专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义系统梳理一元二次方程全章知识，以定义与一般形式为起点，衔接四种解法（因式分解法等），延伸至根的判别式、韦达定理，结合五大实际应用模型（增长率、面积问题等），并盘点高频易错点，构建完整知识支架。 资料特色在于知识梳理逻辑清晰，题型精析分层递进，同步检测全面。通过实际应用模型培养数学眼光观察现实问题，如增长率问题；以综合题（几何与函数综合）提升数学思维推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 1 【知识点二】一元二次方程四种解法 2 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 2 【知识点四】五大实际应用模型 3 【知识点五】全章高频易错点大盘点 3 二.题型精析 3 【题型 1】一元二次方程定义与其解 3 【题型 2】用指定方法解一元二次方程 5 【题型 3】根的判别式与参数综合问题 7 【题型 4】韦达定理整体代入求值 9 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 12 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 15 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 19 【题型 8】一元二次方程与几何综合问题 21 【题型 9】一元二次方程与函数综合问题 26 三.同步检测 31 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 31 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程。一般形式： 各项说明：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键注意：是判定一元二次方程的核心条件，若，方程退化为一元一次方程。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。 【知识点二】一元二次方程四种解法 解题核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。四种解法优先级：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法 1. 直接开平方法： （1）适用形式： 或 （2）解法：直接开平方得，无一次项的方程优先使用。 2. 因式分解法 （1）适用场景：方程整理为右边为0，左边可快速因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法）。 （2）核心原理：若，则或。 （3）解题步骤：移项化0→因式分解→降次列一次方程→求解。 3. 公式法 （1）求根公式：当时， （2）适用所有有实数根的一元二次方程，无法因式分解时首选。 4. 配方法 （1）步骤：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方成完全平方式→开方求解。 （2）用途：多用于公式推导、代数式最值求解，极少直接解方程。 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 1. 根的判别式 （1）：方程有两个不相等的实数根；（2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根. 含参数方程判断根的情况，必须先计算，再分类讨论。 2. 根与系数的关系（韦达定理） 若的两根为，且，则：， 二次项系数为1时：，， 代数式变形：； ； 【知识点四】五大实际应用模型 1. 增长率与下降率模型：基数，增减率，两年后量： 2. 病毒传播模型：1个传染源，每轮传播人，两轮后总人数： 3. 几何面积模型：道路、边框问题：平移法拼接规则图形:总面积 - 道路面积=有效面积列方程。 4. 销售利润模型：总利润 =（售价-进价）× 销售数量，涨价减量、降价增量，找准数量变化关系。 5. 单循环问题模型：个对象单循环比赛/握手：总次数 应用题核心准则：所有实际问题解方程后，必须根据实际意义验根，舍去负数、超范围、非整数等不合理根。 【知识点五】全章高频易错点大盘点 1. 概念误区：忽略，误将含参数的非二次方程判定为一元二次方程。 2. 解法误区：方程两边同除含未知数的因式，导致漏根；因式分解不彻底、配方时常数项移项出错。 3. 韦达定理误区：忘记判断直接套用公式；两根和遗漏负号，是最高频失分点。 4. 判别式误区：含参数方程未分类讨论，混淆相等实数根和无实数根的条件。 5. 应用题误区：增长率误用乘法、单双循环公式混淆、解题不验根，保留不符合实际的根。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与其解 【例题1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 【题型 2】用指定方法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 解：（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 【变式1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 解：（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 【题型 3】根的判别式与参数综合问题 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 解：（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，通过计算判别式的值，对比其与0的大小关系即可得出结论． 解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值； （2）若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 解：（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 【题型 4】韦达定理整体代入求值 【例题4】（2025九年级上·山西晋中·专题练习），是一元二次方程的两根，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，根据根与系数的关系可得的值，再根据计算求解即可． 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）已知是方程的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数的值，解题的关键是掌握韦达定理． （1）利用韦达定理进行求解即可； （2）利用韦达定理进行求解即可． 解：（1）解：由韦达定理可知： ，， ∴原式 ， ∴原式的值为； （2）解：原式      ∴原式的值为． 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 【例题5】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1）证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 解：（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． （1）当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； （2）当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 解：（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 【例题6】（25-26八年级下·陕西西安·期末）小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】（1）①② （2）解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 解：（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡（篱笆全部用完，不剩余），在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 （如图1），无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域（如图2），且满足． 问题解决： （1）任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 （即确定矩形的长和宽）． （2）任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）围栏方案为矩形的长为，宽为；（2）整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 解：（1）解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； （2）略； 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【答案】（1）这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为；（2）该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒”列方程求解即可； （2）设该茶叶礼盒的售价应降价a元，根据“7月份这款礼盒的总利润达到4600元”列方程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24元取合适的解即可． 解：（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． （2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得，， 化简，得， 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以，即， 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为；（2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 解：（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 【题型 8】一元二次方程与几何综合问题 【例题8】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）若，求m的值． 【答案】（1）当时，四边形为菱形；（2）m的值为1 【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可； （2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 解：（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，平行四边形ABCD是菱形， ∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，即， 解得：， ∴当时，四边形ABCD为菱形； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ，， ∵， ，即， 整理得： 解得：，， ， ∴不合题意， ∴m的值为1． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为______． 【答案】30 【分析】先证明，延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，求出，可得，设，则，再由勾股定理得： ，然后证明，可得，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， 延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴． 即菱形的边长为30． 故答案为：30 【点拨】此题主要考查了菱形的性质，一元二次方程的解法，全等三角形的判定和性质，勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法，理解菱形的性质，难点是正确的作出辅助线构造全等三角形，灵活运用勾股定理构造方程求解． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知平行四边形中，点E、F分别在边上． （1）若，与间距离为8，，求的面积； （2）若的面积分别为5、3、4，求的面积． 【答案】（1）30；（2）8 【分析】（1）利用分隔法求出三角形的面积即可； （2）设，与间距离为，根据的面积为4，求出点到的距离，进而求出点到的距离为，再根据三角形的面积公式求出的长，推出，即平行四边形的面积为20，分隔法求出三角形的面积即可. 解：（1）解：∵，与间距离为8， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； （2）解：设，与间距离为，则， ∵的面积为4， ∴点到的距离， ∴点到的距离为， ∴， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或， ∵，即， ∴， ∴的面积. 【题型 9】一元二次方程与函数综合问题 【例题9】（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． （1）求、的值； （2）求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． 解：（1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 【变式1】（2025·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点拨】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、B为反比例函数图象上两点，轴于点C． （1）_______； （2）若，则B点坐标为_______． 【答案】 16 【分析】（1）求解，可得反比例函数解析式为：，再结合的几何意义可得答案； （2）如图，延长交的延长线于，过作轴于，求解，证明，，可得，，，设，再进一步求解即可． 解：（1）∵点、B为反比例函数图象上两点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵轴于点C． ∴， 故答案为：， （2）如图，延长交的延长线于，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； 故答案为： 【点拨】本题考查的是反比例函数的几何意义，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数 的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请根据图像观察，若，则x的取值范围是 ； （3）若点P是反比例函数图像上的一点，且在点B右侧，当面积为6时，求点P坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为；（2）或；（3） 【分析】（1）先根据待定系数法求得反比例函数，代入，得，即，将代入一次函数，即可求解； （2）根据反比例函数图象在一次函数上方的区域即可解答； （3）如图，过P作轴交直线于，设，则，然后根据列式解答即可． 解：（1）解：将代入反比例函数得， ∴反比例函数为， 将代入反比例函数，，得，即， 将代入一次函数得， 解得，， ∴一次函数为； （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点、， ∴根据图象可知，当，则x的取值范围是或； （3）解：如图，过P作轴交直线于，连接、， ∵点P是反比例函数图像上的一点，且在点B右侧，，， 设，则点的纵坐标为， 由（1）可知， ∴，则， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 2．（2024·安徽·二模）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了解一元一次方程，分式方程，一元二次方程，分别判断四个选项中方程解的情况即可解答． 解：A、，则，所以方程无实数根； B、，则，经检验，是方程的解，所以方程有两个不相等的实数根； 、，则，所以方程有两个相等的实数根； D、，则，所以方程有一个实数根． 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 解：A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设年平均增长率为，2020年快递业务收入为亿元，2021年快递业务收入为亿元， 由题意得. 9．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 10．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足如图数量关系：那么的值为（   ） 2 4 7 1 A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（对称性），一元二次方程根与系数的关系，求根公式等知识点，根据已知x与y之间的数量关系得出二次函数的对称轴是解题关键．先得出二次函数的对称轴，从而可得的值，由一元二次方程根与系数的关系，可求的值，再根据函数图象的对称性求出时y的值，从而可得的值，然后代入求解即可得． 解：由表格可知，二次函数图像过两点， 二次函数的对称轴为直线， ， 当时，得方程，方程两根为， ， 由二次函数的对称性得：时的函数值与时的函数值相等，则， ， 故选：． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 【答案】 【分析】把代入方程进行求解即可． 解：由题意可把代入方程得：， 解得：； 故答案为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 解： 把代入，得 . 14．（24-25八年级下·广东深圳·期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 【答案】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 15．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 16．（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）解方程： （1）． （2） 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段检测）解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和配方法解一元二次方程成为解答本题的关键． （1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可； （2）先移项后配方，然后再利用直接开平方法求解即可． 解：（1）解：， ∵，，， ∴ ∴ ∴，． （2）解：． ． ． ∴，． 21．（本小题满分10分）（重难点提优01根的判别式5大题型提升练-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 解：（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 解：（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000；（2）该玩偶的售价为44元；（3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 解：（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． （1）求的值； （2）若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）或或；（3） 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 解：（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 1 【知识点二】一元二次方程四种解法 2 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 2 【知识点四】五大实际应用模型 3 【知识点五】全章高频易错点大盘点 3 二.题型精析 4 【题型 1】一元二次方程定义与其解 4 【题型 2】用指定方法解一元二次方程 4 【题型 3】根的判别式与参数综合问题 4 【题型 4】韦达定理整体代入求值 5 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 5 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 6 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 8 【题型 8】一元二次方程与几何综合问题 9 【题型 9】一元二次方程与函数综合问题 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程。一般形式： 各项说明：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键注意：是判定一元二次方程的核心条件，若，方程退化为一元一次方程。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。 【知识点二】一元二次方程四种解法 解题核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。四种解法优先级：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法 1. 直接开平方法： （1）适用形式： 或 （2）解法：直接开平方得，无一次项的方程优先使用。 2. 因式分解法 （1）适用场景：方程整理为右边为0，左边可快速因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法）。 （2）核心原理：若，则或。 （3）解题步骤：移项化0→因式分解→降次列一次方程→求解。 3. 公式法 （1）求根公式：当时， （2）适用所有有实数根的一元二次方程，无法因式分解时首选。 4. 配方法 （1）步骤：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方成完全平方式→开方求解。 （2）用途：多用于公式推导、代数式最值求解，极少直接解方程。 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 1. 根的判别式 （1）：方程有两个不相等的实数根；（2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根. 含参数方程判断根的情况，必须先计算，再分类讨论。 2. 根与系数的关系（韦达定理） 若的两根为，且，则：， 二次项系数为1时：，， 代数式变形：； ； 【知识点四】五大实际应用模型 1. 增长率与下降率模型：基数，增减率，两年后量： 2. 病毒传播模型：1个传染源，每轮传播人，两轮后总人数： 3. 几何面积模型：道路、边框问题：平移法拼接规则图形:总面积 - 道路面积=有效面积列方程。 4. 销售利润模型：总利润 =（售价-进价）× 销售数量，涨价减量、降价增量，找准数量变化关系。 5. 单循环问题模型：个对象单循环比赛/握手：总次数 应用题核心准则：所有实际问题解方程后，必须根据实际意义验根，舍去负数、超范围、非整数等不合理根。 【知识点五】全章高频易错点大盘点 1. 概念误区：忽略，误将含参数的非二次方程判定为一元二次方程。 2. 解法误区：方程两边同除含未知数的因式，导致漏根；因式分解不彻底、配方时常数项移项出错。 3. 韦达定理误区：忘记判断直接套用公式；两根和遗漏负号，是最高频失分点。 4. 判别式误区：含参数方程未分类讨论，混淆相等实数根和无实数根的条件。 5. 应用题误区：增长率误用乘法、单双循环公式混淆、解题不验根，保留不符合实际的根。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与其解 【例题1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【题型 2】用指定方法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【变式1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【题型 3】根的判别式与参数综合问题 【例题3】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值； （2）若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【题型 4】韦达定理整体代入求值 【例题4】（2025九年级上·山西晋中·专题练习），是一元二次方程的两根，求的值 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【变式3】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）已知是方程的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值． （1） （2） 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 【例题5】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． （1）当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； （2）当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 【例题6】（25-26八年级下·陕西西安·期末）小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡（篱笆全部用完，不剩余），在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 （如图1），无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域（如图2），且满足． 问题解决： （1）任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 （即确定矩形的长和宽）． （2）任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【题型 8】一元二次方程与几何综合问题 【例题8】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）若，求m的值． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为______． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知平行四边形中，点E、F分别在边上． （1）若，与间距离为8，，求的面积； （2）若的面积分别为5、3、4，求的面积． 【题型 9】一元二次方程与函数综合问题 【例题9】（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． （1）求、的值； （2）求直线与坐标轴围成的的面积． 【变式1】（2025·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、B为反比例函数图象上两点，轴于点C． （1）_______； （2）若，则B点坐标为_______． 【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数 的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请根据图像观察，若，则x的取值范围是 ； （3）若点P是反比例函数图像上的一点，且在点B右侧，当面积为6时，求点P坐标． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·二模）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入大约由5000亿元增加到7500亿元，设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 10．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足如图数量关系：那么的值为（   ） 2 4 7 1 A．4 B．6 C．10 D．14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 14．（24-25八年级下·广东深圳·期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 15．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 16．（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）解方程： （1）． （2） 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段检测）解方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 21．（本小题满分10分）（重难点提优01根的判别式5大题型提升练-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版））已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． （1）求的值； （2）若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $