25.1 一元二次方程的概念-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

第二十五章一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.1 元二次方程的概念 [答案P1] 知识要点分类练中： ●知识点2一元二次方程的解（根】 6.下列方程中有一根为3的是 知识点1一元二次方程的概念和一般形式 A.x2=3 B.x2-4x-3=0 1.在下列方程中，是一元二次方程的是 ( C.x2-4x=-3 D.x(x-1)=x-3 A.x2+y2=1 B.3x2+1=6x 7.在下列各数中，是方程x2-x-2=0的根的是 C.3x+2=0 D.x+2=1 X A.-2 B.0 2.方程-x2+5x-2=0的二次项系数、一次项系数 C.-1 D.1 和常数项分别是 ( 8.已知m是方程x2-2x-12=0的一个根，求代数 A.1,-5,-2 B.1,5,2 式3m2-6m-11的值. C.-1,5,-2 D.0,-5,-2 3.将方程3(x+1)2=5x化成ax2+bx+c=0的形 式，则a,b,c的值分别为 ( A.3,-5,3 B.3,1,3 C.3,1,1 D.3,-11,3 4.填空： (1)关于x的方程(k-1)x2-3x+2=0是一元二 次方程，则k的取值范围是 (2)要使x“+1+x+2=0是关于x的一元二次方 程，则k= 5.（教材母题变式)将下列方程化成二次项系数为 正的一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项系数、一次项系数及常数项. (1)3x-2=x2; 知识点3根据实际问题列一元二次方程 9.为了改善居民生活环境，某小区对一块矩形空地进 行绿化，这块空地的长比宽多6m,面积为720m2. (2)5x(2-x)=1; 设矩形空地的长为xm,根据题意，所列方程正确 的是 () A.x(x-6)=720 B.x(x+6)=720 (3)(x+3)(x-4)=-12. C.x(x-6)=360 D.x(x+6)=360 10.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比 赛一场，共比赛36场.设共有x个队参赛，根据 题意，可列方程为 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自自 全程导练·九年级数学（上册） 11.根据题意，列出关于x的方程（不必求解）： 15.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x+2=0. (1)正方体的表面积为36.求正方体的棱长x; (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)元旦晚会，全班同学互赠贺卡（每两个同学 (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 都相互赠送一张贺卡)，全班一共赠送了 1640张贺卡.求全班的人数x; (3)同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边 三角形，也可以折成面积为50cm2的长方 形.求长方形的长x. 素养探究创新练典” 16.新考法请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方 程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=子 起=古代入已知方程，得(+子-1=0， 能力提升综合练● 化简，得y2+2y-4=0,故所求方程为y2+2y- 4=0. 12.已知将一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为 1)化成一般形式后一次项的系数为-2，则m的 “换根法”。 值为 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求： A.-1 B.1 把所求方程化为一般形式) C.-2 D.2 (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方 13.[传统文化]我国南宋数学家杨辉提出一个问 程，使它的根分别是已知方程根的相反数， 题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步. 求所求方程； 问长多阔几何.”意思如下：一块矩形田地的面 (2)已知方程2x2-7x+3=0,求一个一元二次 积是864平方步，只知道它的长与宽共60步，问 方程，使它的根分别是已知方程根的倒数， 它的长比宽多多少步.设宽是x步，根据题意，可 列方程为 14.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， (1)如果方程有一个根是x=1,那么a,b,c之间 的关系是 ； (2)如果方程有一个根是x=-1,那么a,b,c之 间的关系是 (3)如果9a-3b+c=0,那么方程一定有一个根 是 见此图标暖微信扫码进人初中智慧学园自中考123·全程导练 参芳答 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 【知识要点分类练】 1.B2.C3.B4.(1)k≠1(2)1 5.解：(1)x2-3x+2=0,二次项系数是1，一次项系数是-3， 常数项是2. (2)5x2-10x+1=0,二次项系数是5，一次项系数是-10， 常数项是1. (3)x2-x=0,二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项 是0. 6.C7.C 8.解：m是方程x2-2x-12=0的一个根，m2-2m=12, .3m2-6m-11=3(m2-2m)-11=3×12-11=25. 9.A10.2(x-1)=36 11.解：(1)6x2=36.(2)x(x-1)=1640. (3)x(15-x)=50. 【能力提升综合练】 12.D13.x(60-x)=864 14.(1)a+b+c=0(2)a-b+c=0(3)x=-3 15.解：(1)由题意，得m2-9=0且m+3≠0时，方程是一元 一次方程，所以m=3 (2)由题意，得m2-9≠0时，方程是一元二次方程，所以 m≠±3. 【素养探究创新练】 16.解：(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y 把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0, 化简，得y2-y-2=0,故所求方程为y2-y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y=士，所以：=宁 把x=二代人已知方程，得2￥7·1+3=0 化简，得3y2-7y+2=0,即所求方程为3y2-7y+2=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 【知识要点分类练】 1.D2.B3.B4.C 5.解：(1)x1=√5，x2=-5.(2)x1=2,x2=-2. (3)方程无实数根. 6.D7.B 8.x-1=6x-1=-67-59.x=3 10.解：(1)x+2=±2，.x=-2±2， ∴x1=-2+2,x2=-2-2. (2)(x+4)2=9,.x+4=±3， x=-4±3，.x1=-1,2=-7. (3)2x-1=±7，∴2x-1=7或2x-1=-7, 1=4,2=-3. (4)3(x-5)2=15,(x-5)2=5,x-5=±5， 参考答案及解析 ·九年级数学（上册）】 案及解析 x-5=5或x-5=-5, x1=5+5,2=-V5+5. 【能力提升综合练】 11.D12.C13.5 14.解：(1)x2-5=7,x2=12,x1=25,2=-25. (2)(y-3)2=5,y-3=±5，y-3=5或y-3=-5, 1=3+5,2=3-5. (3)[2(x+3)]2=[5(x-2)]2,2(x+3)=±5(x-2), ∴.2(x+3)=5(x-2)或2(x+3)=-5(x-2), 即-3x=-16或7x=4=9=号 15解，(1a2:b,系数化为1，得2=台解得=±√只， 即方程的两根互为相反数. 一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与 2m-4,.m+1+2m-4=0,解得m=1. (2)当m=1时，m+1=2,2m-4=-2. *√日…&（±2=4 【素养探究创新练】 16.(1)x1=-4,x2=-1（2)x1=0,x2=-3 第2课时配方法 【知识要点分类练】 1.B 2(1)42(2)255(3)2(42分号 3.C4.C 5.x2+10x=-1625x2+10x+25=-16+25 (x+5)2=9x+5=3x1=-2,x2=-8 6.解：(1)x1=4,x2=-2.(2)x1=1,x2=-4. (3)x1=3+22,x2=3-2√2. (4)y1=2+5,2=2-V5. 7.D8.D 9.B〔解折]：3x+6-1=0,32+6x=1,2+2=号， 则2+2x+1=号+1，即(x+1=号a=1,6=号 a+b=子故选B 10.解：(1)4x2+8x+5=0,4(x2+2x+1)-4+5=0,4(x+ 1)2+1=0,方程无实数根 -3=6 ,x2-21 号+号 名(-石-亮解得1-子 【能力提升综合练】 11.C 12.D[解析]：x2-8x+m=0,∴.x2-8x=-m,.x2-8x+ 16=-m+16,∴.（x-4)2=-m+16.根据题意，得n=4, 。1.