专题01一元二次方程的概念及解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念及解法，系统梳理“三锁死”判定法则、标准式系数辨析、根的功能及参数求解逻辑，以降次转化思想统领直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，构建从概念到应用的完整知识支架。 该资料通过“步骤模块化”（如配方法四步流程）和“解题模板”（参数求解两步法）培养学生推理意识，以常见错误总结提升抽象能力，题型分级适配不同水平。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题01一元二次方程的概念及解法精讲学案 1. 一元二次方程判定“三锁死”法则 判定一元二次方程三个硬性约束同时成立：①整式约束：分母、根号内不含未知数；②元数约束：仅含1个未知数；②次数约束：最高次数为2，二次项系数a≠0是决定性锁死条件。 2. 标准式ax2+bx+c=0(a≠0)系数辨析关键点 方程必须化简为「右端为0，左边降幂排列」才能标定a、b、c； a：绝对不可为0；b、c允许取0，衍生三类特殊一元二次方程：缺一次项ax2+c=0、缺常数项ax2+bx=0、纯二次项ax2=0，全部符合二次方程定义。 3. 方程根的两大实用功能 ①检验：数值代入等式左右相等，即为方程的根； ②求值：已知根代入原式，求参数、代数式整体求值，是固定代入解题模型。 4. 参数求解固定解题逻辑（得分模板） 题干指定方程为一元二次方程：第一步强制限定a≠0，第二步根据未知数最高次数列等式，两步算出参数后，回代验证a≠0剔除增根，步骤公式化，学生直接套用解题。 5. 全章节核心统领思想：降次转化思想（拔高亮点，体现数学思想） 四种解法底层逻辑完全统一：二次方程→拆分转化为2个一元一次方程，通过降次实现高次方程可解，是本章核心数学思想，教师做章节开篇总结、收尾复盘直接可用，提升备课深度。 6. 直接开平方法：形态适配+根的情况一键判断 适配形式：(mx+n)2=p 根的快速判断口诀：p＞0两异根、p=0两等根、p＜0无实根； 硬性要求：开方必须带，杜绝单根失分。 7. 配方法标准化四步流程（步骤模块化，适合步骤大题扣分点讲解） ①化1：二次项系数化为1；②移项：常数项右移；③配方：两边加「一次项系数一半的平方」；④平方定型+开方求解。 补充价值：配方法是求根公式推导源头，同时用于二次函数顶点变形，实现前后知识点串联，是教师拓展延伸的优质切入点。 8. 公式法：万能兜底解法使用准则 先整理标准式，带符号确定a、b、c，直接代入计算，适配所有有实数根的二次方程，无结构要求，适合无法因式分解、无法直接开方的复杂方程。 9. 因式分解法：零乘积速解原理 依据AB=0A=0或B=0，方程整理为因式乘积=0，直接拆分一次方程，计算量最小，计算题首选。适配提公因式、十字相乘类方程。 10. 解法选用应试优先级（考场实战总结，教师刷题课直接使用） 计算提速优先级：因式分解法＞直接开平方法＞公式法＞配方法； 题型硬性要求：题目指定配方、公式推导、最值变形，严格按指定方法作答，不可自选简便算法。 1. 不整理一元二次方程标准式，直接截取a、b、c，系数符号取值错误 2. 根据方程定义求参数，忽略a≠0限制，保留无效增根 3. 直接开平方法省略正负号，丢失一个方程实数根 4. 配方操作前未将二次项系数化为1，配方常数选取错误 5. 公式法代入a、b、c时忽略负号，判别式、方程根计算全部出错 6. 因式分解解方程，未化成「因式乘积=0」形式，变形逻辑错误 7. 对负数直接开平方，强行算出不存在的实数解 8. 误以为缺少一次项/常数项的整式方程不属于一元二次方程 9. 方程的根代入求值时，符号运算失误 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型四 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 直接开平方法 ★ 题型七 配方法 ★★ 题型八 配方法的应用 ★★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十一 公式法 ★★ 题型十二 因式分解法 ★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 拔高题 解答题8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：严格执行“三锁死”判定法则，三个条件必须同时成立：①整式方程，分母与根号内不含未知数；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。任意一条不满足，都不属于一元二次方程。 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 2．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 3．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：先去括号、移项，把所有项统一移到等式左侧，让等式右侧等于0；再按照未知数降幂排列，整理成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；最后把二次项系数化为正数，再标注出a、b、c。 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 5．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：把待检验的数值代入方程左右两侧，分别计算结果；若左右两边数值相等，则该数是方程的解；若两边数值不相等，则不是方程的解。 7．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 8．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 9．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 题型四：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：分两步列式，第一步令未知数的最高次数等于2，第二步限定二次项系数不等于0；求出结果后，回代检验，剔除让二次项系数为0的增根。 10．若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 11．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知二次项系数不能为零，据此作答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：B． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 13．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：利用方程解的定义，把已知根直接代入原方程，得到只含参数的一元一次方程；解方程求出参数值，必要时代回原式进行验证。 14．若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 15．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 16．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 17．如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，对所求多项式进行整体代换计算，即可得到结果． 【详解】解：将整理为， ∵m、n是方程的两个实数根， ∴由一元二次方程解的定义得，即，由根与系数的关系得，， ∴ ． 题型六：直接开平方法 解题思路：先把方程整理成(mx+n)2=p的形式；再分三类讨论：p>0，开方带正负号，得到两个不相等实数根；p=0，得到两个相等实数根；p<0，平方无意义，方程无实数根。 18．方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 19．下列解方程正确的是（   ） A．  解： B． 解： C．  解： D．  解： 【答案】C 【分析】本题考查直接开平方法解方程，逐一分析各选项解方程的过程是否正确，即可得出答案． 【详解】解：，没有实数解，故A选项解方程错误； 解：，，故B选项解方程错误；   解：，故C选项解方程正确；   解：，故D选项解方程错误； 故选：C． 20．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 21．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 题型七：配方法 解题思路：遵循四步固定流程：①把二次项系数化为1；②将常数项移到等式右边；③等式两边同时加上“一次项系数一半的平方”；④左侧写成完全平方式，再用直接开平方法求解。 22．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 23．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 24．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 25．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】解：原方程化简为， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 题型八：配方法的应用 解题思路：把代数式通过配方转化为a(x+h)2+k的形式；利用平方项非负的性质，判断代数式的最值或者取值范围，常用来比较代数式大小。 26．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【答案】50 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 27．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 28．在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 29．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　） A．2020 B．2021 C．2023 D．2018 【答案】B 【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， 即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴， 解得：， ∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021， 则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键． 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：先把方程化为一般形式，准确找出a、b、c；计算判别式=b2-4ac；>0有两个不相等实数根，=0有两个相等实数根，<0无实数根。 30．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 31．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 32．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了新定义实数运算、一元二次方程根的判别式等知识点． 根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：由题意可得：可化为：，即 ∵， ∴关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 33．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数中，，再运用一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，，有两个相等的实数根，，方程无实数根的方法进行判定即可求解． 【详解】解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：先写出判别式=b2-4ac；再结合根的情况列出不等式或等式；同时牢记前提条件：一元二次方程必须保证二次项系数不为0，最后综合取值范围。 34．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 35．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 36．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 题型十一：公式法 解题思路：先将方程整理为标准形式，带符号确定a、b、c；计算判别式，只有0时代入求根公式进行计算。 37．用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 38．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 39．设p为质数，m为整数，满足，则______． 【答案】或5 【分析】本题考查一元二次方程的整数解问题，根的判别式，质数，掌握一元二次方程的整数解问题，根的判别式，质数，完全平方数是解题关键． 先将等式变形为关于的一元二次方程，方程有实根，求出判别式，利用求根公式得出为整数，为质数，得出，即可得出结论． 【详解】解：设为质数，为整数，满足， ， ， ， ∵ m为整数， ∴必为完全平方数， 设（为非负整数）， 则， 又为质数， ∴和均为偶数， 故只可能且， 解得， ， ∴或5， 故答案为：或5． 40．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 题型十二：因式分解法 解题思路：先把方程整理成“两个一次因式的乘积=0”的形式；再依据零乘积原理：若AB=0，则A=0或B=0，拆分得到两个一元一次方程，分别求解。 41．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 42．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 43．把方程利用因式分解法可化为两个一次因式相乘等于零的形式是____． 【答案】 【详解】解：由题意可得． 44．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 题型十三：换元法解一元二次方程 解题思路：观察方程中重复出现的整体，设这个整体为新未知数，把原方程简化成普通一元二次方程；解出新未知数的值后，再代回换元式，求出原未知数的值，最后检验根的有效性。 45．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 46．已知关于x，y的方程，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，设，将原方程转化为关于 z的方程，解得或，由，故可得解． 【详解】解：设，将原方程转化为关于 z的方程： ， 因式分解：， 解得：或， ∵， ∴． 故答案为：7． 47．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 题型十四：解分式方程 解题思路：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式（一元二次）方程；解完整式方程后，必须进行验根，把根代入最简公分母，使公分母为0的根是增根，要舍去。 48．设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【详解】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． 49．方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题考查可以转化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，并要验根．方程两边分母相同，均为，需满足分母不为零，即．通过消去分母求解，并检验增根． 【详解】解：原方程为 ， 两边同乘，得． 两边同除以3，得， 解得 或 ． 检验：当时，分母 ，无意义，为增根； 当时，分母，代入原方程成立． 故答案为：． 50．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：先保证方程是一元二次方程且0；若两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1x2=；利用两根之和与两根之积，整体变形求代数式的值，不用单独解出方程的根。 51．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 52．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 53．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 54．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 解答题 1．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 2．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ， ，． 3．解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 4．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 6．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 8．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念及解法精讲学案 1. 一元二次方程判定“三锁死”法则 判定一元二次方程三个硬性约束同时成立：①整式约束：分母、根号内不含未知数；②元数约束：仅含1个未知数；②次数约束：最高次数为2，二次项系数a≠0是决定性锁死条件。 2. 标准式ax2+bx+c=0(a≠0)系数辨析关键点 方程必须化简为「右端为0，左边降幂排列」才能标定a、b、c； a：绝对不可为0；b、c允许取0，衍生三类特殊一元二次方程：缺一次项ax2+c=0、缺常数项ax2+bx=0、纯二次项ax2=0，全部符合二次方程定义。 3. 方程根的两大实用功能 ①检验：数值代入等式左右相等，即为方程的根； ②求值：已知根代入原式，求参数、代数式整体求值，是固定代入解题模型。 4. 参数求解固定解题逻辑（得分模板） 题干指定方程为一元二次方程：第一步强制限定a≠0，第二步根据未知数最高次数列等式，两步算出参数后，回代验证a≠0剔除增根，步骤公式化，学生直接套用解题。 5. 全章节核心统领思想：降次转化思想（拔高亮点，体现数学思想） 四种解法底层逻辑完全统一：二次方程→拆分转化为2个一元一次方程，通过降次实现高次方程可解，是本章核心数学思想，教师做章节开篇总结、收尾复盘直接可用，提升备课深度。 6. 直接开平方法：形态适配+根的情况一键判断 适配形式：(mx+n)2=p 根的快速判断口诀：p＞0两异根、p=0两等根、p＜0无实根； 硬性要求：开方必须带，杜绝单根失分。 7. 配方法标准化四步流程（步骤模块化，适合步骤大题扣分点讲解） ①化1：二次项系数化为1；②移项：常数项右移；③配方：两边加「一次项系数一半的平方」；④平方定型+开方求解。 补充价值：配方法是求根公式推导源头，同时用于二次函数顶点变形，实现前后知识点串联，是教师拓展延伸的优质切入点。 8. 公式法：万能兜底解法使用准则 先整理标准式，带符号确定a、b、c，直接代入计算，适配所有有实数根的二次方程，无结构要求，适合无法因式分解、无法直接开方的复杂方程。 9. 因式分解法：零乘积速解原理 依据AB=0A=0或B=0，方程整理为因式乘积=0，直接拆分一次方程，计算量最小，计算题首选。适配提公因式、十字相乘类方程。 10. 解法选用应试优先级（考场实战总结，教师刷题课直接使用） 计算提速优先级：因式分解法＞直接开平方法＞公式法＞配方法； 题型硬性要求：题目指定配方、公式推导、最值变形，严格按指定方法作答，不可自选简便算法。 1. 不整理一元二次方程标准式，直接截取a、b、c，系数符号取值错误 2. 根据方程定义求参数，忽略a≠0限制，保留无效增根 3. 直接开平方法省略正负号，丢失一个方程实数根 4. 配方操作前未将二次项系数化为1，配方常数选取错误 5. 公式法代入a、b、c时忽略负号，判别式、方程根计算全部出错 6. 因式分解解方程，未化成「因式乘积=0」形式，变形逻辑错误 7. 对负数直接开平方，强行算出不存在的实数解 8. 误以为缺少一次项/常数项的整式方程不属于一元二次方程 9. 方程的根代入求值时，符号运算失误 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型四 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 直接开平方法 ★ 题型七 配方法 ★★ 题型八 配方法的应用 ★★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十一 公式法 ★★ 题型十二 因式分解法 ★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 拔高题 解答题8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：严格执行“三锁死”判定法则，三个条件必须同时成立：①整式方程，分母与根号内不含未知数；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。任意一条不满足，都不属于一元二次方程。 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 3．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：先去括号、移项，把所有项统一移到等式左侧，让等式右侧等于0；再按照未知数降幂排列，整理成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；最后把二次项系数化为正数，再标注出a、b、c。 4．关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：把待检验的数值代入方程左右两侧，分别计算结果；若左右两边数值相等，则该数是方程的解；若两边数值不相等，则不是方程的解。 7．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 8．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 9．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型四：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：分两步列式，第一步令未知数的最高次数等于2，第二步限定二次项系数不等于0；求出结果后，回代检验，剔除让二次项系数为0的增根。 10．若关于的方程是一元二次方程，则_______． 11．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 13．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：利用方程解的定义，把已知根直接代入原方程，得到只含参数的一元一次方程；解方程求出参数值，必要时代回原式进行验证。 14．若是关于的方程的解，则_____． 15．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 16．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 17．如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 题型六：直接开平方法 解题思路：先把方程整理成(mx+n)2=p的形式；再分三类讨论：p>0，开方带正负号，得到两个不相等实数根；p=0，得到两个相等实数根；p<0，平方无意义，方程无实数根。 18．方程的根为________． 19．下列解方程正确的是（   ） A．  解： B． 解： C．  解： D．  解： 20．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 21．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 题型七：配方法 解题思路：遵循四步固定流程：①把二次项系数化为1；②将常数项移到等式右边；③等式两边同时加上“一次项系数一半的平方”；④左侧写成完全平方式，再用直接开平方法求解。 22．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 23．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 24．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 25．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 题型八：配方法的应用 解题思路：把代数式通过配方转化为a(x+h)2+k的形式；利用平方项非负的性质，判断代数式的最值或者取值范围，常用来比较代数式大小。 26．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 27．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 28．在中，，P是所在平面内一点，则的最小值是___________． 29．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　） A．2020 B．2021 C．2023 D．2018 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：先把方程化为一般形式，准确找出a、b、c；计算判别式=b2-4ac；>0有两个不相等实数根，=0有两个相等实数根，<0无实数根。 30．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 31．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 32．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 33．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：先写出判别式=b2-4ac；再结合根的情况列出不等式或等式；同时牢记前提条件：一元二次方程必须保证二次项系数不为0，最后综合取值范围。 34．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 35．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 36．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 题型十一：公式法 解题思路：先将方程整理为标准形式，带符号确定a、b、c；计算判别式，只有0时代入求根公式进行计算。 37．用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 38．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 39．设p为质数，m为整数，满足，则______． 40．对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型十二：因式分解法 解题思路：先把方程整理成“两个一次因式的乘积=0”的形式；再依据零乘积原理：若AB=0，则A=0或B=0，拆分得到两个一元一次方程，分别求解。 41．方程的根是（     ） A． B． C． D． 42．方程的根是__________． 43．把方程利用因式分解法可化为两个一次因式相乘等于零的形式是____． 44．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型十三：换元法解一元二次方程 解题思路：观察方程中重复出现的整体，设这个整体为新未知数，把原方程简化成普通一元二次方程；解出新未知数的值后，再代回换元式，求出原未知数的值，最后检验根的有效性。 45．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 46．已知关于x，y的方程，则______． 47．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 题型十四：解分式方程 解题思路：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式（一元二次）方程；解完整式方程后，必须进行验根，把根代入最简公分母，使公分母为0的根是增根，要舍去。 48．设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 49．方程的根是___________． 50．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：先保证方程是一元二次方程且0；若两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1x2=；利用两根之和与两根之积，整体变形求代数式的值，不用单独解出方程的根。 51．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 52．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 53．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 54．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 解答题 1．解方程：． 2．解下列方程． (1)； (2)． 3．解方程． (1) (2) (3)； (4) 4．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 5．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 6．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 8．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $