专题06反比例函数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义系统梳理反比例函数核心知识点，从三种标准解析式切入，衔接k值符号对图像位置与增减性的影响，深入解析k的几何意义及两大对称性，延伸至函数值比较、与一次函数综合及实际应用建模，构建完整知识支架。 该资料精准对标考场高频易错点，通过22类分层题型配解题思路培养学生抽象能力与推理意识，结合实际问题案例（如饮水机水温变化）渗透模型意识，课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性查漏补缺。

专题06反比例函数精讲学案 1. 反比例函数三种标准解析式（阅卷规范必记） 反比例函数统一形式：y=（k≠0，k为常数），包含三种等价写法：①y= ②xy=k ③y=kx的负1次方；自变量x≠0，函数值y≠0，图像永远不与坐标轴相交。 2. k值符号决定图像位置与增减性（基础核心考点） ①k＞0：图像分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； ②k＜0：图像分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 关键禁忌：增减性不能跨象限比较，是全章第一高频易错点。 3. k的几何意义（选择填空秒杀、大题必考核心） 过双曲线上任意一点，向坐标轴作垂线：①围成矩形面积=|k| ②围成直角三角形面积=1/2|k|；无论点在双曲线上哪个位置，面积恒定不变，无需代入坐标复杂计算。 4. 反比例函数两大专属对称性（拔高考点） ①中心对称：双曲线关于原点中心对称，原点对称点横、纵坐标全部互为相反数； ②轴对称：双曲线关于直线y=x、直线y=-x两条直线对称；对称性质可快速秒杀坐标、图像平移、找点类难题。 5. 函数值大小比较标准解题逻辑（学生高频失分点） 先看k的符号定象限，再看两点是否在同一象限；同象限直接用增减性比较，不同象限根据正负直接判断大小（一三象限为正、二四象限为负），杜绝跨象限乱用增减性。 6. 反比例与一次函数综合图像判断（期末、中考高频） 联立两个函数解析式可求交点坐标；根据k、b正负，同步判断直线、双曲线所在象限，排除矛盾图像；可利用交点横坐标划分区间，判断函数值谁大谁小。 7. 反比例函数实际应用建模套路（应用题通用模板） 路程、压强、密度、工程总量等固定乘积型问题，满足xy=k定值关系；先确定不变总量k，建立反比例模型，结合实际限定自变量取值为正数，求解作答。 8. 双曲线图像平移、点的移动规律（培优拓展） 反比例函数平移遵循“左加右减、上加下减”；双曲线上点平移后仍在对应新双曲线上，可结合k值不变、面积不变规律快速解题。 （精准对标考场扣分点·课堂当堂纠错） 1. 错误跨象限使用增减性，不在同一象限却用增减性比大小，直接整题失分。 2. 计算几何面积忘记加绝对值，出现k为负、面积为负数的低级错误。 3. 误以为双曲线能与坐标轴相交，忽略x≠0、y≠0的定义域限制。 4. 判断图像时，一次函数、反比例函数的k值符号前后矛盾，选错图像。 5. 实际应用题不判断自变量取值范围，出现负数长度、负数时间等不合理解。 6. 混淆反比例函数三种解析式，填空选择书写格式不规范导致扣分。 7. 原点对称性质使用错误，只变一个坐标符号，未同时变更横纵坐标。 8. 比较函数值大小时，未先区分点所在象限，凭主观直觉判断。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题新二十二 实际问题与反比例函数 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一用反比例函数描述数量关系 解题思路：①找出题目里乘积为定值的两个变量；②写出变量之间乘积相等的关系式；③变形写成y=的形式；④注明自变量的实际取值范围。 1．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 2．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 3．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 题型二　根据定义判断是否是反比例函数 解题思路：①整理式子，看能否化成y=（k不等于0）、xy=k的形式；②检查k是不是不为0的常数；③排除自变量在分母以外、指数不为负1的式子。 4．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型三　根据反比例函数的定义求参数 解题思路：①令自变量的指数等于-1；②保证比例系数不等于0；③联立两个条件求解参数；④检验结果，舍去使系数为0的解。 7．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 8．反比例函数过点和，则________． 9．函数 是反比例函数，则m的值是__________． 10．已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型四　求反比例函数值 解题思路：①确定反比例函数解析式；②把给定的自变量x的值代入解析式；③计算得到对应的y函数值。 11．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 12．反比例函数在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，则k的值可以是_______．（写一个即可） 13．已知反比例函数，若，则y的取值范围是______． 14．已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型五　由反比例函数值求自变量 解题思路：①把已知y值代入函数解析式；②解关于x的方程；③检验x不能等于0，得到自变量结果。 15．在反比例函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 16．反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 17．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 题型六　判断（画）反比例函数图象 解题思路：①看k正负，确定双曲线所在象限；②明确图像是两条分开的双曲线，永远不与坐标轴相交；③选取几组x、y对应点描点；④平滑画出两支曲线。 18．下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 19．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 20．如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型七　已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题思路：①设解析式y=；②把图像上已知点坐标代入；③计算求出k的值；④写出完整解析式。 21．如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图像上的是（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 23．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 题型八　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题思路：①分清是原点中心对称还是y=x、y=-x轴对称；②原点对称：横纵坐标全部变相反数；③y=x对称：横纵坐标互换；④y=-x对称：横纵坐标互换同时都变号。 24．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______． 26．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是_______年． 题型九　已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题思路：①根据象限判断k大于0或者k小于0；②列出关于参数的不等式；③解不等式得到参数取值；④注意保证反比例系数不为0。 27．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 28．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 29．如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十　判断反比例函数的增减性 解题思路：①确定k的正负；②注意增减性只在同一个象限内成立；③k>0，象限内y随x增大而减小；k<0，象限内y随x增大而增大；④不能跨象限说增减。 30．下列函数变量随变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 31．已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么y1、y2和0的大小关系是 ___________．（用“＜”连接） 32．已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 题型十一　判断反比例函数图象所在象限 解题思路：①找出比例系数k；②k＞0，图像在一、三象限；③k＜0，图像在二、四象限。 33．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 34．已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 35．二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 题型十二　已知反比例函数的增减性求参数 解题思路：①由增减性判断k＞0或者k＜0；②列出参数不等式；③求解不等式；④确保反比例函数系数不等于0。 36．若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．若反比例函数的图象在每个象限内随着的增大而增大，则的值为______． 38．已知反比例函数，当时，，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十三　比较反比例函数值或自变量的大小 解题思路：①看k的正负；②判断点是否在同一个象限；③同象限，利用增减性直接比较；④不同象限，根据正负直接比较大小；⑤正数一定大于负数。 39．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 40．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 41．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型十四　已知比例系数求特殊图形的面积 解题思路：①记住矩形面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|；②直接代入k的绝对值计算；③面积一定是正数，不要忽略绝对值。 42．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 43．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 44．如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型十五　根据图形面积求比例系数（解析式） 解题思路：①根据图形面积列式，面积=|k|或者面积=|k|；②算出|k|的数值；③结合图像所在象限确定k正负；④写出k，得到函数解析式。 45．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 46．如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 47．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 题型十六　求反比例函数解析式 解题思路：①设y=（k≠0）；②把图像上点的坐标代入；③解出k的值；④写出完整反比例函数解析式。 48．若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 49．如图，反比例函数的图象交的直角边于点C，点B在x轴上，若，平分，则k的值是______． 50．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 题型十七　反比例函数与几何综合 解题思路：①设双曲线上点的坐标；②结合几何图形性质，得到线段长度；③利用k的几何意义建立等式；④求出点坐标或者k值；⑤结合几何条件计算边长、面积。 51．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 52．如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 53．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型十八　反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①观察一个函数图像，判断系数正负；②把得到的系数符号代入另一个函数；③检验另一个函数图像是否匹配；④矛盾选项直接排除。 54．如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 55．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B． C．D． 56．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十九　一次函数与反比例函数图象综合判断 解题思路：①看其中一个图像，读出对应k、b符号；②核对另一个图像的象限是否符合符号；③符号冲突直接排除选项。 57．在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 58．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 59．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型二十　一次函数与反比例函数的交点问题 解题思路：①联立两个函数解析式，得到方程；②解方程求交点横坐标；③回代求纵坐标；③判别式可以判断交点个数；④交点同时满足两个函数。 60．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 61．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 62．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 题型二十一　一次函数与反比例函数的实际应用 解题思路：①读懂题意，分清哪段是一次函数，哪段是反比例函数；②求出两段函数解析式；③限定对应自变量取值范围；④代入求解实际问题。 63．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    64．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 65．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 题型二十二　实际问题与反比例函数 解题思路：①寻找题目中乘积不变的两个量；②建立xy=k的反比例关系；③求出k，写出函数；④自变量取正数；⑤结合实际作答。 66．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 67．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 68．新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 解答题 1．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 2．图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 3．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 4．如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，的取值范围是______； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求的值． 5．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 6．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 8．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06反比例函数精讲学案 1. 反比例函数三种标准解析式（阅卷规范必记） 反比例函数统一形式：y=（k≠0，k为常数），包含三种等价写法：①y= ②xy=k ③y=kx的负1次方；自变量x≠0，函数值y≠0，图像永远不与坐标轴相交。 2. k值符号决定图像位置与增减性（基础核心考点） ①k＞0：图像分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； ②k＜0：图像分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 关键禁忌：增减性不能跨象限比较，是全章第一高频易错点。 3. k的几何意义（选择填空秒杀、大题必考核心） 过双曲线上任意一点，向坐标轴作垂线：①围成矩形面积=|k| ②围成直角三角形面积=1/2|k|；无论点在双曲线上哪个位置，面积恒定不变，无需代入坐标复杂计算。 4. 反比例函数两大专属对称性（拔高考点） ①中心对称：双曲线关于原点中心对称，原点对称点横、纵坐标全部互为相反数； ②轴对称：双曲线关于直线y=x、直线y=-x两条直线对称；对称性质可快速秒杀坐标、图像平移、找点类难题。 5. 函数值大小比较标准解题逻辑（学生高频失分点） 先看k的符号定象限，再看两点是否在同一象限；同象限直接用增减性比较，不同象限根据正负直接判断大小（一三象限为正、二四象限为负），杜绝跨象限乱用增减性。 6. 反比例与一次函数综合图像判断（期末、中考高频） 联立两个函数解析式可求交点坐标；根据k、b正负，同步判断直线、双曲线所在象限，排除矛盾图像；可利用交点横坐标划分区间，判断函数值谁大谁小。 7. 反比例函数实际应用建模套路（应用题通用模板） 路程、压强、密度、工程总量等固定乘积型问题，满足xy=k定值关系；先确定不变总量k，建立反比例模型，结合实际限定自变量取值为正数，求解作答。 8. 双曲线图像平移、点的移动规律（培优拓展） 反比例函数平移遵循“左加右减、上加下减”；双曲线上点平移后仍在对应新双曲线上，可结合k值不变、面积不变规律快速解题。 （精准对标考场扣分点·课堂当堂纠错） 1. 错误跨象限使用增减性，不在同一象限却用增减性比大小，直接整题失分。 2. 计算几何面积忘记加绝对值，出现k为负、面积为负数的低级错误。 3. 误以为双曲线能与坐标轴相交，忽略x≠0、y≠0的定义域限制。 4. 判断图像时，一次函数、反比例函数的k值符号前后矛盾，选错图像。 5. 实际应用题不判断自变量取值范围，出现负数长度、负数时间等不合理解。 6. 混淆反比例函数三种解析式，填空选择书写格式不规范导致扣分。 7. 原点对称性质使用错误，只变一个坐标符号，未同时变更横纵坐标。 8. 比较函数值大小时，未先区分点所在象限，凭主观直觉判断。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数（解析式） ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题新二十二 实际问题与反比例函数 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一用反比例函数描述数量关系 解题思路：①找出题目里乘积为定值的两个变量；②写出变量之间乘积相等的关系式；③变形写成y=的形式；④注明自变量的实际取值范围。 1．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 2．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 3．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 题型二　根据定义判断是否是反比例函数 解题思路：①整理式子，看能否化成y=（k不等于0）、xy=k的形式；②检查k是不是不为0的常数；③排除自变量在分母以外、指数不为负1的式子。 4．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 5．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 6．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 题型三　根据反比例函数的定义求参数 解题思路：①令自变量的指数等于-1；②保证比例系数不等于0；③联立两个条件求解参数；④检验结果，舍去使系数为0的解。 7．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 8．反比例函数过点和，则________． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 9．函数 是反比例函数，则m的值是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 10．已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 题型四　求反比例函数值 解题思路：①确定反比例函数解析式；②把给定的自变量x的值代入解析式；③计算得到对应的y函数值。 11．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把点代入可得． 12．反比例函数在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，则k的值可以是_______．（写一个即可） 【答案】3（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 将代入，根据此时反比例函数值作答即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴当时，反比例函数值， 即， ∴， 则k的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一，即可）． 13．已知反比例函数，若，则y的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可． 【详解】解：把x=-2代入得：y=-4， ∵8＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限， ∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0， 故答案为：y≤-4或y＞0． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键． 14．已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型五　由反比例函数值求自变量 解题思路：①把已知y值代入函数解析式；②解关于x的方程；③检验x不能等于0，得到自变量结果。 15．在反比例函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，将各选项代入计算，满足，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， 各选项中，只有，则是反比例函数的图像上的点， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 16．反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的性质，判断函数图象所在象限与单调性，分和两种情况讨论，即可得到自变量x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 令，代入解析式得，解得， 当时，由于，恒成立，此时对应的自变量， 当时，由，结合在每一象限内，随的增大而减小的性质，可得， 综上，自变量的取值范围是或． 17．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 题型六　判断（画）反比例函数图象 解题思路：①看k正负，确定双曲线所在象限；②明确图像是两条分开的双曲线，永远不与坐标轴相交；③选取几组x、y对应点描点；④平滑画出两支曲线。 18．下列图象中，是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数的图象，根据反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线进行判断即可，正确理解反比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数图象与轴、轴都无交点，图象为双曲线， 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象都与坐标轴有交点，不符合题意； 、图象是反比例函数图象，符合题意； 故选：． 19．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 20．如图，双曲线的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】直接根据反比例函数的性质结合图象分布解答即可． 【详解】解：∵中，k=-6＜0 ∴双曲线的图象在二、四象限，排除C、D 当x=-2时，y=3时，故A符合题意，B不符合题意． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图像确定方法是解题关键． 题型七　已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题思路：①设解析式y=；②把图像上已知点坐标代入；③计算求出k的值；④写出完整解析式。 21．如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 则函数解析式为． 因为，，，． 所以点，，不在的图象上，点在的图象上． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 22．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 23．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 题型八　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题思路：①分清是原点中心对称还是y=x、y=-x轴对称；②原点对称：横纵坐标全部变相反数；③y=x对称：横纵坐标互换；④y=-x对称：横纵坐标互换同时都变号。 24．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 25．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______． 【答案】-4 【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 故答案是：-4． 【点睛】考查了反比例函数的性质，代数式求值，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键． 26．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是_______年． 【答案】8100 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，即可求解． 【详解】解：由图象可知， 1620年时，镭质量缩减为原来的， 经过1620年，即3240年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即4860年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即6480年时，镭质量缩减为原来的， ∴经过年，即8100年时，镭质量缩减为原来的， 此时，， 故答案为：8100． 【点睛】本题考查函数图象，规律探索问题，解题的关键是找出物质所剩的质量与时间的规律． 题型九　已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题思路：①根据象限判断k大于0或者k小于0；②列出关于参数的不等式；③解不等式得到参数取值；④注意保证反比例系数不为0。 27．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 28．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出的取值范围，进而求出整数的值． 【详解】解：解，得：， ∵式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴且， ∵反比例函数的图象经过一，三象限， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为：， ∴； 故答案为：1． 29．如图是小华同学利用计算机软件绘制函数（k，b为常数）的图象，则k，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图像，能够通过反比例函数图像确定的取值是解题的关键．有图像可知，当时，可知，时，函数值不存在，则． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， ， 时，函数值不存在， 则． 故，． 故选A． 题型十　判断反比例函数的增减性 解题思路：①确定k的正负；②注意增减性只在同一个象限内成立；③k>0，象限内y随x增大而减小；k<0，象限内y随x增大而增大；④不能跨象限说增减。 30．下列函数变量随变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的增减性，根据两种函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】A选项 是反比例函数 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B选项 是反比例函数 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C选项 是正比例函数 y随x的增大而减小，故C正确； D选项 是正比例函数 y随x的增大而增大，故D错误． 31．已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么y1、y2和0的大小关系是 ___________．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】因为，利用反比例函数的图象的性质，在每个象限内，y随x的增大而增大，即可求出y1、y2和0的大小关系． 【详解】解：， 在每个象限内，反比例函数的图象上y随着x的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是判断出的正负性． 32．已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 题型十一　判断反比例函数图象所在象限 解题思路：①找出比例系数k；②k＞0，图像在一、三象限；③k＜0，图像在二、四象限。 33．反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求出的值，再判断函数图象所在象限．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【详解】解：将点代入得，， 可知函数图象位于一、三象限． 故选：B． 34．已知抛物线与x轴没有交点，则函数的图象位于第 ________象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上函数性质． 利用二次函数性质求出的取值范围，然后根据反比例函数的性质即可判定出图象所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得， ∴函数的图象位于第二、四象限， 故答案为：二、四． 35．二次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象一定位于（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象判断各项系数的符号，反比例函数的性质；由图象可判断，，，由反比例函数性质即可求解；会利用二次函数图象判断各项系数的符号，理解反比例函数性质是解题的关键． 【详解】解：由图象得 抛物线开口方向向上， ， 与轴交点在轴的负半轴， ， 对称轴在轴的左侧， ， ， ， 反比例函数的图象一定位于第二、四象限； 故选：D． 题型十二　已知反比例函数的增减性求参数 解题思路：①由增减性判断k＞0或者k＜0；②列出参数不等式；③求解不等式；④确保反比例函数系数不等于0。 36．若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：D 37．若反比例函数的图象在每个象限内随着的增大而增大，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意得出关于m的不等式及方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随着x的增大而增大， ∴且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质及反比例函数的图象与系数的关系，根据题意得出关于m的不等式及方程是解题的关键． 38．已知反比例函数，当时，，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由当时，，可知随着的增大而减小，则，可求，然后判断作答即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而减小， ∴， 解得，， ∴的值可以是4， 故选：D． 题型十三　比较反比例函数值或自变量的大小 解题思路：①看k的正负；②判断点是否在同一个象限；③同象限，利用增减性直接比较；④不同象限，根据正负直接比较大小；⑤正数一定大于负数。 39．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时反比例函数的图像分布和增减性，即可判断三个值的大小． 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第一、第三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵点的横坐标，该点在第三象限， ∴. ∵点，的横坐标满足，两点都在第一象限， ∴， 综上所述，． 40．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出和，再计算二者的差，结合判断差与的大小关系． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 41．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型十四　已知比例系数求特殊图形的面积 解题思路：①记住矩形面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|；②直接代入k的绝对值计算；③面积一定是正数，不要忽略绝对值。 42．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 43．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 44．如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 题型十五　根据图形面积求比例系数（解析式） 解题思路：①根据图形面积列式，面积=|k|或者面积=|k|；②算出|k|的数值；③结合图像所在象限确定k正负；④写出k，得到函数解析式。 45．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ， 故选B． 46．如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 【答案】 【分析】过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，这一点与原点所连线段，原点与垂足的连线段，这三条线段围成的直角三角形面积是一个定值，即． 【详解】解： 的面积为， ． ． 图象在第二象限， ． ． 47．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 题型十六　求反比例函数解析式 解题思路：①设y=（k≠0）；②把图像上点的坐标代入；③解出k的值；④写出完整反比例函数解析式。 48．若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵反比例函数图象经过点． ∴． 又∵点也在反比例函数图象上． ∴． 解得． 49．如图，反比例函数的图象交的直角边于点C，点B在x轴上，若，平分，则k的值是______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，作于点，由角平分线的性质定理可得，结合三角形的面积公式得出，进而可得，最后再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 如图，作于点， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数可得， ∴． 50．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 题型十七　反比例函数与几何综合 解题思路：①设双曲线上点的坐标；②结合几何图形性质，得到线段长度；③利用k的几何意义建立等式；④求出点坐标或者k值；⑤结合几何条件计算边长、面积。 51．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 52．如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的特殊性质，可分别求出线段、、的长度，设，用含有的代数式表示点和点的坐标，再将两点坐标分别代入反比例函数关系式，即可建立方程求出的值，进而确定反比例函数中的系数． 【详解】解：过点M作，垂足为N，则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴点，， 又∵反比例函数的图象恰好经过点F，M， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键． 53．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 题型十八　反比例函数、二次函数图象综合判断 解题思路：①观察一个函数图像，判断系数正负；②把得到的系数符号代入另一个函数；③检验另一个函数图像是否匹配；④矛盾选项直接排除。 54．如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 55．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象．由点关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项A． 【详解】解：由在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 56．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 题型十九　一次函数与反比例函数图象综合判断 解题思路：①看其中一个图像，读出对应k、b符号；②核对另一个图像的象限是否符合符号；③符号冲突直接排除选项。 57．在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．分当时和当时，分别探究即可． 【详解】解：当时， 函数过第二、四象限，函数过第一、二、三象限， 没有选项符合条件； 当时， 函数过第一、三象限，函数过第一、二、四象限， 选项D符合题意； 故选：D． 58．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质，直线的方向以及与y轴交点、双曲线的位置决定系数k的符号．是解题的关键． 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】 解：A、， 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值相同，故此选项正确； B、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过二、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项错误； C、 反比例函数图象在第二、四象限， 则， 一次函数图象经过一、三、四象限，与y轴交于负半轴， 则，，即， k的取值不同，故此选项不正确； D、 反比例函数图象在第一、三象限， 则， 一次函数图象经过一、三象限，过原点， 则，， k的取值不同，故此选项错误． 故选：A． 59．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 题型二十　一次函数与反比例函数的交点问题 解题思路：①联立两个函数解析式，得到方程；②解方程求交点横坐标；③回代求纵坐标；③判别式可以判断交点个数；④交点同时满足两个函数。 60．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 61．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 62．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 题型二十一　一次函数与反比例函数的实际应用 解题思路：①读懂题意，分清哪段是一次函数，哪段是反比例函数；②求出两段函数解析式；③限定对应自变量取值范围；④代入求解实际问题。 63．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 64．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 65．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 题型二十二　实际问题与反比例函数 解题思路：①寻找题目中乘积不变的两个量；②建立xy=k的反比例关系；③求出k，写出函数；④自变量取正数；⑤结合实际作答。 66．为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 67．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 68．新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 【答案】D 【分析】根据图象可判断A，B，C选项，求出，然后结合得到，求出当时，m有最大值1.5，进而判断D． 【详解】解：由图2可知，R随m的增大而减小，由图3可知，I随R的增大而减小， 随着m的增大而增大，A选项错误； 由图3可知，I与R之间的函数图象与y轴有交点，故I不是R的反比例函数，B选项错误； 当时，由图2可知，； 当时，由图3可知，，C选项错误； 由题意，设， 将，代入，得 解得 ． 又， ． 随着m的增大而增大， 当时，m有最大值1.5． 而，故该电子托盘秤不能称出物体的质量，D选项正确． 解答题 1．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 【答案】(1)， 图象如下：    (2)当时，电磁波的频率为 【分析】（1）设波长关于频率的函数解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而画出图象即可． （2）将代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数解析式为． 把点代入上式中，得， 解得， ． （2）解：当时，， ． 答：当时，电磁波的频率为． 2．图所示曲线是反比例函数的图像的一支． (1)这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)若一次函数的图像与反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，的面积为2，求n的值． 【答案】(1)第四象限； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以即可求解； （2）由一次函数可求出，利用△AOB的面积求出点的纵坐标，再由一次函数可求得点，则，解此方程求出n即可． 【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限； 由图知，解得． （2）过作轴的垂线，垂足为，如图． 在中，令，则， 解得： 即． 由得， ∴， 即A点的纵坐标为． 将代入，求得， 即． ∴ ∴． 3．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性等知识点， （1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到，变形得到； （2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得； （3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得； 熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为， ∴当时，对于实数m，当时，；当时，，m的取值范围是或， 解得或． 4．如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，的取值范围是______； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求的值． 【答案】(1)三，； (2)． 【分析】（）根据图象即可判断； （）点的坐标为，求出、的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求解； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据图象可知：，反比例函数图象位于第一、三象限， 解得：， 故答案为：三，； （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 5．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 6．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 8．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上 (1)若，求证：； (2)若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． (2)① ；② 【分析】（1） 利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）① 根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可．② 利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【详解】（1）略 （2）① 解：∵ ，点在上， , , ， 如图，交点 的坐标为 ，即 ， ， ． ② 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点 ， ，， ∵ ， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵ 在上， ， 整理得：， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将 代入， 得，整理得， 联立，得， 解得， 代入 ，得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $