第二十九章 圆（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第二十九章“圆”，以蒙古包、圆形拱门等地域与文化情境为载体，覆盖圆的性质、计算及实际应用，适配单元复习，强化数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|圆的对称轴、反证法、点与圆位置关系|基础概念辨析，如第1题考查对称轴本质| |填空题|4/12|直径性质、垂径定理应用|实际情境测量，如第10题破损镜面半径计算| |解答题|6/64|作图、证明、弧长及圆锥侧面积|综合应用，如第18题拱门高度与桌子搬运判断，体现空间观念与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十九章 圆 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列说法中，正确的是(    ) A. 圆的每条直径都是它的对称轴 B. 与圆相交的直线是圆的对称轴 C. 与直径相交的直线是圆的对称轴 D. 经过圆心的直线是圆的对称轴 2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是(    ) A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 3.如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是     ． A. B. C. D. 4.如图，点，，，，均在上，且经过圆心，连接，，，若， 则所对的圆心角的度数为  (    ) A. B. C. D. 5.已知的半径为，点到圆心的距离恰好是方程的解，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内部 B. 点在外部 C. 点在内部或点在外部 D. 点在上或点在外部 6.如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，蒙古包可以近似看成是由圆锥和圆柱两部分组成，若用毛毡搭建一个底面半径为、圆柱高、圆锥高的蒙古包，则需要毛毡的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，点，，，，都在上，是直径，，若，则的度数为          。 10.圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ． 11.如图是一个古代车轮的一部分，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，，作外圆半径弦于点测得，，则这个车轮的外圆半径长是          ． 12.如图，圆锥的底面圆圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，破残的圆形轮片上有三点，，． 请用直尺和圆规画出该轮片的圆心不写作法，保留作图痕迹 若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 14.7分 如图，是的直径，，是上的点，，弦交于点，连接，． 求证： 若，求的度数． 15.分 如图，，，，是半径为的上的四点，且满足． 求证：是等边三角形 求圆心到的距离． 16.12分 如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． 求证：； 若，求的度数． 17.分 如图，为的直径，为弦的中点，连结，。 求证：为等腰三角形。 连结，，若，四边形的面积为，求的长。 18.13分 如图，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． 求拱门最高点到地面的距离； 现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．参考数据： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十九章 圆 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列说法中，正确的是(    ) A. 圆的每条直径都是它的对称轴 B. 与圆相交的直线是圆的对称轴 C. 与直径相交的直线是圆的对称轴 D. 经过圆心的直线是圆的对称轴 2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是(    ) A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 3.如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是     ． A. B. C. D. 4.如图，点，，，，均在上，且经过圆心，连接，，，若， 则所对的圆心角的度数为  (    ) A. B. C. D. 5.已知的半径为，点到圆心的距离恰好是方程的解，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内部 B. 点在外部 C. 点在内部或点在外部 D. 点在上或点在外部 6.如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，蒙古包可以近似看成是由圆锥和圆柱两部分组成，若用毛毡搭建一个底面半径为、圆柱高、圆锥高的蒙古包，则需要毛毡的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，点，，，，都在上，是直径，，若，则的度数为          。 10.圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ． 11.如图是一个古代车轮的一部分，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，，作外圆半径弦于点测得，，则这个车轮的外圆半径长是          ． 12.如图，圆锥的底面圆圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，破残的圆形轮片上有三点，，． 请用直尺和圆规画出该轮片的圆心不写作法，保留作图痕迹 若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 14.7分 如图，是的直径，，是上的点，，弦交于点，连接，． 求证： 若，求的度数． 15.分 如图，，，，是半径为的上的四点，且满足． 求证：是等边三角形 求圆心到的距离． 16.12分 如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． 求证：； 若，求的度数． 17.分 如图，为的直径，为弦的中点，连结，。 求证：为等腰三角形。 连结，，若，四边形的面积为，求的长。 18.13分 如图，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． 求拱门最高点到地面的距离； 现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．参考数据： 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第二十九章 圆（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D 0 C D B B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9 66 13 10 2cm 11. 50cm 12. 8π 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【详解】 (1)【解】如图，点0即为所求.3分 D (2)如图，连接OA交BC于点D.连接OB,OC4分 ·.AB=AC,OB=OC, OALBC.BD-CD-1BO 1 BC 2 ×16-8(cm）5分 .AB=AC,OB=OC, .'AB=AC=10cm, 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=√AB2-BD2=V102-82-6(cm..7分 ..AB=AC,OB=OC, 在Rt△OBD中，R2-R-6+828分 ·.·AB=AC,OB=OC, 解得R= 2 3 Cm10分 14.(7分) 【详解】 (1)【证明】如图，连接OP.1分 P A 0 B PA PBC'.PA=PC. 又，OA=OC,OP=OP, △P0A≌△P0CSSS).2分 2A=C. 3分 (2)【解】设∠A=∠C=x. ..OA=OP, ∠A∠OPAX 4分 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠P0B=2∠A=2x° ..OD-DC, ∴.∠DOC=∠C=x ..OP-OC, o. OPC=C 5分 在△P0C中，X+X+2X+X=180,6分 解得x=36 2A36 007分 15.(10分) 【详解】 (1)证明：.∠CBA=∠APC-60. ∠CBA=BAC 60° 1分 .2ACB1807606060∠CBA∠BAC.2分 .△ABC是等边三角形， 4分 (2)连接OB,0C,则∠B0C=2∠BAC=120°5分 .OD⊥BC,OB=0C-8 2BOD2CoD60BD-DC.7分 在Rt△C0D中，∠0CD=180°-90°-60°=30°，0C=8,8分 0D20C4 9分 即圆心0到BC的距离OD为4.10分 16.(12分) 【详解】 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：如图，连接AD,1分 AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，即ADLBC.2分 .'CD=BD, AD垂直平分BC. 3分 ∴.AB=AC ∴.∠B=∠C. …4分 又，'∠B=∠E, .∠E=∠C.5分 ,四边形AEDF是⊙O的内接四边形， .∠CFD=∠E.7分 ∴.∠C=∠CFD: …8分 0 E (2)∠C=∠CFD=∠E=50°， ∴.∠BDF=∠C+∠CFD=100° 12分 17.(12分) 【详解】 (1)证明： ,E为弦BC的中点，AD为直径， .ADLBC,BE=CE,2分 AB=AC,3分 .△ABC为等腰三角形。4分 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，连结OB,5分 由条件可得之×10xBC-40……6分 .BC-8… 7分 .∴.BE=4. 8分 ,AD=10, ∴.OB=OD=5。 9分 在Rt△OBE中， oE0B-BE26-43.分 ∴.DE-0D-0E-5-3=2。 12分 18.(13分) 【详解】(1) 解：如图2中，连接AO.1分 CD⊥AB,CD经过圆心O, .AC=CB=0.9m,… 2分 0C=VA02-AC=V1.52-0.92=1.2(m),3分 ∴.CD=0D+PC=1.5+1.2=2.7(m),4分 .拱门最高点D到地面的距离为2.7m;5分 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 C 图2 (2)如图2-1，弦EF=2m,且EF⊥CD,连接OE..6分 CD1EF,CD经过圆心， .EJ=Jf=1m,7分 :0J=V0E-E=.5-=5≈1.118,9分 ∴.CJ=1.2-1.118=0.082m),… 11分 0.5>0.082, .搬运该桌子时能够通过拱门.13分 D 图2-1 6/6 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十九章 圆 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列说法中，正确的是(    ) A. 圆的每条直径都是它的对称轴 B. 与圆相交的直线是圆的对称轴 C. 与直径相交的直线是圆的对称轴 D. 经过圆心的直线是圆的对称轴 【答案】：D 【分析】：圆的对称轴定义：经过圆心的直线是圆的对称轴，直径是线段，不能称作对称轴。 【详解】： A：直径是线段，对称轴是直线，错误； B：仅相交不经过圆心的直线不是对称轴，错误； C：与直径相交但不过圆心的直线不是对称轴，错误； D：经过圆心的直线是圆的对称轴，正确。 故选 D。 2.用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是(    ) A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】：D 【分析】：反证法第一步，否定结论。原结论 “至少有两个钝角”，反面为 “至多有一个钝角”。 【详解】：“至少两个” 的否定是 “最多一个”，即假设三个外角中至多有一个钝角，选 D。 3.如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是     ． A. B. C. D. 【答案】C  【分析】等腰三角形性质、三角形外角定理、圆半径相等。 【详解】连接， 如图．，， ， ，而， A. ， ， ， 故选C． 4.如图，点，，，，均在上，且经过圆心，连接，，，若，则所对的圆心角的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】圆内接四边形对角互补、圆周角定理，直径所对圆周角为直角。 【详解】连接， ∵是直径 ； 四边形内接于圆，，； 已知， 得； 所对圆心角。 故选 D。 5.已知的半径为，点到圆心的距离恰好是方程的解，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内部 B. 点在外部 C. 点在内部或点在外部 D. 点在上或点在外部 【答案】C  【分析】解一元二次方程，比较点到圆心距离与半径大小判断位置。 【详解】 解方程，得，， 设点到圆心的距离为，则或． 当，时，， 点在圆内部 当，时，， 点在圆外部． 点在内部或点在外部， 故选C． 6.如图，的直径为，弦的长为，是弦上的一动点，则线段的长的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】分析：垂线段最短，直径为最长距离。 【详解】当点与点或点重合时，最长，此时为半径． 的直径为，半径为，的最大值为． 如图， 当时，最短，连接． ，．，． 在中，． 综上，的长的取值范围是 故选B． 7.如图，在中，，，将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】旋转路径为扇形弧长，弧长公式。 【详解】 ，， ； 旋转角，半径； 弧长， 选 B。 8.如图，蒙古包可以近似看成是由圆锥和圆柱两部分组成，若用毛毡搭建一个底面半径为、圆柱高、圆锥高的蒙古包，则需要毛毡的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】蒙古包毛毡 = 圆柱侧面积 + 圆锥侧面积，不含底面。 【详解】底面半径，圆柱高，圆锥高； 圆锥母线； 圆柱侧面积：； 圆锥侧面积：； 总面积：， 选 A。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，点，，，，都在上，是直径，，若，则的度数为          。 【答案】 【分析】平行线内错角、同弧所对圆周角相等。 【详解】 ∴； ∵对应， ∴= 直径 ∴， ∴。 10.圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ． 【答案】 【分析】90° 圆周角所对弦为直径，勾股定理。 【详解】，为圆形镜面直径； ， ∴半径。 11.如图是一个古代车轮的一部分，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，，作外圆半径弦于点测得，，则这个车轮的外圆半径长是          ． 【答案】  【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理 【详解】如图，连接． 外圆半径弦，， ． 设外圆半径为，则， 在中，根据勾股定理得 ， 解得． 这个车轮的外圆半径长为． 12.如图，圆锥的底面圆圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为          ． 【答案】  【分析】圆锥侧面积公式。 【详解】母线与高的夹角为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 圆锥侧面展开图的面积． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，破残的圆形轮片上有三点，，． 请用直尺和圆规画出该轮片的圆心不写作法，保留作图痕迹 若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【答案】 (1)【解】如图,点O即为所求.   (2)如图,连接OA交BC于点D.连接OB,OC. AB=AC,OB=OC, OABC,BD=CD=BC=16=8(cm). AB=AC=10cm, AD===6(cm). 在RtOBD中,=+, 解得R=cm. 14.7分 如图，是的直径，，是上的点，，弦交于点，连接，． 求证： 若，求的度数． 【答案】 (1)【证明】如图,连接OP. =,PA=PC. 又OA=OC,OP=OP, POAPOC(SSS). A=C. (2)【解】设A=C=. OA=OP, A=OPA=. POB=2A=2. OD=DC, DOC=C=. OP=OC, OPC=C=. 在POC中,x+x+2x+x=180, 解得x=. A=. 15.本小题10分 如图，，，，是半径为的上的四点，且满足． 求证：是等边三角形 求圆心到的距离． 【答案】 (1)证明:CBA=APC=. CBA=BAC=. ACB=--==CBA=BAC. ABC是等边三角形; (2)连接OB,OC,则BOC=2BAC=. ODBC,OB=OC=8, BOD=COD=,BD=DC. 在RtCOD中,OCD=--=,OC=8, OD=OC=4, 即圆心O到BC的距离OD为.  16.12分 如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． 求证：； 若，求的度数． 【答案】 (1) 证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC． ∵CD＝BD， ∴AD垂直平分BC． ∴AB＝AC． ∴∠B＝∠C．  又∵∠B＝∠E， ∴∠E＝∠C． ∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠CFD＝∠E． ∴∠C＝∠CFD；   (2)∵∠C＝∠CFD＝∠E＝50°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝100°  17.12分 如图，为的直径，为弦的中点，连结，。 求证：为等腰三角形。 连结，，若，四边形的面积为，求的长。 【答案】 证明:（1） ∵E为弦BC的中点,AD为直径, ∴ADBC,BE=CE, ∴AB=AC, ∴ABC为等腰三角形。 (2)如图,连结OB, 由条件可得10BC=40, ∴BC=8, ∴BE=4。 ∵AD=10, ∴OB=OD=5。 在RtOBE中, OE===3, ∴DE=OD-OE=5-3=2。 18.13分 如图，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． 求拱门最高点到地面的距离； 现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．参考数据： 【答案】 (1) 解：如图2中，连接AO． ∵CD⊥AB，CD经过圆心O， ∴AC＝CB＝0.9 m， ∴， ∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7(m)， ∴拱门最高点D到地面的距离为2.7 m；   (2)如图2-1，弦EF＝2 m，且EF⊥CD，连接OE． ∵CD⊥EF，CD经过圆心， ∴EJ＝JF＝1 m， ∴， ∴CJ＝1.2-1.118＝0.082(m)， ∵0.5＞0.082， ∴搬运该桌子时能够通过拱门． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $