第03讲实际问题与一元二次方程讲义重难点专题训练（核心知识+6易错辨析+8典例精讲+课后作业）2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，以“五步法”（审、设、列、解、验、答）为通用解题支架，系统梳理增长率、传播、循环计数、几何面积、销售利润五大必考题型的模型构建，形成从通用方法到具体应用的完整知识脉络。 该资料通过6大易错辨析（如增长率次数、几何面积计算等）精准突破难点，8类典例精讲结合真实情境（如病毒传播、商品销售）培养数学眼光与模型意识，助力学生用数学思维分析问题。课中辅助教师高效授课，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

第03讲 实际问题与一元二次方程 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元二次方程解应用题通用步骤（五步法） 这是所有题型通用解题规范，缺一不可，是考试得分核心： 审：审题，梳理题目已知量、未知量，找准题目隐藏的等量关系，几何题可画图辅助分析。 设：合理设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一题目所有单位。 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 解：选择合适方法解方程（优先因式分解法，其次公式法、配方法），求出方程两个根。 验、答：双重检验，先检验根是否为方程的解，再检验是否符合实际意义，舍去不合理解，最后规范作答。 【知识点02】五大必考核心题型及通用公式模型 1. 增长率/下降率问题（高频考点） 适用场景：产量、销量、利润、价格、存款等连续变化问题。 核心模型： 参数含义：为初始基数，为平均增长率/下降率，为变化次数，为变化后总量；增长取“+”，下降取“-”。 常考特例：两年连续变化，直接用 。 2. 传播与裂变问题 适用场景：病毒传播、消息扩散、细胞分裂等问题。 核心模型：初始1个主体，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数为，方程为 ，化简得 。 3. 单循环/双循环计数问题 适用场景：握手、比赛、两两互赠礼物、线段计数等。 单循环（无重复，如握手、单场比赛）： 双循环（有重复，如互赠礼物、主客场比赛）： 4. 几何面积问题 适用场景：矩形空地修路、边框宽度、裁剪拼接图形等。 核心思路：通过平移法，将不规则空白区域拼接为规则矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后长宽乘积=剩余面积”列方程。 常见模型：矩形四周留等宽边框、中间横竖等宽道路。 5. 销售利润问题（重难点） 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量 衍生公式：单件利润=售价-进价；涨价/降价会导致销量反向变化。 通用模型：设涨价/降价元，单件利润=(原售价±)-进价，销量=原销量∓变化量，代入总利润列方程。 易错点1：忽略实际意义，不检验根直接作答 错误表现：解方程后直接写两个答案，保留负数根、超出范围的根。 正确规则：长度、人数、增长率、价格等均为正数，负数根必须舍去；几何问题中边长不能超过原有边长、墙长等限制条件，超范围根也要舍去。 易错点2：增长率次数混淆 错误表现：两年增长误用，三年增长误用，下降率随意添加负号。 正确规则：变化次数对应指数，几年变化就是几次方；下降率直接用，无需额外加负号。 易错点3：循环问题公式混用 错误表现：握手、单循环比赛忘记乘，导致总次数翻倍。 辨析技巧：无重复双向互动（握手、对决）用一半；有重复双向互动（互赠礼物）不减半。 易错点4：几何面积道路宽度计算失误 错误表现：矩形四周留等宽道路，长宽只减一次宽度。 正确规则：上下、左右均有宽度，长和宽需同时减去2倍道路宽度；中间十字道路注意避免重复扣除重叠小正方形面积。 易错点5：利润问题变量关系混乱 错误表现：涨价销量增加、降价销量减少，搞反反向关系；忽略题目中售价、销量的取值限制。 避坑要点：涨价→单件利润升高、销量减少；降价→单件利润降低、销量升高；算出根后需验证售价是否符合题意（如不高于原价、不低于成本价）。 易错点6：解题步骤残缺 错误表现：不设未知数直接列方程、无解题过程、不写答句。 评分标准：应用题步骤占分，必须完整执行“设-列-解-验-答”流程。 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】．（25-26九年级上·山东济宁·期末）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴， 故选：A 【变式1】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 【变式3】．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 【变式1】．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两个月销售量的平均增长率为x，则9月的销售量为万桶，再根据9月的销售量为万桶列出方程即可． 【详解】解：设这两个月销售量的平均增长率为x， 由题意得，， 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程． 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 【变式3】．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是根据“增长后的量增长前的量（增长率）”建立方程，并结合实际意义舍去负根． （1）设年平均增长率为，根据年和年的年产值，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性； （2）设月均增长率为，根据月销售额及第四季度总销售额，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性． 【详解】（1）解：设该企业年产值的年平均增长率为， 由题意得， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该企业年产值的年平均增长率为． （2）解：设、两个月销售额的月均增长率为， 由题意得， 整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，． 答：、两个月销售额的月均增长率为． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】．（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 【变式1】．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 【变式2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 【变式3】．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长与宽分别为， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 【例5】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【答案】9 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 【详解】解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 【例6】．（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【答案】这个最大的数为16 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 【变式1】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【变式3】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）略 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例7】．（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【例8】．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【答案】45 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据题意得，可以得出人数大于人；设这次旅游可以安排人参加，可得人均旅游费为：，根据题意建立方程求解即可，根据人均旅游费用不得低于500元取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 所以该旅行社的人数大于人， 设这次旅游可以安排人参加，则人均旅游费为元， 由题意得：， 解得： 当时，人均费用＜，不符合要求；当时，人均费用，符合要求． 故这次旅游可以安排人参加． 故答案为：． 【例9】．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出一元二次方程和二次函数的解析式，是解题的关键： （1）设每件衬衫应降价元，根据利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （2）设每天的利润为元，根据利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元， 由题意，得：， 整理，得， 解得， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：设每天的利润为元，则， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为； 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大盈利是1250元． 【变式1】．（25-26九年级上·山西朔州·期末）山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每件玩具降价x元，得降价后的批发单价为元，根据“销售量=原销量+多经销的销量”得销售量为件，根据“批发额=销售量×批发单价”列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【变式2】．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大 销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现， 如果每台每降价10元，商场平均每天可多售出20台．在尽快减少库存的前提下，商场要想平均每天盈利2000元．设每台空气加湿器应降价x 元．根据题意列出方程_______． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每台空气加湿器降价x元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用商场每天销售空气加湿器获得的总利润=销售每台空气加湿器获得的利润×每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每台空气加湿器降价x元，则每台盈利元，每天可以售出 台， 依题意得：， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 【答案】(1)18； (2)5元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）当前售价减去降低金额再减去进价即为利润；降低元，周销量增加个，由此列代数式； （2）用含x的式子表示出单个利润及周销量，相乘即为周利润，由此列一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为：（元）； 若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为：个， 故答案为：18，； （2）解：每个玩偶售价应降价元，由题意得： ， 整理得， 解得， 即每个玩偶售价应降价5元． 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例10】．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 【例11】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【答案】2或3 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【变式3】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 【题型七】行程问题(一元二次方程的应用) 【例12】．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式1】．（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】列代数式、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 【变式3】．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【题型八】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例13】．（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 【例14】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 【例15】．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加聚会，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 【变式1】．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解双循环赛制的比赛场次计算逻辑，根据总比赛场数列写方程． 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛活动来列出方程，求解即可． 【详解】解：双循环赛制下，每两支球队间进行两场比赛，设参赛球队有支， 每支球队都要进行个主场比赛，总比赛场次为场． 又小组赛阶段共比赛30场， 可列方程． 故选：B． 【变式2】．（2025九年级上·全国·专题练习）某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 设全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，根据全组共相互赠送标本件列方程即可． 【详解】解：由题意，全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 【变式4】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 1. 核心本质：本节所有题型，本质是将生活、几何中的实际等量关系，转化为一元二次方程求解，核心是找等量关系。 2. 解题核心准则：方程解数学解，题目解实际解，解方程必检验，不合实际必舍去，这是区别于纯解方程题型的关键。 3. 题型解题口诀：增长下降看次方，传播平方记心上；循环问题分单双，面积平移调长宽；利润涨跌辨增减，检验取舍不能忘。 4.能力提升重点：熟练记忆五大题型固定模型，精准区分易混题型公式，规范解题步骤，杜绝惯性思维丢分。 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 【详解】解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 2．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系列方程．若设参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛，则总比赛场数为，即可列出方程． 【详解】解：∵参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 又∵总场数为， ∴可列方程为 ， 故选：B． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题．设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x，根据传染模型，2轮后总患者数为，列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x． ∵ 初始患者1人， 第一轮后总患者数为：， 第二轮后总患者数为： ． 又∵ 2轮后总患者数为100， ∴ ， 解得，（舍）， 故每轮传染中平均1个患者传染的人数为9人． 故选：B． 7．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 二、填空题 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设每条小道的宽为x米，根据长方形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设每条小道的宽为x米，根据题意得： ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据月平均增长率的定义，从7月到9月，销售量连续增长两次，每次增长率为x，因此9月销售量是万台，据此列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则8月销售量为万台，9月销售量为万台． 根据题意，9月销售量为36万台， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 12．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 【答案】30 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． 设班级学生总人数为x名，则每名同学发送条短信，总短信数为，解一元二次方程即可． 【详解】设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 13．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 三、解答题 14．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 【答案】8 【分析】本题考查了用一元一次方程在日历中的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键；设最小数为x，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为x，则最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 从月历表中可以看出，8是第二行第2个数，符合要求， ∴最小数为8． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 16．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设年平均增长率为，再结合2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，设每杯奶茶应涨价元，则每杯盈利为元，销售的总杯数为，又因为每周奶茶盈利1440元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为， 依题意，得， 解得，（舍去）， ∴该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为； （2）解：设每杯奶茶应涨价元， 则每杯盈利为元，销售的总杯数为， 依题意，得， 整理得， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴每杯奶茶应涨价3元． 17．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 18．（25-26九年级上·广东梅州·期末）奔赴苍穹，逐梦九天，我国神舟号飞船开创了中国航天的新里程，航天员出舱修复太阳翼取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个．若设每个模型降价元． (1)要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ (2)该商店平均每天销售利润能达到2500元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 【答案】(1)应降价2元或8元 (2)不能达到2500元，理由见解析 【分析】该题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是列出对应函数式，根据题意进行解答． （1）设每个模型降价x元，根据“每天的利润降价后每个模型利润每天售出数量”解答即可； （2）结合（1）中的配方解答即可； 【详解】（1）解：设每个模型降价x元，则每天售出个， 由于降价前每个模型利润为20元，故降价后，每个模型利润为元， 故每天的利润 ， 由题干，即得方程： 解得：，或， ∴应降价2元或8元； （2）解：由（1）即得：每天的利润 ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为2250，即不可能达到2500元． 19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知线段，为上一点，且． (1)若，求线段的长度； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)线段的长度为； (2)线段的长度为． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）由已知可得，代入，即可得线段的长度； （2）由已知可得，代入，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：∵为上一点，， ∴， ∵线段， ∴， ∴ ∴， ∴线段的长度为． （2）解：线段，为上一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或（与“”矛盾，舍去）， ∴线段的长度为． 20．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求几秒时与相似； (3)求几秒时的面积为． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，即可解答； （2）分两种情况讨论，当时和当时两种情况，分别列方程解答即可； （3）过点P作于点D，求得，利用三角形面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ，， 故答案为：； （2）解：， 与相似，分两种情况讨论： ①当时，即 解得：； ②当时，即 解得：； 故或秒时，与相似； （3）解：如图，过点P作于点D， ，即 ， 解得： 因此秒时的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实际问题与一元二次方程 （核心知识+6易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元二次方程解应用题通用步骤（五步法） 这是所有题型通用解题规范，缺一不可，是考试得分核心： 审：审题，梳理题目已知量、未知量，找准题目隐藏的等量关系，几何题可画图辅助分析。 设：合理设未知数，优先设直接未知数，复杂题型可设间接未知数，统一题目所有单位。 列：根据等量关系，列出标准一元二次方程（一般形式：）。 解：选择合适方法解方程（优先因式分解法，其次公式法、配方法），求出方程两个根。 验、答：双重检验，先检验根是否为方程的解，再检验是否符合实际意义，舍去不合理解，最后规范作答。 【知识点02】五大必考核心题型及通用公式模型 1. 增长率/下降率问题（高频考点） 适用场景：产量、销量、利润、价格、存款等连续变化问题。 核心模型： 参数含义：为初始基数，为平均增长率/下降率，为变化次数，为变化后总量；增长取“+”，下降取“-”。 常考特例：两年连续变化，直接用 。 2. 传播与裂变问题 适用场景：病毒传播、消息扩散、细胞分裂等问题。 核心模型：初始1个主体，每轮每人传播个，经过两轮传播后总数为，方程为 ，化简得 。 3. 单循环/双循环计数问题 适用场景：握手、比赛、两两互赠礼物、线段计数等。 单循环（无重复，如握手、单场比赛）： 双循环（有重复，如互赠礼物、主客场比赛）： 4. 几何面积问题 适用场景：矩形空地修路、边框宽度、裁剪拼接图形等。 核心思路：通过平移法，将不规则空白区域拼接为规则矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后长宽乘积=剩余面积”列方程。 常见模型：矩形四周留等宽边框、中间横竖等宽道路。 5. 销售利润问题（重难点） 核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量 衍生公式：单件利润=售价-进价；涨价/降价会导致销量反向变化。 通用模型：设涨价/降价元，单件利润=(原售价±)-进价，销量=原销量∓变化量，代入总利润列方程。 易错点1：忽略实际意义，不检验根直接作答 错误表现：解方程后直接写两个答案，保留负数根、超出范围的根。 正确规则：长度、人数、增长率、价格等均为正数，负数根必须舍去；几何问题中边长不能超过原有边长、墙长等限制条件，超范围根也要舍去。 易错点2：增长率次数混淆 错误表现：两年增长误用，三年增长误用，下降率随意添加负号。 正确规则：变化次数对应指数，几年变化就是几次方；下降率直接用，无需额外加负号。 易错点3：循环问题公式混用 错误表现：握手、单循环比赛忘记乘，导致总次数翻倍。 辨析技巧：无重复双向互动（握手、对决）用一半；有重复双向互动（互赠礼物）不减半。 易错点4：几何面积道路宽度计算失误 错误表现：矩形四周留等宽道路，长宽只减一次宽度。 正确规则：上下、左右均有宽度，长和宽需同时减去2倍道路宽度；中间十字道路注意避免重复扣除重叠小正方形面积。 易错点5：利润问题变量关系混乱 错误表现：涨价销量增加、降价销量减少，搞反反向关系；忽略题目中售价、销量的取值限制。 避坑要点：涨价→单件利润升高、销量减少；降价→单件利润降低、销量升高；算出根后需验证售价是否符合题意（如不高于原价、不低于成本价）。 易错点6：解题步骤残缺 错误表现：不设未知数直接列方程、无解题过程、不写答句。 评分标准：应用题步骤占分，必须完整执行“设-列-解-验-答”流程。 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】．（25-26九年级上·山东济宁·期末）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【变式2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【变式3】．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【变式3】．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． (1)求该企业年产值的年平均增长率； (2)2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】．（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【变式2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【变式3】．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【例5】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【例6】．（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【变式1】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【变式2】．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【变式3】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例7】．（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【例8】．（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下： 我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元． 现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加． 【例9】．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？ 【变式1】．（25-26九年级上·山西朔州·期末）山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大 销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现， 如果每台每降价10元，商场平均每天可多售出20台．在尽快减少库存的前提下，商场要想平均每天盈利2000元．设每台空气加湿器应降价x 元．根据题意列出方程_______． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例10】．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【例11】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【变式1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【变式2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【变式3】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【题型七】行程问题(一元二次方程的应用) 【例12】．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【变式1】．（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【变式2】．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【变式3】．（2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【题型八】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例13】．（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【例14】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【例15】．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【变式1】．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025九年级上·全国·专题练习）某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【变式3】．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【变式4】．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 1. 核心本质：本节所有题型，本质是将生活、几何中的实际等量关系，转化为一元二次方程求解，核心是找等量关系。 2. 解题核心准则：方程解数学解，题目解实际解，解方程必检验，不合实际必舍去，这是区别于纯解方程题型的关键。 3. 题型解题口诀：增长下降看次方，传播平方记心上；循环问题分单双，面积平移调长宽；利润涨跌辨增减，检验取舍不能忘。 4.能力提升重点：熟练记忆五大题型固定模型，精准区分易混题型公式，规范解题步骤，杜绝惯性思维丢分。 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 7．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 10．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 11．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 12．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 13．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 三、解答题 14．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 16．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 17．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 18．（25-26九年级上·广东梅州·期末）奔赴苍穹，逐梦九天，我国神舟号飞船开创了中国航天的新里程，航天员出舱修复太阳翼取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出100个，平均每个可盈利20元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出10个．若设每个模型降价元． (1)要使该模型平均每天销售利润达2160元，每个模型应降价多少元？ (2)该商店平均每天销售利润能达到2500元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知线段，为上一点，且． (1)若，求线段的长度； (2)若，求线段的长度． 20．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，点P由点A出发沿的方向向点B匀速运动，速度为，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度，连接，设运动的时间为，其中． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求几秒时与相似； (3)求几秒时的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $