专题04二次函数及其图象与性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数核心知识，系统梳理定义、三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、系数a/b/c控形规律、顶点对称轴最值、增减性、平移规律及与方程交点关系，构建从定义到性质再到应用的完整学习支架。 资料特色为精准归纳10大易错点，分20类梯度题型并附解题思路，通过“左同右异”等口诀培养几何直观与抽象能力，分层次训练提升推理意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题04二次函数及其图象与性质精讲学案 二次函数核心定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的整式函数叫做二次函数。 判定三要素：整式函数、自变量最高次数为2、二次项系数不为0。 三种必考解析式（解题万能工具） 1. 一般式：y=ax2+bx+c（已知任意三点求解析式） 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（已知顶点、最值、对称轴优先用） 3. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（已知与x轴两个交点专用） 系数「a、b、c」图像控形规律（选择填空压轴核心） a：定开口 a>0 开口向上、有最小值；<0) 开口向下、有最大值； |a| 越大，开口越窄；|a| 越小，开口越宽。 ab：定对称轴 对称轴：直线 x=- 左同右异：a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧。 c：定与y轴交点 交点坐标 (0,c)，c>0交正半轴，c<0交负半轴，c=0过原点。 顶点、对称轴、最值万能公式 对称轴：x= 顶点坐标： 最值：x=时，y最值= 增减性规律（必考比较函数值） a>0：左减右增（对称轴左侧递减、右侧递增） a<0：左增右减（对称轴左侧递增、右侧递减） 核心原则：所有增减性必须以「对称轴」为分界！ 抛物线平移规律（中考高频） 顶点式平移口诀：左加右减、上加下减 只改变顶点位置，开口大小、形状永远不变（a值不变） 二次函数与方程、图像交点关系 1. >0：抛物线与x轴2个交点 2.=0：抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴上） 3.<0：抛物线与x轴无交点 图像对称性质 关于对称轴对称； 对称轴左右距离相等的点，函数值完全相等（比大小、求值秒杀技巧） （精准踩坑、老师重点强调） 1. 判断二次函数、求参数时漏写 a≠0，是全章节第一易错点。 2. 增减性不说对称轴范围，直接说“y随x增大增大/减小”，答题直接扣分。 3. 平移口诀用反：左右平移改x、上下平移改k，极易混淆。 4. 求最值不分范围：全体定义域看顶点，有限区间必须比顶点+两端点。 5. 看错ab符号、对称轴左右判断相反。 6. 顶点坐标公式分子分母记混、符号出错。 7. 误以为平移会改变开口宽窄，平移只移位置、不改形状。 8. 比较函数值大小，忽略“到对称轴距离”，乱套增减性。 9. 判断交点时，混淆交点个数与根的个数。 10. 顶点式展开、一般式配方符号出错，是计算丢分重灾区。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式. ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 由二次函数定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 一次函数二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十六 抛物线上对称两点求对称轴 ★★ 题型十七 由二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十九 由二次函数对称性求最短路径 ★★ 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高练 11题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：列二次函数关系式. 解题思路：找准题目等量关系，列出变量等式，整理成整式，保证自变量最高次数为2即可。 1．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 2．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 3．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 题型二：二次函数的识别 解题思路：同时满足三点：整式方程、只有一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0，缺一不是二次函数。 4．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数，，且等式右边是关于的整式）逐一分析选项． 【详解】解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义． C、符合（，，）的形式，是二次函数． D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选：C． 5．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 题型三：由二次函数定义求参数 解题思路：列两组限制条件联立求解：①自变量的指数等于2；②二次项的系数不等于0，解出参数后，务必检验系数不为0，排除增根。 7．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 8．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 9．若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：． 题型四：y=ax2图象与性质 解题思路：由系数a判断开口方向与最值，对称轴为y轴，顶点在坐标原点，以y轴为分界线判断左右增减性。 10．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 11．定义：对于任意两点，，我们称有序实数对为点关于点的相对位置．现有两点A、B，若点在抛物线上运动，点关于点的相对位置为，则点的运动轨迹为________（用含a、m、n的表达式来表示）． 【答案】 【分析】本题考查了相对位置，二次函数点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设点的坐标为，则，根据相对位置的定义，，，然后通过坐标变换即可得到点的轨迹方程． 【详解】解：设点的坐标为，则； ∵点关于点的相对位置为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹为：． 故答案为：． 12．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 题型五：y=ax2+k图象与性质 解题思路：由y=ax2上下平移得到，对称轴、开口大小不变，仅顶点纵向移动，增减性规律不变。 13．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 14．已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，求得二次函数解析式是解题的关键． 根据题意，先得出抛物线解析式为，设，则，根据题意得出，代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 依题意，的纵坐标为， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴． 故选：A． 题型六：y=a(x-h)2图象与性质 解题思路：由y=ax2左右平移得到，对称轴为直线x=h，顶点横向移动，开口、最值判定逻辑不变。 16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 17．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 18．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出出时的函数值，再比较三个函数值的大小即可得到答案，掌握“二次函数图象上点的坐标满足其解析式”是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：B． 题型七：y=a(x-h)2+k图象与性质 解题思路：直接读取顶点(h,k)与对称轴x=h；以对称轴划分区间判断增减性，顶点位置取得函数最大值或最小值。 19．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 20．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 求出，，，进而比较即可． 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 21．抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 题型八：二次函数图象的平移 解题思路：平移只改变顶点位置，二次项系数a恒定不变，遵循口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”。 22．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 23．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 24．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：使用配方法，先提取二次项系数，对含x的代数式凑完全平方式，整理得到顶点式，快速获取顶点、对称轴。 25．把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果． 【详解】解： ． 26．将二次函数化为的形式，则______，_____． 【答案】 2 1 【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为①2，②1． 【点睛】本题主要考查了将二次函数的解析式化成顶点式，掌握配方法是解题关键． 27．已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴，抛物线开口向上，顶点坐标是． 28．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法． 观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为， 所以错误的只有甲和丁． 故选：D． 题型十：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：采用五点作图法，依次求出顶点、对称轴、抛物线与坐标轴交点、两组对称点，用平滑曲线连接各点。 29．我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 【答案】D 【分析】根据几种数学思想的定义选出正确选项． 【详解】解：研究一次函数的图象和性质利用的数形结合的思想． 故选：D． 【点睛】本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义． 30．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列表法画二次函数图象要列出顶点坐标，然后分别讨论四个点错误的情形，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布， ∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标， ∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间， ∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的； 若错，则二次函数对称轴为直线， ∵二次函数开口向上， ∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾， ∴是正确的， 若错，由于，此时函数开口方向不可能向上， ∴正确； 若错，此时抛物线对称轴为， ∴当时，y随x增大而增大，满足题意， 综上所述，只有是错误的， 故选B． 【点睛】本题主要考查了描点法画二次函数，熟知描点法画二次函数图象是解题的关键． 31．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 题型十一：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：先计算对称轴与顶点坐标，依靠a判断开口方向，以对称轴为界限，分段分析函数增减性与最值。 32．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质直接得到顶点坐标． 【详解】解： ∴该抛物线的顶点坐标为． 33．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 34．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B． C．图象的顶点在第四象限 D．图象与轴的两个交点在轴两侧 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称轴公式、判别式、顶点坐标、交点符号的判断方法，结合的条件，依次判断每个选项即可得到结论． 【详解】对于二次函数，可得，，， ∵ 函数图象与轴有两个交点 ∴ 判别式， ∵ ， ∴ ，即， 选项A：二次函数对称轴为，对称轴在轴右侧，A错误； 选项B：由推导得，B错误； 选项C：顶点横坐标为，将代入函数得顶点纵坐标， ∵ ， ∴ ，顶点横坐标为正，纵坐标为负，因此顶点在第四象限，C正确； 选项D：设函数与轴交点横坐标为，则，说明同号，两个交点在轴同侧，D错误． 35．已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据函数在取最大值判断开口方向，再比较两点到对称轴的距离，开口向下的二次函数，点离对称轴越远函数值越小，据此比较和的大小． 【详解】解：二次函数为 对称轴为 时二次函数有最大值 抛物线开口向下，即对于开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小 到对称轴的距离为，到对称轴的距离为 ，即点到对称轴的距离更远 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：抛物线开口判断a符号，与y轴交点判断c符号，利用“左同右异”判断b的正负，综合判断系数符号。 36．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 37．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置，判断①，对称性和特殊点判断②，最值判断③即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为，抛物线经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴； ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，函数取得最大值为， 当时，， ∴， ∴；故③正确； 故答案为：②③． 38．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 题型十三：一次函数二次函数图象综合判断 解题思路：借助二次函数图像确定a、b符号，对照一次函数的斜率、y轴截距，符号相互矛盾的选项直接排除。 39．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 40．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：∵， ∴函数（k是常数，）的图象过定点， ∵， ∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，， 当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或． 故答案为：或． 41．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，可得，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限． 题型十四：两个二次函数图象综合判断 解题思路：对比两条抛物线的二次项系数a确定开口宽窄是否统一，结合对称轴、顶点位置，排除相互矛盾的图像选项。 42．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． 43．若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 44．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 题型十五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：将x=1、x=-1、x=2、x=-2等特殊值代入代数式，结合图像上对应点的纵坐标正负，判断代数式符号。 45．二次函数的图像如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D．当时，随的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质. 当时，函数值大于0，即即判断A选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断B选项，根据函数图象交轴于正半轴，即可判断C选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断D选项． 【详解】解：根据函数图象可得：当时，函数值大于0，即，故A选项错误，符合题意； 当时，，故B选项正确，不符合题意； ∵函数图象交轴于正半轴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 46．如图，抛物线的对称轴为直线，经过点，下列结论：①；②；③；④点在抛物线上，当时，；⑤若且，则其中正确的结论有__________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的对称轴可得，则，结论①正确；根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴上可得，则可得，结论②正确；将点代入函数解析式可得，结合可得，结论③正确；根据二次函数的增减性可得当时，随的增大而增大，则，结论④错误；根据二次函数的对称性可得抛物线上横坐标为，的两个点关于直线对称，则，即，结论⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，结论①正确； ∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴上， ∴， ∴， ∴，结论②正确； 将点代入得：， 将代入得：，即， ∴，结论③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵点在抛物线上，且， ∴，结论④错误； ∵， ∴， 又∵， ∴抛物线上横坐标为，的两个点关于直线对称， ∴， ∴，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 47．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧，可判断a，b，c的符号，可判断A选项；由抛物线过点，可判断B选项；当时，，可判断C选项；，，可判断D选项． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，函数图象与y轴交于负半轴，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； 根据题意得：抛物线过点， ∴，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：当时，， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 题型十六：抛物线上对称两点求对称轴 解题思路：纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。 48．若抛物线经过点，，则此抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握对称点与对称轴的关系是解题的关键． 由点和纵坐标相同，判断出这两个点关于对称轴对称，故对称轴为这两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵抛物线经过点和， 两点纵坐标相同，故关于对称轴对称， ∴对称轴为直线 故选C． 49．抛物线上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（    ） x … 0 1 … y … m m … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】由题意可知，当和时，函数值都是m，得到对称轴，结合的函数值可判定图象开口，根据函数增减性可判定C选项，结合函数图象的对称性得到当和时，函数值相等，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵的函数值与的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为 ，故A选项正确，不符合题意； ∵时，，时，， ∴抛物线的开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即时，y随x的增大而增大， ∴B，C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当和时，函数值相等， 即时，， ∴D选项错误，符合题意． 故选：D． 50．如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可. 【详解】解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 结合抛物线的对称性可得： ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型十七：由二次函数的对称性求函数值 解题思路：利用对称轴找到已知点的对称点，抛物线上对称点函数值相等，转换横坐标快速求出函数值。 51．若点,,都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，其对称轴为轴，开口向上， ∴对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 点关于轴对称的点为， ， ， 故选：A ． 52．已知二次函数的部分对应值如下表，那么的值为____________． … 0 1 2 3 5 … … 5 0 0 12 … 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 先根据表中数据确定对称轴，再找到对称点的函数值即可解答． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴抛物线的对称轴为． ∵关于的对称点为， ∴． 故答案为：12． 53．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 题型十八：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：无自变量取值限制时，顶点处取最值；给定取值范围时，对比顶点、区间左右端点三处函数值确定最值。 54．二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，关键是抛物线开口向上时，二次函数在顶点处取得最小值；开口向下时，二次函数在顶点处取得最大值；根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数在时有最大值， ∴抛物线开口向下，顶点为：， ∴选项C符合题意， 故选：C． 55．已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 56．已知a，b满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 【答案】C 【分析】构造二次函数求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 有最大值，且当时，取得最大值； 题型十九：由二次函数对称性求最短路径 解题思路：以抛物线对称轴为对称轴作定点的对称点，根据两点之间线段最短，连线与对称轴交点即为动点最优位置。 57．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 58．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 59．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据轴对称的性质，求出的周长最小时点P的位置，据此得出点P的坐标，进一步求出此时的面积即可． 【详解】解：由题知， 因为，是抛物线上的两点， 则，， 所以点A坐标为，点B坐标为， 如图所示， 因为抛物线的对称轴为y轴， 则点A关于y轴的对称点M的坐标为， 所以当点P在与y轴的交点处时，取得最小值，即的周长取得最小值． 因为点M坐标为，点B坐标为， 所以直线的函数解析式为． 当时，， 所以点P的坐标为． 因为， 所以． 故答案为：，6． 题型二十：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：根据已知条件三选一列式，一道题只用一种形式： 1. 已知3个普通点：选用一般式y=ax2+bx+c，代入三点解三元方程组求系数； 2. 已知顶点、对称轴、最值：选用顶点式y=a(x-h)2+k，代入顶点坐标，再代入一个点求出a； 3. 已知抛物线与x轴两个交点：选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)，代入交点横坐标，再代入一点求a； 计算完成后可根据需求整理为一般式 60．若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入抛物线方程，解关于b的方程即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 61．已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线满足，不妨设，对称轴为，设抛物线的解析式为，进而求出，即可解答． 【详解】解：当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线满足． 不妨设，对称轴为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 满足上述条件的二次函数的表达式为（答案不唯一）． 62．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 解答题 1．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 2．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 3．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 4．试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线；将抛物线向上平移4个单位可得到抛物线；函数的图象开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律和型二次函数的性质，上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，再根据二次项系数的符号判断开口方向，直接确定对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：已知原抛物线解析式为，要得到抛物线，对比原解析式可知常数项减2，因此将向下平移2个单位即可得到． 要得到抛物线，对比原解析式可知常数项加4，因此将向上平移4个单位即可得到． 对于函数，二次项系数，因此图象开口向下． 对称轴为直线，即轴． 将代入解析式，得，因此顶点坐标为． 5．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 6．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 7．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 8．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 10．已知抛物线的图象经过点， (1)求的值； (2)已知的最大值为．. ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②∵，为该二次函数图象上的不同两点，且， ∴，关于对称轴对称， ∴， 整理得， ∵， ∴． 【分析】（1）由点，关于对称轴对称，得到，则． （2）①由可得，根据的最大值为，得到且，解得即可求出解析式； ②∵，为该二次函数图象上的不同两点，得到， ，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，， ∴点，关于对称轴对称， ∴对称轴：， ∴． （2）解：①由可得． ∴， ∵的最大值为， ∴且 解得或2（不合题意舍去）， ∴． ②略 11．已知抛物线（为任意实数）． (1)当时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点向左平移个单位长度后得点；若将点向右平移个单位长度后得点，若点，都在此抛物线上，求的值； (2)若抛物线与轴交于点，且，求此抛物线顶点到轴的最远距离． 【答案】(1)①；② (2)3 【分析】（1）①当时，，故抛物线的顶点坐标为． ②由题得，，则点、关于对称轴对称，则，解得，则，将代入解析式即可求得． （2）根据得出顶点坐标为，求出，由题得，则顶点纵坐标为．根据，得出，则顶点到轴最远距离为3． 【详解】（1）解：①当时，， 故抛物线的顶点坐标为． ②由题意得，， ∵点，的纵坐标相等，点，都在此抛物线上，抛物线的对称轴为直线， ∴点、关于对称轴对称，则， 解得，则， 将代入解析式得． （2）解：， 故顶点坐标为， 令，则，则， 由题得， 则顶点纵坐标为． 又， 则， 则顶点到轴最远距离是顶点纵坐标绝对值的最大值，即为3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数及其图象与性质精讲学案 二次函数核心定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的整式函数叫做二次函数。 判定三要素：整式函数、自变量最高次数为2、二次项系数不为0。 三种必考解析式（解题万能工具） 1. 一般式：y=ax2+bx+c（已知任意三点求解析式） 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（已知顶点、最值、对称轴优先用） 3. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（已知与x轴两个交点专用） 系数「a、b、c」图像控形规律（选择填空压轴核心） a：定开口 a>0 开口向上、有最小值；<0) 开口向下、有最大值； |a| 越大，开口越窄；|a| 越小，开口越宽。 ab：定对称轴 对称轴：直线 x=- 左同右异：a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧。 c：定与y轴交点 交点坐标 (0,c)，c>0交正半轴，c<0交负半轴，c=0过原点。 顶点、对称轴、最值万能公式 对称轴：x= 顶点坐标： 最值：x=时，y最值= 增减性规律（必考比较函数值） a>0：左减右增（对称轴左侧递减、右侧递增） a<0：左增右减（对称轴左侧递增、右侧递减） 核心原则：所有增减性必须以「对称轴」为分界！ 抛物线平移规律（中考高频） 顶点式平移口诀：左加右减、上加下减 只改变顶点位置，开口大小、形状永远不变（a值不变） 二次函数与方程、图像交点关系 1. >0：抛物线与x轴2个交点 2.=0：抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴上） 3.<0：抛物线与x轴无交点 图像对称性质 关于对称轴对称； 对称轴左右距离相等的点，函数值完全相等（比大小、求值秒杀技巧） （精准踩坑、老师重点强调） 1. 判断二次函数、求参数时漏写 a≠0，是全章节第一易错点。 2. 增减性不说对称轴范围，直接说“y随x增大增大/减小”，答题直接扣分。 3. 平移口诀用反：左右平移改x、上下平移改k，极易混淆。 4. 求最值不分范围：全体定义域看顶点，有限区间必须比顶点+两端点。 5. 看错ab符号、对称轴左右判断相反。 6. 顶点坐标公式分子分母记混、符号出错。 7. 误以为平移会改变开口宽窄，平移只移位置、不改形状。 8. 比较函数值大小，忽略“到对称轴距离”，乱套增减性。 9. 判断交点时，混淆交点个数与根的个数。 10. 顶点式展开、一般式配方符号出错，是计算丢分重灾区。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式. ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 由二次函数定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2图象与性质 ★ 题型五 y=ax2+k图象与性质 ★ 题型六 y=a(x-h)2图象与性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k图象与性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 画y=ax2+bx+c的图象 ★★ 题型十一 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十二 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十三 一次函数二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十六 抛物线上对称两点求对称轴 ★★ 题型十七 由二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十九 由二次函数对称性求最短路径 ★★ 题型二十 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高练 11题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：列二次函数关系式. 解题思路：找准题目等量关系，列出变量等式，整理成整式，保证自变量最高次数为2即可。 1．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 3．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 题型二：二次函数的识别 解题思路：同时满足三点：整式方程、只有一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0，缺一不是二次函数。 4．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三：由二次函数定义求参数 解题思路：列两组限制条件联立求解：①自变量的指数等于2；②二次项的系数不等于0，解出参数后，务必检验系数不为0，排除增根。 7．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 8．若是二次函数，则________． 9．若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 题型四：y=ax2图象与性质 解题思路：由系数a判断开口方向与最值，对称轴为y轴，顶点在坐标原点，以y轴为分界线判断左右增减性。 10．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．定义：对于任意两点，，我们称有序实数对为点关于点的相对位置．现有两点A、B，若点在抛物线上运动，点关于点的相对位置为，则点的运动轨迹为________（用含a、m、n的表达式来表示）． 12．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（   ）． A．2 B． C．4 D． 题型五：y=ax2+k图象与性质 解题思路：由y=ax2上下平移得到，对称轴、开口大小不变，仅顶点纵向移动，增减性规律不变。 13．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 14．已知二次函数，当时，的取值范围为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 题型六：y=a(x-h)2图象与性质 解题思路：由y=ax2左右平移得到，对称轴为直线x=h，顶点横向移动，开口、最值判定逻辑不变。 16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 17．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 18．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 题型七：y=a(x-h)2+k图象与性质 解题思路：直接读取顶点(h,k)与对称轴x=h；以对称轴划分区间判断增减性，顶点位置取得函数最大值或最小值。 19．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 20．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 21．抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 题型八：二次函数图象的平移 解题思路：平移只改变顶点位置，二次项系数a恒定不变，遵循口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”。 22．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 23．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 24．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得图象的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 解题思路：使用配方法，先提取二次项系数，对含x的代数式凑完全平方式，整理得到顶点式，快速获取顶点、对称轴。 25．把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 26．将二次函数化为的形式，则______，_____． 27．已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A． B． C． D． 28．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 题型十：画y=ax2+bx+c的图象 解题思路：采用五点作图法，依次求出顶点、对称轴、抛物线与坐标轴交点、两组对称点，用平滑曲线连接各点。 29．我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（    ） A．演绎 B．公理化 C．抽象 D．数形结合 30．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） x … 0 1 2 … y … 4 2 … A． B． C． D． 31．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十一：y=ax2+bx+c的图象与性质 解题思路：先计算对称轴与顶点坐标，依靠a判断开口方向，以对称轴为界限，分段分析函数增减性与最值。 32．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 33．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 34．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B． C．图象的顶点在第四象限 D．图象与轴的两个交点在轴两侧 35．已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二：二次函数图象与各项系数符号 解题思路：抛物线开口判断a符号，与y轴交点判断c符号，利用“左同右异”判断b的正负，综合判断系数符号。 36．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 37．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③，其中正确的有______．（填序号） 38．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十三：一次函数二次函数图象综合判断 解题思路：借助二次函数图像确定a、b符号，对照一次函数的斜率、y轴截距，符号相互矛盾的选项直接排除。 39．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 40．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 41．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型十四：两个二次函数图象综合判断 解题思路：对比两条抛物线的二次项系数a确定开口宽窄是否统一，结合对称轴、顶点位置，排除相互矛盾的图像选项。 42．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 43．若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． B． C． D． 44．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 题型十五：根据二次函数的图象判断式子符号 解题思路：将x=1、x=-1、x=2、x=-2等特殊值代入代数式，结合图像上对应点的纵坐标正负，判断代数式符号。 45．二次函数的图像如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D．当时，随的增大而减小 46．如图，抛物线的对称轴为直线，经过点，下列结论：①；②；③；④点在抛物线上，当时，；⑤若且，则其中正确的结论有__________．（填序号） 47．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十六：抛物线上对称两点求对称轴 解题思路：纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。 48．若抛物线经过点，，则此抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 49．抛物线上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（    ） x … 0 1 … y … m m … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 50．如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 题型十七：由二次函数的对称性求函数值 解题思路：利用对称轴找到已知点的对称点，抛物线上对称点函数值相等，转换横坐标快速求出函数值。 51．若点,,都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 52．已知二次函数的部分对应值如下表，那么的值为____________． … 0 1 2 3 5 … … 5 0 0 12 … 53．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 题型十八：y=ax2+bx+c的最值 解题思路：无自变量取值限制时，顶点处取最值；给定取值范围时，对比顶点、区间左右端点三处函数值确定最值。 54．二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（    ） A．B．C． D． 55．已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 56．已知a，b满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 题型十九：由二次函数对称性求最短路径 解题思路：以抛物线对称轴为对称轴作定点的对称点，根据两点之间线段最短，连线与对称轴交点即为动点最优位置。 57．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 58．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 59．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 题型二十：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：根据已知条件三选一列式，一道题只用一种形式： 1. 已知3个普通点：选用一般式y=ax2+bx+c，代入三点解三元方程组求系数； 2. 已知顶点、对称轴、最值：选用顶点式y=a(x-h)2+k，代入顶点坐标，再代入一个点求出a； 3. 已知抛物线与x轴两个交点：选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)，代入交点横坐标，再代入一点求a； 计算完成后可根据需求整理为一般式 60．若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 61．已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 62．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 2．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 3．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 4．试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 5．已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 6．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 7．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 8．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 10．已知抛物线的图象经过点， (1)求的值； (2)已知的最大值为．. ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 11．已知抛物线（为任意实数）． (1)当时，请回答下列问题： ①请求出抛物线的顶点坐标； ②若将点向左平移个单位长度后得点；若将点向右平移个单位长度后得点，若点，都在此抛物线上，求的值； (2)若抛物线与轴交于点，且，求此抛物线顶点到轴的最远距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $