第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·强化卷）-2026-2027学年高一数学上学期重点•题型讲义（人教A版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·强化卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为，根据题意得，故， 所以， 则当，解得， 当,时，，符合题意， 当时，此时，不满足集合互异性，故舍去. 所以. 故选：B. 2．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 3．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】由题意，求出集合B，根据韦恩图，结合交集的概念与性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 5．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 6．有以下说法： ①“”是“”的必要不充分条件 ②“”是“”的必要不充分条件 ③“”是“”的充分不必要条件 ④“”是“”的充要条件 其中正确的说法为（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据交集定义判断①；根据充分条件和必要条件的定义逐一判断②③④即可得答案. 【详解】对于①，由交集定义可知，若，则必有，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，若，则或， 反之，若，则必有， 所以“”是“”的必要不充分条件，②正确； 对于③，必有，反之，若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，③正确； 对于④，若，则， 反之，因为同号，所以若，则必有，即， 所以“”是“”的充要条件，④正确. 故选：D 7．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 8．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分. 9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10．下列说法中错误的有（    ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“函数在上随x 增加而增加”的充分不必要条件 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、全称命题的否定及其真假判断 【分析】对于A，利用含量词的命题的否定规定易得；对于B，举反例排除即可；对于C，举例子说明即得；对于D，先求出“函数在上单调递增”的等价条件，再利用充要条件判断即可． 【详解】对于A，由存在量词命题的否定的规定，可知命题的否定是，，故A错误； 对于B，由不能推出，例如，但， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，因函数在上单调递增等价于， 由可以推出，但不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：AB． 11．对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】交并补混合运算、集合新定义 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．设集合，，则的子集的个数为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合，再求，最后根据子集个数公式计算的子集个数. 【详解】由集合， 又，所以， 所以中元素的个数为，所以的子集个数为． 故答案为： 13．已知命题，命题.若中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据或且非的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式 【详解】当命题为真时，，当命题为真时，．由于中有且只有一个是真命题，所以当命题为真且命题为假时，，当命题为假且命题为真时，，综上所述：，填． 【点睛】命题中有且只有一个是真命题，包含两种情况：一种是命题为真且命题为假，另一种是命题为假且命题为真． 14．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的真假、判断命题的必要不充分条件 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，则实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）解不等式求集合，进而可求并集； （2）分析可知，结合包含关系分析求解. 【详解】（1）对于不等式，等价于且，解得， 即集合； 当时，集合， 所以. （2）若是的充分条件，则， 可知，且集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若q：是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）运用转化思想，可以求出该命题的否定成立的条件进行求解即可； （2）根据必要不充分的性质进行求解即可. 【详解】（1）：“，不等式恒成立”为真命题． 当时，原不等式为，符合题意； 当时，由． 综上，实数m的取值集合． （2）设集合， ∵q：是的必要不充分条件， ∴， ∴， 实数a的取值范围是． 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）代入计算后得到集合，再根据交集含义即可得到答案； （2）根据求出集合，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1），所以 当时，，解得，则. （2）若，则， 若，则. 18．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.77 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 19．定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2) 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、根据集合的包含关系求参数、集合新定义 【分析】(1)由题中的新定义先求得，再求出集合U. (2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为对 任 意，有 . 且， 当时， ，所以； 当时， ，所以； 当时， ，所以； 所以集合. （2）由（1）知集合. 对于方程，. 当即时，，满足题意； 当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意； 当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知. 当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意. 综上所述：实数的取值范围是：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·强化卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 3．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．有以下说法： ①“”是“”的必要不充分条件 ②“”是“”的必要不充分条件 ③“”是“”的充分不必要条件 ④“”是“”的充要条件 其中正确的说法为（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 7．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分. 9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法中错误的有（    ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“函数在上随x 增加而增加”的充分不必要条件 11．对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．设集合，，则的子集的个数为______． 13．已知命题，命题.若中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 14．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，则实数的取值范围. 16．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若q：是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 18．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 19．定 义 运算 ：对 任 意 ，有   .  设集 合，且， 且集合B是集合U的子集. (1)求集合U; (2)求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $