25.2.1 直接开平方法 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直接开平方法解一元二次方程，通过回顾平方根概念及性质，建立新旧知识联系，引入“降次”转化思想，为后续配方法学习搭建支架。 特色在于探究活动层层递进，通过x²=p和(x+n)²=p型方程问题链，培养分类讨论的推理意识，例3结合根的大小比较提升抽象能力，实际问题训练强化应用意识，帮助学生掌握技能，教师教学流程清晰重难点突出。

25.2第1课时　直接开平方法 　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　直接开平方法 授课人 教 学 目 标 1.使学生知道形如x2=p(p≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解. 2.使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的根. 3.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法. 4.根据平方根的意义用直接开平方法解一元二次方程,使学生能够解符合条件的一元二次方程,同时为配方法的学习打好基础. 教学 重点 　　使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程. 教学 难点 　　探究一元二次方程a(x+b)2=c的根的情况,培养学生分类讨论的意识. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.如果x2=a,那么x叫作a的　平方根　.  2.如果x2=a(a≥0),那么x=　±　.  3.如果x2=64,那么x=　±8　.  4.任何数都可以作为被开方数吗? [答案:负数不可以作为被开方数] 学生自主思考,并进行解答,师生共同讨论,回顾平方根的相关知识. 　　通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义,有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程,为学习新知打下基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 与解一元一次方程类似,解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式.与一元一次方程不同,一元二次方程是二次的,因此解一元二次方程需要“降次”,即把二次方程转化为一次方程.本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 板书:直接开平方法解方程. 　　通过文字引入解方程的思想就是“降次”.“降次”是解一元二次方程的基本策略,在解法上通过将未学的方程转化成已学的方程来解决,这是数学常用的研究方法,教学中应引导学生认真体会. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 问题:请用直接开平方法解下列方程: (1)x2=4;(2)9x2-6=3;(3)x2+1=0. 解:(1)根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2. (2)移项,并将二次项系数化为1,得x2=1. 根据平方根的意义,得x1=1,x2=-1. (3)整理,得x2=-1.∵负数没有平方根,∴原方程无实数根. 学生自主探究,然后讨论、交流,汇总思想,解答问题,最后师生共同归纳:一般地,对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x2=p的形式,再利用直接开平方法求解,其中,当p>0时,方程有两个不相等的实数根x1=-,x2=;当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;当p<0时,方程无实数根. 　　1.设置问题,使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式,培养学生思维的灵活性以及善于思考、勇于质疑的精神. 活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 问题:(1)一元二次方程x2=25与(x+3)2=25有何区别和联系?类比方程x2=25的求解方法,你能解方程(x+3)2=25吗?方程(3x+1)2=2呢?试一试. (2)对于(nx+m)2=p型的方程,你能说说它的基本解法吗? 学生通过独立思考,小组合作交流,师生共同归纳:运用直接开平方法可以解形如x2=p或(nx+m)2=p的一元二次方程,其实质是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”. 板书:开平方,降次转化,二次变一次. 　　 　　2.设置问题,通过对一些复杂问题的探究,帮助学生体会换元思想及类比的学习方法,同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程. 【理解应用】 例1　解下列方程: (1)x2-900=0;　(2)2x2-8=0;　(3)4x2-3=0. 方法点拨:通过移项把方程化为x2=p的形式,然后直接开平方求解即可. 解:(1)移项,得x2=900. 直接开平方,得x=±30,即x1=30,x2=-30. (2)移项,并将二次项系数化为1,得x2=4. 由此可得x=±2,即x1=2,x2=-2. (3)移项,并将二次项系数化为1,得x2=. 由此可得x=±,即x1=,x2=-. 例2　解下列方程: (1)(x+2)2-9=0;　　　　　　　　(2)3(x+1)2-27=0. 解:(1)移项,得(x+2)2=9. 由此可得x+2=±3, x+2=3,或x+2=-3,即x1=1,x2=-5. (2)移项,并将系数化为1,得(x+1)2=9. 由此可得x+1=±3, x+1=3,或x+1=-3,即x1=2,x2=-4. 归纳:直接开平方法解一元二次方程的“三步法”: 　　采用逐步递进、提升的方式设置题目,使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法. 【拓展提升】 例3　已知x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个根,且x1<x2,下列说法正确的是 (A) A.x1小于-1,x2大于3 　　　 B.x1小于-2,x2大于3 C.x1,x2在-1和3之间 　　　 D.x1,x2都小于3 　　通过拓展练习,及时地反馈学生的学习情况,查漏补缺,进一步提升教学效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 【当堂训练】 1.下列解方程的过程,正确的是 (D) A.x2=-2,直接开平方,得x=± B.(x-2)2=4,直接开平方,得x-2=2,x=4 C.4(x-1)2=9,直接开平方,得4(x-1)=±3,x1=,x2= D.(2x+3)2=25,直接开平方,得2x+3=±5,x1=1,x2=-4 2.已知关于x的一元二次方程x2=m-1. (1)若方程有两个不相等的实数根,则m　>1　;  (2)若方程有两个相等的实数根,则m　=1　;  (3)若方程无实数根,则m　<1　.  3.解下列方程: (1)2x2+3=5;　(2)(x+6)2-9=0;　(3)4(x-1)2-16=0. 解:(1)移项,并将二次项系数化为1,得x2=1. 由此可得x=±1,即x1=1,x2=-1. (2)移项,得(x+6)2=9. 由此可得x+6=±3, x+6=3,或x+6=-3, 即x1=-3,x2=-9. (3)移项,并将系数化为1,得(x-1)2=4. 由此可得x-1=±2, x-1=2,或x-1=-2, 即x1=3,x2=-1. 4.某市区内有一块边长为15米的正方形绿地,经城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,这块绿地的边长增加了多少米(结果保留一位小数)? [答案:约2.3米] 师生活动:学生进行当堂训练,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　利用练习题,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾环节中,教师应给予充分的时间让学生交流、讨论,平方根的意义是直接开平方法的依据,所以必须使学生清楚平方根的意义;在课堂训练中,教师点名让学生回答问题,从多个角度进行多人次的提问. ②[讲授效果反思] 对于难点问题,教师引导学生注意以下几点:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,所以方程x2=p(p>0)有两个实数根;(2)负数没有平方根,所以方程x2=p(p<0)无实数根. ③[师生互动反思] 本课时难度较小,重视学生自学能力的提高,教师起到引导、点拨、评价的作用. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $