专题03 一元二次方程的应用及根与系数的关系 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的应用及根与系数的关系，先梳理韦达定理核心公式、四大恒等变形及使用前提，再构建增长率、传播裂变等四大应用模型，形成从基础公式到实际应用的学习支架。 资料通过“公式-模型-题型-易错”结构化设计，结合传播问题、利润计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理运算的能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题03一元二次方程的应用及根与系数的关系精讲学案 1. 韦达定理核心公式 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，当Δ 0 时，两根满足： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 是不解方程、整体代换、求值、参数题型的核心工具。 2. 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 3. 韦达定理使用三大硬性前提 必须同时满足：方程为一元二次方程a0 、判别式 Δ0、存在两个实数根，缺一不可，参数题必考验证。 4. 一元二次方程四大应用必考模型（课堂核心、考试主干） ①增长率模型：连续变化问题通用公式 a(1 x)2=b，适用于产量、利润、价格、人数连续增减； ②传播裂变模型：遵循逐层扩散规律 1+x+x2=总数，贴合病毒、传染、繁殖类题型； ③图形面积模型：利用平移补形思想，把不规则道路、空白区域转化为规则矩形，通过面积列方程； ④销售利润模型：单件利润×销售数量=总利润，核心是找准“涨价降销量、降价升销量”的对应变化关系。 5. 应用题通用解题逻辑 审清变量变化关系→设未知数→根据固定模型列方程→解方程→舍去不符合实际的根（负数、超范围值），实际问题必须验根。 （考试踩坑汇总） 1.使用韦达定理忘记验证 Δ0和a0 ，参数题极易扣分。 2.两根和公式负号遗漏，是全章节最高频计算错误。 3.随意套用韦达定理，无实数根时强行使用公式，逻辑错误。 4.增长率题型错用一次方，连续两年变化必须用平方。 5.传播题型漏加初始传染源“1”，导致方程列写错误。 6.面积题不会平移补形，边长重复加减、区间混乱。 7.利润题搞错“单件利润、销量变化量”对应关系，列式颠倒。 8.应用题解出两根后不取舍，保留负数、不合理数值，最终答题失分。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★ 题型八 工程问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★ 题型十 图表信息问题 ★★★ 题型十一 握手循环赛问题 ★★ 题型十二 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程根与系数的关系 解题思路：先确认a≠0且≥0，再利用两根和、两根积进行整体代换求值；含参数的题目，最后检验判别式。 1．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 2．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到的值，再根据求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴． 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 题型二：传播问题 解题思路：抓住传染轮数，套用两轮传染总人数模型(1+x)2，区分新增人数和总人数，舍去负根。 4．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 5．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 6．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 7．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 (2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可； （2）将代入中计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意得：，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑； （2）解：由题意可知，， 由（1）知， 则（台）， 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台． 题型三：增长率问题 解题思路：以原有数量为基数，连续两年变化就用a(1±x)2=b，根据题意列方程，舍去负解。 8．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 9．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 【答案】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 10．随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 11．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 题型四：与图形有关的问题 解题思路：利用平移法合并空白区域，得出新矩形的长与宽，结合面积公式建立方程，限定边长为正数。 12．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 13．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 【答案】3 【分析】设，证明是等腰直角三角形，得出，根据重叠部分面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 14．为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 【答案】 【详解】解：设海报长为，海报宽为，间隔的宽度为，则由题意可列方程组， 用，得， 即， 代入，得， （舍去负值）， 再代入中，可求得， 答：间隔的宽度应是． 15．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 题型五：数字问题 解题思路：用代数式正确表示多位数，根据数位间的和、积等量关系列方程，解必须是0~9的整数。 16．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 17．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 18．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 19．如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 【答案】8 【分析】本题考查了用一元一次方程在日历中的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键；设最小数为x，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为x，则最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 从月历表中可以看出，8是第二行第2个数，符合要求， ∴最小数为8． 题型六：营销问题 解题思路：依据“总利润=单件利润×销售量”，先表示出价格变动后的单件利润与销量，再列方程求解。 20．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 21．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据总利润=每台利润×销售量，分别表示出每台利润和销售量即可列出方程． 【详解】解：设每台冰箱定价元， ∵每台进货价为2500元， ∴每台利润为元． ∵原销售价为2900元， ∴销售价降低了元， 又∵每降低50元，平均每天多售出4台， ∴多售出的台数为， ∴平均每天总销售量为台． ∵总利润平均每天为5000元， ∴可得方程． 22．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． 23．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 【答案】(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 题型七：动态几何问题 解题思路：设运动时间为t，用含t的式子表示线段长，依靠勾股定理或面积公式列方程，舍去超出运动范围的解。 24．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    【答案】1或4/4或1 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 26．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 27．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 题型八：工程问题 解题思路：设总工程量为1，算出每个人的工作效率，根据各段工作量之和等于总工作量列方程。 28．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 29．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 30．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型九：行程问题 解题思路：借助路程=速度×时间，相遇问题用路程和、追及问题用路程差建立等量关系。 31．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 32．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 33．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 34．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】(1)军舰原来的速度是海里； (2)补给船航行了海里． 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； （2）解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 题型十：图表信息问题 解题思路：从表格图像里提取数据，匹配利润、增长率等模型，再列一元二次方程求解。 35．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 36．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 37．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 38．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型十一：握手循环赛问题 解题思路：利用单循环公式，剔除重复计算的场次，列方程求出人数。 39．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 40．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 41．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍，依题意得， ， ， 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍． 42．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 题型十二：其他实际应用问题 解题思路：梳理题干等量关系，设未知数列出方程，把不符合现实意义的根舍去。 43．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， ∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 44．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为，则长为，根据长方形的面积公式即可作答． 【详解】解：因为大长方形的面积是， 所以小长方形的面积是， 设宽为，则长为， 所以， 即， 所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是． 故答案为：． 45．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，求出判别式即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； （2）略 46．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为．计划建造车棚的面积为，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门． (1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)这个车棚的三边长分别应为米、米、米 (2)小路的宽度是1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有，再表示出车棚的另一边的长度，根据面积列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设小路的宽为a米，即有，根据面积列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有， 则车棚的另一边的长度为：， 根据车棚的面积：， 解得：（不符合题意舍去）， 则车棚的另一边的长度为：， 即：这个车棚的三边长分别应为米、米、米； （2）设小路的宽为a米，即有，如图，将小路平移， 则根据题意有：， 解得：（不符合题意舍去）， 即小路的宽度是1米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次方程的应用及根与系数的关系精讲学案 1. 韦达定理核心公式 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，当Δ 0 时，两根满足： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 是不解方程、整体代换、求值、参数题型的核心工具。 2. 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 3. 韦达定理使用三大硬性前提 必须同时满足：方程为一元二次方程a0 、判别式 Δ0、存在两个实数根，缺一不可，参数题必考验证。 4. 一元二次方程四大应用必考模型（课堂核心、考试主干） ①增长率模型：连续变化问题通用公式 a(1 x)2=b，适用于产量、利润、价格、人数连续增减； ②传播裂变模型：遵循逐层扩散规律 1+x+x2=总数，贴合病毒、传染、繁殖类题型； ③图形面积模型：利用平移补形思想，把不规则道路、空白区域转化为规则矩形，通过面积列方程； ④销售利润模型：单件利润×销售数量=总利润，核心是找准“涨价降销量、降价升销量”的对应变化关系。 5. 应用题通用解题逻辑 审清变量变化关系→设未知数→根据固定模型列方程→解方程→舍去不符合实际的根（负数、超范围值），实际问题必须验根。 （考试踩坑汇总） 1.使用韦达定理忘记验证 Δ0和a0 ，参数题极易扣分。 2.两根和公式负号遗漏，是全章节最高频计算错误。 3.随意套用韦达定理，无实数根时强行使用公式，逻辑错误。 4.增长率题型错用一次方，连续两年变化必须用平方。 5.传播题型漏加初始传染源“1”，导致方程列写错误。 6.面积题不会平移补形，边长重复加减、区间混乱。 7.利润题搞错“单件利润、销量变化量”对应关系，列式颠倒。 8.应用题解出两根后不取舍，保留负数、不合理数值，最终答题失分。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★ 题型八 工程问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★ 题型十 图表信息问题 ★★★ 题型十一 握手循环赛问题 ★★ 题型十二 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程根与系数的关系 解题思路：先确认a≠0且≥0，再利用两根和、两根积进行整体代换求值；含参数的题目，最后检验判别式。 1．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 2．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：传播问题 解题思路：抓住传染轮数，套用两轮传染总人数模型(1+x)2，区分新增人数和总人数，舍去负根。 4．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 5．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 6．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 7．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 题型三：增长率问题 解题思路：以原有数量为基数，连续两年变化就用a(1±x)2=b，根据题意列方程，舍去负解。 8．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 9．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 10．随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 11．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 题型四：与图形有关的问题 解题思路：利用平移法合并空白区域，得出新矩形的长与宽，结合面积公式建立方程，限定边长为正数。 12．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 13．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 14．为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 15．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 题型五：数字问题 解题思路：用代数式正确表示多位数，根据数位间的和、积等量关系列方程，解必须是0~9的整数。 16．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 17．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 18．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 19．如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 题型六：营销问题 解题思路：依据“总利润=单件利润×销售量”，先表示出价格变动后的单件利润与销量，再列方程求解。 20．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 21．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 22．目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 23．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 题型七：动态几何问题 解题思路：设运动时间为t，用含t的式子表示线段长，依靠勾股定理或面积公式列方程，舍去超出运动范围的解。 24．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    25．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 26．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 27．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 题型八：工程问题 解题思路：设总工程量为1，算出每个人的工作效率，根据各段工作量之和等于总工作量列方程。 28．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 29．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 30．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型九：行程问题 解题思路：借助路程=速度×时间，相遇问题用路程和、追及问题用路程差建立等量关系。 31．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 32．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 33．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 34．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 题型十：图表信息问题 解题思路：从表格图像里提取数据，匹配利润、增长率等模型，再列一元二次方程求解。 35．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 36．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 37．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 38．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型十一：握手循环赛问题 解题思路：利用单循环公式，剔除重复计算的场次，列方程求出人数。 39．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 40．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 41．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 42．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 题型十二：其他实际应用问题 解题思路：梳理题干等量关系，设未知数列出方程，把不符合现实意义的根舍去。 43．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 44．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是______ ． 45．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 46．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为．计划建造车棚的面积为，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门． (1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $