2.1.1 相等关系与不等关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“相等关系与不等关系”，通过回顾初中等式“现实背景→性质→应用”的研究路径，类比构建本章“现实情境→不等关系→基本事实→性质”的学习框架，搭建前后知识联系的学习支架。 以核心素养为导向，从限速、酸奶质量等情境抽象不等关系培养数学抽象，用“作差法”比较多项式大小发展数学运算，结合赵爽弦图探究重要不等式渗透逻辑推理与文化自信。任务驱动式设计让学生经历完整思维过程，提升综合素养，为教师提供清晰的素养培养路径与可操作的教学方案。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 2.1.1 相等关系与不等关系 设计时间 授课时间 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 教材分析 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，等式与不等式是描述这种数量关系最基本和简洁的表现形式，其本质是实数的序关系的一般化.因此，研究等式的性质、不等式性质要以两个实数大小关系的基本事实为出发点和逻辑基础，通过代数运算发现规律、得出结论，并通过运算证明性质. 本单元将在初中学习等式与等式性质的基础上，结合具体实例，类比初中研究等式的方式方法，采取“现实或数学背景→不等关系与不等式→关于两个实数大小关系的基本事实→不等式的性质→不等式的证明及应用”的路径展开研究.其中，现实和数学背景是不等关系和不等式的来源，等式和等式性质是探究不等式和不等式性质的类比对象，“相等关系或不等关系自身的特点、运算中的不变性和规律性”是发现不等式性质的思想方法.同时，赵爽弦图中蕴含的重要不等式既是基本不等式的基础，又能增强学生的文化自信. 学情分析 本单元知识是高中数学的预备知识，在初中阶段学生通过从特殊到一般的方式学习了等式和不等式的某些性质，积累了一定的“式的性质”的研究经验，为本单元学习奠定了一定基础，但初中把注意力放在具体运算上，并没有进行严格的推理证明，对公理化体系以及蕴含的数学思想方法也缺乏必要的关注.本单元的内容主要是帮助学生构建“研究一个数学对象”的路径，着力点是在公理化体系下的实数序关系，不仅抽象而且逻辑性强，学生会存在较大困惑. 1. 学生在从现实或数学背景中抽象获得不等关系与不等式时，对没有符号化的问题不知从何下手（如：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短），教学时需要引导学生思考如何提取情境中的量，怎样描述问题中的量以及满足的不等关系，从而引导学生将问题符号化.学生发现情境中隐蔽的不等关系的能力较弱（如学生不容易从面积角度挖掘赵爽弦图中蕴含的重要不等式，教学时要加强背景分析，帮助学生从数量关系上获取有价值的信息。 2.实数大小关系的基本事实以公理化体系的形式呈现，对该知识呈现的内容学生会觉得显而易见，从而忽视该基本事实蕴含的数学思想和学习的价值，用“作差法”比较式的大小的教学中，要引导学生体会基本事实的重要作用是将两个式的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，要加强“通过运算研究代数问题”的思想方法教学，从而逐步培养通过运算发现和解决代数问题的思维方式. 单元教学目标 1.能解释实际问题情境中蕴含的不等关系，并能用数学符号语言描述，获得不等式的概念． 2.能归纳出两个实数大小关系基本事实中蕴含的数学思想，知道将两式的大小比较转化为它们的差与0的大小比较的方法是研究大小关系的最基本方法，体会运算在解决代数问题中的关键作用，并能用基本事实比较大小和证明不等式的基本性质. 3.在回顾和梳理等式基本性质的基础上，能归纳出等式性质蕴含的数学思想方法，即相等关系自身的特性、等式在运算中的不变性. 4.能通过类比等式基本性质猜想不等式的基本性质并能证明；能通过比较分析，说出不等式基本性质与等式基本性质的共性与差异. 5.能从不等式的基本性质出发，通过变形、运算等方式推导出一些常用的不等式性质，并能利用这些性质证明简单的不等式. 单元教学重点 难点 1.教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和简单应用；梳理等式基本性质，归纳其蕴含的思想方法；类比等式性质，探索和证明不等式的性质，感悟等式与不等式的共性与差异. 1.教学重点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；理解实数大小关系的基本事实中蕴含的数学思想方法；梳理、归纳出等式基本性质中蕴含的思想方法；从“自身特性”“运算不变性”两方面探究不等式的基本性质并证明；利用不等式性质证明一些简单的命题. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，相等关系与不等关系； 第2课时，等式性质与不等式性质． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式（组），发展数学抽象素养． 拓展性目标：★★ 通过任务二，能说出两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，经历重要不等式 ≥2ab的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推理素养. 课时学习重难点 教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用． 教学难点：从不等关系中抽象出不等式． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 现实生活中最简单的数量关系就是相等关系和不等关系，回顾初中等式、不等式的学习过程，你能否说一说我们研究了哪些内容，是按照怎样的路径去研究的？ 教师总结：以前等式的研究按照“现实或数学背景→相等关系与等式→等式的性质→方程及其解法→应用”的学习过程，这就是研究该问题的路径. 2、 预习课本：(教科书第36页章引言，回答思考的答案) 阅读课本第36页章引言回答问题 思考：本章的研究对象是什么？用什么方法研究？ 答：梳理、类比、像等其实就是给出研究的方法. 预习评估：（学生能回答问题的答案). 问题： 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，你能举出几个具有相等或不等关系的例子吗？ 答：学生回答，学生表达不规范或不严谨时教师给予帮助. 三、目标一： 学生能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式（组），发展数学抽象素养． 任务一：阅读课本37页回答问题1与思考1，能从情境中抽象出不等关系，总结归纳抽象过程 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 答：(1)设在该路段行驶的汽车的速度为km/h，“限速40 km/h”就是的大小不能超过40，于是0<≤40. (2)由题意，得 ; (3)设△ABC的三条边为，b，c，则+b>c，-b<c. (4)如图2.1-1，设 C 是线段 AB 外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为 D，E是线段 AB 上不同于D的任意一点，则CD<CE. 思考1： 你能归纳一下上述分析、抽象不等式的基本过程吗？ 答：阅读实际问题→提取变量→获取量之间的关系→用符号语言翻译→写出不等式（组）. 评估一：学生能回答问题2，从情境中抽象出不等关系 问题2： 某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高 0.1元，销售量就可能减少 2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 答：设提价后每本杂志的定价为 x 元，则销售总收入为 万元，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 20 求出这个不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 四、目标二： 能说出两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小. 任务二：学生能回答思考2与问题3 思考2：（1）如何解这个不等式？ （2） 解不等式与解方程类似．解方程的依据是什么？类似地，你认为解不等式的依据是什么？ （3） 你知道不等式的哪些性质，这些性质是正确的吗？ 答：（1）化简，合并同类项，移项，系数化一等。（学生感到困惑时教师追问引导）； （2） 等式的性质，不等式的性质； （3）①如果 >b，那么 b<；② 如果 >b，且 b>c ，那么>c等. 问题3：（1）研究不等式性质，要从比较两个实数大小关系的基本事实出发．如何比较两个实数的大小关系呢？ （2）上面这个结论就是两个实数大小关系的基本事实.想想用基本事实作为理论工具去比较两个数的大小有什么优点？ 答：（1）① 根据数轴上两个数的位置关系确定其大小关系，但此方法在比较两个实数大小时并不实用； ② 如果是代数式，则在数轴上无法直接标出其具体的位置.只有通过代数运算，才能将其转化成与之等价的、可直接看出大小的代数式： >b ⇔-b>0; =b ⇔-b=0; <b ⇔-b<0. （2）看似简单的移项变形，却可将比较两个数的大小转化成它们的差与0的大小关系（作差法），这样就能通过减法运算和代数变形，实现问题的解决． 评估二：能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小. 例1. 比较 (x+2)(x+3) 和 (x+1)(x+4) 的大小. 分析:通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可 以得出它们的大小关系. 解:因为 (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+x+6)-(x2+5x+4) =2>0， 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 五、目标三： 经历重要不等式 ≥2ab 的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推理素养. 任务三：经历重要不等式≥2ab 的探索过程，并能证明 探究：图2.1-1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 图2.1-1 （小组讨论）思考：（1）若用、b表示直角三角形的两条直角边，你能表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？ （2） 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ （3） 从发现关系的过程来看，b为正数，如果，b∈R，上述不等式成立吗？为什么？ 解：将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为，b(≠b)，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2b，正方形的面积为.由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 >2b. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 =b 时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 =2b. 于是就有 ≥2ab. 一般地，，b∈R，有 ≥2ab. 当且仅当 =b 时，等号成立. 事实上，利用完全平方差公式，得 -2b=(a-b)2. 因为，b∈R，(a-b)2≥0，当且仅当=b时，等号成立， 所以 -2b≥0 . 因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ≥2b ,当且仅当a=b时，等号成立. 评估三： 带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）我们是如何发现和提出本节课所要研究的问题的？ （2）我们从实际问题所蕴含的不等关系抽象出不等式，经历了怎样的过程？用了哪些方法？ （3）两个实数大小关系的基本事实是什么？所蕴含的数学思想是什么？这个基本事实有什么作用？ 答： （1）学习任何内容，知道为什么学和怎样学是关键的一步．本节课是第二章的起始课，类比等式的研究，按照“现实或数学背景→不等关系与不等式→关于两个实数大小关系的基本事实→不等式的性质→不等式的证明及应用”的路径开展研究. （2）抽象出不等式的过程是“分析问题中所含的各种量→建立量与量之间的关系→用符号表示→写出不等式（组）”，关键在于量的选择和不等关系的表示. （3）两个实数大小关系的基本事实其本质是通过代数运算研究代数性质，体现了代数学中研究问题的基本思想方法. 学生回顾作答.教师在学生回答的基础上总结。 学生自主思考回答 学生独立完成，教师巡视.引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系，几何问题不妨先画图，数形结合更能有效简洁地描述题意. 先由学生思考、回答，教师再帮助学生一起总结 学生独立完成.教师总结 学生回忆初中解方程的方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质，类比得出解不等式的依据就是不等式的性质. 学生独立思考、作答，教师总结点评。 学生独立完成后展示交流. 教师先解释赵爽弦图的构成：由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形. 学生先自主思考，再小组讨论，分析图形的结构和关键量，抽象出不等式，最后进行成果展示. 让学生先总结，再进行全班交流、互动.教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识. 一章的起始课，构建本章的基本框架，使学生对本章的研究对象、内容、内在联系和研究方法有整体的了解和把握. 类比等式表示相等关系的方法，确定问题中涉及的量及其满足的不等关系是抽象不等式的关键.在这个过程中，通过创设问题情境，让学生去经历、操作、体验，积累相应的数学活动经验，为不等式的研究做好准备. 从学生认知矛盾中，引出不等式性质研究的必要性，同时通过追问，加强学法指导. 介结两个实数大小关系的基本事实，探索其蕴含的数学思想，揭示代数运算在研究代数性质中的根本重要性，为研究不等式的性质奠定基础. 让学生体会如何使用两个实数大小关系的基本事实比较两个多项式的大小，学会把大小比较转化为数学运算的代数思维. 探究既是相等关系与不等关系的总结又为引出基本不等式做铺垫.在学生操作、观察、思考、讨论的过程中，通过问题加追问，利用信息技术演示其动态过程，引导学生经历从“形”到“数”的转化翻译，逐步构建并完善获取不等式、证明不等式的基本方法体系，培养学生思维的严谨性和数学抽象素养. 帮助学生梳理本节课学习的知识以及主要的研究思路和方法. 课堂小结 1.从情境中抽象出不等关系 2.比较两个实数大小 3.重要不等式: 学生作业 1.基础性作业：教科书第39~40页练习第1、2、3题； 答案：１.(１)０<ｈ≤４. （2）ａ＋ｂ≥０. (３) ２.∵ (ｘ＋３)(ｘ＋７) －(ｘ＋４)(ｘ＋６) ＝ｘ２＋10ｘ＋21－ｘ２－10ｘ－２４ ＝ －３<０ ∴ (ｘ＋３)(ｘ＋７) <(ｘ＋４)(ｘ＋６). ３.证明:∵ >ｂ, ∴ －＝>０ ∴ > 又∵ －ｂ＝>０ ∴>ｂ, ∴ ａ>>ｂ. 2. 提升性作业：教科书第42页习题2.1第2、3、4题； ２.经n年后,方案B的投入不少于方案A的投入, 所以100＋10(ｎ－１)≥５00,即ｎ≥41. ３.(１)因为 ２ｘ２+5ｘ＋９－(ｘ２＋5ｘ＋6)＝ｘ２+３>０,所以2ｘ２+5ｘ＋９>ｘ２＋5ｘ＋6. (２)因为(ｘ－３)２－(ｘ－２)(ｘ－４)＝ (ｘ２－６ｘ＋９) －(ｘ２－６ｘ＋８)＝ １>０, 所以(ｘ－３)２>(ｘ－２)(ｘ－４). (３)因为ｘ２ －(ｘ２－ｘ＋１)＝ ｘ－１,ｘ>１, 所以 ｘ－１>０,所以ｘ２>ｘ２－ｘ＋１. (４)因为ｘ２＋ｙ２＋１－２(ｘ＋ｙ－１)＝(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＋１>０, 所以ｘ２＋ｙ２＋１>２(ｘ＋ｙ－１). ４.由题意得b＝＋２,50<10＋b<60,∈Ｎ∗,ｂ∈Ｎ, ∴＝５,b＝７,即这个两位数是57. 3.拓展性作业:已知b克糖水中含有克糖(b>>0)，再添加m克糖(m>0)（假设全部溶解），糖水变甜啦，请将这一事实表示为一个不等式. 答案：1.列出不等式: 原来糖水的浓度是；加入克糖后，糖水总质量变为，糖的总质量变为，新浓度是。糖水变甜，说明浓度变大，因此不等式为： 2.证明不等式（作差法）: 由条件，得： ，所以，即，故。 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $