1.4 充分条件与必要条件 2026-2027高中数学高一上学期必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“充分条件与必要条件”为核心，通过分层梳理命题概念、充分必要条件定义、充要条件判定及与集合关系四大知识点，构建清晰知识框架，用“小集合推大集合”等精髓总结串联内在逻辑，明确重难点分布。 讲义亮点在于“题型分层进阶”设计，从基础判断到参数求解、充要条件证明，如题型三“根据充分条件求参数范围”引导学生用集合包含关系转化问题，培养数学思维与推理能力。课时精练覆盖选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力教师实施精准复习教学。

1.4 充分条件与必要条件 【题型一】充分、必要条件的判断 2 【题型二】 充要条件的判断 5 【题型三】 根据充分、必要条件求参数 8 【题型四】充要条件的证明 12 【题型五】充要条件的探索 16 课时精练 19 【基础回顾】 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 命题的概念及结构 (1)命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题. 判断为真的语句是真命题, 判断为假的语句是假命题. (2)命题的表示:命题表示为 “若 ，则 ” 时， 是命题的条件， 是命题的结论. 知识点 2 : 充分条件与必要条件 (1)充分条件与必要条件定义 ①一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由条件 通过推理可以得出结论 . 这时,我们就说,由 可推出 ,记作 ,并且说, 是 的充分条件, 是 的必要条件. ②如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 . 这时,我们就说, 不是 的充分条件, 不是 的必要条件. (2)充分条件与必要条件的关系 是 的充分条件反映了 ,而 是 的必要条件也反映了 ,所以 是 的充分条件与 是 的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同. 而 是 的充分条件只反映了 ,与 能否推出 没有任何关系. 知识点 3 : 充要条件 (1)充要条件的定义: “若 ，则 ” 和其逆命题 “若 ，则 ” 均为真命题,即既有 ,又有 ,就记作 . 此时， 是 的充分条件,也是 的必要条件,我们说 是 的充分必要条件,简称充要条件. (2)如果 且 ,则称 是 的充分不必要条件. (3)如果 且 ，则称 是 的必要不充分条件. (4)如果 且 ，则称 是 的既不充分也不必要条件. 知识点 4 : 充分必要条件与集合的关系 若条件 以集合的形式出现,即 , 则由 可得, 是 的充分条件, ①若 ，则 是 的充分不必要条件； ②若 ，则 是 的必要条件； ③若 ，则 是 的必要不充分条件； ④若 ，则 是 的充要条件； ⑤若 且 ,则 是 的既不充分也不必要条件. 充分必要条件判断精髓: 小集合推出大集合, 小集合是大集合的充分不必要条件, 大集合是小集合的必要不充分条件; 若两个集合范围一样, 就是充要条件的关系. 【练题型】 【题型一】充分、必要条件的判断 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一上·江西·月考）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏常州·月考）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是的充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是的充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 4．（25-26高三上·陕西西安·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，但不满足，充分性不成立， 若，则成立，但，所以不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 7．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 8．（25-26高一上·湖南·月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 【答案】ABC 【详解】A．由x，y是偶数，能推出是偶数，则p是q的充分条件； B．方程有实根，则p是q的充分条件； C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件； D．由真子集的定义知，推不出则p不是q的充分条件． 故选:ABC． 9．（25-26高一上·河北邢台·月考）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 10．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 【答案】BC 【详解】A中，例如：是无理数，是有理数，所以不是的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以是的充分条件； C中，，所以是的充分条件； D中，当时，，但，所以不是的充分条件． 故选：BC. 【题型二】 充要条件的判断 充要条件的判断方法: (1)定义法:首先分清条件和结论，然后判断 和 是否成立， 最后得出结论. (2)集合法:对于涉及取值范围的题, 可从集合的角度研究, 若两个集合具有包含关系, 可根据 “小范围 大范围, 大范围推不出小范围” 进行判断. 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，得；， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为全集，集合，所以是的子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高三下·上海·月考）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】当时，，， 所以“”不是“”的充分条件； 因为（当且仅当时等号成立）， 所以， 所以“”是“”的必要条件； 综上“”是“”的必要非充分条件. 5．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6．（25-26高一下·江西景德镇·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若， 则， 当且仅当时等号成立， 必要性：若，令，显然 所以是充分不必要条件。 7．（2026·天津河北·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解方程， 若，即或者，原式为， 整理得，解得或者. 若，即，原方程， 即，等式恒成立，所以 综上 而是的真子集，所以是充分不必要条件. 8．（25-26高一上·江西·期中）下列说法正确的是（   ） A．集合的真子集有16个 B．若集合，，则 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【详解】对于A，集合的真子集的个数为，A错误； 对于B，集合，，因此，B正确； 对于C，方程有两个不相等的负根，则，解得，C正确； 对于D，由，得；反之，由，得或，则“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：BCD 9．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【详解】对于A，若，则，故充分性成立； 若，取，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，若，但时，，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，若， 等式变形为，所以，故充分性成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，若，例如，，则，“”不成立，故充分性不成立； 若，则当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD 【题型三】 根据充分、必要条件求参数 利用充分条件或必要条件求参数的思路: 根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时,先将 等价转化, 再根据充分条件或必要条件与集合间的关系, 将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系, 然后建立关于参数的不等式 (组) 进行求解. 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是的充分条件，故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得， 故选：B 4．（25-26高一上·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 6．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 故选：C． 8．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由 或. 所以：或. 因为是的必要不充分条件，所以满足⫋满足， 即⫋. 所以可能为，，. 由 ； 由 ； 由 . 故选：ABD 9．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·月考）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 【题型四】充要条件的证明 充要条件的证明策略: 要证明 是 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题 “若 ,则 ” 为真且 “若 ,则 ” 为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 与 的解集是相同的. 注意:证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向. 1．（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 2．（25-26高一上·上海·月考）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 3．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以 ， 得证. 4．（25-26高一上·山西临汾·月考）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 5．（25-26高一上·贵州·月考）（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）若p是q的必要不充分条件，则（注意等号不能同时成立），可得； （2）由两条边上的高相等，根据等面积法知：对应的两条边也相等， 所以为等腰三角形，故充分性成立， 由为等腰三角形，则两腰上对应的高必相等， 所以两条边上的高相等，必要性成立， 综上，“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件. 6．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【详解】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 7．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 8．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以函数图像的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 9．（9-10高三·江西宜春·月考）已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 10．（24-25高一上·广西南宁·月考）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】（1）或（2）证明见解析 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【题型五】充要条件的探索 探求充要条件的两种方法: 1. 先寻找必要条件, 即将探求充要条件的对象视为结论, 寻找使之成立的条件; 再证明此条件是该对象的充分条件, 即从充分性和必要性两方面说明. 2. 将原命题进行等价变形或转换, 直至获得其成立的充要条件, 探求的过程同时也是证明的过程, 因为探求过程的每一步都是等价的, 所以不需要将充分性和必要性分开来证. 1．（25-26高一上·河南安阳·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，由得，即，即，即， 若且，即且，此时， 若，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C 4．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 5．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，选项A、B、C均等价于，故错误， 选项D，等价于，故正确， 故选：D 7．（25-26高三上·上海普陀·月考）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 【答案】D 【详解】当时，成立，推不出，故A错误； 当时，成立，推不出，故B错误； 当时，成立，推不出，故C错误； 当时，，由不等式性质可得， 若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确. 故选：D 8．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．集合 B．集合的所有子集个数为3 C．是的充要条件 D．若，则 【答案】CD 【详解】对A，，故A错误； 对B，集合的所有子集个数为，故B错误； 对C，可以推出，也可以推出，则是的充要条件，故C正确； 对D，，则，故D正确. 故选：CD. 9．（25-26高一上·河南南阳·月考）下列命题为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为 【答案】ACD 【详解】对于A，只能得到集合有公共元素，并不能得到， 反之，由，可能有，此时， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件，A是假命题； 对于B，依题意，，，，B不是假命题； 对于C，其充要条件是且，解得，C是假命题； 对于D，由集合，得，因此m的取值构成的集合中不含元素1，D是假命题. 故选：ACD 10．（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．方程组的解集是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误； 对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，故B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，所以必要性成立，故C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，，，共4个，故D正确. 故选：CD. 课时精练 一、单选题 1．（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 3．（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026高三下·上海·专题练习）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，两边同时平方可得， 所以，得，故充分性成立， 若，当时，，， 此时不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，不妨取，，满足条件，但推不出； 当时，一定有，故“”是“”的必要不充分条件. 6．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集， 且，，可得， 所以m的取值范围是. 故选：A. 7．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 8．（2004·湖南·高考真题）设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，可得， 因为，所以，解得，反之亦成立， 所以的充要条件是． 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 10．（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 11．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 【答案】必要不充分 【详解】因为是的真子集， 则是的必要不充分条件． 13．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南株洲·月考）已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 由题知若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即，又， 故的取值范围为. 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1)} (2) 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 18．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. $ 1.4 充分条件与必要条件 【题型一】充分、必要条件的判断 2 【题型二】 充要条件的判断 3 【题型三】 根据充分、必要条件求参数 4 【题型四】充要条件的证明 5 【题型五】充要条件的探索 6 课时精练 8 【基础回顾】 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 命题的概念及结构 (1)命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题. 判断为真的语句是真命题, 判断为假的语句是假命题. (2)命题的表示:命题表示为 “若 ，则 ” 时， 是命题的条件， 是命题的结论. 知识点 2 : 充分条件与必要条件 (1)充分条件与必要条件定义 ①一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由条件 通过推理可以得出结论 . 这时,我们就说,由 可推出 ,记作 ,并且说, 是 的充分条件, 是 的必要条件. ②如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 . 这时,我们就说, 不是 的充分条件, 不是 的必要条件. (2)充分条件与必要条件的关系 是 的充分条件反映了 ,而 是 的必要条件也反映了 ,所以 是 的充分条件与 是 的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同. 而 是 的充分条件只反映了 ,与 能否推出 没有任何关系. 知识点 3 : 充要条件 (1)充要条件的定义: “若 ，则 ” 和其逆命题 “若 ，则 ” 均为真命题,即既有 ,又有 ,就记作 . 此时， 是 的充分条件,也是 的必要条件,我们说 是 的充分必要条件,简称充要条件. (2)如果 且 ,则称 是 的充分不必要条件. (3)如果 且 ，则称 是 的必要不充分条件. (4)如果 且 ，则称 是 的既不充分也不必要条件. 知识点 4 : 充分必要条件与集合的关系 若条件 以集合的形式出现,即 , 则由 可得, 是 的充分条件, ①若 ，则 是 的充分不必要条件； ②若 ，则 是 的必要条件； ③若 ，则 是 的必要不充分条件； ④若 ，则 是 的充要条件； ⑤若 且 ,则 是 的既不充分也不必要条件. 充分必要条件判断精髓: 小集合推出大集合, 小集合是大集合的充分不必要条件, 大集合是小集合的必要不充分条件; 若两个集合范围一样, 就是充要条件的关系. 【练题型】 【题型一】充分、必要条件的判断 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（25-26高一上·江西·月考）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·江苏常州·月考）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 4．（25-26高三上·陕西西安·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·湖南·月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（   ） A．若x，y是偶数，则是偶数 B．若方程有实根，则 C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等 D．若集合，则 9．（25-26高一上·河北邢台·月考）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 10．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 【题型二】 充要条件的判断 充要条件的判断方法: (1)定义法:首先分清条件和结论，然后判断 和 是否成立， 最后得出结论. (2)集合法:对于涉及取值范围的题, 可从集合的角度研究, 若两个集合具有包含关系, 可根据 “小范围 大范围, 大范围推不出小范围” 进行判断. 1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·上海·月考）已知、，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 5．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一下·江西景德镇·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·天津河北·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·江西·期中）下列说法正确的是（   ） A．集合的真子集有16个 B．若集合，，则 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 9．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【题型三】 根据充分、必要条件求参数 利用充分条件或必要条件求参数的思路: 根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时,先将 等价转化, 再根据充分条件或必要条件与集合间的关系, 将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系, 然后建立关于参数的不等式 (组) 进行求解. 1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·期末）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏淮安·月考）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 9．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·月考）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【题型四】充要条件的证明 充要条件的证明策略: 要证明 是 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题 “若 ,则 ” 为真且 “若 ,则 ” 为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 与 的解集是相同的. 注意:证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向. 1．（2025高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一上·上海·月考）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 3．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 4．（25-26高一上·山西临汾·月考）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 5．（25-26高一上·贵州·月考）（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 6．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 7．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 8．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 9．（9-10高三·江西宜春·月考）已知，求证：的充要条件是. 10．（24-25高一上·广西南宁·月考）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【题型五】充要条件的探索 探求充要条件的两种方法: 1. 先寻找必要条件, 即将探求充要条件的对象视为结论, 寻找使之成立的条件; 再证明此条件是该对象的充分条件, 即从充分性和必要性两方面说明. 2. 将原命题进行等价变形或转换, 直至获得其成立的充要条件, 探求的过程同时也是证明的过程, 因为探求过程的每一步都是等价的, 所以不需要将充分性和必要性分开来证. 1．（25-26高一上·河南安阳·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 5．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 6．（25-26高三上·湖北荆州·月考）“实数集合满足：”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海普陀·月考）设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 8．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．集合 B．集合的所有子集个数为3 C．是的充要条件 D．若，则 9．（25-26高一上·河南南阳·月考）下列命题为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为 10．（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．方程组的解集是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 课时精练 一、单选题 1．（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三下·上海·专题练习）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（25-26高一上·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2004·湖南·高考真题）设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 三、填空题 12．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 13．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 14．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南株洲·月考）已知命题，或，若是的充分不必要条件，求的取值范围． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 18．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． $