第03讲 有理数乘除运算（核心知识+5易错辨析+13典例精讲+课后作业）2026-2027学年七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项（人教版）

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识，系统梳理乘法法则（含符号判定、运算律）、倒数性质、除法法则及混合运算规则，构建从基础运算到综合应用的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料通过5大易错辨析强化运算能力，13类典例融入实际情境（如出租车计费、运费方案）培养应用意识，题型分层设计兼顾基础与提升。课中辅助教师突破教学难点，课后帮助学生查漏补缺，提升推理与解决问题能力。

第03讲 有理数乘除运算（核心知识+5易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数乘法法则 1. 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘法则： 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正。 只要有一个因数为0，积就为0。 3. 乘法运算律（适用于所有有理数） 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：（最常用、最易考） 【知识点02】倒数的定义及性质 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 核心性质： 1的倒数是它本身，-1的倒数是它本身； 0没有倒数（0乘任何数都不为1）； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（倒数不改变符号）。 【知识点03】有理数除法法则 1. 法则一（通用）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即 2. 法则二（直接计算）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等于0的数，都得0。 3. 注意：0不能作除数，此为数学硬性规定。 【知识点04】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左到右依次计算；有括号先算括号内的。 2. 统一形式：先将除法全部转化为乘法（乘倒数），再通过约分、运算律简化计算。 3. 符号优先：乘除混合运算先整体判定符号，后计算绝对值，统计所有负因数的总个数，奇数负号结果为负，偶数负号结果为正，彻底规避符号出错。 4. 约分技巧：分数乘除运算中，优先交叉约分，简化数值后再计算，减少大数运算失误。 易错点1：符号判断失误（最常见错误） 错误表现：多个数乘除时，数错负因数个数；混淆乘除符号规则。 正确辨析：乘除同级运算，符号只看负数的总个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，与正数个数无关。 举例：，共2个负因数？错误，式子中有3个负号，结果为负，最终结果=-1。 易错点2：倒数概念混淆 错误表现：认为0有倒数；把相反数、倒数混淆；负数倒数符号出错。 正确辨析：倒数和相反数是完全不同的两个概念，极易混淆，核心区别： 相反数：运算关系为相加得0，符号相反，数值相同；如：-3和3互为相反数； 倒数：运算关系为相乘得1，符号相同，数值互为倒数；0无倒数，任意非零数有唯一倒数； 典型示例：-2的倒数是，相反数是2，切勿混淆。 易错点3：乘除混合运算顺序错误 错误表现：擅自先算后面的乘法，违背从左到右顺序。 典型错题：（错误） 正确解法：同级运算从左到右，原式。 易错点4：乘法分配律滥用、漏乘 错误表现：（漏乘）；负数分配时符号出错。 正确辨析：括号内每一项都要与括号外数字相乘，负数参与分配时，注意负负得正、正负得负。 举例：。 易错点5：0的运算误区 错误表现：0除以一个数无意义；一个数除以0得0。 正确辨析：0可以作为被除数（0÷任意非0数=0，有意义）；0绝对不能作为除数（任意数÷0无意义），这是有理数除法的硬性规则，考试高频考点。 补充误区：任何数乘0都得0，但0不能参与倒数运算、不能做除法分母。 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）不计算，说出下列两数积的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）3与5的乘积的符号为正号； （2）与4的乘积的符号为负号 （3）9与的乘积的符号为负号； （4）与的乘积的符号为正号． 【例2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1】．（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 【变式2】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则，两个负数相乘结果为正数，再计算绝对值相乘. 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【变式1】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号规则和零乘任何数得零的性质是解题的关键．有理数乘法中，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数乘以0都得0．根据法则逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【变式3】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例4】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，本题可通过分别计算会议地点设在每层时所有参会人员的距离之和，再比较大小得出距离之和最短的楼层． 【详解】解：分别计算各楼层作为会议地点的总距离： ∵ 设在1层时，总距离为 设在2层时，总距离为 设在3层时，总距离为 设在4层时，总距离为 设在5层时，总距离为 又∵ ∴ 会议地点设在3层时，所有参会人员到会议地点的距离之和最短． 故选：C． 【例5】．（24-25七年级上·安徽合肥·）从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 【答案】57 【知识点】有理数乘法的实际应用 【详解】解：依据题意可知，， ， ， ． 故最后剪得的正方形的边长是57毫米． 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】图中共有10个停车位，9个下车区，计算它们的总宽度即可． 【详解】解：（米）． 【变式2】．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步路程为3千米（即乘车路程不超过3千米都为8元），若乘车路程超过3千米，则超过部分每千米加收2元．请直接写出司机小李今天上午载客总收入． 【答案】(1)距出发地千米 (2)升 (3)今天上午载客总收入元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解决本题的关键． （1）依次把他这天上午行车里程相加得小李与出发地的距离； （2）先计算出小李这天上午共行进的里程，再乘以汽车耗油量升/千米得这天上午小李的耗油量； （3）由这天上午每次的行车里程计算出每次的收入，再相加即可得出小李共得的收入． 【详解】（1）解：(千米)， (千米)， 答：小李距出发地千米； （2）解：(升)， 答：小李共耗油升； （3）解：第一次：元； 第二次:(元)； 第三次：元； 第四次：(元)； 第五次：(元)； 第六次：元， 则小李今天上午共得出租款为（元）， 答：司机小李今天上午载客总收入元． 【变式3】．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）一建材公司主营水泥、砂石等建筑材料，其水泥仓库需每日统计原料进出量以便管理库存，并核算运输成本．12月10日，仓库根据运输单据整理出当日水泥进出记录（运进用正数表示，运出用负数表示），具体数据如下： 进出数量（单位：吨） 40 20 进出次数 2 1 3 3 2 请你帮助仓库管理员解决以下两个问题： (1)核算当日仓库的水泥总量相较于原有库存增加或减少了多少吨？ (2)运输公司提供两种运费结算方案： 方案一：运进水泥，每吨收取运费5元，运出水泥因为需要额外增加装卸和防护措施费用，每吨收取运费8元；方案二：为简化核算，无论运进还是运出水泥，每吨统一收取运费6元． 请通过计算，从节约成本的角度考虑应该选择哪种方案更合算？ 【答案】(1)减少了90吨 (2)方案二 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数，解题关键是理解“正"和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）先分别将运进数量运进次数，运出数量运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：当日仓库的水泥总量相较于原有库存减少了90吨； （2）解：方案一：（元）， 方案二：（元） ∵， ∴方案二运费少，选择方案二更合算． 【题型四】有理数乘法运算律 【例6】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： （2）解： 【例7】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【知识点】有理数乘法运算律 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据乘法分配律去括号，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 【题型五】倒数 【例8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出，，，，的倒数． 【答案】，，，， 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键. 【详解】解： 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， ∴的倒数为； 故答案为：． 【例9】．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【详解】解：的倒数是． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【详解】解：，， 的倒数是，即的倒数是． 【变式2】．（25-26七年级上·天津南开·期末）的倒数是________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键；因此此题可根据倒数的意义进行求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故答案为． 【变式3】．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【题型六】有理数的除法运算 【例10】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【例11】．，为使等式成立，（    ）内应填的数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：． 【例12】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型七】有理数除法的应用 【例13】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 【答案】D 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用． 根据题目给出的天干、地支计算方法，列出算式计算后对照表格判断即可． 【详解】解：计算天干：，对照天干表，第6位为己， 计算地支：，对照地支表，第6位为巳， ∴2049年应为己巳年． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅．．．）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2025年是乙巳年，依据上述规律推断抗战胜利的1945年应为___________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】乙酉 【知识点】有理数除法的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，数字规律探究，根据题意，列式计算出1945年对应的天干和地支，从而可以写出1945年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉． 【变式3】．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2)；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例14】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【例15】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3】．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确；原因是同级运算的运算顺序错误，见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，核心知识点是同级运算的运算顺序及有理数乘除法法则． 【详解】解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 【题型九】有理数乘除中的简便运算 【例16】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】1 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 【题型十】有理数四则混合运算 【例17】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 【例18】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1)24 (2)17.4 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 【例19】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的运算的应用． 设商品原来的价格为a元，求出三种方案的最终价格，进而判断即可． 【详解】解：设商品原来的价格为a元， 方案一提价后的价格为（元）； 方案二提价后的价格为（元）； 方案三提价后的价格为（元）． 因为， 所以， 所以方案三提价最多． 故选：C． 【变式1】．（22-23七年级上·重庆江北·周测）如图所示，实验室里，水桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，两个相同的管子在距离容器底部高处连通．现三个容器中，只有甲容器中有水，水位高，若每分钟同时向乙容器和丙容器中注入相同体积的水，注水分钟时，乙容器的水位上升了，则注水_____分钟时，甲容器的水位高度为． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先算出三个容器的底面积之比，再结合乙的水位上升速度求出丙的水位上升速度，然后分丙的水位到连通器、乙的水位到连通器两个过程算出需要花费的时间，最后根据丙的水位上升速度算出甲的水位到达所需时间． 【详解】解：甲乙丙三个容器的底面半径之比为， 三个容器的底面积之比为， 注入体积相同的水且注水分钟时，乙容器的水位上升了， 注水分钟时，丙容器的水位上升了， 丙容器的水位每分钟上升， 连通管高为， 丙容器的水位到达连通管需要分钟， 当注水时间为分钟时，乙容器的水位为， 此时乙容器的水位距离连通管为， 分钟后，注入丙容器的水会通过连通管进入乙容器， 乙容器的水位每分钟上升， 分钟后，乙容器的水位继续上升到连通器的高度需要分钟， 当注水时间为分钟时，乙容器的水位到达连通器， 分钟后，注入乙和丙容器的水会通过连通管进入甲容器， 甲容器的水位每分钟上升， 目前甲容器的水位为，若要其水位达到，水位需上升， 需要的时间为分钟， 综上注水当分钟时，甲容器水位达到． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【答案】二 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据方案分别算出两种回报的总钱数，再进行比较即可． 【详解】解：方案一的总回报：（元）； 方案二最后一天的回报：（元）， 总回报：（元）， ， 故答案为：二． 【变式3】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，解决问题． 双十一怎样发货更经济？ 素材1 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 箱数 2 4 4 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元． 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高．一个包裹在20千克以内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂糖桔哪种方案利润更高？ 【答案】任务1：100.6千克；任务2：方案二，34元；任务3：方案一 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列式是解题的关键． 任务1：根据表格中的数据以及正负数的应用列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求得邮费，然后再比较即可解答； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，再比较、判断即可解答． 【详解】解：（1）任务1：由已知得，这10箱砂糖桔的总质量： （千克）， 答：这10箱砂糖桔的总质量为100.6千克． （2）任务2：由表格可得， （千克），（千克），（千克）， 10箱砂糖桔中质量为10.3千克的有2箱，质量为10.1千克的有4箱，质量为9.9千克的有4箱， 方案一：邮费： （元）， 方案二：这10箱砂糖桔的总质量为100.6千克， 邮费：（元）， （元）， 答：选方案二邮寄，小康家支付的邮费更省，省34元． （3）任务3：今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克， 方案一：邮寄10箱砂糖桔的利润为： （元）， 方案二：邮寄10箱砂糖桔的利润为： （元）， 答：方案一利润更高． 【题型十二】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例20】．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 【例21】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】本题考查由数轴上点的位置判断式子符号，数形结合是解决问题的关键． 由点在数轴上的位置得到，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则，由可得，故①错误； 由，可得，故②正确； 由，可得，故③正确； 由，，且可得，结合绝对值代数式意义可知，故④正确； 综上所述，结论正确的是②③④， 故答案为：②③④． 【变式1】．（25-26七年级上·广西钦州·期末）已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、根据点在数轴的位置判断式子的正负、倒数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、倒数的定义、有理数的运算； （1）由数轴可得，，，即可得出答案； （2）的倒数为，再将表示在数轴上即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，． 故答案为：；； （2）解：的倒数为， 在数轴上表示如图所示； （3）解：∵ ∴， 即点在数轴上表示的数是． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【答案】(1)； (2)；；；． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． （1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴； （2）∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得，且， ∴； ∵由数轴可得， ∴； ∵由数轴可得， ∴． 故答案为：；；；． 【变式3】．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴，有理数的加减乘除等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数小，结合有理数的加减法则判断即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，又， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由数轴可得：，又， ∴，，， ∴ ． （3）解：∵， ∴，， ∴ ． 【题型十三】数轴上的翻折 【例22】．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】数轴上的翻折 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上的翻折 【分析】本题考查数轴的折叠问题，找出对折的中心是解题的关键． 根据折叠的性质，先找出中心，再根据对称关系，可以确定与表示数3的点重合的点． 【详解】解：折叠纸面，数轴上表示数的点与表示数0的点重合， 折叠的中心是， 设点A所表示的数为x， 则， ， 即点A所表示的数为， 故选：A． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 【答案】 【知识点】数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题，由翻折得，表示的数为，点C表示的数为，即可求解． 【详解】解：因为、B之间的距离为3， 所以， 因为以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边， ， 因为点B表示的数为7， 所以表示的数为， 所以点C表示的数为； 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点表示的数为，点表示的数为；③或 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】（）根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解； （）①根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据中点坐标公式列出方程即可求解；③由②可得，可知点不在点之间，再分点在点左边和点N右边，根据数轴上两点间距离列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，中点坐标公式，两点间距离，掌握中点坐标公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， ∴表示数的点与表示数的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， 设表示数的点与表示数的点重合， 则， ∴， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵折叠后，两点也重合， ∴， 解得， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； ③∵点表示的数为，点表示的数为； ∴， ∵点到点的距离之和为， ∴点不在点之间， 当点在点左边时，， 解得； 当点在点右边时，， 解得； 综上，的值为或． 1. 核心法则：有理数乘除运算核心是先定符号，再算绝对值，符号由负数个数决定，绝对值直接按小学乘除计算即可。 2. 两大关键工具：倒数是除法转乘法的核心桥梁，所有除法运算均可统一为乘法；三大乘法运算律（交换律、结合律、分配律）可大幅简化复杂混合运算，其中负数乘法分配律是考试重难点、易错点。 3. 运算核心步骤：所有乘除混合运算，统一转化为乘法运算→判断结果符号→约分计算数值，步骤规范可规避90%错误。 4. 必记禁忌：0无倒数、0不能做除数；乘除同级运算必须从左到右依次计算；乘法分配律对正负、加减混合式子需逐项相乘、符号同步，绝不漏项、错号。 5. 解题万能步骤：一变（除法变乘法）→二定（判定正负符号）→三约（分数提前约分）→四算（计算最终数值）。 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是． 2．计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可，两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘．本题考查有理数的乘法运算，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：B． 3．计算的值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 两个负数相除，结果为正数，再计算绝对值相除． 【详解】解：， 故选：C． 4．计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 5．根据有理数的运算律，下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算律，根据加法结合律、交换律和乘法分配律逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算正确； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算正确； 、，该选项运算错误； 故选：． 6．( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 7．《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 8．人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．分别计算与，即可知道小红体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于至之间， 由四个选项知，小红体内的血液质量可能为； 故选：C． 9．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 10．如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点的对应点表示的数，再利用中点公式求出点表示的数即可解答． 【详解】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故选：． 二、填空题 11．的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，将带分数化为假分数，再根据倒数定义求解． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是，即的倒数是， 故答案为：． 12．计算的结果为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再把绝对值相乘可得答案． 【详解】解：． 故答案为：2． 13．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除运算． 根据有理数的乘除运算法则，按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算______． 【答案】 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行计算，熟练掌握有理数运算的运算法则及运算律是解题的关键． 根据乘法分配律，将分别与括号内的各项相乘，再求和即可． 【详解】解：原式   ， 故答案为：． 15．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】 辛亥 【分析】本题考查有理数除法的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键； 根据干支纪年法的计算方法，计算2031年减3后除以10的余数确定天干，除以12的余数确定地支． 【详解】解：计算天干：，余数8对应天干序号8为辛； 计算地支：，余数0对应地支序号12为亥； 故2031年为农历辛亥年； 故答案为：辛亥． 16．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 17．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 【答案】121天 【分析】七进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满七进一”的算式． 本题考查有理数的混合运算，理解题目意思是解题关键． 【详解】解：满十进一：． ∴图片中“满七进一”的数表示为：， ∴孩子已经出生的天数为121天． 故答案为：天． 18．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 【答案】8100 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据，可得的和，即可求得． 【详解】解：设，，，， 则、、、是四个不同的整数，且， 要将4分解成四个不同整数的乘积， 只能是， 则、、、的组合是， ． 故答案为：8100． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 21．计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 22．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）将原式写成，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）倒用乘法分配律进行计算即可； （5）先根据“除以一个数等于乘以它的倒数”，将除法运算变为乘法运算，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． 24．有20筐白萝卜，以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 4 6 (1)20筐白萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价20元，出售这20筐白萝卜可卖多少钱？ 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重6千克 (2)与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过4.5千克 (3)出售这20筐白萝卜可卖8090元 【分析】（1）根据正、负数的意义，用超出质量最大的减去最小的，然后根据有理数的减法运算进行计算即可； （2）用与标准质量的差值乘以对应的筐数，然后相加，根据有理数混合运算的方法计算，如果结果是正数，则超过，是负数，则不足； （3）先求出总质量，然后乘以单价即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，最轻的是差3.5，最重的是超出2.5， ∴（千克）， ∴最重的一筐比最轻的一筐重6千克； （2）解： （千克）； ∵， ∴与标准质量相比，20筐萝卜总计超过4.5千克； （3）解：20筐白萝卜为：（千克）， （元）， ∴出售这20筐白萝卜可卖8090元． 25．有理数、、在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及绝对值的化简，解题的关键是根据数轴判断有理数的正负和绝对值的大小关系． （1）根据数轴上数的位置判断式子的符号； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：由数轴可知，且， ， ， 是正数、是负数，且， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知 则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 有理数乘除运算（核心知识+5易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数乘法法则 1. 基本法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘法则： 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正。 只要有一个因数为0，积就为0。 3. 乘法运算律（适用于所有有理数） 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：（最常用、最易考） 【知识点02】倒数的定义及性质 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 核心性质： 1的倒数是它本身，-1的倒数是它本身； 0没有倒数（0乘任何数都不为1）； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（倒数不改变符号）。 【知识点03】有理数除法法则 1. 法则一（通用）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即 2. 法则二（直接计算）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等于0的数，都得0。 3. 注意：0不能作除数，此为数学硬性规定。 【知识点04】有理数乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左到右依次计算；有括号先算括号内的。 2. 统一形式：先将除法全部转化为乘法（乘倒数），再通过约分、运算律简化计算。 3. 符号优先：乘除混合运算先整体判定符号，后计算绝对值，统计所有负因数的总个数，奇数负号结果为负，偶数负号结果为正，彻底规避符号出错。 4. 约分技巧：分数乘除运算中，优先交叉约分，简化数值后再计算，减少大数运算失误。 易错点1：符号判断失误（最常见错误） 错误表现：多个数乘除时，数错负因数个数；混淆乘除符号规则。 正确辨析：乘除同级运算，符号只看负数的总个数，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，与正数个数无关。 举例：，共2个负因数？错误，式子中有3个负号，结果为负，最终结果=-1。 易错点2：倒数概念混淆 错误表现：认为0有倒数；把相反数、倒数混淆；负数倒数符号出错。 正确辨析：倒数和相反数是完全不同的两个概念，极易混淆，核心区别： 相反数：运算关系为相加得0，符号相反，数值相同；如：-3和3互为相反数； 倒数：运算关系为相乘得1，符号相同，数值互为倒数；0无倒数，任意非零数有唯一倒数； 典型示例：-2的倒数是，相反数是2，切勿混淆。 易错点3：乘除混合运算顺序错误 错误表现：擅自先算后面的乘法，违背从左到右顺序。 典型错题：（错误） 正确解法：同级运算从左到右，原式。 易错点4：乘法分配律滥用、漏乘 错误表现：（漏乘）；负数分配时符号出错。 正确辨析：括号内每一项都要与括号外数字相乘，负数参与分配时，注意负负得正、正负得负。 举例：。 易错点5：0的运算误区 错误表现：0除以一个数无意义；一个数除以0得0。 正确辨析：0可以作为被除数（0÷任意非0数=0，有意义）；0绝对不能作为除数（任意数÷0无意义），这是有理数除法的硬性规则，考试高频考点。 补充误区：任何数乘0都得0，但0不能参与倒数运算、不能做除法分母。 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）不计算，说出下列两数积的符号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【变式3】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例4】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【例5】．（24-25七年级上·安徽合肥·）从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）某酒店想将10个无障碍停车位设置在酒店入口附近，准备规划每个停车位的长度为6米，宽度为2米，并且停车位旁设置宽度为1米的下车区，相邻的停车位可以共享下车区．若以下图的方式让这些停车位相邻，且两个相邻的停车位之间皆有下车区，则图中的停车位及下车区的总宽度是（   ） A．29 B．30 C．69 D．80 【变式2】．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步路程为3千米（即乘车路程不超过3千米都为8元），若乘车路程超过3千米，则超过部分每千米加收2元．请直接写出司机小李今天上午载客总收入． 【变式3】．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）一建材公司主营水泥、砂石等建筑材料，其水泥仓库需每日统计原料进出量以便管理库存，并核算运输成本．12月10日，仓库根据运输单据整理出当日水泥进出记录（运进用正数表示，运出用负数表示），具体数据如下： 进出数量（单位：吨） 40 20 进出次数 2 1 3 3 2 请你帮助仓库管理员解决以下两个问题： (1)核算当日仓库的水泥总量相较于原有库存增加或减少了多少吨？ (2)运输公司提供两种运费结算方案： 方案一：运进水泥，每吨收取运费5元，运出水泥因为需要额外增加装卸和防护措施费用，每吨收取运费8元；方案二：为简化核算，无论运进还是运出水泥，每吨统一收取运费6元． 请通过计算，从节约成本的角度考虑应该选择哪种方案更合算？ 【题型四】有理数乘法运算律 【例6】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【例7】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【变式1】．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【变式2】．（25-26七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【题型五】倒数 【例8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出，，，，的倒数． 【例9】．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·天津南开·期末）的倒数是________． 【变式3】．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】有理数的除法运算 【例10】．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例11】．，为使等式成立，（    ）内应填的数是（    ） A． B． C．2 D． 【例12】．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【变式1】．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型七】有理数除法的应用 【例13】．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【变式1】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅．．．）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2025年是乙巳年，依据上述规律推断抗战胜利的1945年应为___________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【变式3】．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【题型八】有理数乘除混合运算 【例14】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【例15】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【变式2】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【题型九】有理数乘除中的简便运算 【例16】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【变式1】．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【变式2】．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【题型十】有理数四则混合运算 【例17】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【例18】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) ； (2) ． 【变式2】．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【变式3】．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【题型十一】有理数四则混合运算的实际应用 【例19】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【变式1】．（22-23七年级上·重庆江北·周测）如图所示，实验室里，水桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，两个相同的管子在距离容器底部高处连通．现三个容器中，只有甲容器中有水，水位高，若每分钟同时向乙容器和丙容器中注入相同体积的水，注水分钟时，乙容器的水位上升了，则注水_____分钟时，甲容器的水位高度为． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【变式3】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）阅读下列材料，解决问题． 双十一怎样发货更经济？ 素材1 双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 箱数 2 4 4 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 素材2 某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元． 素材3 据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高．一个包裹在20千克以内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 问题解决 任务1 计算这10箱砂糖桔的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂糖桔哪种方案利润更高？ 【题型十二】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例20】．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【例21】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于以下四个结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填序号） 【变式1】．（25-26七年级上·广西钦州·期末）已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)把、、，，，，这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：______，______，______，______． 【变式3】．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【题型十三】数轴上的翻折 【例22】．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在B的右边；如图②，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为________． 【变式3】．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 1. 核心法则：有理数乘除运算核心是先定符号，再算绝对值，符号由负数个数决定，绝对值直接按小学乘除计算即可。 2. 两大关键工具：倒数是除法转乘法的核心桥梁，所有除法运算均可统一为乘法；三大乘法运算律（交换律、结合律、分配律）可大幅简化复杂混合运算，其中负数乘法分配律是考试重难点、易错点。 3. 运算核心步骤：所有乘除混合运算，统一转化为乘法运算→判断结果符号→约分计算数值，步骤规范可规避90%错误。 4. 必记禁忌：0无倒数、0不能做除数；乘除同级运算必须从左到右依次计算；乘法分配律对正负、加减混合式子需逐项相乘、符号同步，绝不漏项、错号。 5. 解题万能步骤：一变（除法变乘法）→二定（判定正负符号）→三约（分数提前约分）→四算（计算最终数值）。 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B．3 C． D．12 3．计算的值为（   ） A． B． C．4 D．6 4．计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 5．根据有理数的运算律，下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．( ) A．2 B． C．1 D．4 7．《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 9．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．的倒数是_____． 12．计算的结果为_________． 13．计算：_____． 14．计算______． 15．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历_________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 16．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 17．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 18．有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．计算： (1)． (2). (3)． (4)． 22．用简便方法计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 24．有20筐白萝卜，以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 4 6 (1)20筐白萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价20元，出售这20筐白萝卜可卖多少钱？ 25．有理数、、在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $