第21讲 三角函数的图象与性质暑假预习讲义（知识详解+16典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第21讲 三角函数的图象与性质 （知识详解+16典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 知识点02：“五点(画图)法”画函数的图象 知识点03：正弦函数、余弦函数的周期 知识点04：正弦函数、余弦函数的奇偶性 知识点05：正弦函数、余弦函数的单调性与最值 知识点06：正切函数的定义域、周期性与奇偶性 知识点07：正切函数的图象与对称性 知识点08：正切函数的单调性与最值(值域) 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：五点法画正弦(型)、 余弦(型)函数函数的图象 题型02：正弦函数、余弦函数图象的应用 题型03：利用正弦型函数的单调性求参数 题型04：求含sinx(型)函数的值域和最值 题型05：求正弦（型）函数的奇偶性 题型06：求正弦(型)函数的最小正周期 题型07：求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 题型08：求cosx型三角函数的单调性 题型09：求cosx(型)函数的值域 题型10：求余弦(型)函数的奇偶性 题型11：求余弦(型)函数的最小正周期 题型12：求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 题型13：求正切型三角函数的单调性 题型14：求正切(型)函数的周期 题型15：求正切(型)函数的对称中心 题型16：由图象确定正(余)弦型函数解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1．正弦函数的图象叫做正弦曲线． 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线． 函数 y＝cos x，x∈R 图象 【例1】判断函数与在区间上的图象交点个数。 解：联立方程求交点：令，变形得： 在范围内，解得，仅有一解。 对应交点坐标为。 答：图象在区间上有1个交点。 【知识点02】“五点(画图)法”画函数的图象 “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，（，1）， (π，0)，（，-1），(2π，0) (0,1)，（，0）， (π，－1)，（，0）， (2π，1) 【例2】用五点法画出的简图，写出五个关键点坐标。 解：由基础正弦函数五点坐标整体向上平移1个单位，计算各关键点： 答：五个关键点： 【知识点03】正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． 【例3】求函数的最小正周期。 解：由解析式得，代入周期公式： 答：最小正周期为。 【知识点04】正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 【例4】判断函数的奇偶性。 解：定义域为，关于原点对称。 代入： 答：函数为奇函数。 【知识点05】正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在 [，]上单调递增， 在 [，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限． (2)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间． (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小． 【例5】求函数的最值，并写出取最值时的集合。 解：已知。 1. 当，即时： 2. 当，即时： 答：最大值为，对应； 最小值为，对应。 【知识点06】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1．周期性：由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2．奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数． 注意点： 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T＝ 【例6】求函数的定义域。 解：由正切函数定义域要求： 移项解得： 答：定义域：。 【知识点07】正切函数的图象与对称性 正切函数的对称中心为 ()(k∈Z)． 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴， 【例7】判断点是否为函数的对称中心。 解：正切函数对称中心通式为。 令，得对称中心。 注：对称中心可以在函数渐近线上，无需在函数图象上。 答：是的对称中心。 【知识点08】正切函数的单调性与最值(值域) 1．单调性：正切函数在每一个区间（，(k∈Z)上都单调递增． 2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 【例8】比较与的大小。 解：因为，落在正切函数的一个单调递增区间内。 由，结合单调递增性质可得： 答： 【题型01】五点法画正弦(型)、 余弦(型)函数函数的图象 【典例1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同， 即五个点的横坐标分别为. 【变式1-1】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，． 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）利用图象变换作出函数，的简图． 【答案】，为偶函数， 首先作出函数，的图象， 再将的图象作出关于y轴对称的图象，即得的部分． 如图所示即为所求图象． 【分析】该函数为偶函数，时图象与在上的图象一致， 时图象为部分沿轴反射所得，关键点为 ，，，， ，，，，， 光滑连接各点即可得简图． 【详解】略． 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出函数，的图象． 【答案】 【分析】用五点法作图，先列表，然后描点连线画图即可. 【详解】①列表： x 0 0 1 0 0 ②描点画图，如图． 【题型02】正弦函数、余弦函数图象的应用 【典例2-1】（24-25高一下·湖北·阶段检测）函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得到，结合正弦函数性质构造不等式即可求解. 【详解】解：由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点， 则， 解得：. 所以的取值范围为； 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）方程的实数解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用余弦函数与直线的交点个数就是所求方程实数解的个数即可得答案． 【详解】在同一坐标系中作余弦函数与直线的图象， 由图可知余弦函数与直线在内有四个交点， 即方程的实数解的个数是个． 故选：D 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】方程在上有两个实根，即函数的图象与的图象有两个交点，作出函数图象，由图即可得解. 【详解】在同一直角坐标系中作出的图象，的图象， 由图象可知，当，即时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即方程在上有两个实根， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-3】利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围． 【答案】 【分析】画出正弦函数与余弦函数在的图象，数形结合求出答案. 【详解】在同一坐标系下作出，与，的图象，如下所示：    故且时的取值范围是. 【题型03】利用正弦型函数的单调性求参数 【典例3-1】已知，函数在上递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，根据题意可得出，其中，可得出关于实数的不等式，求得，求得的值，进而可求得的取值范围. 【详解】，当时，， 由于函数在上递减， 则，其中， 所以，，解得， 由，解得，，，则. 因此，正实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正弦型函数在区间上的单调性求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 【变式3-1】（25-26高一下·上海·期中）设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，， 所以, 又函数在上严格增， 所以，解得， 所以， 故的取值范围是. 【变式3-2】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先整体思想求函数的单调增区间，再利用包含关系列不等式求解. 【详解】由， 得， 所以 所以. 令得.又，所以. 故选:AB. 【变式3-3】已知函数是上的严格增函数，求正数的取值范围． 【答案】 【分析】根据在区间上的单调性来求得正数的取值范围. 【详解】依题意， 由于函数是上的严格增函数， 所以. 所以正数的取值范围是. 【题型04】求含sinx(型)函数的值域和最值 【典例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数最值计算求解. 【详解】因为的最大值为1， 所以当，即， 函数的最大值是2. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）设函数，若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．π D．2π 【答案】B 【分析】根据、分别是的最大值与最小值，得到，，取得. 【详解】根据题意，函数的最大值为5，最小值为， 若实数、满足，则、分别是的最大值与最小值， 所以，，取得. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一下·江西九江·期末）函数的值域为_______． 【答案】 【分析】需根据绝对值的定义，分情况讨论的符号解得结果； 【详解】当时，， 当时，， 合并值域为 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数值域直接求； （2）法一：利用复合函数求值域；法二：借助函数有界性求值域； （3）换元法求值域. 【详解】（1）由知，的值域为． （2）法一：． ，． 当时，，故该函数的值域为． 法二：由，得，即， 显然． ，， 解得，即函数的值域为． （3）将函数配方得． ，当时，；当时，． 函数的值域为． 【题型05】求正弦（型）函数的奇偶性 【典例5-1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可判断. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数. 故选：A 【变式5-1】（24-25高一上·湖南娄底·期末）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性定义，结合函数图象作出判断 【详解】A选项，定义域为R，， 故为偶函数，A正确； B选项，由指数函数图象知，为非奇非偶函数，B错误； C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，D错误. 故选：A 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数为_____________函数（填奇或偶）． 【答案】奇 【分析】根据正弦函数奇偶性即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为，且满足， 因此函数为奇函数. 故答案为：奇. 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性．； 【答案】偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可； 【详解】根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以是偶函数． 【题型06】求正弦(型)函数的最小正周期 【典例6-1】（25-26高一下·浙江湖州·期末）函数的最小正周期为_______． 【答案】 【详解】由正弦函数的性质，函数的最小正周期为. 【变式6-1】（25-26高一下·河北承德·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算的最小正周期，再结合绝对值翻折对正弦函数周期的影响求解即可. 【详解】对于，最小正周期为， 的图像是将的图像中位于轴下方的部分沿轴翻折得到， 翻折后函数周期变为原周期的， 因此的最小正周期. 【变式6-2】（多选）（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，函数的图象可由函数保留轴右侧的图象不变， 去掉轴左侧图象， 并将右侧图象关于轴翻折到左侧得到，故函数没有周期性，故A错误； 对于B，的图象可由函数保留轴上方的图象不变， 并将轴下方的图象关于轴翻折到上方得到， 故其周期是函数的周期的一半，即，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D正确. 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数周期的定义或周期公式求解即可； （2）利用三角函数周期公式求解即可； （3）利用三角函数周期的定义结合图象求解即可. 【详解】（1）方法一  （定义法） 因为所以 所以函数的周期为. 方法二  （公式法） 中 （2）中，周期 （3）作图如下. 观察图象可知周期为. 【题型07】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【典例7-1】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数对称轴的性质，利用整体法求解. 【详解】若为函数图象的对称轴方程，则， 整理得：，当时，， 即一条对称轴的方程为. 【变式7-1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解. 【详解】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴． 故选：A 【变式7-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的图象的对称中心是_____________，对称轴方程为_____________． 【答案】 ， ， 【分析】由的对称中心,对称轴及这两个函数图象之间的关系即可求解 . 【详解】由正弦函数的对称性可知的对称中心为，，对称轴为直线，． 的图象是由的图象纵坐标伸长到原来的2倍，再向上平移一个单位得到，故的对称中心为，，对称轴方程是直线，． 故答案为：，；， 【变式7-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标． 【答案】(1) (2)对称轴方程为，对称中心坐标为 【分析】该题考查正弦型函数的周期性和对称性. 【详解】（1）由题意知， 由题意得函数的最小正周期为. （2）令， 得函数的对称轴方程为． 令，得， ∴对称中心坐标为． 【题型08】求cosx型三角函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是______． 【答案】， 【分析】由，可得，然后由在上的单调递减区间可得答案. 【详解】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 【变式8-2】（多选）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的单调性对选项进行分析，从而确定答案. 【详解】A选项，时，，单调递增，故A符合. B选项，时，，单调递减，故B不符合. C选项，时，，，单调递减，故C不符合. D选项，时，，，单调递增，故D符合. 故选：AD. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 【答案】. 【分析】提出负号，转化成余弦型函数，结合复合函数单调性，整体代入计算即可. 【详解】解：，. 由， 得，. 当时，，k取其它值，不合题意， 故单调减区间为. 【题型09】求cosx(型)函数的值域 【典例9-1】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果. 【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数的值域是________. 【答案】 【分析】由，可得，然后求出值域即可. 【详解】因为，∴， ∴， 即函数的值域是. 【变式9-3】（25-26高一下·上海徐汇·期末）函数，的值域是________． 【答案】 【分析】先根据的取值范围求出的范围，再结合余弦函数的单调性计算值域. 【详解】令，由，可得， 又余弦函数在区间上单调递减，因此在上也单调递减， 当 时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值， 故函数，的值域为. 【题型10】求余弦(型)函数的奇偶性 【典例10-1】函数是______函数．（填写“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”） 【答案】偶 【分析】利用奇偶性的定义判断可得答案. 【详解】，，所以是偶函数. 故答案为：偶. 【变式10-1】判断函数的奇偶性． 【答案】奇函数 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可. 【详解】根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以为奇函数． 【变式10-2】判断函数，（）的奇偶性，并说明理由. 【答案】当，时，为偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为非奇非偶函数，理由见解析. 【分析】根据函数奇偶性的定义分析的取值情况，由此确定出函数的奇偶性. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 若，则有， 所以，又不恒为零，所以，所以， 所以当时，函数为偶函数； 若，则有， 所以，又不恒为零，所以，所以， 所以当时，函数为奇函数； 若时，此时、均不能恒成立，所以函数为非奇非偶函数； 综上可知，当，时，为偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为非奇非偶函数. 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)为奇函数 (2)为偶函数 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义分析即可； （2）根据函数奇偶性的定义分析即可； 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ， 又 ． 为奇函数． （2）的定义域为，关于原点对称， ， 为偶函数． 【题型11】求余弦(型)函数的最小正周期 【典例11-1】（25-26高一下·广东清远·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的最小正周期为． 【变式11-1】（多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段检测）下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐项判断. 【详解】是周期为的偶函数； 是周期为的奇函数； 是周期为的偶函数； 是周期为的偶函数． 故选：. 【变式11-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 【变式11-3】求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦函数的周期求解； （2）根据余弦函数的周期求解； （3）根据余弦函数的周期求解． 【详解】（1）正弦函数的周期是， 所以所求函数的周期是； （2）余函数的周期是， 所以所求函数的周期是； （3）余函数的周期是， 所以所求函数的周期是． 【题型12】求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 【典例12-1】（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 【变式12-1】函数的对称轴为__________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性，利用整体代入法求解可得. 【详解】由得， 所以，函数的对称轴方程为. 故答案为： 【变式12-2】（24-25高一下·广东中山·阶段检测）写出函数的一个对称中心_____________． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 【变式12-3】已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 【答案】(1)对称轴为,,对称中心为, (2)单调递增区间是,;单调递减区间是, 【分析】本题考查三角函数的整体代换思想.将看成一个整体,与的图像特征进行比较即可. 【详解】（1）令,, 解得, 所以函数的对称轴为,. 令,,解得,. 所以函数的对称中心为, （2）当,时, 解得,,故函数的单调递增区间是,; 令,,解得,, 故函数的单调递减区间是, 【题型13】求正切型三角函数的单调性 【典例13-1】（24-25高一下·山东日照·阶段检测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. 【变式13-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 【变式13-2】函数的单调减区间为________. 【答案】 【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由可得， 所以，函数的单调递减区间为，无增区间. 故答案为：. 【变式13-3】（24-25高一下·安徽·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)递增区间为，无递减区间 【分析】（1）借助正切函数中计算即可得； （2）借助正切函数的单调性计算即可得； 【详解】（1）由题意得：，解得：， 的定义域为. （2）令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. 【题型14】求正切(型)函数的周期 【典例14-1】（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 【变式14-1】（25-26高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，最小正周期为，正确； 对于B，，但定义域为，其周期为，错误； 对于C，图象下方做关于轴的对称，周期不变为，错误； 对于D，图象关于轴对称，不是周期函数，错误. 【变式14-2】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 【答案】3 【详解】的最小正周期满足． 【变式14-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求的最小正周期. 【答案】 【分析】法一：利用正切函数的周期性求出周期即得.法二：利用正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】方法一：∵， 即， ∴的最小正周期是. 方法二：. 【题型15】求正切(型)函数的对称中心 【典例15-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 【变式15-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 【变式15-2】（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【答案】（答案不唯一，符合的点均对） 【详解】令，解得，故的对称中心为. 【变式15-3】函数的一个对称中心为___________． 【答案】（不唯一） 【分析】根据正切型三角函数的对称性求解即可. 【详解】令（）， 解得，当时，， 所以的一个对称中心为. 故答案为：（不唯一） 【题型16】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【典例16-1】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小值可知，再结合与可解其他参数值． 【详解】由图象可知.因为，所以. 又，可得 由，所以， 解得，结合选项可知， 因此， 故选：D． 【变式16-1】如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】首先由周期求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式. 【详解】解：由图可知，所以，解得， 再由函数过点，所以，所以， 解得，因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式16-2】函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的部分图象得到A和周期，再由点 在图象上求解. 【详解】解：由函数的部分图象知： A=1,，则 ， ， 所以 ，因为点 在图象上， 所以 ，则 ， 所以 ， 当 时， ， 所以， 故选：AD 【变式16-3】）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由图可得. 因为， 所以. 由，得，即， 因为，所以， 则. （2）令， 得， 故的单调递增区间为. 知识点01正弦、余弦函数图象基础 1. 基本图象特征：与定义域均为，图象为连续平滑的周期波浪曲线，形状完全一致，仅存在水平平移差异。 2. 图象平移关系：，余弦函数图象可由正弦函数图象向左平移个单位得到。 知识点02五点作图法（核心画图方法） 五点法是绘制三角函数一个周期图象的标准方法，选取周期内最值点、零点五大关键节点描点连线。 1. 正弦函数 五点： 2. 余弦函数 五点： 知识点03三角函数的周期性 1. 周期定义：若（），则为函数周期，最小正数为最小正周期。 2. 基础函数周期：最小正周期；最小正周期。 3. 通用周期公式：对于 ，对于， 知识点04三角函数的奇偶性 1. 正弦函数：，定义域，为奇函数，图象关于原点中心对称。 2. 余弦函数：，定义域，为偶函数，图象关于轴对称。 3. 正切函数：，定义域关于原点对称，为奇函数。 知识点05正、余弦函数单调性与最值 1. 正弦函数 单调递增区间： 单调递减区间： 最值：（），（） 2. 余弦函数 单调递增区间： 单调递减区间： 最值：（），（） 知识点06正切函数核心性质 1. 定义域： 2. 值域：，无最大值、无最小值 3. 图象特征：由无数独立分支组成，以为垂直渐近线，定义域内不连续。 4. 对称性：仅中心对称，对称中心为，无对称轴。 5. 单调性：在每个区间上单调递增，整体无单调区间。 知识点07本节高频易错点总结 1. 正、余弦函数周期为，正切函数周期为，周期公式需区分使用； 2. 正切函数不能说在定义域上单调递增，仅在单个独立区间内单调递增； 3. 正切函数对称中心包含渐近线上的点，不局限于函数图象上的点； 4. 比较三角函数值大小时，需先利用诱导公式转化到同一单调区间内再比较； 5. 含参数三角函数的最值、单调性问题，需优先结合基础函数图象性质分析。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江丽水·期末）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 2．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由正切函数的最小正周期公式算出，再由对称中心公式求出对称中心. 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 3．（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数. 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 4．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 5．（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围. 【详解】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 6．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据正切函数和余弦函数的对称中心列出等式． 【详解】由正切函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 由余弦函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 因为点同时是函数与的对称中心， 故，解得； 故，解得； 故的最小正整数为5． 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用函数在上单调递增，列不等式求解即得. 【详解】因为，且，则， 因函数在上单调递增，且， ，解得， 所以的取值范围是. 8．（25-26高一下·江西景德镇·期末）函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在区间恰有2个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】C 【详解】对于A,因为， 由图可知，，所以，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，故B正确； 对于C，所以，当时，， 所以方程在上只有即一个解， 即函数在区间恰有一个零点，故C错误； 对于D，将图象向左移个单位后可得 ，为偶函数， 其图象关于轴对称，故D正确. 二、多选题 9．（25-26高一下·广西河池·期中）下列属于函数的减区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的图象，结合选项逐一判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数的图象可知函数在上单调递增，不满足题意； 对于B，由正弦函数的图象可知函数在上单调递减，满足题意； 对于C，由正弦函数的图象可知函数在上单调递减，满足题意； 对于D，由正弦函数的图象可知函数在上先增，再减，最后再增，不满足题意. 10．（24-25高一下·江西萍乡·期中）若，则满足不等式成立的的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先解给出的不等式，再根据集合之间的关系进行选择. 【详解】因为，所以. 由 或 或， 所以所给不等式的解集为. 所给的4个选项中，只有AD两个集合是的子集，所以只有AD能使不等式成立. 故选：AD 11．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先用正切周期公式求出，再利用正切函数对称中心通式解出的参数表达式，将各选项横坐标代入验证是否存在整数，存在即为对称中心． 【详解】由函数的最小正周期为， 得，解得， 所以， 由，得， 对于A，当时，，即是的一个对称中心，A正确； 对于B，当时，，即是的一个对称中心，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，当时，，即是的一个对称中心，D正确． 三、填空题 12．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得：. 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【详解】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 14．（25-26高一下·贵州遵义·期中）的图象的相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，设函数在区间上的零点从小到大依次为，若，则_________ 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的对称性、奇偶性、零点分布及向量模长计算.由相邻对称轴间距得周期，进而求；由平移后为偶函数确定；再解方程求零点，按顺序排列后代入向量运算即可. 【详解】相邻对称轴之间的距离为，即， 故，所以. . 由为偶函数， 得为偶函数，则（）， 即，， 结合，取，得. 故. 令，得. 令，则. 解，得或（）. 在区间内满足的依次为 对应，得， 故，，. 于是 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）利用“五点法”作出函数在一个周期（闭区间）上的简图． 【答案】图见解析 【分析】利用“五点法”，先列表，后描点，再连线即可得. 【详解】第一步：列表． 0 0 1 0 0 第二步：描点． 第三步：连线画出图象如图所示： 16．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值； （2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为． （2）由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． 17．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，； (2). 【分析】（1）由解得，再利用正切函数的对称中心列式求解即可； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 18．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示. . (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）依题意可得，结合余弦函数的性质计算可得； （3）利用余弦函数在给定区间上的单调性求解即可. 【详解】（1）由图可知该函数的最小正周期. 因，则. 的图象经过点且在该点附近单调递减， 则由，可得，即. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. （2）由，得，所以， 则或， 解得或， 即方程的解集为或. （3）因为，所以. 则当，即时，取得最小值，且最小值为； 当，即时，取得最大值，且最大值为. 故在上的值域为. 19．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)对称中心为；减区间为； (3)或. 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间； （3）设，将方程转化为函数与直线公共点问题. 【详解】（1）角的终边经过点， . 由时，的最小值为， 得，即； （2）令，即，即， 所以函数的对称中心为 令，得， 又因为，所以在上的减区间为； （3）.设，则， 因为当时，方程只有一个解，不符合题意， 所以上述问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根. .作出曲线与直线的图象. 时，时，时，. ∴当或时，直线与曲线有且只有一个公共点. 的取值范围是：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 三角函数的图象与性质 （知识详解+16典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 知识点02：“五点(画图)法”画函数的图象 知识点03：正弦函数、余弦函数的周期 知识点04：正弦函数、余弦函数的奇偶性 知识点05：正弦函数、余弦函数的单调性与最值 知识点06：正切函数的定义域、周期性与奇偶性 知识点07：正切函数的图象与对称性 知识点08：正切函数的单调性与最值(值域) 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：五点法画正弦(型)、 余弦(型)函数函数的图象 题型02：正弦函数、余弦函数图象的应用 题型03：利用正弦型函数的单调性求参数 题型04：求含sinx(型)函数的值域和最值 题型05：求正弦（型）函数的奇偶性 题型06：求正弦(型)函数的最小正周期 题型07：求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 题型08：求cosx型三角函数的单调性 题型09：求cosx(型)函数的值域 题型10：求余弦(型)函数的奇偶性 题型11：求余弦(型)函数的最小正周期 题型12：求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 题型13：求正切型三角函数的单调性 题型14：求正切(型)函数的周期 题型15：求正切(型)函数的对称中心 题型16：由图象确定正(余)弦型函数解析式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1．正弦函数的图象叫做正弦曲线． 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线． 函数 y＝cos x，x∈R 图象 【例1】判断函数与在区间上的图象交点个数。 【知识点02】“五点(画图)法”画函数的图象 “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，（，1）， (π，0)，（，-1），(2π，0) (0,1)，（，0）， (π，－1)，（，0）， (2π，1) 【例2】用五点法画出的简图，写出五个关键点坐标。 【知识点03】正弦函数、余弦函数的周期 1．函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4．余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期． (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． 【例3】求函数的最小正周期。 【知识点04】正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 【例4】判断函数的奇偶性。 【知识点05】正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在 [，]上单调递增， 在 [，]上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减 最值 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 注意点： (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限． (2)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间． (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小． 【例5】求函数的最值，并写出取最值时的集合。 【知识点06】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1．周期性：由诱导公式tan(x＋π)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2．奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数． 注意点： 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T＝ 【例6】求函数的定义域。 【知识点07】正切函数的图象与对称性 正切函数的对称中心为 ()(k∈Z)． 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴， 【例7】判断点是否为函数的对称中心。 【知识点08】正切函数的单调性与最值(值域) 1．单调性：正切函数在每一个区间（，(k∈Z)上都单调递增． 2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 【例8】比较与的大小。 【题型01】五点法画正弦(型)、 余弦(型)函数函数的图象 【典例1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）利用图象变换作出函数，的简图． 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出函数，的图象． 【题型02】正弦函数、余弦函数图象的应用 【典例2-1】（24-25高一下·湖北·阶段检测）函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）方程的实数解的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【变式2-3】利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围． 【题型03】利用正弦型函数的单调性求参数 【典例3-1】已知，函数在上递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·上海·期中）设，若函数在上严格增，则的取值范围是________. 【变式3-2】（多选）已知函数在区间上单调递增，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数是上的严格增函数，求正数的取值范围． 【题型04】求含sinx(型)函数的值域和最值 【典例4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河北石家庄·期末）设函数，若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．π D．2π 【变式4-2】（25-26高一下·江西九江·期末）函数的值域为_______． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)求函数的值域． 【题型05】求正弦（型）函数的奇偶性 【典例5-1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式5-1】（24-25高一上·湖南娄底·期末）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数为_____________函数（填奇或偶）． 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性．； 【题型06】求正弦(型)函数的最小正周期 【典例6-1】（25-26高一下·浙江湖州·期末）函数的最小正周期为_______． 【变式6-1】（25-26高一下·河北承德·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的周期： (1)； (2)； (3). 【题型07】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 【典例7-1】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）函数图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的图象的对称中心是_____________，对称轴方程为_____________． 【变式7-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标． 【题型08】求cosx型三角函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是______． 【变式8-2】（多选）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 【题型09】求cosx(型)函数的值域 【典例9-1】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数的值域是________. 【变式9-3】（25-26高一下·上海徐汇·期末）函数，的值域是________． 【题型10】求余弦(型)函数的奇偶性 【典例10-1】函数是______函数．（填写“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”） 【变式10-1】判断函数的奇偶性． 【变式10-2】判断函数，（）的奇偶性，并说明理由. 【变式10-3】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【题型11】求余弦(型)函数的最小正周期 【典例11-1】（25-26高一下·广东清远·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段检测）下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【变式11-3】求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； 【题型12】求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 【典例12-1】（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】函数的对称轴为__________． 【变式12-2】（24-25高一下·广东中山·阶段检测）写出函数的一个对称中心_____________． 【变式12-3】已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 【题型13】求正切型三角函数的单调性 【典例13-1】（24-25高一下·山东日照·阶段检测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】函数的单调减区间为________. 【变式13-3】（24-25高一下·安徽·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间； 【题型14】求正切(型)函数的周期 【典例14-1】（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（      ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 【变式14-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求的最小正周期. 【题型15】求正切(型)函数的对称中心 【典例15-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【变式15-3】函数的一个对称中心为___________． 【题型16】由图象确定正(余)弦型函数解析式 【典例16-1】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________． 【变式16-2】函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（        ） A． B． C． D． 【变式16-3】）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间. 知识点01正弦、余弦函数图象基础 1. 基本图象特征：与定义域均为，图象为连续平滑的周期波浪曲线，形状完全一致，仅存在水平平移差异。 2. 图象平移关系：，余弦函数图象可由正弦函数图象向左平移个单位得到。 知识点02五点作图法（核心画图方法） 五点法是绘制三角函数一个周期图象的标准方法，选取周期内最值点、零点五大关键节点描点连线。 1. 正弦函数 五点： 2. 余弦函数 五点： 知识点03三角函数的周期性 1. 周期定义：若（），则为函数周期，最小正数为最小正周期。 2. 基础函数周期：最小正周期；最小正周期。 3. 通用周期公式：对于 ，对于， 知识点04三角函数的奇偶性 1. 正弦函数：，定义域，为奇函数，图象关于原点中心对称。 2. 余弦函数：，定义域，为偶函数，图象关于轴对称。 3. 正切函数：，定义域关于原点对称，为奇函数。 知识点05正、余弦函数单调性与最值 1. 正弦函数 单调递增区间： 单调递减区间： 最值：（），（） 2. 余弦函数 单调递增区间： 单调递减区间： 最值：（），（） 知识点06正切函数核心性质 1. 定义域： 2. 值域：，无最大值、无最小值 3. 图象特征：由无数独立分支组成，以为垂直渐近线，定义域内不连续。 4. 对称性：仅中心对称，对称中心为，无对称轴。 5. 单调性：在每个区间上单调递增，整体无单调区间。 知识点07本节高频易错点总结 1. 正、余弦函数周期为，正切函数周期为，周期公式需区分使用； 2. 正切函数不能说在定义域上单调递增，仅在单个独立区间内单调递增； 3. 正切函数对称中心包含渐近线上的点，不局限于函数图象上的点； 4. 比较三角函数值大小时，需先利用诱导公式转化到同一单调区间内再比较； 5. 含参数三角函数的最值、单调性问题，需优先结合基础函数图象性质分析。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江丽水·期末）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·江西景德镇·期末）函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在区间恰有2个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 二、多选题 9．（25-26高一下·广西河池·期中）下列属于函数的减区间的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江西萍乡·期中）若，则满足不等式成立的的集合有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）求函数，的单调减区间___________． 14．（25-26高一下·贵州遵义·期中）的图象的相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，设函数在区间上的零点从小到大依次为，若，则_________ 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）利用“五点法”作出函数在一个周期（闭区间）上的简图． 16．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 17．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 18．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示. . (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)求在上的值域. 19．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $