2027届高考物理一轮复习人教版-机械能守恒习题

**基本信息** 以“功-能”为主线，系统整合概念理解、方法应用与实验验证，通过分层题型与多维度解法培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |功|4类型8例|正负判断法、恒力功公式、微元/图像/等效转换法|从恒力到变力，构建“力-位移-功”定量关系| |功率|8例|平均/瞬时功率计算、机车启动模型|结合P=Fv与运动学，分析功率与速度动态关系| |动能定理|3类型10例|单过程/多过程应用、图像结合|以“合外力做功=动能变化”为核心，贯通直线与曲线运动| |机械能守恒|5类型15例|单物体/连接体/弹簧系统分析|从守恒条件判断到能量转化计算，强化系统观念| |实验|2类型11例|动能定理/机械能守恒验证|通过误差分析与数据处理培养科学探究能力|

机械能守恒 题型一 功的理解与计算 类型1 功的正负的判断 【例1】(多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是(　　) A．摩擦力对物体做正功 B．摩擦力对物体做负功 C．支持力对物体不做功 D．合外力对物体做功为零 【例2】图甲为一女士站在甲超市的台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在乙超市履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止，下列关于力做功判断正确的是（　　） A．甲图中支持力对人不做功 B．甲图中摩擦力对人做负功 C．乙图中支持力对人做正功 D．乙图中摩擦力对人做正功 类型2 恒力功的分析和计算 【例1】如图所示的拖轮胎跑是一种体能训练活动。某次训练中，轮胎的质量为5 kg，与轮胎连接的拖绳与地面夹角为37°，轮胎与地面动摩擦因数是0.8。若运动员拖着轮胎以5 m/s的速度匀速前进 ，则10 s内运动员对轮胎做的功最接近的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)(　　) A．500 J B．750 J C．1 250 J D．2 000 J 【例2】某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为点，该过程简化示意图如图所示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为，、B两点间的距离为，B、两点间的距离为，人的质量为，重力加速度大小为，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于 B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为 C．人从A点运动到点的过程中克服摩擦力做的功为 D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 类型3 作用力与发作用力做功 【例1】（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为的汽车，车厢中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为maL C．车对人的摩擦力做的功为 D．车对人的作用力大小为ma 【例2】如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（　　） A．F对木块做功为 B．F对木块做功为 C．F对子弹做功为 D．F对子弹做功为 类型4 总功 【例1】两个互相垂直的力F1与F2同时作用在某物体上，该物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1与F2的合力对物体做功为（　　） A．0 B．5J C．7J D．25J 【例2】质量为m的物体，静止在倾角为斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的（　　） A．合力对物体做功为 B．重力对物体做功为 C．物体克服摩擦力做功为 D．支持力对物体做功 【例3】如图所示，一辆装满石块的货车在平直道路上行驶。货箱中石块的质量为重力加速度为，在货车以加速度加速运动位移的过程中，下列说法正确的是（    ） A．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力大小为 B．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力大小为 C．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力做功为 D．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力做功为 题型二 变力功的分析与计算 类型1 微元法计算变力做功 【例1】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为0 B．悬线的拉力做功为mgL C．空气阻力做功为 D．摆球克服空气阻力做功为fL 【例2】如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)．用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中： (1)拉力F做的功； (2)桥面对物块的摩擦力做的功． 类型2 图像法计算变力做功 【例1】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F所做的总功为(　　) A．0　　 B.Fmx0　 　C.Fmx0　　 D.x 类型3 平均力法求变力做功 【例1】如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 【例2】静止于水平地面上质量为的物体，在水平拉力（式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作用下，沿水平方向移动了。已知重力加速度，则在物体移动的过程中拉力所做的功为（　　） A． B． C． D． 类型4 等效转换法求变力做功 【例1】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O，现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大，已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，，重力加速度为g（已知：），则滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为（　　） A． B． C． D． 类型5 应用动能定理求变力做功 【例1】如图所示，一质量为的质点在半径为的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点时，它对容器的正压力为。重力加速度为，则质点自A滑到的过程中，摩擦力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【例2】如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中力F做的功至少为(　　) A. B. C. D. 类型5 虚功原理 【例1】一半径为R的光滑半球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质铁链，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。铁链单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（    ） A． B． C． D． 题型三 功率的分析和计算 【例1】如图，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．三个小球运动过程中重力做的功不相等 B．三个小球运动过程中重力做功的平均功率相等 C．a、b落地时的速度相同 D．b、c落地时重力的瞬时功率相等 【例2】(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是(　　) A．t秒内重力对物体做功为mg2t2 B．t秒内重力的平均功率为mg2t C．前秒末重力的瞬时功率与后秒末重力的瞬时功率之比为1∶2 D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3 【例3】《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（   ）    A． B． C． D．nmgωRH 【例4】放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力F的作用，0~3s内速度和拉力的功率随时间变化的图像分别如图（a）和图（b）所示，取重力加速度g=10 m/s2.下列说法正确的是（　　） A．物体与水平面间动摩擦因数为0.45 B．物体的质量为3kg C．0~3s内物体克服摩擦力做的功为84J D．0~3s内拉力的平均功率为20W 【例5】如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（　　）   A．物体加速度大小为 B．F的大小为21N C．4s末F的功率为42W D．4s内F的平均功率为42W 【例6】如图所示，一物块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端被人用力F拉住，力F大小如图甲所示，前10s内物块的v-t图像如图乙所示，保持力F与水平方向之间的夹角θ=60°不变，当用力F拉绳使物块前进时，下列说法正确的是（　　） A．0~5s内人做的功为75J B．3s末人做功的功率为9W C．5~10s内摩擦力大小为2N D．5~10s内人做的功为150J 【例7】飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直位置的过程中，飞行员重力的瞬时功率的变化情况是（  ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【例8】如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点放置一质量为的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力作用下由运动到，力大小恒为。对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．力做功大小为 B．力做功大小为 C．力的功率先增大后减小 D．克服重力做功的功率先增大后减小 题型四 机车启动问题 类型1 恒定功率启动 【例1】汽车以恒定的功率在平直公路上行驶，所受到的摩擦阻力恒等于车重的0.1倍，汽车能达到的最大速度为vm.则当汽车速度为时，汽车的加速度为(重力加速度为g)(　　) A．0.1g B．0.2g C．0.3g D．0.4g 【例2】(多选)质量为M的汽车在平直的公路上行驶，发动机的输出功率P和汽车所受的阻力f都恒定不变．在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则在这段时间内发动机所做的功为(　　) A．fs B.(v0＋vm)ft C．fvmt D.Mv－Mv＋fs 类型2 以恒定加速度启动 【例1】(多选)质量m=200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系．设汽车在运动过程中阻力恒定不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大．则下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力200N B．汽车启动过程中最大牵引力为1000N C．汽车在加速运动过程中的位移大小为90m D．8s~18s过程中汽车牵引力做的功为8×104 J 【例2】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求： (1)汽车做匀加速运动的时间t1； (2)汽车所能达到的最大速率； (3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？ 【例3】某汽车集团公司研制了一辆燃油与电动混合动力赛车，燃油发动机单独工作时的额定功率为P，蓄电池供电的电力发动机单独工作时的额定功率为，已知赛车运动过程中受到的阻力恒定． (1)若燃油发动机单独工作时的最大速度为120 km/h，则两台发动机同时工作时的最大速度为多少？ (2)若赛车先单独启动电力发动机从静止开始做匀加速直线运动，经过t1时间达到额定功率，然后以燃油发动机的额定功率单独启动继续加速，又经过t2时间达到最大速度v0，赛车总质量为m，求赛车的整个加速距离． 类型3 机车起动中的图像问题 【例1】(多选)汽车在平直的公路上以恒定的功率启动，设阻力恒定，则图10中关于汽车运动过程中加速度、速度随时间变化的关系，以下判断正确的是(　　) A．汽车的加速度—时间图象可用图乙描述 B．汽车的速度—时间图象可用图甲描述 C．汽车的加速度—时间图象可用图丁描述 D．汽车的速度—时间图象可用图丙描述 【例2】(多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是(　　) 【例3】(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数的关系图象如图7所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则(　　) A．汽车所受阻力为6×103 N B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2 C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2 D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W 【例4】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数的关系图象如图所示．若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是(　　) A．汽车的功率 B．汽车行驶的最大速度 C．汽车所受到的阻力 D．汽车运动到最大速度所需的时间 类型4 功率变化问题 【例1】某辆汽车总质量为m，发动机的功率为P时在平直公路上以速度v0匀速行驶。驾驶员减小油门从而合理进入限速区，汽车功率立即减小到并保持该功率继续行驶。假设汽车行驶过程中所受阻力大小不变，从驾驶员减小油门开始，汽车的v-t关系如图所示，则在0-t1时间内下列说法正确的是（　　） A．t=0时，汽车的加速度大小为 B．t1时刻汽车的速度大小为 C．汽车行驶的位移为大小为 D．汽车发动机所做功为 【例2】一辆质量为m的汽车原来在平直路面上以速度v匀速行驶，发动机的输出功率为P。从某时刻开始，司机突然加大油门将汽车发动机的输出功率提升至某个值并保持不变，结果汽车在速度到达2v之后又开始匀速行驶。若汽车行驶过程所受路面阻力保持不变，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．汽车加速过程的最大加速度为 B．汽车速度增大时，发动机产生的牵引力随之不断增大 C．汽车速度从v增大到2v过程做匀加速运动 D．汽车加速过程的平均速度为 题型五 对动能定理的理解及应用 【例1】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系．下列说法正确的是(　　) A．合外力为零，则合外力做功一定为零 B．合外力做功为零，则合外力一定为零 C．合外力做功越多，则动能一定越大 D．动能不变，则物体合外力一定为零 【例2】(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是(　　) A．对物体，动能定理的表达式为W＝mv22－mv12，其中W为支持力做的功 B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功 C．对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝mv22－mv12，其中W为支持力做的功 D．对电梯，其所受的合力做功为Mv22－Mv12 题型六 动能定理的基本应用 类型1 动能定理在直线中的应用 【例1】(多选)如图所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，载人滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计载人滑草车在两段滑道交接处的能量损失，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则(　　) A．动摩擦因数μ＝ B．载人滑草车最大速度为 C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g 类型2 动能定理在曲线运动中的应用 【例1】如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A端正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则： (1)物块到达A点时的速度大小和PA间的高度差分别为多少？ (2)物块从A运动到B所用时间和克服摩擦力做的功分别为多少？ 题型七 应用动能定理求解多过程问题 类型1 动能定理解决往复运动问题 【例1】如图所示，物块以60 J的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，当它的动能减少为零时，重力势能增加了45 J，则物块回到斜面底端时的动能为(　　) A．15 J B．20 J C．30 J D．45 J 【例2】如图所示，装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x＝5 m，轨道CD足够长且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30 m、h2＝1.35 m．现让质量为m的小滑块(可视为质点)自A点由静止释放．已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)小滑块第一次到达D点时的速度大小； (2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔； (3)小滑块最终停止的位置距B点的距离． 类型2 动能定理解决平抛、圆周运动相结合的问题 【例1】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高，质量m＝1 kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8. (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ； (2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值； (3)若滑块离开C点的速度大小为4 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t. 【例2】如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块(可看作质点)，恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道。圆弧轨道CDM的半径R＝0.5 m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与水平面夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与水平面夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m＝3 kg，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78 N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ＝，小球第一次通过C点后立刻安装一个与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求： (1)小物块平抛运动到C点时的速度大小； (2)A点到C点的竖直距离； (3)小物块在斜面MN上滑行的总路程。 【例3】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。 （2）问绳能承受的最大拉力多大？ （3）绳能承受的最大拉力与第（2）小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【例4】如图所示，细绳的一端固定在点，另一端系着一金属小球，小球的质量为，细绳长为．将细绳拉直，从偏离水平方向的位置由静止释放小球，已知重力加速度为．求： (1)细绳刚伸直时小球的速度大小； (2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小． 题型八 动能定理与图象的综合问题 【例1】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为 A．2 kg B．1.5 kg C．1 kg D．0.5 kg 【例2】如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，(取g＝10 m/s2)，则下列说法正确的是(　　) A．物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动 B．物体在水平地面上运动的最大位移是10 m C．物体运动的最大速度为2 m/s D．物体在运动中的加速度先变小后不变 【例3】如图1所示，一倾角的斜面体固定在水平地面上（斜面足够长、带一定滑轮），物块A放在斜面上的O点，用跨过轻质定滑轮的轻绳与物块B连接，B离滑轮足够远。A、B的质量分别为、。运动过程中A与O点的距离设为x，A与斜面间的动摩擦因数μ与x的关系如图2。重力加速度g取，现将A、B由静止释放。求： （1）当x为多大时物块A的速度最大； （2）物块A在斜面上滑行的最大位移。 题型九 机械能守恒的理解与判断 【例1】（多选）在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，叙述正确的是（    ） A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒 B．乙图中，用平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下物体B沿斜面下滑时（斜面A不动），物体B机械能保持不变 C．丙图连在一根轻杆上的两球自由下摆的过程中，A球机械能守恒 D．丁图中，小球在水平面内做匀速圆周运动，小球机械能守恒 【例2】（多选）关于重力势能的几种理解错误的是（　　） A．重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功 B．放在地面上的物体，它的重力势能一定为零 C．在不同的高度将某一物体抛出，且落地点在同一水平面上，落地时重力势能相等 D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，并影响重力势能变化的研究 【例3】（多选）关于机械能守恒，下列说法中正确的是（　　） A．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒 B．物体做匀速运动，其机械能可能不守恒 C．物体沿竖直方向向下做加速度为的匀加速运动，其机械能减少 D．物体所受合力为零，其机械能一定守恒 【例4】（多选）如图所示，一个质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为，这物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体的（　　） A．整个过程中物体机械能守恒 B．重力势能增加了 C．动能损失了 D．机械能损失了 题型十 单物体的机械能守恒问题 【例1】如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面高为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是mg（H-h） 【例2】如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　） A．从1到2动能减少 B．从1到2重力势能增加 C．从2到3动能增加 D．从2到3机械能不变 题型十一 连接体的机械能守恒问题 类型1 轻绳连接的物体系统 【例1】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R B． C． D． 【例2】如图所示，将质量为的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为，杆上的点与定滑轮等高，杆上的点在点下方距离为处。现将环从处由静止释放，不计一切摩擦阻力，杆足够长，下列说法正确的是（　　） A．环到达处时，重物上升的高度 B．环到达处时，环与重物的速度大小相等 C．环能下降的最大高度为 D．环从到，环减少的机械能大于重物增加的机械能 【例3】如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当A的位移为h时（　　） A．B的位移为2h，方向向下 B．A、B速度大小相等 C．A的速度大小为 D．B的机械能增加2mgh 【例4】（多选）如图所示三个装置，（）中桌面光滑，（）、（）中桌面粗糙程度相同，（）用大小为的力替代重物进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量及绳与滑轮摩擦，都由静止释放，在移动相同距离的过程中，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是（　　） A．装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量 B．装置（）中物块的加速度为 C．装置（）、（）中物块的动能增加量相同 D．装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力 类型2 轻杆连接的物体系统 【例1】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球的最大速度为2 B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小 C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为 D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1 【例2】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　) A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒 B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零 C．b球的最大速度为 D．a球的最大速度为 【例3】(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　) A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【例4】如图所示，长度为的轻杆上端连着一质量为的小球（可视为质点），杆的下端用铰链固接于水平地面上的点。置于同一水平面上的立方体恰与接触，立方体的质量为。今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而与刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为（，），重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．、质量之比为27：25 B．与刚脱离接触的瞬间，、速率之比为3：5 C．落地时速率为 D．与刚脱离接触的瞬间，的速率为 类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒 【例1】如图所示，光滑细杆AB倾斜固定，与水平方向夹角为45°，一轻质弹簧的一端固定在O点，另一端连接质量为m的小球，小球套在细杆上，O与细杆上A点等高，O与细杆AB在同一竖直平面内，OB竖直，OP垂直于AB，且OP＝L，当小球位于细杆上A、P两点时，弹簧弹力大小相等。现将小球从细杆上的A点由静止释放，在小球沿细杆由A点运动到B点的过程中（已知重力加速度为g，弹簧一直处于弹性限度内且不弯曲），下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能先减小后增大 B．小球运动过程中弹簧弹力的瞬时功率为零的位置有两个 C．小球运动到B点时的动能为2mgL D．弹簧弹力做正功过程中小球沿杆运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球沿杆运动的距离 【例2】(多选)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中(　　) A．C的质量mC可能小于m B．C的速度最大时，A的加速度为零 C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小 D．A、B、C系统的机械能先变大后变小 类型4 链条类机械能守恒问题 【例1】如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为 A． B． C． D． 【例2】有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为，则金属链条的长度为（    ） A．0.6m B．1m C．2m D．2.6m 类型5 流体类问题 【例1】两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为和，如图所示。已知水的密度为。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶中水面高度相等，则这一过程中重力势能减少量等于（　　） A． B． C． D． 【例2】如图所示，风力发电机的风力带动叶片转动，叶片再带动转子（磁极）转动，使定子（线圈）中产生感应电流，实现风能向电能的转化。若叶片长为L，当地平均风速为v，空气密度为，风能转化为电能的效率为，则每一台发电机每小时平均输出的电能为（　　） A． B． C． D． 【例3】在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． 题型十二 功能关系的理解和应用 类型1 功能关系的理解 能量 功能关系 表达式 势能 重力做功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv02 机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE 摩擦 产生 的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·x相对 电能 克服安培力做功等于电能增加量 W电能＝E2－E1＝ΔE 【例1】地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒为Ff.重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球上升的过程中动能减少了mgh B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Ffh C．小球上升的过程中重力势能增加了mgh D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了Ffh 【例2】如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 类型2 功能关系与图像的结合 【例1】（多选）从地面竖直向上抛出一物体，取地面为零势能参考面，该物体的和随上升高度h的变化如图所示。重力加速度取，由图中数据可得（　　） A．物体的质量为2.5 kg B．h＝2 m时，物体的动能 C．h＝0时，物体的速度大小为 D．物体的速度大小为20 m/s时，距地面的高度h=2 m 【例2】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，该物体的和随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为1kg B．h＝0时，物体的速率为20m/s C．物体上升4m过程中，物体的动能减少了80J D．物体上升2m过程中，克服阻力做功10J 【例3】一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N B．在x=3m时，物体的动能为15J C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s 题型十三 摩擦力做功与能量的转化 类型1 滑块—滑板模型中能量的转化问题 【例1】(多选)第一次将一长木板静止放在光滑水平面上，如图甲所示，一小铅块(可视为质点)以水平初速度v0由木板左端向右滑动，到达右端时恰能与木板保持相对静止．第二次将长木板分成A、B两块，使B的长度和质量均为A 的2倍，并紧挨着放在原水平面上，让小铅块仍以初速度v0由A的左端开始向右滑动，如图乙所示．若小铅块相对滑动过程中所受的摩擦力始终不变，则下列说法正确的(　　) A．小铅块将从B的右端飞离木板 B．小铅块滑到B的右端前已与B保持相对静止 C．第一次和第二次过程中产生的热量相等 D．第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量 【例2】如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，在t＝0时刻，一小物块以一定速度从左端滑上长木板，之后长木板运动的v­t图象如图乙所示，已知小物块与长木板的质量均为m＝1 kg，已知木板足够长，g取10 m/s2，求： (1)小物块与长木板间动摩擦因数的值； (2)在整个运动过程中，系统所产生的热量。 甲　　　　　　　　　乙 类型2 传送带模型中能量的转化问题 【例1】如图所示，某工厂用传送带向高处运送货物，将一货物轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是(　　) A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功 B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量 C．第一阶段物体和传送带间摩擦生的热等于第一阶段物体机械能的增加量 D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功 【例2】(多选)如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带AB之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s的速度匀速运动，则(g取10 m/s2)(　　) A．物体从A运动到B的时间是1.5 s B．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J C．物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J D．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J 【例3】（多选）如图所示，一倾角为θ的传送带由电动机带动，始终保持速率v匀速运动，质量为m的物块从传送带底端以平行于传动带斜向上的速度释放，物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，物块到达传送带顶端时速度恰好为v。已知重力加速度为g=10m/s2，，则在物块从传送带底端运动到传送带顶端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块运动的时间为0.1s B．传送带克服摩擦力做的功为 C．系统因运送物块增加的内能为 D．电动机因运送物块多做的功为 类型3 水平地面上的摩擦力做功分析 【例1】(多选)质量为m的物体在水平面上，只受摩擦力作用，以初动能E0做匀变速直线运动，经距离d后，动能减小为，则(　　) A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体再前进便停止 C．物体滑行距离d所用的时间是滑行后面距离所用时间的倍 D．若要使此物体滑行的总距离为3d，其初动能应为2E0 类型4 曲面上的摩擦力做功分析 【例1】如图所示，半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，已知重力加速度g，用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则（　　） A．，质点恰好可以到达Q点 B．，质点不能到达Q点 C．，质点到达Q点后，继续上升一段距离 D．，质点到达Q点后，继续上升一段距离 题型十四 能量守恒定律的理解和应用 【例1】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能Epm. 【例2】如图，在倾角为的光滑斜坡上有20个均匀分布的减速带，减速带之间的距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。某同学观察发现，小车通过第17个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s后停下，小车与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。 （1）小车进入水平地面时速度的大小； （2）小车通过20个减速带共损失的机械能； （3）小车通过第17个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能。 题型十五 实验 类型1 验证动能定理 【例1】．淋浴或洗澡后，浴室地面会变得非常湿滑，容易发生滑倒事故，因此使用合格的防滑垫是非常重要的。物理实验小组采用如图所示的装置测试某硅胶防滑垫与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数。上表面水平且浸湿的瓷砖固定在桌面上，将防滑垫P放置在瓷砖的上表面，细绳左端系在防滑垫P上，跨过定滑轮后另一端挂有质量为m的重物Q。将防滑垫P拉到M点，此时重物Q离地面高度为h，由静止释放重物Q，防滑垫P向右运动位移d到N点后静止，此时细绳已经松弛弯曲。改变h，多次实验得到下表的多组数据。已知防滑垫P的质量为，不考虑其沾水后质量的变化，重力加速度g取。 h/cm 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 d/cm 19.2 25.3 57.1 76.0 96 113 (1)结合实验数据在所给坐标系中绘制d—h关系图像_______； (2)经测定知m=1kg，，结合所绘制的图像，防滑垫P与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数为________（保留2位有效数字）； (3)若瓷砖上表面不水平而是左端稍高，所测得的防滑垫P与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数________（填“偏大”“偏小”或“准确”）。 【例2】．某兴趣小组用如图甲所示的实验装置来测物块与木板间的动摩擦因数。PQ为一块倾斜放置的木板，在木板底端Q处固定一个光电门，光电门与数字计时器相连（图中未画）。实验时通过改变木板倾角θ，使物块（其上固定有宽度为d的遮光条）从O点正上方不同高度h处的斜面上由静止释放，实验中保持OQ间距离L=1m不变，重力加速度g=10m/s2。（设物块与木板间的动摩擦因数处处相同） （1）实验中，不需要测量的物理量有___________。 A．遮光条的宽度d B．遮光条的挡光时间t C．物块（带遮光条）的质量m D．物块释放点到地面的高度h （2）该小组根据实验数据，计算得到物体经过光电门的速度v，并作出了如图乙所示的v2-h图像，其图像与横轴的交点为0.20。则物块与木板间的动摩擦因数μ=___________； （3）若更换动摩擦因数更小的木板，重复上述实验并在乙图中画出v2-h图像，其图像的斜率将___________（选填“增大”“减小”或“不变”）。 【例3】．某同学用如图甲所示的装置验证动量定理，部分实验步骤如下： (1)将一遮光条固定在滑块上，用20分度的游标卡尺测量遮光条的宽度，游标卡尺如图乙所示，则遮光条的宽度___________mm； (2)用天平称得滑块（包含遮光条）的质量； (3)将一与轻弹簧相连的压力传感器固定在气垫导轨左端，一光电门安装在气垫导轨上方，用滑块将弹簧压缩一段距离后由静止释放，压力传感器显示出弹簧弹力F随时间t变化的图像如图丙所示，根据图丙可求得弹簧对滑块的冲量大小为___________N·s；滑块离开弹簧一段时间后通过光电门，光电门测得遮光条的挡光时间为，可得弹簧恢复形变的过程中滑块的动量增量大小为___________kg·m/s。（计算结果均保留2位有效数字） 【例4】．某研究小组设计了一种“用一把尺子测定动摩擦因数”的实验方案。如图所示，是可固定于水平桌面上任意位置的滑槽（滑槽末端与桌面相切），是质量为的滑块（可视为质点）。 实验步骤如下： （1）将桌面固定于水平地面上； （2）测出桌面距离地面的高度； （3）将滑槽末端与桌面右边缘对齐并固定，如图甲所示。让滑块从滑槽最高点由静止滑下，确定落地点，测出桌面右边缘与点的水平距离； （4）将滑槽沿桌面向左移动一段距离并固定，如图乙所示。让滑块从滑槽最高点由静止滑下，确定落地点，测出滑槽最低点与桌面右边缘的距离、桌面右边缘与点的水平距离。 请回答以下问题： （1）每次实验都让滑块从滑槽最高点由静止滑下的理由是___________。 （2）第二次实验中，滑块滑到滑槽最低点时的速度大小为___________。滑块滑到桌面右端时的速度大小为___________。（用实验中所测物理量的符号表示，重力加速度为）。 （3）该实验中计算滑块与桌面间的动摩擦因数的表达式为___________。 【例5】．为了测定滑块与水平桌面之间的动摩擦因数，某同学设计了如图所示的实验装置，其中圆弧形滑槽末端与桌面相切。第一次实验时，滑槽固定于桌面右端，滑槽末端与桌面右端对齐，小球从滑槽顶端由静止释放，落在水平地面上的点；第二次实验时，滑槽固定于桌面左侧，测出滑槽末端与桌面右端的距离为，小球从滑槽顶端由静止释放，落在水平面上的点。已知重力加速度为，不计空气阻力，滑块与滑槽之间有摩擦力。 （1）实验还需要测出的物理量是__________（用代号表示） A．滑槽的高度 B．桌子的高度 C．点到点的距离 D．点到点的距离 E．滑块的质量 （2）实验中需要用到的测量工具（仪器）有_____________ （3）写出动摩擦因数的表达式是__________________ 类型2 验证机械能守恒 【例1】．现利用如图所示装置验证机械能守恒定律。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10-2 s、2.00×10-2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度（计算结果保留三位有效数字）。 (1)滑块经过光电门1时的速度v1=___________ m/s，通过光电门2时的速度v2=___________ m/s。 (2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为___________ J，重力势能的减少量为___________ J。 【例2】．（1）在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列说法或做法正确的是 ( ) A．选用质量大、体积小的重锤可减小实验误差   B．可以利用公式v＝来求解瞬时速度 C．固定好打点计时器，用手拿住穿过限位孔的纸带一端并静止使重锤靠近打点计时器处 D．先松开纸带，再接通电源，重物自由下落时纸带上就能打出一系列点 （2）在验证机械能守恒定律实验中,电源频率为50Hz。某同学按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O是起始点，A、B、C、D、E是纸带上连续五个点，测得它们到O的距离如图所示，（单位cm）。若实验中所用重锤的质量m=1kg，则到达C点时，重锤的动能Ek=_______J，从开始下落起至C点重锤的重力势能的减小量是_______J，由此可得出的结论是_____________。（g取10，计算结果均保留3位有效数字） 【例3】．在“验证机械能守恒定律”的实验中 (1)实验的研究对象是________。 (2)供选择的重物有以下四个应选择( ) A．质量为100g的钩码 B．质量为10g的砝码 C．质量为200g的木球 D．质量为10g的塑料球 (3)给打点计时器提供的电源如下，应选择( ) A．4节干电池 B．3节蓄电池 C．学生电源4V~6V，交流输出 D．学生电源4V~6V，直流输出 【例4】．某同学设计了如图所示的装置来探究机械能守恒。轻质细线的上端固定在O点，下端连接摆球，在摆球摆动的路径上可以用光电门测其瞬时速度。 (1)利用光电门测量摆球通过某点速度时，测得摆球直径为d，通过光电门时间为t，则过该点的瞬时速度大小______。 (2)如果摆球每次从A位置静止释放，测得距最低点E的竖直高度h处的速度为v，以h为横坐标，为纵坐标，建立直角坐标系，作出的图线是否过坐标原点______（选填“是”或“否”） (3)另一同学分别在A、B、C、D、E点安装光电门，得到摆球经过每个光电门的速度，并且相邻两点竖直高度差相等。通过计算发现相邻两点速度的平方差近似相等，则摆球在摆动过程中机械能______（选填“守恒”或“不守恒”）。 【例5】．如图所示，是用自由落体法验证机械能守恒定律的实验所得到的纸带。（g取9.80m/s2，结果均保留三位有效数字）。 选出一条纸带如图所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为三个计数点，打点计时器通以50Hz的交流电。用刻度尺测得OA=12.41cm，OB=18.90cm， OC=27.06cm，在计数点A和B、B和C之间还各有一个点，重锤的质量为1.00kg。甲同学根据以上数据算出：当打点计时器打到B点时重锤的重力势能比开始下落时减少_____J；打点计时器打到 B 点时重锤的速度 vB=_____m/s，此时重锤减少的重力势能______重锤增加的动能。（填“大于”或“小于”）试写出一条两值不等的原因__________。 【例6】．如图所示的装置为“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图。 (1)为完成此实验，除了图中所示器材，还必需的器材有________； A．刻度尺    B．秒表 C．天平    D．交流电源 (2)下列操作正确的是________； A．打点计时器应接到直流电源上 B．先释放重物，后接通电源 C．释放重物前，重物应尽量靠近打点计时器 (3)实验中，某实验小组得到如图所示的一条理想纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp=________，动能变化量ΔEk=________。 机械能守恒习题答案 题型一 功的理解与计算 类型1 功的正负的判断 【例1】(多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是(　　) A．摩擦力对物体做正功 B．摩擦力对物体做负功 C．支持力对物体不做功 D．合外力对物体做功为零 【答案】ACD 【解析】取物体为研究对象，受力分析如图所示 受重力mg、沿皮带向上的静摩擦力Ff和垂直于皮带的支持力FN，由于Ff方向与运动方向一致，做正功，A对，B错；FN方向与运动方向垂直，不做功，C对；由于匀速运动，合外力为0，D对． 【例2】图甲为一女士站在甲超市的台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在乙超市履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止，下列关于力做功判断正确的是（　　） A．甲图中支持力对人不做功 B．甲图中摩擦力对人做负功 C．乙图中支持力对人做正功 D．乙图中摩擦力对人做正功 D 【详解】甲图中，人匀速上楼，支持力向上，与速度方向为锐角，则支持力做正功．不受静摩擦力，摩擦力不做功，故AB错误．乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功．故D正确，C错误．所以D正确，ABC错误． 类型2 恒力功的分析和计算 【例1】如图所示的拖轮胎跑是一种体能训练活动。某次训练中，轮胎的质量为5 kg，与轮胎连接的拖绳与地面夹角为37°，轮胎与地面动摩擦因数是0.8。若运动员拖着轮胎以5 m/s的速度匀速前进 ，则10 s内运动员对轮胎做的功最接近的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)(　　) A．500 J B．750 J C．1 250 J D．2 000 J 【答案】　C 【解析】Fcos θ＝f， FN＋Fsin θ＝mg， f＝μFN，得F＝＝ N＝31.25 N， 10 s内运动员对轮胎做功WF＝Fcos θ·vt＝31.25×0.8×5×10 J＝1 250 J，选项C正确。 【例2】某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为点，该过程简化示意图如图所示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为，、B两点间的距离为，B、两点间的距离为，人的质量为，重力加速度大小为，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（　　） A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于 B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为 C．人从A点运动到点的过程中克服摩擦力做的功为 D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 【答案】C 【详解】AB．设倾斜滑垫的倾角为，对人分析有 故错误； CD．人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功 故C正确；D错误。 故选C。 类型3 作用力与发作用力做功 【例1】（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为的汽车，车厢中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为maL C．车对人的摩擦力做的功为 D．车对人的作用力大小为ma ABC 【详解】A．人对车的推力为F，在力F方向上车行驶了L，则推力F做的功为 故A正确； B．人受到车对人的推力、摩擦力、支持力，支持力不做功，所以摩擦力与推力做的功即为车对人做的功，由牛顿第二定律可知二力的合力向左，大小为ma，车向左运动了L，故车对人做的功为 故B正确； CD．竖直方向车对人的作用力大小为mg，则车对人的作用力 人在水平方向受到F的反作用力和车对人向左的摩擦力，则 可得 则车对人的摩擦力做的功为 故C正确，D错误。 故选ABC。 【例2】如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（　　） A．F对木块做功为 B．F对木块做功为 C．F对子弹做功为 D．F对子弹做功为 【答案】A 【解析】AB．木块的位移为，由 可得F对木块做功为 A正确；B错误； CD．子弹的位移为，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，即 CD错误。 故选A。 类型4 总功 【例1】两个互相垂直的力F1与F2同时作用在某物体上，该物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1与F2的合力对物体做功为（　　） A．0 B．5J C．7J D．25J 【答案】C 【解析】功是标量，合力做的功等于各个力做的功总和，即力F1和F2的合力对物体做的功，等于这两个力做的功的和，即W=W1+W2=7J 故选C。 【例2】质量为m的物体，静止在倾角为斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的（　　） A．合力对物体做功为 B．重力对物体做功为 C．物体克服摩擦力做功为 D．支持力对物体做功 C 【详解】A．物体做匀速直线运动，所受合力为零，合力做功为零，故A错误； B．物体沿水平方向运动，沿重力方向没有位移，所以重力做功为零，故B错误； C．物体受到摩擦力沿斜面向上，受力分析得 摩擦力做负功为 因此物体克服摩擦力做功为，故C正确； D．支持力垂直斜面向上，做正功 故D错误。 故选C。 【例3】如图所示，一辆装满石块的货车在平直道路上行驶。货箱中石块的质量为重力加速度为，在货车以加速度加速运动位移的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力大小为 B．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力大小为 C．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力做功为 D．周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力做功为 C 【详解】AB．货车在平直道路上以加速度a加速运动，石块B受到周围物体对它的作用力的合力F和重力mg，如图所示    对石块，由牛顿第二定律得 F合=ma 根据力的合成与分解可得与B接触的物体对B 的作用力大小为 故AB错误； CD．设周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力F与水平方向的夹角为θ，周围与石块B接触的物体对它的作用力的合力做功 W=Fxcosθ=max 故C正确，D错误。 故选C。 题型二 变力功的分析与计算 类型1 微元法计算变力做功 【例1】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为0 B．悬线的拉力做功为mgL C．空气阻力做功为 D．摆球克服空气阻力做功为fL 【答案】C 【详解】A．摆球所受重力竖直向下，摆球位移有竖直向下的分量，故重力做功不为零，故A错误； B．悬线的拉力始终与v垂直，不做功，故B错误； CD．将圆弧路径分成若干小圆弧（尽量小），每一段小圆弧上可认为f是恒力，所以f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和，即 Wf＝－（fΔx1＋fΔx2＋…）＝-fπL 故C正确，D错误。 故选C。 【例2】如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)．用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中： (1)拉力F做的功； (2)桥面对物块的摩擦力做的功． 【答案】：(1)376.8 J　(2)－136.8 J 【解析】：(1)将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2…Wn.因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37° 所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J. (2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0 所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J. 类型2 图像法计算变力做功 【例1】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F所做的总功为(　　) A．0　　 B.Fmx0　 　C.Fmx0　　 D.x 【答案】C　 【解析】：F为变力，但F－x图象与x轴所包围的面积在数值上表示拉力做的总功．由于图线为半圆，又因在数值上Fm＝x0，故W＝π·F＝π·Fm·x0＝Fmx0，故选C. 类型3 平均力法求变力做功 【例1】如图所示，n个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】小方块依次进入粗糙区域，摩擦力逐渐增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为f，则 整个过程中的平均摩擦力 摩擦力对所有小方块做的功 所以做功的大小为。 故选C。 【例2】静止于水平地面上质量为的物体，在水平拉力（式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作用下，沿水平方向移动了。已知重力加速度，则在物体移动的过程中拉力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为 则物体移动过程中拉力的平均值为 则拉力做的功 故选B。 类型4 等效转换法求变力做功 【例1】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O，现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大，已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，，重力加速度为g（已知：），则滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滑块到点时速度最大，其所受合力为零，则有 解得 拉力做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，滑轮与间绳长 滑轮与间绳长 滑轮右侧绳子增大的长度 拉力做功 类型5 应用动能定理求变力做功 【例1】如图所示，一质量为的质点在半径为的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点时，它对容器的正压力为。重力加速度为，则质点自A滑到的过程中，摩擦力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设在B点的速度为，由牛顿第二定律，有 则质点在B点的动能为 质点从A滑到B的过程中，由动能定理得 解得 故选C。 【例2】如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中力F做的功至少为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】开始时，A、B都处于静止状态，弹簧的压缩量设为x1，由胡克定律有kx1＝mg；木块B恰好离开地面时，弹簧的拉力等于B的重力，设此时弹簧的伸长量为x2，由胡克定律有kx2＝mg，可得x1＝x2＝，则这一过程中，弹簧弹力做功为零，木块A上升的高度h＝x1＋x2＝，设变力F做的功为WF，由动能定理得WF－WG＝0，又WG＝mgh＝，所以WF＝，B选项正确． 类型5 虚功原理 【例1】一半径为R的光滑半球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑匀质铁链，A为球面的顶点，B端与C端恰与桌面不接触。铁链单位长度的质量为，重力加速度大小为g，求铁链A处的张力T的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，考虑一半链条，我们使用虚位移的考虑思路，设想存在作用力F作用在链条A端，将会使链条做出一个非常小，趋近于零的虚位移Δx→0，而这个过程的作用效果可以等效于处于链条B端的，一段长为Δx的链条移到A端，因此，计算出这一段势能的增加即可计算出F所做的功，因此F•Δx=ρΔxgR 所以F=ρgR 故选A。 题型三 功率的分析和计算 【例1】如图，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．三个小球运动过程中重力做的功不相等 B．三个小球运动过程中重力做功的平均功率相等 C．a、b落地时的速度相同 D．b、c落地时重力的瞬时功率相等 D 【详解】A．小球运动过程中重力做的功 可知三个小球运动过程中重力做的功相等，故A错误； B．小球运动过程中重力做功的平均功率 由于三个小球运动的时间不完全一样，三个小球运动过程中重力做功的平均功率不完全相同，故B错误； C．根据动能定理 a、b落地时的速度大小相等，速度方向不同，故C错误； D．b、c落地时重力的瞬时功率 b、c落地时重力的瞬时功率相等，故D正确。 故选D。 【例2】(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是(　　) A．t秒内重力对物体做功为mg2t2 B．t秒内重力的平均功率为mg2t C．前秒末重力的瞬时功率与后秒末重力的瞬时功率之比为1∶2 D．前秒内重力做功的平均功率与后秒内重力做功的平均功率之比为1∶3 【答案】ACD 【解析】物体自由下落，t秒内物体下落h＝gt2，Wt＝mgh＝mg2t2，故A正确；P＝＝＝mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前秒末与后秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前秒末与后秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前秒与后秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。 【例3】《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（   ）    A． B． C． D．nmgωRH B 【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为 m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm 则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功 W = 1.2πRnmgH 则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 联立有 故选B。 【例4】放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力F的作用，0~3s内速度和拉力的功率随时间变化的图像分别如图（a）和图（b）所示，取重力加速度g=10 m/s2.下列说法正确的是（　　） A．物体与水平面间动摩擦因数为0.45 B．物体的质量为3kg C．0~3s内物体克服摩擦力做的功为84J D．0~3s内拉力的平均功率为20W 【答案】B 【解析】AB．1~3s内物体做匀速直线运动，拉力大小等于滑动摩擦力，所以在1~3s内拉力的大小为 0~1s内物体做匀加速直线运动，其加速度为 此时的水平拉力F为 由牛顿第二定律得 代入数值解得 则物体与水平面间动摩擦因数 故A错误，B正确； C．0~1s内物体发生的位移为 1~3s内物体发生的位移为 0~3s内物体发生的位移为 则0~3s内物体克服摩擦力做的功为 故C错误； D．0~1s内拉力做功为 1~3s内拉力做功为 则0~3s内拉力的平均功率 故D错误。 故选B。 【例5】如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（　　）   A．物体加速度大小为 B．F的大小为21N C．4s末F的功率为42W D．4s内F的平均功率为42W C 【详解】A．由图乙可知物体的加速度为 故A错误； B．根据牛顿第二定律得 解得 F = 10.5N 故B错误； C．4s末物体的速度为 则拉力F作用点的速度为 则拉力的功率 P= Fv = 42W 故C正确； D．4s内F的平均功率为 又 联立，解得 故D错误。 故选C。 【例6】如图所示，一物块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端被人用力F拉住，力F大小如图甲所示，前10s内物块的v-t图像如图乙所示，保持力F与水平方向之间的夹角θ=60°不变，当用力F拉绳使物块前进时，下列说法正确的是（　　） A．0~5s内人做的功为75J B．3s末人做功的功率为9W C．5~10s内摩擦力大小为2N D．5~10s内人做的功为150J D 【详解】通过穿过滑轮的轻绳用力F拉物体，等效于如图所示的两个力F同时拉物体，拉力F做功等于这两个力做功的代数和。 A．由图甲，0～5秒内拉力大小F1＝6N，根据乙图求的物块在0～5秒物体位移 所以拉力做功 故A错误； B．由图乙可知，3秒末速度为 拉力F的功率为 故B错误； C．由乙图知，5～10秒内物块做匀速运动，物体所受合力等于零，水平方向由平衡条件得 又由图甲可知 解得 故C错误； D．由图甲，5～10秒内拉力大小F2＝4N，根据乙图求的物块在5～10秒物体位移 所以拉力做功 故D正确； 故选：D。 【例7】飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直位置的过程中，飞行员重力的瞬时功率的变化情况是（  ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 C 【详解】飞行员刚开始下摆时，因为其速度为零，故起始时刻的瞬时功率为0，当飞行员下摆到最低点时，因重力与速度的方向垂直，此时的瞬时功率也为0，摆动中的其他位置瞬时功率不为0，则重力的瞬时功率先增大后减小。 故选C。 【例8】如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点放置一质量为的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力作用下由运动到，力大小恒为。对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．力做功大小为 B．力做功大小为 C．力的功率先增大后减小 D．克服重力做功的功率先增大后减小 【答案】B 【解析】AB．由于力F方向始终沿圆弧切线，且大小恒为mg ，根据变力做功的计算方法，这里可以用微元法。把圆弧分成很多小段，每一小段上力F做的功（是每一小段的弧长） 则力F做功的大小 故A错误，B正确； C．从A到B过程，F始终大于重力沿切线方向的分力，所以物体一直在做加速运动，速度一直在增大，根据（F与v始终夹角为） 可知F的功率一直在增大，故C错误； D．设重力方向与速度方向夹角，题图可知，对于该运动过程，从增大到，则克服重力做功的功率 可知一直在增大，v也在增大，故克服重力做功的功率一直增大，故D错误。 故选B。 题型四 机车启动问题 类型1 恒定功率启动 【例1】汽车以恒定的功率在平直公路上行驶，所受到的摩擦阻力恒等于车重的0.1倍，汽车能达到的最大速度为vm.则当汽车速度为时，汽车的加速度为(重力加速度为g)(　　) A．0.1g B．0.2g C．0.3g D．0.4g 【答案】A　 【解析】：设汽车质量为m，则汽车行驶时受到的阻力Ff＝0.1mg，当汽车速度最大为vm时，汽车所受的牵引力F＝Ff，则有P＝Ffvm，当速度为时有P＝F，由以上两式可得F＝2Ff，根据牛顿第二定律F－Ff＝ma，所以a＝＝＝0.1 g，故选项A正确． 【例2】(多选)质量为M的汽车在平直的公路上行驶，发动机的输出功率P和汽车所受的阻力f都恒定不变．在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则在这段时间内发动机所做的功为(　　) A．fs B.(v0＋vm)ft C．fvmt D.Mv－Mv＋fs 【答案】CD　 【解析】：汽车以恒定功率启动，有P＝fvm，所以在时间t内发动机所做的功W＝Pt＝fvmt.根据动能定理可得，在时间t内发动机所做的功W＝Mv－Mv＋fs.在时间t内，汽车做加速度减小的加速运动，牵引力F＞f，所以发动机所做的功W＞fs.因为汽车前进的距离s＞(v0＋vm)t，所以W＞(v0＋vm)ft. 类型2 以恒定加速度启动 【例1】(多选)质量m=200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系．设汽车在运动过程中阻力恒定不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大．则下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力200N B．汽车启动过程中最大牵引力为1000N C．汽车在加速运动过程中的位移大小为90m D．8s~18s过程中汽车牵引力做的功为8×104 J BD 【详解】A．汽车匀速时有 可得 故A错误； B．对启动过程分析可知，最初的匀加速阶段时的牵引力最大，而由图像可知 故最大牵引力 故B正确； C．汽车做变加速运动过程的时间 速度从8m/s增大为10m/s，此过程牵引力功率不变，由动能定理 解得 故C错误； D．8s~18s牵引力功率保持不变，则牵引力做功为 故D正确。 故选BD。 【例2】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求： (1)汽车做匀加速运动的时间t1； (2)汽车所能达到的最大速率； (3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？ 【答案】：(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s 【解析】：(1)由牛顿第二定律得 F－mgsin 30°－Ff＝ma 设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv v＝at1 解得t1＝7 s. (2)当达到最大速度vm时，a＝0，则有 P＝(mgsin 30°＋Ff)vm 解得vm＝8 m/s. (3)汽车匀加速运动的位移x1＝at 在后一阶段对汽车由动能定理得 Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝mv－mv2 又有x＝x1＋x2 解得t2＝15 s 故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s. 【例3】某汽车集团公司研制了一辆燃油与电动混合动力赛车，燃油发动机单独工作时的额定功率为P，蓄电池供电的电力发动机单独工作时的额定功率为，已知赛车运动过程中受到的阻力恒定． (1)若燃油发动机单独工作时的最大速度为120 km/h，则两台发动机同时工作时的最大速度为多少？ (2)若赛车先单独启动电力发动机从静止开始做匀加速直线运动，经过t1时间达到额定功率，然后以燃油发动机的额定功率单独启动继续加速，又经过t2时间达到最大速度v0，赛车总质量为m，求赛车的整个加速距离． 【答案】：(1)210 km/h　(2) 【解析】：(1)燃油发动机单独工作，P＝F1v1＝fv1 两台发动机同时工作，P＋＝F2v2＝fv2 最大速度v2＝＝210 km/h. (2)燃油发动机的额定功率为P，最大速度为v0， 阻力f＝匀加速过程功率随时间均匀增加，发动机的平均功率为，设总路程为s，由动能定理有 t1＋Pt2－fs＝mv 解得s＝. 类型3 机车起动中的图像问题 【例1】(多选)汽车在平直的公路上以恒定的功率启动，设阻力恒定，则图10中关于汽车运动过程中加速度、速度随时间变化的关系，以下判断正确的是(　　) A．汽车的加速度—时间图象可用图乙描述 B．汽车的速度—时间图象可用图甲描述 C．汽车的加速度—时间图象可用图丁描述 D．汽车的速度—时间图象可用图丙描述 【答案】AB 【解析】由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，F＝，即－Ff＝ma，随着v的增大，物体做加速度减小的加速运动，在v－t图象上斜率应越来越小，故图甲为汽车的速度—时间图象，选项B正确，D错误；由a＝－知，因速度增加得越来越慢，加速度减小得越来越慢，最后趋于零，故图乙为汽车加速度—时间图象，选项A正确，C错误。 【例2】(多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是(　　) 【答案】ACD　 【解析】：由于汽车一开始做匀加速直线运动，所以此过程的牵引力不变，其功率均匀增大，当增大到额定功率后，汽车的功率不再增加，而速度在增大，故牵引力逐渐减小，加速度变小．当加速度变为零时，汽车做匀速直线运动，此时加速度为0. 【例3】(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数的关系图象如图7所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则(　　) A．汽车所受阻力为6×103 N B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2 C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2 D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W 【答案】CD 【解析】当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小Ff＝2 000 N，故A错误；车速为5 m/s时，汽车的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，故B错误；题中倾斜图线的斜率表示汽车的额定功率，可知P＝Ffv＝2 000×30 W＝6×104 W，当车速为15 m/s时，牵引力F＝＝ N＝4 000 N，则加速度a′＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；汽车的最大功率等于额定功率，等于6×104 W，故D正确． 【例4】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数的关系图象如图所示．若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是(　　) A．汽车的功率 B．汽车行驶的最大速度 C．汽车所受到的阻力 D．汽车运动到最大速度所需的时间 【答案】D. 【解析】：由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应图线可知，＝k＝40，可求出汽车的功率P，由a＝0时，＝0.05可得：vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间． 类型4 功率变化问题 【例1】某辆汽车总质量为m，发动机的功率为P时在平直公路上以速度v0匀速行驶。驾驶员减小油门从而合理进入限速区，汽车功率立即减小到并保持该功率继续行驶。假设汽车行驶过程中所受阻力大小不变，从驾驶员减小油门开始，汽车的v-t关系如图所示，则在0-t1时间内下列说法正确的是（　　） A．t=0时，汽车的加速度大小为 B．t1时刻汽车的速度大小为 C．汽车行驶的位移为大小为 D．汽车发动机所做功为 【答案】C 【解析】A．开始汽车做匀速直线运动，阻力 t=0时刻，汽车的牵引力 根据牛顿第二定律得，t=0时汽车的加速度大小 A错误； B．开始汽车做匀速直线运动，阻力 t1时刻汽车功率为，有 联立解得 v1= B错误； D．根据题意，小车进入小区后以恒定功率行驶可知 D错误； C．根据动能定理知 解得克服阻力做功 汽车行驶的位移 C正确。 故选C。 【例2】一辆质量为m的汽车原来在平直路面上以速度v匀速行驶，发动机的输出功率为P。从某时刻开始，司机突然加大油门将汽车发动机的输出功率提升至某个值并保持不变，结果汽车在速度到达2v之后又开始匀速行驶。若汽车行驶过程所受路面阻力保持不变，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　） A．汽车加速过程的最大加速度为 B．汽车速度增大时，发动机产生的牵引力随之不断增大 C．汽车速度从v增大到2v过程做匀加速运动 D．汽车加速过程的平均速度为 【答案】A 【解析】A．当汽车以速度v匀速行驶时，汽车阻力与牵引力大小相等 当汽车以速度2v匀速行驶时 解得，汽车发动机的输出功率 汽车刚加速时的牵引力 此时是最大加速度 故A正确； B．由公式可知，发动机输出功率不变，当汽车速度增大时，发动机产生的牵引力随之不断减小。故B错误； C．汽车速度从v增大到2v过程做匀加速运动，由公式可知，在发动机输出功率不变时，汽车速度增大，发动机产生的牵引力将不断减小，又根据牛顿第二定律可得，汽车的加速度 因为牵引力不断减小，阻力不变，所以汽车的加速度在不断减小。故C错误； D．若汽车做的是匀加速直线运动，则汽车的平均速度 因为汽车的加速度在不断减小，所以汽车加速过程的平均速度不等于 故D错误。 故选A。 题型五 对动能定理的理解及应用 【例1】关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系．下列说法正确的是(　　) A．合外力为零，则合外力做功一定为零 B．合外力做功为零，则合外力一定为零 C．合外力做功越多，则动能一定越大 D．动能不变，则物体合外力一定为零 【答案】A. 【解析】：由W＝Flcos α可知，物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故A正确，B错误；由动能定理W＝ΔEk可知，合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大，动能不变，合外力做功为零，但合外力不一定为零，C、D均错误． 【例2】(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是(　　) A．对物体，动能定理的表达式为W＝mv22－mv12，其中W为支持力做的功 B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功 C．对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝mv22－mv12，其中W为支持力做的功 D．对电梯，其所受的合力做功为Mv22－Mv12 【答案】CD　 【解析】：电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力FN，这两个力的总功才等于物体动能的增量ΔEk＝mv－mv，故A、B错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故D正确． 题型六 动能定理的基本应用 类型1 动能定理在直线中的应用 【例1】(多选)如图所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，载人滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计载人滑草车在两段滑道交接处的能量损失，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则(　　) A．动摩擦因数μ＝ B．载人滑草车最大速度为 C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g 【答案】AB 【解析】对载人滑草车从坡顶由静止开始滑到底端的全过程分析，由动能定理可知：mg·2h－μmgcos 45°·－μmgcos 37°·＝0，解得μ＝，选项A正确； 对经过上段滑道的过程分析，根据动能定理有mgh－μmgcos 45°·＝mv，解得：vm＝，选项B正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh，选项C错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度为a＝＝－g，故大小为g，选项D错误． 类型2 动能定理在曲线运动中的应用 【例1】如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A端正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则： (1)物块到达A点时的速度大小和PA间的高度差分别为多少？ (2)物块从A运动到B所用时间和克服摩擦力做的功分别为多少？ 【答案　(1)　　(2)　mgr 【解析】(1)设物块在B点时的速度为v，由牛顿第二定律得：FN－mg＝m， 因为FN＝2mg，所以v＝， 因为物块从A点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块到达A点时速度大小为； 设PA间的高度差为h，从P到A的过程由动能定理得：mgh＝mv2，所以h＝. (2)因为物块从A点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块从A运动到B所用时间t＝＝； 从A运动到B由动能定理有：mgr－W克f＝0，解得：W克f＝mgr. 题型七 应用动能定理求解多过程问题 类型1 动能定理解决往复运动问题 【例1】如图所示，物块以60 J的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，当它的动能减少为零时，重力势能增加了45 J，则物块回到斜面底端时的动能为(　　) A．15 J B．20 J C．30 J D．45 J 【答案】C 【解析】由动能定理可知WG＋Wf＝0－Ek0，解得摩擦力做功为Wf＝－15 J，对物块整个过程由动能定理得2Wf＝Ek－Ek0，解得物块回到斜面底端时的动能为Ek＝30 J，故C正确，A、B、D错误。 【例2】如图所示，装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x＝5 m，轨道CD足够长且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30 m、h2＝1.35 m．现让质量为m的小滑块(可视为质点)自A点由静止释放．已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)小滑块第一次到达D点时的速度大小； (2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔； (3)小滑块最终停止的位置距B点的距离． 【答案】：(1)3 m/s　(2)2 s　(3)1.4 m 【解析】：(1)小滑块从A→B→C→D过程中： 由动能定理得mg(h1－h2)－μmgx＝mv－0. 代入数据，解得vD＝3 m/s. (2)小滑块从A→B→C过程中： 由动能定理得mgh1－μmgx＝mv. 代入数据，解得vC＝6 m/s. 小滑块沿CD段上滑的加速度大小a＝gsin θ＝6 m/s2. 小滑块沿CD段上滑到最高点的时间t1＝＝1 s. 由对称性可知小滑块从最高点滑回C点的时间t2＝t1＝1 s. 故小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔t＝t1＋t2＝2 s. (3)设小滑块在水平轨道上运动的总路程为x总，对小滑块运动全过程应用动能定理． 有mgh1＝μmgx总． 代入数据，解得x总＝8.6 m，故小滑块最终停止的位置距B点的距离为：2x－x总＝1.4 m. 类型2 动能定理解决平抛、圆周运动相结合的问题 【例1】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高，质量m＝1 kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8. (1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ； (2)若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值； (3)若滑块离开C点的速度大小为4 m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t. 【答案】：(1)0.375　(2)2 m/s　(3)0.2 s 【解析】：(1)滑块恰能滑到D点，则vD＝0 滑块从A→B→D过程中，由动能定理得 mg(2R－R)－μmgcos θ·＝0－0 解得μ＝0.375. (2)滑块恰能过C点时，vC有最小值，则在C点 mg＝ 滑块从A→B→D→C过程，由动能定理得 －μmgcos θ·＝mv－mv 解得v0＝2 m/s. (3)滑块离开C点后做平抛运动，设下落的高度为h， 则有h＝gt2 x＝v′C t ＝tan 53° 其中v′C＝4 m/s，联立解得t＝0.2 s. 【例2】如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块(可看作质点)，恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道。圆弧轨道CDM的半径R＝0.5 m，O为圆弧的圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度，OC与水平面夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与水平面夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量m＝3 kg，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78 N，与斜面MN之间的动摩擦因数μ＝，小球第一次通过C点后立刻安装一个与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不考虑小物块运动过程中的转动，求： (1)小物块平抛运动到C点时的速度大小； (2)A点到C点的竖直距离； (3)小物块在斜面MN上滑行的总路程。 【答案】(1)2 m/s　(2)0.128 m　(3)1 m 【解析】(1)在D点，支持力和重力的合力提供向心力，则有FD－mg＝m 解得v＝8(m/s)2 从C点到D点，由动能定理有 mgR(1－sin 37°)＝mv－mv 解得vC＝2 m/s。 (2)平抛运动到C点的竖直分速度 vCy＝vCcos 37° A点到C点的竖直距离y＝ 解得y＝0.128 m。 (3)最后物块在CM之间来回滑动，且到达M点时速度为零，运用动能定理得 －mgR(1－sin 37°)－μmgcos 53°·s总＝－mv 代入数据并解得s总＝1 m。 【例3】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。 （2）问绳能承受的最大拉力多大？ （3）绳能承受的最大拉力与第（2）小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ （1），；（2）mg；（3），d 【详解】（1）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向 解得 水平方向 则绳断时小球速度大小 小球落地时竖直分速度 小球落地时速度大小 （2）绳断前，对小球受力分析，根据牛顿第二定律得 解得 （3）设绳长为，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得 解得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为。竖直方向 水平方向 联立解得 当且仅当 解得 时有最大值 【例4】如图所示，细绳的一端固定在点，另一端系着一金属小球，小球的质量为，细绳长为．将细绳拉直，从偏离水平方向的位置由静止释放小球，已知重力加速度为．求： (1)细绳刚伸直时小球的速度大小； (2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小． (1) (2)3.5mg 【详解】（1）小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为，由对称性及几何知识，可知小球下落的高度 根据机械能守恒定律得 解得 （2）细绳伸直后瞬间，小球在垂直细绳方向的速度设为，将小球速度沿细绳方向和垂直细绳方向分解得 设小球运动到最低点A时的速度为，以过A点的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律得 解得 小球在最低点，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg． 题型八 动能定理与图象的综合问题 【例1】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为 A．2 kg B．1.5 kg C．1 kg D．0.5 kg 【答案】C 【解析】对上升过程，由动能定理，，得，即F+mg=12 N；下落过程，，即N，联立两公式，得到m=1 kg、F=2 N。 【例2】如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在随位移均匀减小的水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，(取g＝10 m/s2)，则下列说法正确的是(　　) A．物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动 B．物体在水平地面上运动的最大位移是10 m C．物体运动的最大速度为2 m/s D．物体在运动中的加速度先变小后不变 【答案】B 【解析】当推力小于摩擦力时物体就开始做减速运动，选项A错误；由题图乙中图线与x轴所围面积表示推力对物体做的功得，推力做的功W＝×4×100 J＝200 J，根据动能定理有W－μmgxm＝0，得xm＝10 m，选项B正确；当推力与摩擦力大小相等时，加速度为零，速度最大，由题图乙得F＝100－25x(N)，当F＝μmg＝20 N时x＝3.2 m，由动能定理得(100＋20)·x－μmgx＝mv，解得物体运动的最大速度vm＝8 m/s，选项C错误；物体运动中当推力由100 N减小到20 N的过程中，加速度逐渐减小，当推力由20 N减小到0的过程中，加速度又反向增大，此后加速度不变，故选项D错误。 【例3】如图1所示，一倾角的斜面体固定在水平地面上（斜面足够长、带一定滑轮），物块A放在斜面上的O点，用跨过轻质定滑轮的轻绳与物块B连接，B离滑轮足够远。A、B的质量分别为、。运动过程中A与O点的距离设为x，A与斜面间的动摩擦因数μ与x的关系如图2。重力加速度g取，现将A、B由静止释放。求： （1）当x为多大时物块A的速度最大； （2）物块A在斜面上滑行的最大位移。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设物块A的速度最大时A与斜面间的动摩擦因数，由牛顿第二定律得 解得 由图2得 则当时 （2）设物块A沿斜面向下滑到最大位移过程中，克服摩擦力做功为，由功能关系得 摩擦力做功为 其中 解得 题型九 机械能守恒的理解与判断 【例1】（多选）在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，叙述正确的是（    ） A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒 B．乙图中，用平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下物体B沿斜面下滑时（斜面A不动），物体B机械能保持不变 C．丙图连在一根轻杆上的两球自由下摆的过程中，A球机械能守恒 D．丁图中，小球在水平面内做匀速圆周运动，小球机械能守恒 BD 【详解】A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，由于弹簧的弹性势能不断增加，故物体A的机械能不断减少，故A错误； B．乙图中，用平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下物体B沿斜面下滑时（斜面A不动），对物体B，除重力外的其他力所做功的代数和为零，故物体B机械能保持不变，故B正确； C．连在一根轻杆上的两球自由下摆的过程中，两个球间的轻杆要做功，两球的机械能一个增加，另一个减小，系统机械能守恒，所以A球机械能不守恒，故C错误； D．小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不变，小球机械能守恒，故D正确。 故选BD。 【例2】（多选）关于重力势能的几种理解错误的是（　　） A．重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功 B．放在地面上的物体，它的重力势能一定为零 C．在不同的高度将某一物体抛出，且落地点在同一水平面上，落地时重力势能相等 D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，并影响重力势能变化的研究 ABD 【详解】A．一个物体能不能对外做功，和它所具有重力势能的多少无关，故A错误，满足题意要求； B．如果不选择地面为零势能面，放在地面上的物体的重力势能一定不为零，故B错误，满足题意要求； C．一旦参考平面确定后，同一物体在某一水平面上的重力势能就确定了，故C正确，不满足题意要求； D．重力势能的变化与高度差有关，与参考平面的选择无关，故D错误，满足题意要求。 故选ABD。 【例3】（多选）关于机械能守恒，下列说法中正确的是（　　） A．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒 B．物体做匀速运动，其机械能可能不守恒 C．物体沿竖直方向向下做加速度为的匀加速运动，其机械能减少 D．物体所受合力为零，其机械能一定守恒 BC 【详解】A．物体所受合力不为零，其机械能也可能守恒，例如自由落体运动，选项A错误； B．物体做匀速运动，其机械能可能不守恒，例如物体向上做匀速直线运动，选项B正确； C．物体沿竖直方向向下做加速度为的匀加速运动，则除重力外肯定受到向上的外力对物体做负功，则其机械能减少，选项C正确； D．物体所受合力为零，其机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动，选项D错误。 故选BC。 【例4】（多选）如图所示，一个质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度为，这物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体的（　　） A．整个过程中物体机械能守恒 B．重力势能增加了 C．动能损失了 D．机械能损失了 CD 【详解】A．假设物体不受摩擦力，则有 解得 可知，假设不成立，物体上滑过程中受沿斜面向下的滑动摩擦力作用，有 解得 所以物体机械能不守恒，故A错误； B．根据 又 联立，解得 即重力势能增加了，故B错误； C．由动能定理，可得 解得 即动能损失了，故C正确； D．根据 解得 即机械能损失了，故D正确。 故选CD。 题型十 单物体的机械能守恒问题 【例1】如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面高为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是mg（H-h） 【答案】A 【详解】AB．物体在抛出点的机械能为 物体离开桌面后只有重力做功，机械能守恒，则物体在A点机械能也为该值，故A正确，B错误； CD．根据机械能守恒定律有 故A点的动能为 故CD错误。 故选A。 【例2】如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　） A．从1到2动能减少 B．从1到2重力势能增加 C．从2到3动能增加 D．从2到3机械能不变 B 【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1到2重力势能增加，则1到2动能减少量大于，A错误，B正确； CD．从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于，选项CD错误。 故选B。 题型十一 连接体的机械能守恒问题 类型1 轻绳连接的物体系统 【例1】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R B． C． D． 【答案】C　 【解析】设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v2得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选项C正确。 【例2】如图所示，将质量为的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为，杆上的点与定滑轮等高，杆上的点在点下方距离为处。现将环从处由静止释放，不计一切摩擦阻力，杆足够长，下列说法正确的是（　　） A．环到达处时，重物上升的高度 B．环到达处时，环与重物的速度大小相等 C．环能下降的最大高度为 D．环从到，环减少的机械能大于重物增加的机械能 C 【详解】A．根据几何关系有，环从A下滑至B点时，下降的高度为d，则重物上升的高度 故A错误； B．环到达B处时，对环的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有 得 故B错误； C．环下滑到最大高度为h时环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为，根据机械能守恒有 得 故C正确； D．环下滑过程中无摩擦力对系统做功，故系统机械能守恒，即满足环减小的机械能等于重物增加的机械能，故D错误。 故选C。 【例3】如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g，当A的位移为h时（　　） A．B的位移为2h，方向向下 B．A、B速度大小相等 C．A的速度大小为 D．B的机械能增加2mgh A 【详解】A．设细线的拉力为T，由图示可知，A受到两细线的拉力为2T，方向向上，B受到细线的拉力为T向上，A、B所受重力大小相等，A、B释放后，A向上运动，B向下运动，若A上升的高度为h时，则连接动滑轮两侧的细线上升高度均为h，而细线固定端不移动，所以细线自由端下降的高度为2h，故B下降的高度为2h，B的位移为2h，方向向下，故A正确； B．由于B下降的位移是A上升位移的两倍，它们的运动时间相等，由 可知，B的加速度是A加速度的两倍，由速度公式 可知，同一时刻B的速度是A的两倍，故B错误； C．设当A的位移为h时，速度为v，则B的速度大小为2v，B下降的高度为2h，以A、B两个物体组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律得 解得 故C错误； D．由上述分析可知，重物B下降的高度为，此时重物B的速度为 则重物B的机械能变化量为 即B的机械能减少，故D错误； 故选A。 【例4】（多选）如图所示三个装置，（）中桌面光滑，（）、（）中桌面粗糙程度相同，（）用大小为的力替代重物进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量及绳与滑轮摩擦，都由静止释放，在移动相同距离的过程中，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是（　　） A．装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量 B．装置（）中物块的加速度为 C．装置（）、（）中物块的动能增加量相同 D．装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力 【答案】AD 【详解】A．由于装置（b）有摩擦力，可知装置（a）中物块的加速度较大，在移动相同距离的过程中得到的速度较大，则装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量，选项A正确； B．装置（）中对系统列方程可知，物块的加速度为 选项B错误； C．装置（）中的加速度 装置（c）中的加速度 可知装置（）中物块的加速度较大，在移动相同距离的过程中得到的速度较大，则装置（c）的动能增加量大于（）中的动能增加量，选项C错误； D．装置（）中绳上的张力 装置（）中绳上的张力 装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力，选项D正确。 故选AD。 类型2 轻杆连接的物体系统 【例1】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球的最大速度为2 B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小 C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为 D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1 B 【详解】D．根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为 vA∶vB＝ω·2l∶ωl＝2∶1 D错误； B．由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确； AC．当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得 解得 由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为 AC错误。 故选B。 【例2】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是(　　) A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒 B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零 C．b球的最大速度为 D．a球的最大速度为 【答案】C 【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcos θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误． 【例3】(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　) A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】BD　 【解析】由题意知，系统机械能守恒，设某时刻a、b的速度分别为va、vb，此时轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图所示。 因为轻杆不可伸长，所以沿轻杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确；由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即轻杆对b先做正功后做负功，选项A错误；轻杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到轻杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误；b的动能最大时，轻杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。 【例4】如图所示，长度为的轻杆上端连着一质量为的小球（可视为质点），杆的下端用铰链固接于水平地面上的点。置于同一水平面上的立方体恰与接触，立方体的质量为。今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，而与刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为（，），重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．、质量之比为27：25 B．与刚脱离接触的瞬间，、速率之比为3：5 C．落地时速率为 D．与刚脱离接触的瞬间，的速率为 A 【详解】B．杆对A的作用力先是支持力后是拉力，A与B刚脱离接触的瞬间，杆对A的作用力等于零，A的速度方向垂直于杆，水平方向的分速度等于B的速度，有 解得 故B错误； D．A与B刚脱离接触的瞬间，B对A也没有作用力，A只受重力作用，根据牛顿第二定律可得 解得 ， 故D错误； C．脱离接触之后，由机械能守恒定律可得 解得 故C错误； A．脱离接触之前，由机械能守恒定律 解得 故A正确。 故选A。 类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒 【例1】如图所示，光滑细杆AB倾斜固定，与水平方向夹角为45°，一轻质弹簧的一端固定在O点，另一端连接质量为m的小球，小球套在细杆上，O与细杆上A点等高，O与细杆AB在同一竖直平面内，OB竖直，OP垂直于AB，且OP＝L，当小球位于细杆上A、P两点时，弹簧弹力大小相等。现将小球从细杆上的A点由静止释放，在小球沿细杆由A点运动到B点的过程中（已知重力加速度为g，弹簧一直处于弹性限度内且不弯曲），下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能先减小后增大 B．小球运动过程中弹簧弹力的瞬时功率为零的位置有两个 C．小球运动到B点时的动能为2mgL D．弹簧弹力做正功过程中小球沿杆运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球沿杆运动的距离 D 【详解】A．由题意可知，当小球位于细杆上A、P两点时，弹簧弹力大小相等，则有小球位于细杆上A点时弹簧处于拉伸状态，小球在P点时弹簧处于压缩状态，在小球沿细杆由A点运动到B点时，弹簧的形变量先减小后增大，再减小后增大，则弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小后增大，如图所示，A错误； B．在AP间和PB间各有一个位置弹簧处于原长的状态，小球的加速度大小为 方向沿杆向下；在P点弹簧的弹力垂直杆，小球受合力为mgsin45°，方向沿杆向下，即小球的加速度大小为，方向沿杆向下，因此小球运动过程中弹簧弹力的瞬时功率是零的位置有三个，B错误； C．小球沿杆从A到B的运动中，弹簧的弹力对小球做功是零，由动能定理可得，小球运动到B点时的动能为 C错误； D．由题意可知，小球沿杆从A到P的运动中，弹簧的弹力对小球做功是零，小球从A点由静止释放到弹簧恢复原长，弹簧弹力对小球做正功，小球从弹簧恢复原长到运动到P点，弹簧弹力对小球做负功，即小球克服弹簧弹力做功，弹力对小球做正功和做负功大小相等，大小等于弹簧的弹性势能，大小又等于，因此从A到P运动过程中弹簧弹力做正功过程中小球沿杆运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球沿杆运动的距离，同理从P到B运动过程中弹簧弹力做正功过程中小球沿杆运动的距离也等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球沿杆运动的距离，选项D正确。 故选D。 【例2】(多选)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中(　　) A．C的质量mC可能小于m B．C的速度最大时，A的加速度为零 C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小 D．A、B、C系统的机械能先变大后变小 【答案】BCD　 【解析】弹簧原来的压缩量x1＝，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2＝，则x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等，根据A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCgsin α·＝mg·，α是斜面的倾角，解得mCsin α＝m，sin α<1，所以mC>m，故A错误；C速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力FT＝mCgsin α＝mg，因此A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧弹性势能最小，故B、C正确；由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C系统的机械能先变大后变小，故D正确。 类型4 链条类机械能守恒问题 【例1】如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，PM段绳的机械能不变，MQ段绳的机械能的增加量为，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功，故选A。 【例2】有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为，则金属链条的长度为（    ） A．0.6m B．1m C．2m D．2.6m 【答案】C 【详解】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为 链条全部滑出后，动能为 重力势能为 由机械能守恒可得 即 解得 故选C。 类型4 流体类问题 【例1】两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为和，如图所示。已知水的密度为。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶中水面高度相等，则这一过程中重力势能减少量等于（　　） A． B． C． D． C 【详解】由于水的体积不变，把连接两桶的阀门打开至两桶中水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高部分的水等效地移至右管，如图，阴影部分从左管移至右管重力做的功为 所以重力势能减少量 故选C。 【例2】如图所示，风力发电机的风力带动叶片转动，叶片再带动转子（磁极）转动，使定子（线圈）中产生感应电流，实现风能向电能的转化。若叶片长为L，当地平均风速为v，空气密度为，风能转化为电能的效率为，则每一台发电机每小时平均输出的电能为（　　） A． B． C． D． B 【详解】每秒钟吹到叶片上的空气的质量为 动能 发电机每小时平均输出的电能为 故选B。 【例3】在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． ．B 【详解】设水从出水口射出的初速度为，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为 根据平抛运动规律 解得 根据功能关系得 联立解得水泵的输出功率为 故选B。 题型十二 功能关系的理解和应用 类型1 功能关系的理解 能量 功能关系 表达式 势能 重力做功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv02 机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE 摩擦 产生 的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·x相对 电能 克服安培力做功等于电能增加量 W电能＝E2－E1＝ΔE 【例1】地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒为Ff.重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球上升的过程中动能减少了mgh B．小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Ffh C．小球上升的过程中重力势能增加了mgh D．小球上升和下降的整个过程中动能减少了Ffh 【答案】　C 【解析】　小球上升的过程中，重力和阻力都做负功，其中克服重力做功等于mgh，故总功大于mgh；根据动能定理，总功等于动能的变化量，故动能的减小量大于mgh，故A错误．除重力外其余力做的功等于机械能的变化量，除重力外，克服阻力做功2Ffh，故机械能减小2Ffh，故B错误．小球上升h，故重力势能增加mgh，故C正确．小球上升和下降的整个过程中，重力做功等于零，阻力做功等于－2Ffh，故根据动能定理，动能减小2Ffh，故D错误． 【例2】如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 【答案】D 【详解】A．运动员下落h，则重力做功为 故A错误； B．根据 得 则运动员克服阻力做功为 故B错误； C．运动员的动能增加量等于合外力做功，则 = 故C错误； D．运动员的机械能减少量等于克服阻力做功，即 故D正确。 故选D。 类型2 功能关系与图像的结合 【例1】（多选）从地面竖直向上抛出一物体，取地面为零势能参考面，该物体的和随上升高度h的变化如图所示。重力加速度取，由图中数据可得（　　） A．物体的质量为2.5 kg B．h＝2 m时，物体的动能 C．h＝0时，物体的速度大小为 D．物体的速度大小为20 m/s时，距地面的高度h=2 m 【答案】AC 【详解】A．由图可知，上升的最大高度为4m，由重力势能公式 可得 A正确； BD．由图可知时，物体的动能 物体的速度为 BD错误； C．h＝0时，物体的速度大小为 C正确； 故选AC。 【例2】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，该物体的和随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为1kg B．h＝0时，物体的速率为20m/s C．物体上升4m过程中，物体的动能减少了80J D．物体上升2m过程中，克服阻力做功10J 【答案】D 【详解】A．根据题意，由公式结合图像可得，物体的质量为 故A错误； B．h＝0时，物体的重力势能为0，则有 解得 故B错误； C．由图可知，物体上升到4m时 此时物体的动能为0，则物体的动能减少了 故C错误； D．由图可知，物体上升到2m时 ， 则此时的动能为 由动能定理有 解得 故D正确。 故选D。 【例3】一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N B．在x=3m时，物体的动能为15J C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s 【答案】C 【详解】A．由于拉力在水平方向，则拉力做的功为，可看出图像的斜率代表拉力F，则从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小 故A错误； B．由图可知从x=0运动到x=3m，拉力做功为W=15J，根据动能定理有 可得x=3m时物体的动能为 故B错误； C．从x=0运动到x=2m，拉力做功 W=12J 物体克服摩擦力做的功为 根据功能关系 故C正确； D．根据图像可知在0~2m的过程中，2~4m的过程中，由于物体受到的摩擦力恒为f=4N，则物体在x=2m处速度最大，根据动能定理有 可得 故D错误。 故选C。 题型十三 摩擦力做功与能量的转化 类型1 滑块—滑板模型中能量的转化问题 【例1】(多选)第一次将一长木板静止放在光滑水平面上，如图甲所示，一小铅块(可视为质点)以水平初速度v0由木板左端向右滑动，到达右端时恰能与木板保持相对静止．第二次将长木板分成A、B两块，使B的长度和质量均为A 的2倍，并紧挨着放在原水平面上，让小铅块仍以初速度v0由A的左端开始向右滑动，如图乙所示．若小铅块相对滑动过程中所受的摩擦力始终不变，则下列说法正确的(　　) A．小铅块将从B的右端飞离木板 B．小铅块滑到B的右端前已与B保持相对静止 C．第一次和第二次过程中产生的热量相等 D．第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量 【答案】BD. 【解析】：在第一次小铅块运动过程中，小铅块与木板之间的摩擦力使整个木板一直加速，第二次小铅块先使整个木板加速，当小铅块运动到B上后A停止加速，只有B加速，加速度大于第一次的对应过程，故第二次小铅块与B将更早共速，所以小铅块还没有运动到B的右端，二者就已共速，A错误，B正确；由于第一次的相对路程大于第二次的相对路程，则第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量，C错误，D正确． 【例2】如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，在t＝0时刻，一小物块以一定速度从左端滑上长木板，之后长木板运动的v­t图象如图乙所示，已知小物块与长木板的质量均为m＝1 kg，已知木板足够长，g取10 m/s2，求： (1)小物块与长木板间动摩擦因数的值； (2)在整个运动过程中，系统所产生的热量。 甲　　　　　　　　　乙 【答案】(1)0.5　(2)72 J 【解析】(1)设小物块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，长木板达到的最大速度为vm，长木板加速过程中，由牛顿第二定律得 μ1mg－2μ2mg＝ma1 vm＝a1t1 木板和物块相对静止，共同减速过程中，由牛顿第二定律得 μ2·2mg＝2ma2 vm＝a2t2 由图象可知，vm＝2 m/s，t1＝2 s，t2＝1 s 联立解得μ1＝0.5。 (2)设小物块初速度为v0，刚滑上长木板时的加速度大小为a0，则有 μ1mg＝ma0 vm＝v0－a0t1 在整个过程中，由能量守恒定律得Q＝mv＝72 J。 【例3】 【例4】 类型2 传送带模型中能量的转化问题 【例1】如图所示，某工厂用传送带向高处运送货物，将一货物轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是(　　) A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功 B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量 C．第一阶段物体和传送带间摩擦生的热等于第一阶段物体机械能的增加量 D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功 【答案】C　 【解析】：对物体分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A错误；由动能定理知，合外力做的总功等于物体动能的增加量，B错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D错误；设第一阶段物体的运动时间为t，传送带速度为v，对物体：x1＝t，对传送带：x1′＝v·t，摩擦产生的热Q＝Ffx相对＝Ff(x1′－x1)＝Ff·t，机械能增加量ΔE＝Ff·x1＝Ff·t，所以Q＝ΔE，C正确． 【例2】(多选)如图所示，质量m＝1 kg的物体从高为h＝0.2 m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带AB之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s的速度匀速运动，则(g取10 m/s2)(　　) A．物体从A运动到B的时间是1.5 s B．物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J C．物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J D．物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J 【答案】AC　 【解析】设物体下滑到A点的速度为v0，对PA过程，由机械能守恒定律有mv＝mgh，代入数据得v0＝＝2 m/s<v＝4 m/s，则物体滑上传送带后，在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，加速度大小为a＝＝μg＝2 m/s2；当物体的速度与传送带的速度相等时用时t1＝＝ s＝1 s，匀加速运动的位移x1＝t1＝×1 m＝3 m<L＝5 m，所以物体与传送带共速后向右做匀速运动，匀速运动的时间为t2＝＝ s＝0.5 s，故物体从A运动到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s，故选项A正确；物体运动到B的速度是v＝4 m/s，根据动能定理得：摩擦力对物体做功W＝mv2－mv＝×1×42 J－×1×22 J＝6 J，选项B错误；在t1时间内，传送带做匀速运动的位移为x带＝vt1＝4 m，故产生热量Q＝μmgΔx＝μmg(x带－x1)，代入数据得Q＝2 J，选项C正确；电动机多做的功一部分转化成了物体的动能，另一部分转化为内能，则电动机多做的功W＝＋Q＝×1×(42－22) J＋2 J＝8 J，选项D错误。 【例3】（多选）如图所示，一倾角为θ的传送带由电动机带动，始终保持速率v匀速运动，质量为m的物块从传送带底端以平行于传动带斜向上的速度释放，物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，物块到达传送带顶端时速度恰好为v。已知重力加速度为g=10m/s2，，则在物块从传送带底端运动到传送带顶端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块运动的时间为0.1s B．传送带克服摩擦力做的功为 C．系统因运送物块增加的内能为 D．电动机因运送物块多做的功为 BC 【详解】A．由，，可得 ， 由牛顿第二定律可得物块运动的加速度 物块运动的时间为 由于速度大小未知，故物块运动的时间不可求出，故A错误； B．物块与传送带间摩擦力大小 由匀变速直线运动公式，得物块的位移 又物块的位移 物块从传送带底端运动到传送带顶端的过程中，传送带的位移 传送带克服摩擦力做的功为 故B正确； C．系统因运送物块增加的内能为 故C正确； D．对滑块，增加的机械能为 电动机因运送物块多做的功等于系统摩擦产生的内能和物块机械能的增加量 故D错误。 故选BC。 类型3 水平地面上的摩擦力做功分析 【例1】(多选)质量为m的物体在水平面上，只受摩擦力作用，以初动能E0做匀变速直线运动，经距离d后，动能减小为，则(　　) A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体再前进便停止 C．物体滑行距离d所用的时间是滑行后面距离所用时间的倍 D．若要使此物体滑行的总距离为3d，其初动能应为2E0 【答案】AD　 【解析】：由动能定理知Wf＝μmgd＝E0－，所以μ＝，A正确；设物体总共滑行的距离为s，则有μmgs＝E0，所以s＝d，物体再前进便停止，B错误；将物体的运动看成反方向的匀加速直线运动，则连续运动三个距离所用时间之比为1∶(－1)∶(－)，所以物体滑行距离d所用的时间是滑行后面距离所用时间的(－1)倍，C错误；若要使此物体滑行的总距离为3d，则由动能定理知μmg·3d＝Ek，得Ek＝2E0，D正确． 类型4 曲面上的摩擦力做功分析 【例1】如图所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则（　　） A．，质点恰好可以到达Q点 B．，质点不能到达Q点 C．，质点到达Q点后，继续上升一段距离 D．，质点到达Q点后，继续上升一段距离 C 【详解】根据质点滑到轨道最低点N时，对轨道压力为4mg，利用牛顿第三定律可知，轨道对质点的支持力为4mg，则在最低点有 解得质点滑到最低点时的速度为 对质点从开始下落到滑到最低点的过程，由动能定理得 解得 对质点由最低点继续上滑的过程，到达Q点时克服摩擦力做功W′要小于W，由此可知，质点到达Q点后，可继续上升一段距离。 故选C。 题型十四 能量守恒定律的理解和应用 【例1】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能Epm. 【答案】：(1)0.52　(2)24.5 J 【解析】：(1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，物体动能和重力势能减少，机械能的减少量为 ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°① 物体克服摩擦力产生的热量为 Q＝Ffx② 其中x为物体的路程，即x＝5.4 m③ Ff＝μmgcos 37°④ 由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤ 由①②③④⑤式解得μ≈0.52. (2)由A到C的过程中，动能减少 ΔE′k＝mv⑥ 重力势能减少ΔE′p＝mglACsin 37°⑦ 摩擦生热Q＝FflAC＝μmgcos 37°lAC⑧ 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 Epm＝ΔE′k＋ΔE′p－Q⑨ 联立⑥⑦⑧⑨解得Epm≈24.5 J. 【例2】如图，在倾角为的光滑斜坡上有20个均匀分布的减速带，减速带之间的距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。某同学观察发现，小车通过第17个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s后停下，小车与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。 （1）小车进入水平地面时速度的大小； （2）小车通过20个减速带共损失的机械能； （3）小车通过第17个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在水平地面上，小车水平方向受到摩擦力即合外力，根据牛顿第二定律 f = ma f=μN=μmg 可得 a =μg 由公式 可得 = （2）以水平地面为零势能面，静止下滑处小车的机械能为 通过20个减速带时小车的机械能为 小车通过20个减速带共损失的机械能为 （3）通过相邻减速带间的平均速度不再增加的大致v-t图像 或（图像不做要求） 通过第17个及之后的减速带时小车的平均速度相同，即达到减速带时小车的瞬时速度相同。 小车通过第17个减速带后，根据功能关系，每经过一个减速带损失的机械能 题型十五 实验 类型1 验证动能定理 【例1】．淋浴或洗澡后，浴室地面会变得非常湿滑，容易发生滑倒事故，因此使用合格的防滑垫是非常重要的。物理实验小组采用如图所示的装置测试某硅胶防滑垫与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数。上表面水平且浸湿的瓷砖固定在桌面上，将防滑垫P放置在瓷砖的上表面，细绳左端系在防滑垫P上，跨过定滑轮后另一端挂有质量为m的重物Q。将防滑垫P拉到M点，此时重物Q离地面高度为h，由静止释放重物Q，防滑垫P向右运动位移d到N点后静止，此时细绳已经松弛弯曲。改变h，多次实验得到下表的多组数据。已知防滑垫P的质量为，不考虑其沾水后质量的变化，重力加速度g取。 h/cm 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 d/cm 19.2 25.3 57.1 76.0 96 113 (1)结合实验数据在所给坐标系中绘制d—h关系图像_______； (2)经测定知m=1kg，，结合所绘制的图像，防滑垫P与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数为________（保留2位有效数字）； (3)若瓷砖上表面不水平而是左端稍高，所测得的防滑垫P与表面浸湿的瓷砖之间的动摩擦因数________（填“偏大”“偏小”或“准确”）。 【答案】(1) (2)0.49 (3)偏小 【详解】（1）舍去偏差较大的第二组数据点，可作出d—h关系图像如下图所示 （2）重物Q下落至临落地时根据动能定理，有 在重物Q落地后，对防滑垫P，根据动能定理，有 整理得防滑垫P还将运动 可知 结合d—h图像的斜率得 代入k=1.9，m=1kg， 解得μ=0.49 （3）若瓷砖上表面不水平而是左端稍高，防滑垫P向右运动的距离d变大，d—h关系图像斜率变大，易知测得的动摩擦因数偏小。 【例2】．某兴趣小组用如图甲所示的实验装置来测物块与木板间的动摩擦因数。PQ为一块倾斜放置的木板，在木板底端Q处固定一个光电门，光电门与数字计时器相连（图中未画）。实验时通过改变木板倾角θ，使物块（其上固定有宽度为d的遮光条）从O点正上方不同高度h处的斜面上由静止释放，实验中保持OQ间距离L=1m不变，重力加速度g=10m/s2。（设物块与木板间的动摩擦因数处处相同） （1）实验中，不需要测量的物理量有___________。 A．遮光条的宽度d B．遮光条的挡光时间t C．物块（带遮光条）的质量m D．物块释放点到地面的高度h （2）该小组根据实验数据，计算得到物体经过光电门的速度v，并作出了如图乙所示的v2-h图像，其图像与横轴的交点为0.20。则物块与木板间的动摩擦因数μ=___________； （3）若更换动摩擦因数更小的木板，重复上述实验并在乙图中画出v2-h图像，其图像的斜率将___________（选填“增大”“减小”或“不变”）。 【答案】 C 0.2 不变 【详解】(1)[1]该实验中计算摩擦因数时，质量可以约去，所以在实验中不需要测量的物理量为物块（带遮光条）的质量m。故选C。 (2)[2]根据动能定理 解得 当时h=0.2m则 (3)[3]由 得 图像斜率为 所以若更换动摩擦因数更小的木板，重复上述实验并在乙图中画出图像，其图像的斜率将不变。 【例3】．某同学用如图甲所示的装置验证动量定理，部分实验步骤如下： (1)将一遮光条固定在滑块上，用20分度的游标卡尺测量遮光条的宽度，游标卡尺如图乙所示，则遮光条的宽度___________mm； (2)用天平称得滑块（包含遮光条）的质量； (3)将一与轻弹簧相连的压力传感器固定在气垫导轨左端，一光电门安装在气垫导轨上方，用滑块将弹簧压缩一段距离后由静止释放，压力传感器显示出弹簧弹力F随时间t变化的图像如图丙所示，根据图丙可求得弹簧对滑块的冲量大小为___________N·s；滑块离开弹簧一段时间后通过光电门，光电门测得遮光条的挡光时间为，可得弹簧恢复形变的过程中滑块的动量增量大小为___________kg·m/s。（计算结果均保留2位有效数字） 【答案】 4.00 0.77 0.76 【详解】(1)[1]则遮光条的宽度为 (3)[2]弹簧对滑块的冲量大小等于图像与坐标轴所围的面积，约等于0.77 N·s； [3]滑块通过光电门时的速度为 滑块的动量增量大小为 【例4】．某研究小组设计了一种“用一把尺子测定动摩擦因数”的实验方案。如图所示，是可固定于水平桌面上任意位置的滑槽（滑槽末端与桌面相切），是质量为的滑块（可视为质点）。 实验步骤如下： （1）将桌面固定于水平地面上； （2）测出桌面距离地面的高度； （3）将滑槽末端与桌面右边缘对齐并固定，如图甲所示。让滑块从滑槽最高点由静止滑下，确定落地点，测出桌面右边缘与点的水平距离； （4）将滑槽沿桌面向左移动一段距离并固定，如图乙所示。让滑块从滑槽最高点由静止滑下，确定落地点，测出滑槽最低点与桌面右边缘的距离、桌面右边缘与点的水平距离。 请回答以下问题： （1）每次实验都让滑块从滑槽最高点由静止滑下的理由是___________。 （2）第二次实验中，滑块滑到滑槽最低点时的速度大小为___________。滑块滑到桌面右端时的速度大小为___________。（用实验中所测物理量的符号表示，重力加速度为）。 （3）该实验中计算滑块与桌面间的动摩擦因数的表达式为___________。 【答案】 到滑槽末端速度相同 【详解】（1）[1]每次实验都让滑块从滑槽最高点由静止滑下的理由是到滑槽末端速度相同； （2）[2]对第一次实验 解得 则第二次实验中，滑块滑到滑槽最低点时的速度大小也为 [3]第二次实验中 滑块滑到桌面右端时的速度大小为 （3）[4]第二次从小球滑到斜槽底端到滑到桌边的过程中由动能定理 解得 【例5】．为了测定滑块与水平桌面之间的动摩擦因数，某同学设计了如图所示的实验装置，其中圆弧形滑槽末端与桌面相切。第一次实验时，滑槽固定于桌面右端，滑槽末端与桌面右端对齐，小球从滑槽顶端由静止释放，落在水平地面上的点；第二次实验时，滑槽固定于桌面左侧，测出滑槽末端与桌面右端的距离为，小球从滑槽顶端由静止释放，落在水平面上的点。已知重力加速度为，不计空气阻力，滑块与滑槽之间有摩擦力。 （1）实验还需要测出的物理量是__________（用代号表示） A．滑槽的高度 B．桌子的高度 C．点到点的距离 D．点到点的距离 E．滑块的质量 （2）实验中需要用到的测量工具（仪器）有_____________ （3）写出动摩擦因数的表达式是__________________ 【答案】 BCD 刻度尺 【详解】（1）[1]滑块离开桌面后做平抛运动，实验需要测出滑块离开滑槽与离开桌面时的速度，因此实验时需要测出：桌子的高度H； O点到P点的距离d1；O点到Q点的距离d2。 故选BCD。 （2）[2]实验中需要用到的测量工具（仪器）有刻度尺。 （3）[3]滑块离开桌面后做平抛运动，在竖直方向上 在水平方向上 ， 滑块在桌面上运动时，要克服摩擦力做功，由动能定理得 解得 类型2 验证机械能守恒 【例1】．现利用如图所示装置验证机械能守恒定律。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10-2 s、2.00×10-2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度（计算结果保留三位有效数字）。 (1)滑块经过光电门1时的速度v1=___________ m/s，通过光电门2时的速度v2=___________ m/s。 (2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为___________ J，重力势能的减少量为___________ J。 【答案】 1.00 2.50 5.25 5.29 【详解】(1)[1] 光电门1时的速度 [2]光电门2时的速度 (2)动能增加量 重力势能的减少量 【例2】．（1）在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列说法或做法正确的是 ( ) A．选用质量大、体积小的重锤可减小实验误差   B．可以利用公式v＝来求解瞬时速度 C．固定好打点计时器，用手拿住穿过限位孔的纸带一端并静止使重锤靠近打点计时器处 D．先松开纸带，再接通电源，重物自由下落时纸带上就能打出一系列点 （2）在验证机械能守恒定律实验中,电源频率为50Hz。某同学按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O是起始点，A、B、C、D、E是纸带上连续五个点，测得它们到O的距离如图所示，（单位cm）。若实验中所用重锤的质量m=1kg，则到达C点时，重锤的动能Ek=_______J，从开始下落起至C点重锤的重力势能的减小量是_______J，由此可得出的结论是_____________。（g取10，计算结果均保留3位有效数字） 【答案】 AC 8.00J 8.42J 在误差允许的范围内，重锤的机械能守恒 【详解】（1）[1]A.选用质量大、体积小的重锤可减小空气阻力的影响，则可减小实验误差，选项A正确；   B.不可以利用公式v＝来求解瞬时速度，否则就是间接运用了机械能守恒定律，选项B错误； C.固定好打点计时器，用手拿住穿过限位孔的纸带一端并静止使重锤靠近打点计时器处，选项C正确； D.先接通电源，再松开纸带，重物自由下落时纸带上就能打出一系列点，选项D错误。 故选AC。 （2）[2]到达C点时，重锤的速度 动能 [3]从开始下落起至C点重锤的重力势能的减小量是 [4]由此可得出的结论是在误差允许的范围内，重锤的机械能守恒。 【例3】．在“验证机械能守恒定律”的实验中 (1)实验的研究对象是________。 (2)供选择的重物有以下四个应选择( ) A．质量为100g的钩码 B．质量为10g的砝码 C．质量为200g的木球 D．质量为10g的塑料球 (3)给打点计时器提供的电源如下，应选择( ) A．4节干电池 B．3节蓄电池 C．学生电源4V~6V，交流输出 D．学生电源4V~6V，直流输出 【答案】 带纸带夹的重锤 A C 【详解】(1)[1]实验中是研究重锤下落过程中重力势能的变化量与动能变化量之间的关系的，所以研究对象为带纸带的重锤； (2)[2]重物的选择原则为密度大，体积小，所以选A。 (3)[3]打点计时器都是用的交流电源，所以选C。 【例4】．某同学设计了如图所示的装置来探究机械能守恒。轻质细线的上端固定在O点，下端连接摆球，在摆球摆动的路径上可以用光电门测其瞬时速度。 (1)利用光电门测量摆球通过某点速度时，测得摆球直径为d，通过光电门时间为t，则过该点的瞬时速度大小______。 (2)如果摆球每次从A位置静止释放，测得距最低点E的竖直高度h处的速度为v，以h为横坐标，为纵坐标，建立直角坐标系，作出的图线是否过坐标原点______（选填“是”或“否”） (3)另一同学分别在A、B、C、D、E点安装光电门，得到摆球经过每个光电门的速度，并且相邻两点竖直高度差相等。通过计算发现相邻两点速度的平方差近似相等，则摆球在摆动过程中机械能______（选填“守恒”或“不守恒”）。 【答案】(1) (2)否 (3)守恒 【详解】（1）利用光电门测量摆球通过某点速度时，测得摆球直径为d，通过光电门时间为t，则过该点的瞬时速度大小为 （2）设A位置距最低点E的竖直高度为，根据机械能守恒可得 整理可得 可知作出的图线不过坐标原点。 （3）设相邻两点竖直高度差为，在相邻两点间，根据机械能守恒可得 可得 由于相邻两点竖直高度差相等，通过计算发现相邻两点速度的平方差近似相等，则摆球在摆动过程中机械能守恒。 【例5】．如图所示，是用自由落体法验证机械能守恒定律的实验所得到的纸带。（g取9.80m/s2，结果均保留三位有效数字）。 选出一条纸带如图所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为三个计数点，打点计时器通以50Hz的交流电。用刻度尺测得OA=12.41cm，OB=18.90cm， OC=27.06cm，在计数点A和B、B和C之间还各有一个点，重锤的质量为1.00kg。甲同学根据以上数据算出：当打点计时器打到B点时重锤的重力势能比开始下落时减少_____J；打点计时器打到 B 点时重锤的速度 vB=_____m/s，此时重锤减少的重力势能______重锤增加的动能。（填“大于”或“小于”）试写出一条两值不等的原因__________。 【答案】 1.85J 1.83m/s 大于 纸带和重锤运动过程中受到阻力的作用 【详解】[1]重力势能减小量 △Ep=mgh=1×9.8×0.189J=1.85J [2]根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，有 动能的增加量为 [3][4]通过计算可以看出 △EP＞△EK 这是因为纸带和重锤运动过程中受到阻力的作用。 【例6】．如图所示的装置为“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图。 (1)为完成此实验，除了图中所示器材，还必需的器材有________； A．刻度尺    B．秒表 C．天平    D．交流电源 (2)下列操作正确的是________； A．打点计时器应接到直流电源上 B．先释放重物，后接通电源 C．释放重物前，重物应尽量靠近打点计时器 (3)实验中，某实验小组得到如图所示的一条理想纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp=________，动能变化量ΔEk=________。 【答案】 AD C mghB m()2 【详解】(1)[1]打点计时器需要交流电源，还需要刻度尺测量纸带上的点距，AD正确。 故选AD。 (2)[2]A．打点计时器应接到交流电源上，A错误； B．实验时应先接通电源，后释放重物，B错误； C．释放重物前，重物应尽量靠近打点计时器，C正确。 故选C。 (3)[3][4]从打起始点O到打B点的过程中，重物的重力势能减少量 ΔEp＝mghB 根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，则B点的速度为 故动能的增量为 ΔEk＝mvB2＝m()2 1 学科网（北京）股份有限公司 $