值为：12026或82026 (2) 证明：三位数 ， ∵能被 7 整除， 设（n为整数）， ∴，即是7的倍数， ∴能被7整除． 【分析】本题主要考查整式加减运算的应用，读懂所给材料是解题的关键． （1）①仿照阅读材料中的方法求解即可； ②仿照阅读材料中的方法可得（k为整数），然后逐一验证x即可解答； （2）依照阅读材料中的方法，将变形为，进而完成解答． 【详解】（1）解：①， ∵19不是7的倍数． ∴2026不能被7整除； ②设五位自然数m的首位数字为x（x为的正整数），则． 按割尾法对m逐步计算： ； ； ； 若五位自然数m能被7整除，则 是7的倍数（x为的正整数），即：（k为整数），逐一验证x： 当时，，是7的倍数，符合题意； 当时，，3不是7的倍数，不符合题意； 当时，，13不是7的倍数，不符合题意； 当时，，23不是7的倍数，不符合题意； 当时，，33不是7的倍数，不符合题意； 当时，，43不是7的倍数，不符合题意； 当时，，53不是7的倍数，不符合题意； 当时，，63是 7 的倍数，符合题意； 当时，，73不是7的倍数，不符合题意． ∴或，对应的m为： 当x＝1时，； 当时，． 综上，m的可能值为：12026或82026． （2）略 一、单选题 1．有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， 若b、c异号， 则， 与矛盾， ∴b、c同号，a与b、c异号， 可得， 当a为正，b、c为负时， ∵， ∴， ∴A选项不成立， ∴A错误； B、∵，且， ∴a、b、c三个数不同号，且都不为0，且， ∴B选项错误； C、当时，； 当时，． ∴不恒成立， ∴C错误； D、∵和， 当时， ∴． ∴D正确． 2．有下列说法：①一定是负数；②若，则a是负数；③的系数是；④多项式是四次四项式，其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题需逐个分析每个说法，依据负数定义、绝对值性质、单项式系数定义、多项式次数和项数的定义判断对错，统计正确个数后得出答案． 【详解】解：①：当m是正数时，是负数，当时，，当m是负数时，是正数，所以不一定是负数，该说法错误； ②：若，则，当时，成立，但a不是负数，该说法错误； ③：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，在中，数字因数是，所以它的系数是，而不是，该说法错误； ④：在多项式中，各项分别为、、、，一共有四项， 多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是，的次数是1，的次数是0，所以该多项式是四次四项式，该说法正确， 综上，正确的说法只有1个， 故选：A． 3．如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，由题意可知长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，列出等式，从而有，又块阴影长方形的周长之和为，再化简代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和， 设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为， ∴可得， 解得：， ∴块阴影长方形的周长之和为 ， ， 故选：． 4．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 5．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，…， ∴第个单项式可表示为：， 当时，第个单项式是：． 故选C． 二、填空题 6．下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④． 【详解】解：①∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴，，， ∴ ；故③正确； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ∴正确的说法是①②③④． 7．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【分析】由题意可得a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设，则，，由得出，，，再结合绝对值的性质求出、的值，即可得出结果． 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 8．正整数都是两位数，将数放在数的左边组成一个四位数，交换两数的位置，又得到一个四位数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数，是“理想数对”．例如：，则，所以46和35是“理想数对”．请判断21和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理想数对”一共有__________对． 【答案】 是 215 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，有理数的乘方运算，对于第一空，求出对应的两个四位数，再表示出它们的差，进而根据定义可得结论；对于第二空，设两位数c和d是“理想数对”，且，根据定义可推出可得需为完全平方数，设（为非负整数），讨论k的值，从而确定c的值，进而可得答案． 【详解】解：将21放在10左侧组成的四位数为2110，将10放在21左侧组成的四位数为1021， ， ∴21和10是“理想数对”； 设两位数c和d是“理想数对”，且， 则组成的两个四位数分别为，， ， 根据题意可得需为完全平方数， ∵， ∴必须为完全平方数． ∵11是质数， ∴需为与某个完全平方数的乘积， 设（为非负整数） 又∵是两位数，即， ∴， 当时，，即，此时可取10到99的所有两位数，共对； 当时，，此时可取到的所有的两位数，共对； 当时，，此时可取到的所有的两位数，共对； 当时，，不符合题意，舍去． ∴所有符合题意的“理想数对”有对， 故答案为：． 9．如图，将六个长为a，宽为的小长方形不重叠地放置在一个大长方形中，未被覆盖的部分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为和，面积分别为和，且与的数值相等．边的长为______，的值为______． 【答案】 4 16 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．设，根据图形，用a、b、x表示出两个长方形①②的长和宽，进而表示出和， 和，利用与的数值相等求出x值即可解答． 【详解】解：设， 根据题意，长方形①的长为，宽为，长方形②的长为，宽为， 则，； ，, ∴， ， ∵与的数值相等， ∴，即， ∵，即， ∴，即； ∴， 故答案为：4，16． 10．一个三位正整数M，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，个位上的数字是十位数字减1之差，那么称这个数是“三差数”．用这个“三差数”减去各数位数字之和的差，再除以9的商记为．例如：，．则______；如果将一个“三差数”M的各数位数字放在任意数位上后可以得到6个不同的三位数（包含M本身），把这6个三位数的和记为，且为整数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】 51 687 【分析】本题考查了新定义的理解与应用及整式的运算．第一问直接计算；第二问设M的百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据条件，推导出，，代入得的表达式，化简为需为整数，由，枚举所有的整数情况，找到满足条件的，，故． 【详解】解：第一问：∵， ∴各位数字之和为， ∴； 第二问：设， ∵a、b、c为数字，且各不相同均不为0，， ∴， ∴所有数字排列之和 ， ∴， ∵该式为整数， 即能被37整除， 又∵，，， ∴原式， ∴需为整数， 由，枚举所有的整数情况： ①当时，没有a的值满足条件； ②当时，没有a的值满足条件； ③当时，满足整除条件，但此时，与a重复，不满足各数位上的数字各不相同，故舍去； ④当时，没有a的值满足条件； ⑤当时，没有a的值满足条件； ⑥当时，没有a的值满足条件； ⑦当时，满足条件； ⑧当时，没有a的值满足条件， ∵M为最大值， ∴仅有，的情况满足题意， 此时， ∴满足条件的M为687，即最大值为687， 故答案为：51，687． 三、解答题 11．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 12．（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 13．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 14．【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 15．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果． (1)直接根据定义求零点值； (2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论； (3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论． 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 知识点一 单项式及相关概念 1. 单项式定义 由______或______的______组成的代数式叫做单项式；单独一个数字、单独一个字母也都是单项式。 · ❌ 注意：含有加减运算（如 ）、分母中含字母的式子（如 ）不是单项式。 1. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫作单项式的______。 · 系数包含前面______号； · 是______数，算作数字系数，不是字母； · 只含字母的单项式，系数为 或 （ 省略不写）。 1. 单项式的次数 单项式中所有字母的指数之______叫做单项式的次数；常数单项式（纯数字）次数为 ______。 知识点二 多项式及整式相关概念 1. 多项式定义 几个单项式的和叫做______。 1. 多项式的项 多项式中的每个单项式都叫做多项式的______；每一项必须自带前面______；不含字母的项叫作____________。 1. 多项式的次数 多项式里，次数最______项的次数，就是这个多项式的次数。 1. 整式概念 单项式和多项式统称为______。 · 核心判定：分母不能含有______，分母带字母属于分式，不属于整式。 知识点三 同类项及合并同类项 1. 同类项定义 所含字母完全______，并且相同字母的______也分别相等的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 · ✅ 判定要点：与系数大小无关、与字母排列顺序无关。 1. 合并同类项法则 同类项的系数______，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 · 口诀：系数相加减，字母指数永不变 1. 合并步骤 ① 标记找出所有______； ② 逆用乘法分配律，系数相加； ③ 写出化简结果，不同类项不能合并。 知识点四 去括号法则 依据：乘法分配律 1. 括号前面是正号 ：去掉括号和正号，括号内各项符号都____________； 1. 括号前面是负号 ：去掉括号和负号，括号内每一项全都____________（正变负，负变正）； 1. 拓展：括号前有数字因数，要把数字乘进括号内每一项。 知识点五 整式的加减 1. 整式加减运算本质：去括号合并同类项 1. 通用解题步骤： ① 根据题意列出______； ② 按照去括号法则去掉所有括号； ③ 找出同类项，逐项合并______； ④ 结果化为最简整式（不含同类项）。 1. 求值题型固定流程：先化简，再代入数值计算 · 优势：简化式子，大幅降低计算出错概率。 1. 常见应用：求两个整式的和、差；化简求值。 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 易错提醒 易错点总结 1. 看错题干条件：题目说明“几次几项式、不含某项、最高次项”，抓不住关键条件，乱列式。 2. 系数含参数时，忽略系数整体为0的情况，漏解、错解。 3. 分不清“项的次数”和“多项式次数”，误把普通项当成最高次项。 4. 忽略隐藏条件：单项式、多项式中字母指数为非负整数，求出负数、分数不会舍去。 注意事项总结 1. 不含某一项 ⇒ 该项系数等于0（核心万能公式）。 2. 多项式次数 = 最高次项的次数，做题先锁定最高次项。 3. 求出参数后必须检验：字母指数必须是非负整数，不符合直接舍去。 4. 含参多项式求值，优先找：次数条件、缺项条件、常数条件列式。 【对点训练】1．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 易错提醒 易错点总结 1. 同类项概念记不牢：只看字母相同，忽略相同字母指数必须完全相等。 2. 多个字母同类项，只列一个方程，漏列方程导致少解。 3. 解出字母值后，直接作答，忘记题目要求的是代数式整体的值（如 a+b、a-b）。 4. 混淆 π：把 π 当成字母，误参与同类项指数对比。 注意事项总结 1. 同类项铁律：字母全同、同字母指数全同，系数无关、顺序无关。 2. 几个不同字母就列几个方程，一一对应，不遗漏。 3. 做题步骤：先求字母值 → 再代入所求代数式计算，不要直接写字母答案。 4. π是常数，永远不算字母，不参与同类项对比。 【对点训练】2．已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 易错点3 整式加减中的无关型问题 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂题意：不知道“与某字母取值无关”的含义，无从下手。 2. 化简不彻底，残留同类项未合并，导致系数找错。 3. 只令一次项系数为0，忘记二次项、高次项也要系数为0。 4. 符号错误，合并系数正负搞反，整题答案错误。 注意事项总结 1. 万能结论：与某个字母取值无关 ⇒ 该字母所有项的系数全部为0。 2. 解题固定步骤：先去括号 → 彻底合并同类项 → 令对应系数 =0 → 解方程。 3. 看清题目：与 x 无关、与 y 无关、不含二次项、不含一次项，精准对应系数。 4. 化简必须最简，残留任何一项都会导致题目出错。 【对点训练】3．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 易错点4 与单项式有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会分开找规律：系数符号、系数绝对值、字母指数三项混在一起，找不到通项。 2. 符号规律最容易错：正负交替数列不会用或表示。 3. 指数规律数错，第 n 项指数和项数对应关系混乱。 4. 求第 n 项写成具体项，不会写通用通项公式。 注意事项总结 1. 单项式规律三步拆分法：符号、数字系数、字母指数分别找规律。 2. 符号规律：奇数项负、偶数项正用；奇数项正、偶数项负用 。 3. 指数大多与项数 n 成等差关系，逐次对比列出。 4. 最后必须写出第 n 项通用公式，不能写具体数字式子。 【对点训练】4．有一串代数式：，，，，…，，，…． (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律； (2)写出第2011个代数式； (3)写出第n个，第个代数式． 易错点5 与图形有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 只会数前几项，不会提炼通用公式，求第 n 项只能瞎猜。 2. 看错图形变化规律：增加数量、变化节奏判断错误。 3. 图形规律和代数式对应不上，列式结构错误。 4. 不验证，写出公式不代回前3项检验，隐藏错误无法发现。 注意事项总结 1. 图形规律万能法：数第1、2、3、4项数量 → 找等差/倍数规律 → 写通项。 2. 优先观察：每次增加几个、是否固定增量。 3. 公式写完必须检验：代入 n=1、n=2 验证是否和原图数量一致。 4. 图形规律最终全部转化为整式表达式作答。 【对点训练】5．如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，点B、C、F在同一直线上，为正方形与正方形的公共边，点G是边上的动点（不与点C、F重合）．若，，记阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，阴影部分③的面积为，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 易错点6 与数字有关的规律探究问题 易错提醒 易错点总结 1. 只会肉眼观察，不会用差值法找数列规律。 2. 正负交替数列符号规律总结错误。 3. 分数规律分子、分母不分开看，整体混乱。 4. 找规律只求具体数值，不会写通用规律式，大题直接扣分。 注意事项总结 1. 数字规律拆分技巧：整数、分数、符号、奇偶分开找规律。 2. 等差规律：后项减前项差固定，通项为一次整式 an+b。 3. 分数规律：分子单独数列、分母单独数列分别求解。 4. 所有规律题最终要求：写出第 n 项代数式，并代入检验。 【对点训练】6．【问题背景】在课本页的活动2中，探究了“自然数被3整除的规律”．以三位数为例，假设一个三位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c，则可记为，若能被3整除，则这个数能被3整除．论证过程如下：．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【拓展探究】同学们继续探究此类问题，在查阅资料后发现了自然数被7整除的规律： 割尾法：一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除． 举例1：判断812是否为7的倍数的过程如下：，因为77可以被7整除，所以812是7的倍数； 举例2：判断5994是否为7的倍数的过程如下：，因为57不可以被7整除，所以5994不是7的倍数，其余类似的进行推理． (1)请使用“割尾法”解决以下两个问题： ①仿照举例2，判断2026是否可以被7整除（写出判断过程）； ②若五位自然数m能被7整除，m的后四位数为2026，求m的所有可能取值． (2)以三位数为例验证割尾法的正确性，请你试说明：若能被7整除，则三位数能被7整除． 一、单选题 1．有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有下列说法：①一定是负数；②若，则a是负数；③的系数是；④多项式是四次四项式，其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 4．“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 5．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第1013个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 7．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 8．正整数都是两位数，将数放在数的左边组成一个四位数，交换两数的位置，又得到一个四位数，如果这两个四位数的差是一个整数的平方，则称数，是“理想数对”．例如：，则，所以46和35是“理想数对”．请判断21和10_____（填“是”或“不是”）“理想数对”．“理想数对”一共有__________对． 9．如图，将六个长为a，宽为的小长方形不重叠地放置在一个大长方形中，未被覆盖的部分（阴影部分）是两个长方形①②，其周长分别为和，面积分别为和，且与的数值相等．边的长为______，的值为______． 10．一个三位正整数M，如果满足各数位上的数字各不相同且均不为0，个位上的数字是十位数字减1之差，那么称这个数是“三差数”．用这个“三差数”减去各数位数字之和的差，再除以9的商记为．例如：，．则______；如果将一个“三差数”M的各数位数字放在任意数位上后可以得到6个不同的三位数（包含M本身），把这6个三位数的和记为，且为整数，则满足条件的M的最大值是______． 三、解答题 11．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 12．（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 13．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 14．【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 15．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $