第02讲 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年新高一暑假数学初升高衔接课

第02讲 集合间的基本关系 目录 一、子集的概念 2 二、集合相等的概念 2 三、真子集的概念 2 四、空集的概念 2 考点01 判断两个集合的包含关系 3 考点02 求子集(真子集)及其个数 4 考点03 空集的概念辨析 5 考点04 判断两个集合是否相等 6 考点05 根据两个集合相等求参数 7 考点06 根据集合的包含关系求参数 7 考点07 新定义问题 12 01 学习新知 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 02 经典题型 题型1 判断两个集合的包含关系 1. (多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 2. (多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 3. 已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 4. 下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 题型2 求子集(真子集)及其个数 5. 集合A={0，2，4，6}的子集个数是(　　) A.8 B.12 C.15 D.16 6. 已知集合A=则集合A的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 7. 集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8. 已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 9. 已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 题型3 空集的概念辨析 10. 下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11. 下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 12. 如果，则（    ） A． B． C． D． 13. 若集合，则实数a的值的集合为 ． 题型4 判断两个集合是否相等 14. 下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 15. 下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 16. （多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 题型5 根据两个集合相等求参数 17. 设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 18. 若m，，且满足集合，则 ． 题型6 根据集合的包含关系求参数 19. （多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 20. (2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 21. 集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. 22. （多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 23. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 24. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得B⊆A，求实数m的取值范围. 25. 已知集合A={x|-2<x<5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得B⊆A，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 26. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，是否存在实数m使得BA，求实数m的取值范围. 27. 已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 目录 一、子集的概念 2 二、集合相等的概念 2 三、真子集的概念 2 四、空集的概念 2 考点01 判断两个集合的包含关系 3 考点02 求子集(真子集)及其个数 4 考点03 空集的概念辨析 5 考点04 判断两个集合是否相等 6 考点05 根据两个集合相等求参数 7 考点06 根据集合的包含关系求参数 7 考点07 新定义问题 12 01 学习新知 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 02 经典题型 题型1 判断两个集合的包含关系 1. (多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 答案　AD 解析　A应是{1}⊆{0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确；D应是∅⊆{0}. 2. (多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　ACD 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 3. 已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 答案　B 解析　集合A，B，C的关系如图. 4. 下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 题型2 求子集(真子集)及其个数 5. 集合A={0，2，4，6}的子集个数是(　　) A.8 B.12 C.15 D.16 答案　D 6. 已知集合A=则集合A的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案　C 解析　集合A={x|-1<x<3，x∈N}={0，1，2}， 其真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个. 7. 集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【解析】由题意知集合中有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确.故选：B. 8. 已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 9. 已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误.故选：ABC 题型3 空集的概念辨析 10. 下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 11. 下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 12. 如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：是集合的一个元素，应该表示为，A错误； 对于B：是的子集，应该表示为，B错误； 对于C：是的子集，应该表示为，C错误； 对于D：是的子集，所以，D正确，故选：D 13. 若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 题型4 判断两个集合是否相等 14. 下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为， 所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素， 所以不是相等集合，故D错误.故选：C 15. 下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为， 所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素， 所以不是相等集合，故D错误.故选：C 16. （多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【解析】对于A，是点集，是数集，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，， ，故D正确.故选：CD. 题型5 根据两个集合相等求参数 17. 设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 因为，所以，所以B正确.故选：B. 18. 若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【解析】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 题型6 根据集合的包含关系求参数 19. （多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 20. (2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 答案　B 解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. 21. 集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a>6} 解析　∵A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a>6. 22. （多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 23. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅， 所以即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 24. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得B⊆A，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 25. 已知集合A={x|-2<x<5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得B⊆A，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 26. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，是否存在实数m使得BA，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足BA，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且BA时，如图所示. 所以 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 27. 已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $