4.4 数据的离散程度（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度（1）”，核心讲解方差的概念、计算公式及应用。通过甲、乙射击运动员10次成绩（平均分相同但波动不同）的情境导入，衔接数据集中趋势知识，以问题链引导学生从直观观察到数值刻画离散程度，搭建学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，通过“离差→离差平方和→方差”的推导过程，培养数学思维（推理意识）和数据意识。结合射击、气温、零件直径等实例，融入计算器操作，小结明确公式、步骤及意义。帮助学生理解概念本质，提升数据分析能力，教师可高效备课，优化教学环节。

4.4 数据的离散程度（1） 第四章 数据的集中趋势和离散程度 学 习 目 标 1 2 理解离差平方和、方差的概念，掌握方差的计算公式． 会计算一组数据的方差，并能运用方差比较两组数据的波动大小． 3 经历方差概念的形成过程，体会从“平均数相同但分散程度不同”的实际问题出发，逐步建构方差概念的合理性． 比较两人的平均成绩，能决定选谁参赛吗？ 是随机决定，还是寻找其他指标来辅助决策？ 情境导入 学校要选派一名射击运动员参加市级比赛．教练对甲、乙两名候选运动员进行了10 次射击测试，成绩如下： 运动员 射击成绩/环 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 7 9 9 9 10 9 10 9 9 9 乙 10 7 10 8 10 7 10 10 8 10 ＝9 (环) ＝9 (环) 平均分相同，不能决定 为了直观地看出甲、乙两人的射击情况，整理两组数据，画图如下： 新知探究 比较上面的两幅图可以看出，两组数据都分布在平均数 9 附近，但甲的射击成绩 分布更集中，更接近平均数 9，比较稳定；乙的成绩波动比甲大，也可以说，乙 的成绩相对于平均数离散程度比较大． 如何用数值来刻画这两组数据的“离散程度”呢？ 新知探究 尝试1：用“各数据与平均数的差”即“离差”，表示单个数据偏离平均数的远近． 把这些离差相加，得到什么？ 运动员 射击成绩/环 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 7 9 9 9 10 9 10 9 9 9 乙 10 7 10 8 10 7 10 10 8 10 甲与平均数的差 －2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 乙与平均数的差 1 －2 1 －1 1 －2 1 1 －1 1 正负抵消，和为0，无法衡量整体波动． 如何避免正负抵消？ ＝9 (环) ＝9 (环) 0 0 新知探究 尝试2：用“离差的绝对值”即“”，表示单个数据偏离平均数的远近． 运动员 射击成绩/环 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 7 9 9 9 10 9 10 9 9 9 乙 10 7 10 8 10 7 10 10 8 10 甲离差的绝对值 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 乙离差的绝对值 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 绝对值相加，在计算时不太方便．还有没有更好的方法呢？ 离差的平方． 获取新知 统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为 离差平方和（sum of squares of deviation）． 设 n 个数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ，那么，这组数据 的离差平方和为： ＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2． 离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度． 新知探究 计算甲、乙两组数据的离差平方和．结合散点图，你有什么发现？ ＝(－2)2＋02＋02＋02＋12＋02＋12＋02＋02＋02＝6 ＝12＋(－2)2＋12＋(－1)2＋12＋(－2)2＋12＋12＋(－1)2＋12＝16 乙的离差平方和更大，说明乙的波动更大． 若两组数据的个数不同，能用离差平方和比较它们的离散程度吗？ 讨论交流 某超市A种产品连续 10 天的销量如图①，B种产品连续 15 天的销量如图②，试比较这两组数据的离散程度． ① ② ＝21， ＝62 ＝21， ＝62 不能，数据多的离差平方和自然可能更大． 两组数据的平均数与离差平方和都相同，能说明波动一样吗？ 为了公平比较，应该取“平均数”——用离差平方和除以数据个数． 获取新知 为了比较两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离差平方和的平均数 代替这组数据的总偏差，即用一组数据 x1，x2，…，xn 与它们的平均数 的差 的平方和的平均数 ＝[(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2] 来描述这组数据的离散程度，并把 叫作这组数据的方差 (variance)． 方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度． 方差是刻画数据的离散程度的常用统计量． 新知应用 运动员 射击成绩/环 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 甲 7 9 9 9 10 9 10 9 9 9 乙 10 7 10 8 10 7 10 10 8 10 ＝＝9，＝＝9， ＝×[(7－9)2＋7×(9－9)2＋2×(10－9)2]＝0.6， ＝×[6×(10－9)2＋2×(7－9)2＋2×(8－9)2]＝1.6． 由 ＜知，虽然甲、乙两位选手的平均成绩相同，但甲的射击成绩 离散程度小，甲的射击水平比较稳定，所以建议选甲参加正式比赛． 新知讲解 我们也可以用计算器计算甲、乙两个人射击成绩的方差: 1．打开计算器开关键． 2．按下计算器菜单设置按钮，选择进入统计模式，后选择单变量统计． 3．输入甲组第1个数据后按等号键确认，注意输入的数值对应的频数默认值均为1． 4．重复3的操作，直到输完甲组所有数据． 5．按下选择键，选择单变量计算，此时计算器显示0.6， 即为甲组数据的方差． 6．计算乙组数据．仿照甲组数据的操作方式重复步骤3、4 和5，计算器显示1.6，即为乙组数据的方差． 例题讲解 例1 某地 2022年、2023年3月上旬的日最高气温如下： 年份 最高气温/℃ 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 2022 17 12 12 18 20 22 20 24 25 27 2023 18 15 19 20 16 11 13 19 21 20 该地这两年中，哪一年3月上旬的日最高气温比较稳定？为什么？ 例题讲解 解： ＝×(17＋12＋12＋18＋20＋22＋20＋24＋25＋27)＝19.7， ＝×(18＋15＋19＋20＋16＋11＋13＋19＋21＋20)＝17.2， ＝×[(18－17.2)2＋(15－17.2)2＋2×(19－17.2)2＋2×(20－17.2)2 ＋(16－17.2)2＋(11－17.2)2＋(13－17.2)2＋(21－17.2)2]＝9.96． ＝×[(17－19.7)2＋2×(12－19.7)2＋(18－19.7)2＋2×(20－19.7)2 ＋(22－19.7)2＋(24－19.7)2＋(25－19.7)2＋(27－19.7)2]＝23.41， ∵ ＞ ，方差越小，气温越稳定， ∴ 2023年3月上旬的日高温气温比较稳定． 　　比较两组数据的稳定性的步骤：求平均数→算方差→做出决策． 　　一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，说明这组数据的离散程度越小，稳定性越好． 新知巩固 1．(1) 已知一组数据8，10，12，9，11．求这组数据的平均数和方差． 解：(1) 平均数 ＝＝10． ＝×[(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2]＝2， 答：这组数据的平均数是10，方差是2． 新知巩固 1．(2) 已知一组数据1，3，2，5，x的平均数是4，求这组数据的方差． 解：(2) 由题意，得 ＝4，解得 x＝9． 所以这组完整的数据是1，3，2，5，9． ＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(2－4)2＋(5－4)2＋(9－4)2]＝8． 答：这组数据的方差是8． 新知巩固 2．计算并比较下列两组数据的方差： 　 甲组：5　15　10　10　9.2　10　10.1　10　10.8　9.9 　 乙组：9　11　8　12　7　13　6　14　10　10 解： ＝×(5＋15＋4×10＋9.2＋10.1＋10.8＋9.9)＝10， ×[(5－10)2＋(15－10)2＋4×(10－10)2＋(9.2－10)2＋(10.1－10)2 ＋(10.8－10)2＋(9.9－10)2]＝5.13， ＝×(9＋11＋8＋12＋7＋13＋6＋14＋2×10)＝10， ＝×[(9－10)2＋(11－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2＋(7－10)2＋(13－10)2 ＋(6－10)2＋(14－10)2＋2×(10－10)2]＝6． ∵ ＜，∴甲组数据的波动程度更小，稳定性更好． 新知巩固 3．某种零件的标准直径为10 mm，从甲、乙两台机床加工的这种零 件中各抽取5件，对其直径进行检测，结果如下(单位：mm)： 甲机床：10.05　10.02　9.97　9.96　10.00 　　　 乙机床：10.00　10.01　10.02　9.97　10.00 　　(1) 分别求这两个样本的极差、方差； 　　(2) 估计哪一台机床加工的产品质量比较稳定． 解：(1)甲机床的极差：10.05－9.96＝0.09，乙机床的极差：10.02－9.97＝0.05， ＝×(10.05＋10.02＋9.97＋9.96＋10.00)＝10， 　　　 ＝×[(10.05－10)2＋(10.02－10)2＋(9.97－10)2 ＋(9.96－10)2 ＋(10.00－10)2＝0.00108， ＝×(10.00＋10.01＋10.02＋9.97＋10.00)＝10， ＝×[(10.00－10)2＋(10.01－10)2＋(10.02－10)2＋(9.97－10)2 ＋(10.00－10)2＝0.00028． (2) ∵ ＞，∴ 乙机床的产品质量比较稳定． 新知巩固 能力提升 某日，A，B 两地的气温如图所示： (1) 不计算，说说A，B两地这一天气温的特点； 解：(1) A地气温变化相对平缓， 全天在13~23℃之间波动，凌 晨温度较高，白天缓慢上升至 午后最高温度，夜间逐渐下降； B地气温变化较为剧烈，全天 在13~27℃之间波动，凌晨温 度较低，随后迅速上升，午后 达到峰值，夜间回落． 能力提升 某日，A，B 两地的气温如图所示： (2) A地气温的平均值约为18℃， 方差约为8，B地气温的平均值 约为21℃，方差约为15．与之 前的看法一致，A地气温数据 方差小，较为稳定． (2) 分别估算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你之前的看法一致吗？ 课堂小结 4.4 数据的离散程度（1） 方差公式：＝[(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2] 比较两组数据的稳定性的步骤：求平均数→算方差→做出决策． 方差意义：方差越大→数据偏离平均数越远→波动越大(不稳定) 方差越小→数据偏离平均数越近→波动越小(稳定) 感谢聆听！ $