第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一上学期数学人教A版必修第一册第二章单元卷，聚焦一元二次函数、方程和不等式，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，融合芯片研发等科技情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|不等式性质、充分必要条件、命题真假判断|基础概念辨析，如第2题结合正数条件判断充要关系| |多选题|3|一元二次不等式解集、不等式性质应用|多选项设计考查逻辑严谨性，如第10题关联解集与参数关系| |填空题|3|取值范围、最值、二次函数恒成立|强调运算能力，如第14题含参二次函数在区间恒成立| |解答题|5|证明、比较大小、实际应用（芯片生产）、数集性质探究|第18题以芯片研发为情境考查函数建模，第19题数集性质探究体现创新思维|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试2026-2027学年 高一上学期 数学 人教A版必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．若，是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．某工厂计划生产某零件300件，已知甲每小时生产该零件20件，乙每小时生产该零件件.甲生产了这批零件的，接到其他任务，剩下的由乙完成.若甲､乙所用时间不超过16小时，则应满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 7．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 11．已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．若实数，满足，，则的取值范围是________． 13．已知，，则的最小值为______． 14．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 16．已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 17．已知关于的不等式的解集是. (1)求实数，的值； (2)若，，且，求的最小值. 18．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系为，其图像如图所示. (1)试分别求出生产，两种芯片的毛收入(亿元)与投入的资金(亿元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? (3)现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片.设投入亿元生产芯片，用表示公司所获利润. 当最少为多少时，公司才不亏本.（不亏本指利润不小于0） (利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 19．已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章�一元二次函数、方程和不等式 单元测试2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D B B D A BC BC BCD 1．C 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 2．D 【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，由，得， 则“”“”； 当时，由，得， 则“” “”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．A 【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可. 【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确； B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误； C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误； D项，若，当时，，故D错误. 故选：A. 4．D 【分析】依题意，分别求甲完成这批零件的所用的时间和剩下的由乙完成的时间，由题意即得不等式. 【详解】由题意可得应满足的不等式为: ，即. 故选：D. 5．B 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 6．B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 7．D 【分析】方法一  由，从而，利用基本不等式求解；方法二  对原条件式转化得，得到 ，利用基本不等式求解； 【详解】解：方法一  由条件得， 由，知， 从而， 当且仅当，即，时取等号． 故的最小值为5． 方法二  对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 8．A 【分析】将不等式等价转化为，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解. 【详解】由题意可知：不等式恒成立等价转化为， 因为，所以， 则 （当且仅当，也即时等号成立）， 所以， 故选：. 9．BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 10．BC 【分析】根据的解集求出、、的关系，并逐一判断每一选项即可. 【详解】由已知可得且-1，2是方程的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 . 解得，， 则不等式可化为，即， 所以，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 不等式可化为，化为， 解不等式得，故不等式的解集为，所以D选项不正确. 故选：BC. 11．BCD 【分析】利用基本不等式可判断各选项. 【详解】A选项：，即，又，所以，即，解得，即，当且仅当时等号成立，A选项错误； B选项：，即，解得，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：，当且仅当时等号成立，C选项正确； D选项：由，得，则，当且仅当时等号成立，D选项正确； 故选：BCD. 12． 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 13． 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 14． 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 15．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 16．(1)当时，；当时，. (2) 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）解： . 因为，，则. 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. （2）解：因为，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 17．(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数，的值； （2）结合（1）中结论，可得，那么可化为，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集是， 所以和是方程的两个根， 所以，解得：， 当，时，原不等式为：，此时的解集为，符合题意， 故，. （2）由（1）知，，所以， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 18．(1) (2)当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入大；当投入资金等于16亿元时，生产、芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产芯片的毛收入大. (3)最少为 【分析】（1）直接由题意得芯片利润的解析式，将，代入，确定芯片利润的解析式； （2）分三种情况比较的大小解不等式得解； （3）先求出利润的函数表达式，转化为不等式有解分离参数，结合二次函数求最值得解. 【详解】（1）设投入资金(亿元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得，∴， 故生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得 ∴当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16亿元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产芯片的毛收入大. （3）公司投入亿元资金同时生产、两种芯片， 设投入亿元生产芯片，投入亿元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 要使公司不亏本，则对于实数，存在，使得，        即， 当时，，此时, 当时，即, 综上，取得最小值为， 故当最少为时，公司才不亏本. . 19．(1)不具有性质具有性质，理由如下： 由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； (2) 由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $