2.3《一元二次方程的根与系数关系》课件 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数关系，通过温故知新复习一般形式、求根公式和判别式，再结合情境导入让学生解方程填表，搭建从特殊方程规律到韦达定理的探索支架。 其亮点在于以探索-猜想-证明为主线，用面积模型和系数对比法推导定理，培养推理能力与抽象能力，分层练习和易错提醒助力学生掌握，教师可借此提升教学效率，帮助学生形成模型观念。

2.3　一元二次方程的根与系数关系 （第1课时　探索 · 证明 · 应用） 2026—2027学年　苏科版　九年级数学上册 教学目标 1. 经历一元二次方程两根之和、两根之积与系数关系的 探索、猜想、证明过程，体会从特殊到一般的思想. 2. 理解并掌握韦达定理： ，. 3. 能运用根与系数关系不解方程求两根的对称式， 及解决含参、求值等简单问题. ● 核心素养 • 抽象能力：用字母表示根与系数关系. • 推理能力：由特例归纳并代数证明. • 模型观念：把“求根”转化为“用和、积”. 教学重点与难点 教学重点 韦达定理的内容及其简单应用. 教学难点 定理的推导；运用时先化为一般式、 并判断方程有实数根（）. ● 关键提醒 ● 关系成立的两个前提： ● ① （必须是一元二次方程）； ● ② 方程有实数根，即 . ● 无实根时，“两根”不存在，关系也无意义. 环节一　温故知新 环节一　温故知新 回顾旧知，为探索新关系搭桥 复习：一元二次方程的“三件套” ① 一般形式：. ② 求根公式：. ③ 判别式：， 两不等实根； 两相等实根； 无实根. 思考：已知 可直接写出根吗？反过来，已知两根， 能否反推 的关系？这正是本节要研究的问题. 环节二　情境导入 环节二　情境导入 解方程，从结果中找规律 观察：解下列方程，填表找规律 方程 x² − 5x + 6 = 0 x² − 3x − 4 = 0 2x² − 5x + 2 = 0 两根 x₁, x₂ 2，3 4，−1 2， 两根和 x₁+x₂ 5 3 两根积 x₁·x₂ 6 −4 1 ● 引导思考 ● 两根的和、积，与方程系数 a，b，c 有何联系？先看一行，再归纳. 观察与猜想 对比上表，你发现了什么？ 第1行：方程 ，系数 ； 两根和 ，两根积 . 猜想（韦达定理）：对 ，若两根为 ，则 ， ● 探究方向 ● 为什么根的和、积只与 和 有关？ ● 能否从方程本身推导出来，而不必死记？ ● → 下一环节用“系数对比”严格证明. 环节三　探究新知 环节三　探究新知 从因式分解形式出发，严格推导 推导（一）：面积模型理解 以 为例，面积分解： （大块）＋ （两条）＋ （角）. 一般地，设两根为 ，则方程可写为： 把 “根” 的形式展开，系数自然出现. ● 面积启示 ● 一次项系数 = −(两根之和)； ● 常数项 = 两根之积. ● 这正是韦达定理的“几何来源”. 推导（二）：系数对比法（严格证明） 对一般方程 ，两边同除以 ： 又因两根 满足 ，展开得： 两式均为首项系数为 1 的同解方程，对应系数相等： ， 即　，. 一元二次方程的根与系数关系 韦达定理（François Viète） 若方程 的两根为 ，则 特别地，当 （即 ）时： ， ● 成立前提 ● ① ； ● ② 方程有实数根，. ● 注意：必须先化为一般式再取值！ 使用“三步法”与易错点 使用根与系数关系的三步： ① 把方程化为一般式 ，确认 ； ② 先算 ，确认 ； ③ 套用 ，. ● 易错警告 ● ✘ 未化一般式就代：如 直接取 是错的！ ● ✘ 忽略 ：无实根时关系不成立. ● ✘ 把 写成 （忘负号）. 环节四　典例精析 环节四　典例精析 规范示范：不解方程，巧用和、积 例1　不解方程，求两根的和与积 求下列方程两根之和与积： (1) ；　(2) . 解： (1) ，. (2) ，. ● 方法 ● 直接认 ，无需解方程. ● 和 = ；积 = . ● 分母是 ，不是 1！ 例2　已知一根，求另一根与系数 已知方程 的一个根是 ，求另一根及 . 解：设另一根为 . 由 得 . 由 得 . 答：另一根为 ，. ● 思路 ● 先由“积”求未知根， ● 再由“和”求参数 . ● 一步一关系，最简捷. 例3　求与两根有关的代数式（一） 不解方程 ，求： (1) ；　(2) . 解：. ， (1) ● 通法 ● 把所求式化为“和、积”的组合. ● 倒数和 通分后用 . 例3　求与两根有关的代数式（二） 续上：求 . 解：利用完全平方公式变形： 常用对称式变形： ● 必记变形 ● 设两根为 ，则两根和为 ，两根积为 . 例4　已知两根关系，求参数 关于 的方程 ， 两根平方和等于 ，求 . 解：，. 解得 或 ；均满足 . 答： 或 . ● 别忘检验 ● 求出参数后，必须代回检验 . ● 保证“两根”真实存在！ 方法归纳 根与系数关系的核心思想： 把“求根”转化为“用两根的和与积”来表达问题. ① 不解方程，直接由 得两根和 ，两根积 . ② 所求代数式先化为两根和、两根积的对称式，再代入. ③ 含参数时，求出后务必检验 . 四类常考：和、积、倒数和、平方和（差方）. 易错提醒 1. 必须先化为一般式 再取值. 2. 分母是 ，不是 1；和带负号 . 3. 时无实根，关系不成立. 4. 求 时结果取非负： ● 红线 ● 未化一般式就代系数 —— 最典型错误！ ● 遇 先判“无实根”， ● 不可硬套公式. 环节五　分层巩固 环节五　分层巩固 先练后揭：A 基础 · B 能力 · C 拓展 分层练习　A 层（基础过关） 方程 两根和 x₁+x₂ 两根积 x₁·x₂ x² − 4x − 5 = 0 ？ ？ x² + 3x + 2 = 0 ？ ？ x² − 6x + 8 = 0 ？ ？ ● A 层答案 ● (1) 和 4，积 −5； ● (2) 和 −3，积 2； ● (3) 和 6，积 8. 分层练习　B 层（能力提升） 1. 方程 的一个根是 ，求另一根及 . 2. 方程 的两根之积为 ，求 . （先自己做，再点击看解析） ● B 层解析 ● 1. 由积 ； 和 . ● 2. 由 . 分层练习　C 层（拓展挑战） 1. 方程 ，求 . 2. 方程 ，求 . （提示：化为两根和、两根积的对称式） ● C 层解析 ● 1. 两根和 ，两根积 ； ● = − = − = . ● 2. 两根和 ，两根积 ； ● = − = − = . 当堂检测 题 方程 / 条件 求 1 x² − 5x + 6 = 0 两根和与积 2 x² + 2x − 15 = 0 两根之积 3 x² − 3x − 10 = 0，一根为 5 另一根 ● 检测答案 ● 1. 和 5，积 6； ● 2. 积 −15； ● 3. 另一根 −2（积 −10）. 环节六　总结提升 环节六　总结提升 梳理脉络，形成方法 课堂小结 1. 定理：，. 2. 前提： 且 （有实根）. 3. 用法：认 取 和与积 化对称式 代入；含参检验 . 4. 价值：“不解方程”也能研究根的性质，是后续函数、 不等式与圆锥曲线（高中）的重要工具. 作业布置 1. 不解方程，求下列两根和、积： (1) ； (2) . 2. 方程 一根为 1，求另一根与 . 3. 选做： 两根满足 ，求 . ● 作业解析要点 ● 1. (1) 和 7，积 12；(2) 和 ，积 . ● 2. 由积 ，且 ，解得 ，. ● 3. 两根和，两根积；代入对称式得 （）. 拓展小灶　对称式的灵活变形 已知 是方程 两根，求： (1) ；　(2) . 解：两根和，两根积. (1) (2) ● 小灶心法 ● 见到括号先展开， ● 再归入 两根和、两根积. ● “整体代入”比“求根”快得多. 循理而行，来日再研 $