重难点专题02 根与系数关系应用与实际压轴（核心知识+7易错辨析+7典例精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，通过“概念-变形-应用-易错”四维架构，融合7类典例与5大解题模板，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识|5知识点|韦达定理三要素、代数式整体代入、参数题四步流程、实际题验根法|从定理前提到恒等变形，再到题型应用，结合几何与实际问题，形成完整知识链| |易错辨析|7易错点|判别式验证、公式符号记忆、根的合理性检验|针对高频错误点，构建防错机制，强化推理严谨性| |典例精讲|7类题型|不解方程求值、参数综合、几何与实际应用题解法|覆盖中考核心考法，以题载法，实现知识向能力转化|

重难点专题02 根与系数关系应用与实际压轴 （核心知识+7易错辨析+7典例精讲） 【知识点01】 根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程标准形式： 设方程两个实数根为 ，前提条件： 简化形式：方程 ，则 【知识点02】常见代数式恒等变形（高频必考） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 【知识点03】韦达定理常见题型方向 1. 已知方程，不解方程求含两根代数式的值； 2. 已知两根和与积，构造一元二次方程； 3. 含参数方程，已知两根关系求参数； 4. 结合判别式综合求参数取值范围； 5. 一元二次方程实际应用压轴（增长率、面积、利润问题）。 【知识点04】一元二次方程实际问题核心模型 1. 增长率模型 设基数，平均变化率，变化次： 2. 面积模型 平移道路、边框、矩形拼接等几何场景，通过总面积、剩余面积的数量关系建立方程等式。 3. 销售利润模型 调价类问题核心：价格涨跌对应销量反向变化，根据利润目标列方程求解。 【知识点05】 实际应用题取舍原则 解出一元二次方程两个根后，必须检验实际意义：长度、价格、增长率、人数等不能为负数；增长率一般小于1；线段长度、商品售价需符合实际场景约束，舍去不合理的根。 易错1：忽略韦达定理使用前提 误区：拿到方程直接套用两根和、两根积公式，不检验判别式，默认方程有实数根。 正解：题目提及“两个实数根”，必须先保证 ；求解参数范围类题目，必须联立判别式不等式筛选参数。 举例：已知 两根满足 ，求。仅列式 得，未检验，若参数使，方程无实根，需舍去该解。 易错2：两根和公式符号记忆错误 误区：混淆一元二次方程一次项系数符号，记错两根和公式 ，经常遗漏负号。 典型错例：方程 ，错误写成 ，正确结果为 ；方程 ， 为正确结果。 正解口诀：两根和看一次项，符号相反；两根积看常数项，符号不变。 易错3：代数式恒等变形公式混淆出错 误区：混淆完全平方变形公式，将 展开错误，误用 。 正解：，核心区别：和的平方减两倍积，差的平方减四倍积，考试高频失分点。 易错4：实际应用题不检验根的合理性 误区：求出方程的根直接作答，忽略实际场景限制，保留负数、不合理数值的根。 正解规则：长度、售价、成本、人数、销量均不能为负数；增长率取值范围通常为 ；商品降价后售价不能低于进价，几何边长需符合图形约束，所有不符合题意的根必须舍去。 易错5：混淆两类实数根的判别式范围 误区：不分题干表述，统一使用 或 ，导致参数范围出错。 精准区分： 1. 题干：有两个实数根（可相等、可不等）： 2. 题干：有两个不相等实数根： 易错6：根据两根构造方程符号出错 误区：已知两根构造一元二次方程时，一次项系数符号写反。 正解公式：以 为两根的一元二次方程为：，一次项为两根和的相反数，常数项为两根积。 易错7：参数压轴题解题顺序混乱 误区：先代入韦达定理求参数，最后忘记验证判别式，导致出现无实数根的增根。 标准解题流程（必考）： ① 先根据题意列出 不等式，确定参数取值范围； ② 利用韦达定理表示出两根和、两根积； ③ 根据题干代数式条件列方程，求解参数； ④ 将求出的参数代入第一步的范围，舍去不合理解。 【题型一】不解方程，求两根代数式的值 【例1】．（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）已知是方程的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数的值，解题的关键是掌握韦达定理． （1）利用韦达定理进行求解即可； （2）利用韦达定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由韦达定理可知： ，， ∴原式 ， ∴原式的值为； （2）解：原式      ∴原式的值为． 【例2】．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知一元二次方程的两个根分别为，，不解方程，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式、通分、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】首先根据韦达定理，对于一元二次方程，两根、有，．在方程中，求出，． （1）需要将进行因式分解，变形为，然后代入前面求出的和的值计算． （2）先对进行通分，得到，再利用完全平方公式将变形为，最后代入值计算． 【详解】（1），， ． （2），， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）、因式分解、分式的通分、完全平方公式．运用了整体代入思想，将和作为整体代入变形后的式子计算．对所求式子进行合理变形，使其能直接代入和的值，如因式分解、通分、利用完全平方公式变形．解题关键为熟练掌握韦达定理，以及对代数式的变形能力，能将所求式子转化为含有和的形式．易错点为在进行代数式变形时，容易出现计算错误，如通分错误、完全平方公式展开错误；代入数值计算时，分数的运算也容易出错． 【例3】．（24-25九年级上·江西赣州·期中）若，是方程的两个根，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的运用，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，再根据进行计算，即可解题． （2）根据，，结合进行计算，即可解题． 【详解】（1）解，，，且，是方程的两个根 ．， ． （2）解：由（1）得，， ． 【变式1】．（24-25九年级上·广东珠海·阶段检测）已知，是方程的两根，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、异分母分式加减法、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了根与系数的关系； （1）原方程先化简成一般式，再利用根与系数的关系与求解即可； （2），再代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：方程整理得， ∵，是方程的两根， ∴，； （2）解：∵，， ∴． 【变式2】．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)7 (3) 【知识点】分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查方程的解，根与系数的关系： （1）根据题意，得到，，整体代入计算即可； （2）根据根与系数的关系，得到方程的另一个根为，进而得到，利用完全平方公式进行计算即可； （3）结合（2）中的结论利用倒数法求值即可． 【详解】（1）解：∵x 满足一元二次方程， ∴，， ∴ ； （2）∵x 满足一元二次方程， ∴方程的另一个根为：， ∴， ∴， ∴； （3）原式的倒数为：， 由（2）知：， ∴上式， ∴原式． 【变式3】．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）已知α，β是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）由根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可； （2）根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可； （3）根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵α，β是方程的两根， ∴，． ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． ∴或． 【题型二】含参数方程综合压轴（判别式+韦达定理） 【例4】．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 【例5】．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 【例6】．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式1】．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求不等式组的解集、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴， 整理，得， 解得或； ∵是一个矩形的两边长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 【变式3】．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 【变式4】．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 【题型三】最值计算 【例7】．（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【答案】(1)1 (2)，3，6， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式解的最值 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，一元二次不等式的解法等知识，解题的关键是根据根的判别式列出相关不等式． （1）根据二次项系数，结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其最小整数值即可； （2）先根据得到，，再根据a是正整数得到，从而得到x的所有可能整数解，继而求出对应a值，即可得解．根据题意得到x的所有整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根， ，且． 解得：， 的最小整数值是1； （2）解：将原方程变形为． 则，， 由于a是正整数， ，即，． ，． ． 当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1． ，3，6，． 依题意得，当时，有两个整数根，2； 当，6，时，方程只有一个整数根， 综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根． 【例8】．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）关于的方程. (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式的变形． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，将转化为，结合m的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ， 即：， 解得：； （2）解：，是方程的两个实数根， ，， ， ， ，， 时取最小值， 此时． 【变式1】．（25-26九年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数m、n满足，，求的值； (2)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)7 (2)1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：∵，实数、满足，， 即实数、满足，， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． （2）解：∵，， ∴将看作是方程的两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为1． 【变式2】．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)根为2，，不是邻根方程 (2)或 (3) 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 【题型四】方程与几何综合 【例9】．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积是3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 【变式1】．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理． （1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∵，，， ∴ ， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边长， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∵和是直角边， ∴和是正数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的周长为． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、根据矩形的性质与判定求面积、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 【变式3】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； (1)如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． (2)若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． (3)如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 【答案】(1) (2)15或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质得，再画出图形求出，然后根据勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（2），先根据一元二次方程根与系数的关系可得，作，根据等腰三角形的性质得，进而求出，然后根据面积公式可得答案；当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作，先证明，可得，进而得，再说明，可得，接下来设则，再根据勾股定理得，求出方程的解，最后根据得出答案； 对于（3），作且使，连接，再根据“角边角”证明，即可证明，可得，然后说明是等边三角形，可得，接下来作，并求出，即可根据直角三角形的性质求出,再根据勾股定理求出，接着求出，最后根据得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴. 当点D与点B重合时，如图， 则， ∴平分， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，当点D，E在线段上时， ∵和是长度分别为方程的两个根， ∴. 过点A作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设则， 根据勾股定理，得， 即， 解得（舍）， ∴， ∴. 当点D，E在点B两侧时，答案相同. 综上所述：的面积是或15； （3）解：如图，作且使，连接， ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 过点E作于点H， 则， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 【题型五】增长率问题实际压轴题 【例10】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）宁夏盐池县的某滩羊养殖合作社，依托当地独特的地理环境和科学的养殖模式，养殖规模连年提升．已知该合作社2023年出栏滩羊的总利润为20万元，2024年和2025年连续两年优化并拓宽线上线下销售渠道，总利润持续增长，且这两年的年利润增长率相同，到2025年总利润达60万元．求该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率为，根据2023年的总利润和2025年的总利润列出方程求解即可． 【详解】解：设该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率为． 【例11】．（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）凭借灵动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划，我校舞蹈社团在初一年级招新工作中备受青睐，成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力量．为了让更多同学感受舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同．经过两期的招新，社团成员规模扩大至100人． (1)求该社团每期成员人数的增长率是多少？ (2)若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请说明理由． 【答案】(1) (2)超过；理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设该社团每期成员人数的增长率是x，根据增长后的量增长前的量（1+增长率），结合经过两期招新后社团成员规模扩大至人，可列出方程求解；（2）根据（1）中求出的增长率计算出第三期结束时社团的成员人数，再与人比较大小，从而判断是否超过人． 【详解】（1）解：设该社团每期成员人数的增长率是x． 根据题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：该社团每期成员人数的增长率是． （2）解：超过，理由如下：（人）， 因为， 所以第三期成员人数超过120人． 【变式1】．（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)11月份的销售量是万件. 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题，解题的关键是根据8月份和10月份的销售量建立方程求增长率； （1）中设月平均增长率为，月份到10月份经过2个月，由列方程求解； （2）中利用（1）求出的增长率，计算11月份销售量． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，得， （舍去） 答：月平均增长率为； （2）解：（万件）， 答：11月份的销售量是8.64万件． 【变式2】．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【答案】(1) (2)万人 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设年均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）根据（1）的结论，列出算式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设年均增长率为，则， 解得(舍去负根)． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）(万人) 答：预计明年2026年有万人参加此项活动． 【变式3】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 【答案】(1)从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为 (2)预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额增长率4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． 【详解】（1）解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； （2）， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 【题型六】与图形有关的问题实际压轴题 【例12】．（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【答案】垂直于墙的一边的长度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边的长度为，则，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长度为，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：垂直于墙的一边的长度为． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】(1) (2)长为20米 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； （2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 【变式2】．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，围成的菜地面积最大，最大值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设围成的菜地的面积为平方米，根据矩形面积计算公式用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； （2）解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【答案】(1)，； (2)的长度为． 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【题型七】销售利润实际压轴题（中考高频） 【例13】．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）2020年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某超市恰好年前新进了一批口罩，进价为每个1元，售价为每个3元．每天可售出200个；如果每个口罩的售价上涨1元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为720元？ 【答案】应将每个口罩涨2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为720元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设应将每个口罩涨元，根据题意列出一元二次方程，再根据让顾客得到实惠，选择合适的解即可． 【详解】解：设应将每个口罩涨元． 根据题意得：， 解得，， ∵要顾客得实惠， ∴． 答：应将每个口罩涨2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为720元． 【例14】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【答案】每件童装降价元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套．若要使这款帐篷的月销售利润达到元，那么该款帐篷每套应涨价多少元？ 【答案】该款帐篷每套应涨价元或元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 设该款帐篷每套涨价元，用含有x的式子将每套盈利和月销售量表示出来，根据总利润列方程，即可求解． 【详解】解：设该款帐篷每套涨价元， 根据题意得， 解得． 答：该款帐篷每套应涨价元或元． 【变式2】．（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【答案】(1) (2)80元或90元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用． （1）根据销售量与降价金额的关系列出函数关系式即可； （2）根据利润的计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，则降价了元， ∴多销售的个数为个， 依题意得：， 化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：依题意得：， 解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的总利润为4000元 (2)x的值为40 (3)每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元， 理由如下： ， ， 当时，w有最大值，最大值为． 销售单价为55元时，每日的最大利润不能超过4950元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； （3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元． （2）解：根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． 1. 韦达定理核心三要素：必须满足 、，牢牢记住两根和带负号、两根积符号不变； 2. 代数式求值核心思路：整体代入，无需单独求根，熟练掌握6组高频恒等变形公式是解题关键； 3. 参数压轴题固定模板：先判判别式范围→再列韦达关系→代入条件求解→最后筛选参数，杜绝增根失分； 4. 实际应用题解题三步法：列方程→解方程→验根取舍，所有根必须符合现实场景； 5. 中考重难点区分：基础题侧重公式直接套用，压轴题均为判别式+参数范围+实际意义综合考查，三重约束缺一不可。 一、单选题 1．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 2．（26-27九年级上·全国·课前预习）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均下降率依次表示降价后的售价，结合3月份售价列方程即可，从1月到3月共经过2次降价，降价次数为2． 【详解】∵该款汽车售价的月平均下降率是，1月份售价为万元， ∴2月份售价为万元， ∴3月份售价为万元， 又∵3月份售价为万元， ∴可列方程为． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可． 【详解】解：设方程的两根为和． ∴两根之和． ∵两根的和是6， ∴， ∴， ∴． ∴两根之积． 故选：A． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 5．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 6．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 9．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 二、填空题 10．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题关键，根据两根之积等于，代入数据求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为． 在一元二次方程中，根据根与系数的关系，两根之积为． 对于方程，其中，， ∵有一个根为2． ∴，解得． 故答案为：4． 11．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为______元． 【答案】55 【分析】设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售这种工艺品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合销售单价不得超过65元，即可得出结论． 【详解】解：设每件工艺品售价为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又销售单价不得超过65元， ， 每件工艺品售价应为55元． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 【答案】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是关键；设小路的宽度为，则可表示出一个小长方形的长与宽，根据其面积为建立方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，则一个小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 15．已知关于x的一元二次方程的两根和满足，则k的值为________． 【答案】6 【分析】首先根据二次根式有意义的条件和判别式非负确定的取值范围，再利用完全平方公式变形和根与系数的关系构造关于的方程，求解后根据取值范围舍去不合题意的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得， 根据根与系数的关系可得，， 由完全平方公式变形得， 代入已知等式得， 即， 整理得， 解得，（不满足，舍去）， ∴． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【分析】设方程的两个根，利用根与系数的关系将转化为关于两根的代数式，再根据两根的取值范围计算的取值范围即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 三、解答题 17．近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众的距离，又推动文化产业发展与消费升级．某景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长增加5米，宽增加3米，则扩建后展销区的面积为原来的4倍，求原矩形文创展销区的长和宽． 【答案】原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米 【分析】设扩建前展销区的宽为x米，则可表示出扩建前展销区的长，再根据“扩建后展销区的面积为原来的4倍”列式求解即可． 【详解】解：设扩建前展销区的宽为x米， ∵该展销区的长比宽多2米， ∴扩建前展销区的长为米， ∴扩建前的面积为平方米， ∵将该展销区的长增加5米，宽增加3米， 则扩建后的长为米，宽为米， ∴扩建后的面积为平方米， ∵扩建后展销区的面积为原来的4倍， ∴，即， 解得（负值舍）， 即长为5米，宽为3米， 经检验，原面积为平方米， 扩建后面积为平方米， 扩建后展销区的面积为原来的4倍，成立 故原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 18．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】(1) (2)能达到17万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． 【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； （2）解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 19．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可求出答案． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，即， ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 21．（22-23九年级上·福建泉州·自主招生）如果方程的两个根是，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x的方程的两个实数根之差的绝对值为，求a的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由韦达定理可得，，根据题意，得，，解方程即可； （2）设方程有两个实数根是，根据题意，得，，设新方程的两个根为，且，求解即可． 【详解】（1）解：设方程的两个根是， 根据题意，得，， 由， 得， 故， 整理，得， 解得； （2）解：设方程有两个实数根是， 根据题意，得，， 设新方程的两个根为，且， 故， 故构造的新方程为：， 故． 22．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元. 23．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式以及分式加法法则是解题的关键． 利用根与系数的关系可得的值； （1）将所求式子先通分，然后代入的值进行计算即可； （2）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （3）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （4）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可． 【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （2）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （3）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （4）解：，是一元二次方程的两个根， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 根与系数关系应用与实际压轴 （核心知识+7易错辨析+7典例精讲） 【知识点01】 根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程标准形式： 设方程两个实数根为 ，前提条件： 简化形式：方程 ，则 【知识点02】常见代数式恒等变形（高频必考） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 【知识点03】韦达定理常见题型方向 1. 已知方程，不解方程求含两根代数式的值； 2. 已知两根和与积，构造一元二次方程； 3. 含参数方程，已知两根关系求参数； 4. 结合判别式综合求参数取值范围； 5. 一元二次方程实际应用压轴（增长率、面积、利润问题）。 【知识点04】一元二次方程实际问题核心模型 1. 增长率模型 设基数，平均变化率，变化次： 2. 面积模型 平移道路、边框、矩形拼接等几何场景，通过总面积、剩余面积的数量关系建立方程等式。 3. 销售利润模型 调价类问题核心：价格涨跌对应销量反向变化，根据利润目标列方程求解。 【知识点05】 实际应用题取舍原则 解出一元二次方程两个根后，必须检验实际意义：长度、价格、增长率、人数等不能为负数；增长率一般小于1；线段长度、商品售价需符合实际场景约束，舍去不合理的根。 易错1：忽略韦达定理使用前提 误区：拿到方程直接套用两根和、两根积公式，不检验判别式，默认方程有实数根。 正解：题目提及“两个实数根”，必须先保证 ；求解参数范围类题目，必须联立判别式不等式筛选参数。 举例：已知 两根满足 ，求。仅列式 得，未检验，若参数使，方程无实根，需舍去该解。 易错2：两根和公式符号记忆错误 误区：混淆一元二次方程一次项系数符号，记错两根和公式 ，经常遗漏负号。 典型错例：方程 ，错误写成 ，正确结果为 ；方程 ， 为正确结果。 正解口诀：两根和看一次项，符号相反；两根积看常数项，符号不变。 易错3：代数式恒等变形公式混淆出错 误区：混淆完全平方变形公式，将 展开错误，误用 。 正解：，核心区别：和的平方减两倍积，差的平方减四倍积，考试高频失分点。 易错4：实际应用题不检验根的合理性 误区：求出方程的根直接作答，忽略实际场景限制，保留负数、不合理数值的根。 正解规则：长度、售价、成本、人数、销量均不能为负数；增长率取值范围通常为 ；商品降价后售价不能低于进价，几何边长需符合图形约束，所有不符合题意的根必须舍去。 易错5：混淆两类实数根的判别式范围 误区：不分题干表述，统一使用 或 ，导致参数范围出错。 精准区分： 1. 题干：有两个实数根（可相等、可不等）： 2. 题干：有两个不相等实数根： 易错6：根据两根构造方程符号出错 误区：已知两根构造一元二次方程时，一次项系数符号写反。 正解公式：以 为两根的一元二次方程为：，一次项为两根和的相反数，常数项为两根积。 易错7：参数压轴题解题顺序混乱 误区：先代入韦达定理求参数，最后忘记验证判别式，导致出现无实数根的增根。 标准解题流程（必考）： ① 先根据题意列出 不等式，确定参数取值范围； ② 利用韦达定理表示出两根和、两根积； ③ 根据题干代数式条件列方程，求解参数； ④ 将求出的参数代入第一步的范围，舍去不合理解。 【题型一】不解方程，求两根代数式的值 【例1】．（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）已知是方程的两实数根，利用韦达定理求下列各式的值． (1) (2) 【例2】．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知一元二次方程的两个根分别为，，不解方程，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例3】．（24-25九年级上·江西赣州·期中）若，是方程的两个根，求下列各式的值： (1) (2) 【变式1】．（24-25九年级上·广东珠海·阶段检测）已知，是方程的两根，求： (1)的值； (2)的值． 【变式2】．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【变式3】．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）已知α，β是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【题型二】含参数方程综合压轴（判别式+韦达定理） 【例4】．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【例5】．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【例6】．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式1】．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【变式2】．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【变式3】．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【变式4】．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【题型三】最值计算 【例7】．（25-26九年级上·四川南充·期末）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值； (2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值． 【例8】．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）关于的方程. (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，，求的最小值． 【变式1】．（25-26九年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数m、n满足，，求的值； (2)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【变式2】．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【题型四】方程与几何综合 【例9】．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【变式1】．（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； (1)如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． (2)若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． (3)如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 【题型五】增长率问题实际压轴题 【例10】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）宁夏盐池县的某滩羊养殖合作社，依托当地独特的地理环境和科学的养殖模式，养殖规模连年提升．已知该合作社2023年出栏滩羊的总利润为20万元，2024年和2025年连续两年优化并拓宽线上线下销售渠道，总利润持续增长，且这两年的年利润增长率相同，到2025年总利润达60万元．求该合作社滩羊养殖利润的年平均增长率． 【例11】．（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）凭借灵动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划，我校舞蹈社团在初一年级招新工作中备受青睐，成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力量．为了让更多同学感受舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同．经过两期的招新，社团成员规模扩大至100人． (1)求该社团每期成员人数的增长率是多少？ (2)若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请说明理由． 【变式1】．（2026·广东中山·一模）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？ 【变式2】．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【变式3】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 【题型六】与图形有关的问题实际压轴题 【例12】．（25-26九年级上·云南大理·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【变式2】．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【题型七】销售利润实际压轴题（中考高频） 【例13】．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）2020年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某超市恰好年前新进了一批口罩，进价为每个1元，售价为每个3元．每天可售出200个；如果每个口罩的售价上涨1元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为720元？ 【例14】．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【变式1】．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套．若要使这款帐篷的月销售利润达到元，那么该款帐篷每套应涨价多少元？ 【变式2】．（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 1. 韦达定理核心三要素：必须满足 、，牢牢记住两根和带负号、两根积符号不变； 2. 代数式求值核心思路：整体代入，无需单独求根，熟练掌握6组高频恒等变形公式是解题关键； 3. 参数压轴题固定模板：先判判别式范围→再列韦达关系→代入条件求解→最后筛选参数，杜绝增根失分； 4. 实际应用题解题三步法：列方程→解方程→验根取舍，所有根必须符合现实场景； 5. 中考重难点区分：基础题侧重公式直接套用，压轴题均为判别式+参数范围+实际意义综合考查，三重约束缺一不可。 一、单选题 1．（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课前预习）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 6．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 二、填空题 10．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 11．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件．但要求销售单价不得超过65元．要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为______元． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 13．（25-26九年级上·北京·阶段检测）某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 15．已知关于x的一元二次方程的两根和满足，则k的值为________． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 三、解答题 17．近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众的距离，又推动文化产业发展与消费升级．某景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长增加5米，宽增加3米，则扩建后展销区的面积为原来的4倍，求原矩形文创展销区的长和宽． 18．（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 19．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 20．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 21．（22-23九年级上·福建泉州·自主招生）如果方程的两个根是，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x的方程的两个实数根之差的绝对值为，求a的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 22．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 23．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $