第二十五章 一元二次方程 01讲 一元二次方程的概念预习讲义（3大知识点+6大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解这一核心知识点，从概念的三个条件（整式方程、一个未知数、最高次数2），到一般形式ax²+bx+c=0（a≠0，b、c可0的特殊形式），再到解的定义、根的情况及判断方法，构建递进式学习支架。 资料通过6大题型（含例题与变式）系统归纳，概念辨析培养抽象能力，参数求解强化推理意识，解的估算渗透应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式训练查漏补缺，巩固知识。

第二十五章一元二次方程 01讲一元二次方程的摄念 题型归纳 【知识点1一元二次方程的概念… 1】 【知识点2一元二次方程的一般形式… 1】 【知识点3一元二次方程的解 2】 【题型1.一元二次方程的辨别… 2】 【题型2.一元二次方程的一般式… 4】 【题型3.一元二次方程的解 6】 【题型4.一元二次方程解的估算… …7】 【题型5。由一元二次方程的解求参数…9】 【题型6.由一元二次方程的定义求参数… …11】 【巩固练习… …12】 知识清单 知迟点1一元二次方程的概念 1定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数（一元），且含有未知数的式子都是整式 未知数的最高迩数是2（二次），这样的方程叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ①是整式方程：②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 知识点2一元二次方程的一般形式 1.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0). 其中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 2.特殊形式：（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0) 1/18 (2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)： (3)当b-0且c-0时，得ax2=0(a≠0). 【提示】 ①a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是D,c可以为0： ②任何一个一元二次方程都可以化成一般形式： ③一元二次方程的各项都包含它前面的符号 知识点3一元二次方程的解 1定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的 解也叫做一元二次方程的根。 【提示】 ①一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的 实数根； ②在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中， 若a+b+c=0,则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根； 若a-b+c=0,则x=-1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根. ③判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之， 它就不是一元二次方程的解. 瓢型专练 题型1.一元二次方程的辨别 【例1】下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.x2-3x+1=0C.x2÷y=1D.是= 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式 2/18 方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可。 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2， 是整式方程。 :选项A中未规定a≠0，当a=0时，方程不是二次方程，A不符合要求： ,选项C中含有x和y两个未知数，∴，C不符合要求： ,选项D中分母含有未知数x,属于分式方程，不是整式方程， .D不符合要求： 选项B满足一元二次方程的所有条件. 【变式1】下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.yx=1 C.x(x2+1)=2 D.x(x+1)=1 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次 项系数不为0，据此逐一验证即可 【详解】解：选项A:ax2+bx+c=0中未说明a≠0，当a=0时方程不是一元二次方程， .A错误； 选项B:牛=1分母含有未知数，是分式方程，且含有x,y两个未知数， B错误： 选项C:x(x2+1)=2整理得x3+x-2=0,未知数最高次数为3， C错误； 选项D:x(x+1)=1整理得x2+x-1=0,符合一元二次方程的定义， D正确 【变式2】下列方程中：①x2-2x-1=0:②ax2+bx+c=0(a≠0)：③是+3x-5=0: ④-x2=0:⑤(x-1)2+y2=2:⑥(x-1)x-3)=x2.一元二次方程共有 个 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次 数是2；二次项系数不为0，方程为整式方程. 【详解】解：①x2-2x-1=0满足概念，是一元二次方程； 3/18 ②ax2+bx+c=0(a≠0)满足概念，是一元二次方程； ③是+3x-5=0含有分式，不满足概念，不是一元二次方程： ④-x2=0满足概念，是一元二次方程： ⑤x-1)2+y2=2含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程： ⑥x-1)(x-3)=x2,化简后为-4x+3=0,不含二次项，不满足概念，不是一元二次 方程： .一元二次方程有3个. 题型2.一元二次方程的一般式 【例1】把一元二次方程x2-2(x-1)=3x化成一般形式，正确的是() A.x2-2x-1=0 B.x2-5x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2-x+2=0 【答案】B 【详解】解：x2-2(x-1)=3x x2-2x+2-3x=0 x2-5x+2=0 【例2】将一元二次方程x2=4(x-1)+2化成一般形式后，一次项系数为 【答案】 -4 【详解】解：x2=4(x-1)+2, x2=4x-4+2, x2-4x+2=0: 故一次项系数为-4 【变式1】一元二次方程x2-4x-4=-9+5x的一次项系数是（) A.-4x B.-4 C.-9x D.-9 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，再根据一般形式确定一次项系数b. 【详解】解：x2-4x-4=-9+5x .x2-9x+5=0 4/18 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b为一次项系数 ∴.该方程的一次项系数是-9， 故选：D 【变式2】将方程(x-3)2=15化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A.x2-6x+6=0 B.x2-6x-6=0 C.x2+6x-6=0 D.x2+6x+24=0 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再 通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)即可求解，掌握知 识点的应用是解题的关键。 【详解】解：，(x-3)2=x2-6x+9, ∴.原方程可化为x2-6x+9=15, 移项得x2-6x+9-15=0, 合并常数项得x2-6x-6=0, 故选：B 【变式3】一元二次方程5x2+3x=-3的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次 项，a叫做二次项系数：bx叫做一次项：c叫做常数项. 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可. 【详解】原方程5x2+3x=-3移项得标准形式5x2+3x+3=0, 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为5+3+3=11. 故答案为：11 【变式4】写出一个关于x的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程 可以是 【答案】x2-4=0(答案不唯一) 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程 二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可. 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为2，可设另一根为k, 5/18 则方程为(x-2)(x-k)=0,展开得x2-(2+K)x+2k=0, 取k=2,得x2-4=0, 故答案为：x2-4=0(答案不唯一). 题型3.一元二次方程的解 【例1】在下列方程中，x=1是方程的根的是() A.x2-2x+3=0 B.x2+2x+3=0 C.x2+2x-3=0 D.x2-2x-3=0 【答案】C 【详解】解：A.当x=1时，12-2×1+3=2≠0，x=1不是方程的根； B.当x=1时，12+2×1+3=6≠0，x=1不是方程的根： C.当x=1时，12+2×1-3=0，x=1是方程的根： D.当x=1时，12-2×1-3=-4≠0，x=1不是方程的根 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是() A.X-2=0 B.x3-4x=0 C.x2-4=0 D.x-2=0.125 【答案】C 【详解】解：A、x-2=0未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意： B、x3-4x=0未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意： C、x2一4=0符合一元二次方程的定义，将x=2代入方程左边得：左边=22-4=0=右 边，x=2是x2-4=0的根，符合题意： D、x2=0.125即=0.125，不是一元二次方程，不符合题意. 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025,则一元二 次方程a(x-1)2+bx+2=b必有一根为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一 致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键. 【详解】解：：a(x-1)2+bx+2=b ∴.a(x-1)+bx-b+2=0 ∴.a(x-1)2+b(x-1)+2=0 6/18 ,关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025, .x-1=2025 ∴，x=2026 ∴.一元二次方程a(x-1)2+bx+2=b必有一根为x=2026. 故选：C 【变式3】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为 -种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程x2一ax一6=0 的两根之和为 2 -1 0 2 3 x2-ax 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当x取特定值时，表达式x2一ax 的值等于6，这些x值即为方程x2-ax-6=0的根，再计算两根之和，即可作答. 【详解】解：由表格可知，当x=-2时，x2-ax=6: 当x=3时，x2-ax=6, ,x2-ax-6=0, ∴.x2-ax=6 故一元二次方程x2-ax-6=0的两根为x1=-2,x2=3 则x1+x2=-2+3=1, 故答案为：1 题型4.一元二次方程解的估算 【例1】根据下面的表格，估计方程(x+8)2一826=0的一个正数解x的大致范围为) 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 (x+8)2-826 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<X<20.9 【答案】c 7/18 【详解】解：通过表格可知，当x=20.7时，(x+8)2-826=-2.31, 当x=20.8时，输出值为(x+8)2-826=3.44, ∴.当(x+8)2-826=0时，20.7<x<20.8. 【变式1】根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解x,则x 的整数部分是() 0 1 x2+12x-15 -15 2 13 30 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0 时x的取值范围是解本题的关键， 通过表格数据，观察表达式值的变化，确定根所在区间，从而得到整数部分. 【详解】解：观察表格得到x=1时，x2+12x-15=一2<0， x=2时，x2+12x-15=13>0, 故方程x2+12x-15=0的一个解在1和2之间， 故x的整数部分为1， 故选：B 【变式2】观察表格 元二次方程x2-x-1.1=0的最精确的一个近似根是 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2-x-1.1 -0.99 -0.86 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变 化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根 通过观察表格中x对应的x2-x一1.1的值，找到函数值最接近0时对应的x,即为方程的近 似根。 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当x=1.6时，x2-x-1.1=-0.14, 8/18 当x=1.7时，x2-x-1.1=0.09, 可以看到，当x=1.7时，x2-x-1.1的值更接近0， 所以一元二次方程x2-x-1.1=0最精确的一个近似根是1.7. 故答案为：1.7. 【变式3】探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表： -1 0 x2+3x-5=0 -7 -5 5 13 23 从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数，b分 别是 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当x=1时，x2+3x-5<0, 当x=2时，x2+3x-5>0,据此可得答案. 【详解】解：当x=1时，x2+3x-5=12+3×1-5=-1<0,当x=2时，x2+3x 5=22+2×3-5=5>0, ,方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴a=1,b=2, 故答案为：1、2. 题型5.由一元二次方程的解求参数 【例1】若x=-1是关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+6=0的解，则k的值为() A.-6 B.-3 C.3 D.6 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将x=一1代入原 元二次方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值. 【详解】解：因为x=-1是一元二次方程x2-(2k-1)x+6=0的解， 将x=-1代入原方程得， (-1)2-(2k-1)×(←-1)+6=0， 化简得1+2k-1+6=0, 整理得2k+6=0 9/18 解得k=-3. 【变式1】已知m是一元二次方程x2-4x+1=0的一个根，则2026-m2+4m的值为( A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含m的关系式，再整体代入所 求代数式求值即可 【详解】解：，m是一元二次方程x2-4x+1=0的一个根， .将x=m代入方程得m2-4m+1=0, 整理得-m2+4m=1, .2026-m2+4m=2026+(-m2+4m=2026+1=2027. 【变式2】若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a2+a+2024的值为( A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把α的值代入原方程，从中获取 代数式a2-a的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值， 先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解. 【详解】解：，a是方程x2-x-1=0的一个根， a2-a-1=0, 整理得：a2-a=1, .-a2+a+2024 =-(a2-a)+2024 =-1+2024 =2023. 故选：C 【变式3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的一个解是x=1,则2019-a- b的值是 【答案】2021 【分析】将x=1代入已知一元二次方程，求出a+b的值，再整体代入所求代数式计算即可. 【详解】~x=1是一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的一个解， 将x=1代入方程得a12+b1+2=0, 10/18 整理得a+b=-2, ∴2019-a-b=2019-(a+b)=2019-(-2)=2021. 故答案为2021 题型6.由一元二次方程的定义求参数 【例1】若(3-m)xm2-7-x+1=0是一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.3 C.±3 D.9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为 2,且二次项系数不为0， 【详解】解：：方程为一元二次方程， 品西*9 解得：m=-3, 故选：A. 【变式1】若方程(m-2)x2-x=1是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠0 B.m≠2 C.m=1 D.m≠1 【答案】B 【详解】解：：原方程(m-2)x2-x=1是一元二次方程，其二次项系数为m-2 ,.m-2≠0， 解得m≠2. 【变式2】若关于x的方程(m-3)xm-1山+2x-5=0是一元二次方程，则m= 【答案】-1 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方 程与不等式求解即可， 【详解】解：，关于x的方程(m-3)xm-4+2x-5=0是一元二次方程 州品 由lm-1|=2得：m-1=2或m-1=-2 解得m=3或m=-1 由m-3≠0，∴.m≠3 .m=-1. 11/18 【变式3】关于x的方程(m-2)xml+2+x-2=0是一元二次方程，则m= 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2 的整式方程叫破元二次方程，帮此可得州子，解之即可得到答案。 【详解】解：，关于x的方程(m-2)xlm+2+x-2=0是一元二次方程， 阿+6 .m=0, 故答案为：0. >巩固练习 1.(25-26九年级上湖北孝感期末)方程x2=一2x+9化为一元二次方程的一般形式后， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.1,-2,9B.1,2,-9 C.-1,2,9 D.1,2,9 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数. 【详解】解：，原方程为x2=-2x+9, ∴.整理为一般形式得x2+2x-9=0, ∴.二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-9. 2.(2026河南驻马店三模)已知关于x的一元二次方程(x+2)+4一k=0有实数根，则k 的值可以是() A.-4 B.0 C.1 D.5 【答案】D 【分析】首先将方程变形为(x+2)2=k-4,然后根据题意得到k-4≥0，然后求解即可. 【详解】解：(x+2)2+4-k=0 ∴.(x+2)2=k-4 ,该方程有实数根 .k-4≥0 12/18 .k≥4 .k的值可以为5. 3.(25-26八年级下.浙江嘉兴期末)若a是关于x的方程2x2-x-4=0的一个实根，则代 数式a2-+2026的值是() A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值。 【详解】解：a是方程2x2-x-4=0的一个实根， .2a2-a-4=0, a2-8=2, 2 ÷a2-+2026=2+2026=2028. 4.(25-26八年级下.重庆期中)在下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2=1 B.x2=2+y C.x= D.21= 2 3 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高 次数为2，根据定义逐一判断选项即可。 【详解】解：：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整 式方程， 对各选项逐一判断： A.x2=1,满足所有条件，是一元二次方程； B.x2=2+y，含有x和y两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程： C2+x=是分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程： D.一=，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次 2 3 方程 5.（25-26八年级下·安徽阜阳·期中)若关于x的一元二次方程x2-mx-3=0的一个根是 x=1,则m的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】D 13/18 【详解】解：，x=1是一元二次方程x2-x-3=0的一个根， ∴.将x=1代入原方程得，12-m×1-3=0 解得m=-2. 6.(2026贵州安顺.二模)若x=-1是方程x2+2=a的解，则a的值是() A.-1 B.3 C.-3 D.1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出a的值. 【详解】解：x=-1是方程x2+2=a的解， “将x=-1代入原方程得(-1)2+2=a 计算得a=1+2=3. 7.(2026江苏宿迁.二模)若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式a2+2a-1-2026值 是 【答案】-2026 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值 【详解】解：a是方程x2+x-1=0的根，且a≠0， .a2+a-1=0, 变形可得a2=1-a, 方程两边同时除以a得a+1-君=0， 即=a+1, ∴a2+2a-日2026 =(1-a)+2a-(a+1)-2026 =1-a+2a-a-1-2026 =-2026. 8.(2026河北廊坊·二模)如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一 个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式） ① ② ③ ④ 12 、1 y 、 -2.3 -1.1 0.1 1.3 2.5 【答案】x2+x=0(答案不唯一) 14/18 【分析】首先得到②段包含两个整数-1和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可. 【详解】解：由数轴可知②段包含两个整数-1和0， 由题意得，一元二次方程的根为x1=0,x2=-1, 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为x(x+1)=0,化为一般式是x2+x=0 (答案不唯一). 9.(25-26八年级下.北京顺义期中)若关于x的方程(m-1)xlm-1-3x+4=0是一元二次 方程，则m应满足的条件是 【答案】m=士3 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式 与不等式求解即可。 【详解】解：关于x的方程(m-1)xm-1-3x+4=0是一元二次方程， .m-1=2,且m-1≠0， 解|m-1=2,得1m=3, 即m=±3， 又m=士3都满足m-1≠0， 故m=士3. 10.(25-26九年级上贵州毕节·期末)已知方程(m-1)xm+1+2x+1=0是关于x的一元 二次方程，则m的值是 【答案】-3 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此 列式求解即可. 【详解】解：，方程(m-1)xm+山+2x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴m+=2 m-1≠0 lm+1|=2得m+1=2或m+1=-2, 解得m=1或m=-3, 由m-1≠0得：m≠1， ∴.m=-3. 11.(25-26九年级上广东揭阳·期末)己知m是一元二次方程x2+4x-2=0的一个根，则 (m+5)(1-m)的值为 15/18 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用是方程的根， 得到m2+4m=2,再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为-(m2+4m)+ 5,据此求解即可. 【详解】解：，m是一元二次方程x2+4x-2=0的一个根， .m2+4m-2=0, .m2+4m=2, ∴.(m+5)(1-m) =m+5-m2-5m =-m2-4m+5 =-(m2+4m)+5 =-2+5 =3, 故答案为：3. 12.(2025河南郑州.一模)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0, 那么我们称这个方程为“凤凰方程”. (1)判断一元二次方程2x2-4x-6=0是否为凤凰方程，说明理由. (2)已知x2-mx+5=0是关于x的凤凰方程，求m的值. 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，a=2,b=-4,c=-6, ∴.a-b+c=2-(-4)+(-6)=6-6=0, .一元二次方程2x2-4x-6=0是凤凰方程： (2)6 【分析】(1)由方程得出a、b、c的值，再根据凤凰方程的定义判断即可： (2)由方程得出a、b、c的值，再根据凤凰方程的定义得到关于m的方程解答即可： 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键， 【详解】(1)略 (2)解：由方程得，a=1,b=-m,c=5, ,x2-mx+5=0是关于x的凤凰方程， 16/18 .a-b+c=1+m+5=0, ∴.m=-6. 13.(25-26九年级上湖南株洲期末)已知a为方程2x2-3x+1=0的一个根，求代数式 (a+1)(a-1)+3a(a-2)的值. 【答案】-3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解 题的关键。 先根据一元二次方程解的定义得到2a2-3a=-1,再把所求式子化简为2(2a2-3a)-1, 由此求解即可。 【详解】解：a是方程2x2-3x+1=0的一个根， 2a2-3a+1=0, 2a2-3a=-1, ∴(a+1)(a-1)+3a(a-2) =a2-1+3a2-6a =4a2-6a-1 =2(2a2-3a)-1 =2×(-1)-1 =-3. 14.（25-26九年级上广东东莞期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(Q≠ 0)满足：Q+b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程4x2-11x+7=0是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知ax2-3x+c=0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄 金方程”是 (3)已知3x2-mx+n=0是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，求m的值， 【答案】(1)方程4x2-11x+7=0是“黄金方程”，理由见解析 (2)x2-3x+2=0 B)m的值为1或-是 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相 关知识点的掌握是解题的关键. 17/18 (1)根据“黄金方程"的定义，验证a+b+c是否等于0： (2)根据“黄金方程”的定义，得出a-3+c=0;再根据一元二次方程根的定义，即x=2 时方程ax2-3x+c=0成立，得出4a-6+c=0;联合上述两个方程，即可求出4、c的 值，最后得出该“黄金方程"的表达式： (3)解题思路与(2)基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与 、n相关的两个方程，为便于计算，用表示，可得出与m有关的一元二次方程，解出 的值即可 【详解】(1)解：在方程4x2-11x+7=0中，a=4,b=-11,c=7, .a+b+c=4+(-11)+7=0, 故方程4x2-11x+7=0是"黄金方程”. (2)解：：方程ax2-3x+c=0是“黄金方程”， .a-3+c=0, 2是此方程的一个根， ,将x=2代入方程ax2-3x+c=0,得4a-6+c=0, 得方程组(0计二。解得化二子 ∴.该方程为x2-3x+2=0. 故答案为：x2-3x+2=0. (3)解：，方程3x2-mx+n=0是“黄金方程”， .3-m+n=0, 又，是此方程的一个根， ∴.3m2-m2+n=0,即n=-2m2, 将n=-2m2代入3-m+n=0, 得一元二次方程-2m2-m+3=0,解得m=1或m=- 故m的值为1或- 18/18第二十五章一元二次方程 01讲一元二次方程的摄念 题型归纳 【知识点1一元二次方程的概念… 1】 【知识点2一元二次方程的一般形式… 1】 【知识点3一元二次方程的解 2】 【题型1.一元二次方程的辨别… 2】 【题型2.一元二次方程的一般式… 3】 【题型3.一元二次方程的解 3】 【题型4.一元二次方程解的估算… 4】 【题型5。由一元二次方程的解求参数…4】 【题型6.由一元二次方程的定义求参数… …5】 【巩固练习… 5】 知识清单 知迟点1一元二次方程的概念 1定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数（一元），且含有未知数的式子都是整式 未知数的最高迩数是2（二次），这样的方程叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ①是整式方程：②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 知识点2一元二次方程的一般形式 1.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0). 其中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 2.特殊形式：（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0) 1/7 (2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)： (3)当b-0且c-0时，得ax2=0(a≠0). 【提示】 ①a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是D,c可以为0： ②任何一个一元二次方程都可以化成一般形式： ③一元二次方程的各项都包含它前面的符号 知识点3一元二次方程的解 1定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的 解也叫做一元二次方程的根， ①一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的 实数根： ②在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中， 若a+b+c=0,则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根： 若a-b+c=0,则x=-1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根. ③判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之， 它就不是一元二次方程的解。 >题型专练 题型1.一元二次方程的辨别 【例1】下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.x2-3x+1=0 C.x2÷y=1 D.是=x 【变式1】下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.yitx=1 2/7 C.x(x2+1)=2 D.x(x+1)=1 【变式2】下列方程中：①x2-2x-1=0:②ax2+bx+c=0(a≠0)：③+3x-5=0: ④-x2=0:⑤(x-1)2+y2=2;⑥(x-1)(x-3)=x2.一元二次方程共有 个 题型2.一元二次方程的一般式 【例1】把一元二次方程x2-2(x-1)=3x化成一般形式，正确的是() A.x2-2x-1=0 B.x2-5x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2-X+2=0 【例2】将一元二次方程x2=4(x-1)+2化成一般形式后，一次项系数为 【变式1】一元二次方程x2-4x-4=-9+5x的一次项系数是() A.-4x B.-4 C.-9x D.-9 【变式2】将方程(x-3)2=15化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A.x2-6x+6=0 B.x2-6x-6=0 C.x2+6x-6=0 D.x2+6x+24=0 【变式3】一元二次方程5x2+3x=-3的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 【变式4】写出一个关于x的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程 可以是 题型3。一元二次方程的解 【例1】在下列方程中，x=1是方程的根的是() A.x2-2x+3=0 B.x2+2x+3=0 C.x2+2x-3=0 D.x2-2x-3=0 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是() A.x-2=0 B.x3-4x=0 C.x2-4=0 D.x-2=0.125 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025,则一元二 次方程a(x-1)2+bx+2=b必有一根为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【变式3】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为 一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程x2-ax-6=0 的两根之和为 3/7 x -2 -1 3 x2-ax 6 0 0 6 题型4，一元二次方程解的估算 【例1】根据下面的表格，估计方程(x+8)2一826=0的一个正数解x的大致范围为) 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 (x+8)2-826 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<X<20.9 【变式1】根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解x,则x 的整数部分是() 0 2 3 x2+12x-15 -15 2 13 30 A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】观察表格，一元二次方程x2-x-1.1=0的最精确的一个近似根是 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2-x-1.1 -0.99 -0.86 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 【变式3】探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表： 1 0 x2+3x-5=0 23 从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a,b分 别是 题型5.由一元二次方程的解求参数 【例1】若x=-1是关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+6=0的解，则k的值为() 4/7 A.-6 B.-3 C.3 D.6 【变式1】已知m是一元二次方程x2-4x+1=0的一个根，则2026-m2+4m的值为( A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 【变式2】若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a2+a+2024的值为（) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【变式3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的一个解是x=1,则2019-a b的值是一 题型6，由一元二次方程的定义求参数 【例1】若(3-mxm2-7-x+1=0是一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.3 C.±3 D.9 【变式1】若方程(m-2)x2-x=1是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠0 B.m≠2 C.m=1 D.m≠1 【变式2】若关于x的方程(m-3)xm-1山+2x-5=0是一元二次方程，则m= 【变式3】关于x的方程(m-2)xml+2+x-2=0是一元二次方程，则m= 巩固练习 1.(25-26九年级上湖北孝感期末)方程x2=一2x+9化为一元二次方程的一般形式后， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.1,-2,9B.1,2,-9 C.-1,2,9 D.1,2,9 2.(2026河南驻马店三模)已知关于x的一元二次方程(x+2)2+4-k=0有实数根，则k 的值可以是() A.-4 B.0 C.1 D.5 3.（25-26八年级下.浙江嘉兴.期末)若a是关于x的方程2x2-x一4=0的一个实根，则代 数式a2-+2026的值是() A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 4.(25-26八年级下·重庆期中)在下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2=1 B.x2=2+y C.2+x=月 0.=号 5.(25-26八年级下.安徽阜阳期中)若关于x的一元二次方程x2-mx-3=0的一个根是 5/7 x=1,则m的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.(2026贵州安顺.二模)若x=-1是方程x2+2=a的解，则a的值是() A.-1 B.3 C.-3 D.1 7.(2026江苏宿迁.二模)若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式a2+2a-上-2026值 a 是 8.(2026河北廊坊二模)如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一 个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式） ① ② ③ ④ 、1 、1 -2.3 -1.1 0.1 1.3 2.5 9.(25-26八年级下.北京顺义期中)若关于x的方程(m-1)xm-1-3x+4=0是一元二次 方程，则m应满足的条件是 10.(25-26九年级上，贵州毕节·期末)已知方程(m一1)xm+1+2x+1=0是关于x的一元 二次方程，则m的值是一： 11.(25-26九年级上广东揭阳·期末)已知m是一元二次方程x2+4x-2=0的一个根，则 (m+5)(1-m)的值为 12.(2025河南郑州.一模)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0, 那么我们称这个方程为“凤凰方程”.， (1)判断一元二次方程2x2-4x-6=0是否为凤凰方程，说明理由. (2)已知x2-mx+5=0是关于x的凤凰方程，求m的值. 13.(25-26九年级上湖南株洲期末)已知a为方程2x2-3x+1=0的一个根，求代数式 (a+1)(a-1)+3a(a-2)的值. 6/7 14.(25-26九年级上广东东莞期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)满足：Q+b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程4x2-11x+7=0是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知ax2-3x+c=0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄 金方程”是： (3)已知3x2-mx+n=0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值. 7/7 第二十五章 一元二次方程 01讲 一元二次方程的概念 题型归纳 【知识点1 一元二次方程的概念 1】 【知识点2 一元二次方程的一般形式 1】 【知识点3 一元二次方程的解 2】 【题型1. 一元二次方程的辨别 2】 【题型2. 一元二次方程的一般式 4】 【题型3. 一元二次方程的解 6】 【题型4. 一元二次方程解的估算 7】 【题型5. 由一元二次方程的解求参数 9】 【题型6. 由一元二次方程的定义求参数 11】 【巩固练习 12】 知识清单 知识点1 一元二次方程的概念 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数（一元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2（二次），这样的方程叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.特殊形式：（1）当b=0时，得()； （2）当c=0时，得()； （3）当b=0且c=0时,得(). 【提示】 ① 是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； ② 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； ③ 一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 知识点3 一元二次方程的解 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【提示】 ① 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根； ② 在一元二次方程中， 若，则是一元二次方程的一个根； 若，则是一元二次方程的一个根. ③ 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 题型专练 题型1. 一元二次方程的辨别 【例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 【变式1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 【变式2】下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，方程为整式方程． 【详解】解：①满足概念，是一元二次方程； ②满足概念，是一元二次方程； ③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程； ④满足概念，是一元二次方程； ⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程； ⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有3个． 题型2. 一元二次方程的一般式 【例1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 【例2】将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 【变式1】一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式（）即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为， 移项得， 合并常数项得， 故选：． 【变式3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 将方程化为标准形式后，识别二次项系数、一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】原方程移项得标准形式， 其中二次项系数为5，一次项系数为3，常数项为3， 因此系数之和为． 故答案为：11． 【变式4】写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，根据一元二次方程二次项系数为1和有一根为2的条件，通过设另一根为1，利用因式分解构造方程即可． 【详解】解：由于二次项系数为1，且有一根为，可设另一根为， 则方程为，展开得， 取，得， 故答案为：（答案不唯一）． 题型3. 一元二次方程的解 【例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【变式3】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 题型4. 一元二次方程解的估算 【例1】根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【变式1】根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围是解本题的关键． 通过表格数据，观察表达式值的变化，确定根所在区间，从而得到整数部分． 【详解】解：观察表格得到时，， 时，， 故方程的一个解在和之间， 故的整数部分为， 故选：B． 【变式2】观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 【变式3】探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 题型5. 由一元二次方程的解求参数 【例1】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的解， 将代入原方程得， ， 化简得， 整理得 解得． 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 【变式2】若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 【变式3】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【分析】将代入已知一元二次方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】 是一元二次方程的一个解， 将代入方程得 ， 整理得 ， ． 故答案为． 题型6. 由一元二次方程的定义求参数 【例1】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 【变式1】若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 【变式3】关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固练习 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．（2026·河南驻马店·三模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】首先将方程变形为，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∴ ∵该方程有实数根 ∴ ∴ ∴的值可以为5． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，根据定义逐一判断选项即可. 【详解】解：∵一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程， 对各选项逐一判断： A. ，满足所有条件，是一元二次方程； B. ，含有和两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程； C. ，分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程； D. ，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次方程. 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 6．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 7．（2026·江苏宿迁·二模）若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 8．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先得到②段包含两个整数和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 【详解】解：由数轴可知②段包含两个整数和0， 由题意得，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是（答案不唯一）． 9．（25-26八年级下·北京顺义·期中）若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 10．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 11．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 12．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 14．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 01讲 一元二次方程的概念 题型归纳 【知识点1 一元二次方程的概念 1】 【知识点2 一元二次方程的一般形式 1】 【知识点3 一元二次方程的解 2】 【题型1. 一元二次方程的辨别 2】 【题型2. 一元二次方程的一般式 3】 【题型3. 一元二次方程的解 3】 【题型4. 一元二次方程解的估算 4】 【题型5. 由一元二次方程的解求参数 4】 【题型6. 由一元二次方程的定义求参数 5】 【巩固练习 5】 知识清单 知识点1 一元二次方程的概念 1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数（一元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2（二次），这样的方程叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.特殊形式：（1）当b=0时，得()； （2）当c=0时，得()； （3）当b=0且c=0时,得(). 【提示】 ① 是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； ② 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； ③ 一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 知识点3 一元二次方程的解 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. ① 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根； ② 在一元二次方程中， 若，则是一元二次方程的一个根； 若，则是一元二次方程的一个根. ③ 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 题型专练 题型1. 一元二次方程的辨别 【例1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个． 题型2. 一元二次方程的一般式 【例1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【变式1】一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项之和是_______． 【变式4】写出一个关于的一元二次方程，使其二次项系数为1，有一根为2，则这个方程可以是________． 题型3. 一元二次方程的解 【例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式3】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 题型4. 一元二次方程解的估算 【例1】根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【变式1】根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【变式3】探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 题型5. 由一元二次方程的解求参数 【例1】若是关于x的一元二次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式3】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 题型6. 由一元二次方程的定义求参数 【例1】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式1】若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则________． 【变式3】关于x的方程是一元二次方程，则________． 巩固练习 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2026·河南驻马店·三模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．5 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 7．（2026·江苏宿迁·二模）若a是方程的根，则代数式值是_________． 8．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 9．（25-26八年级下·北京顺义·期中）若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 10．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 11．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 12．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 13．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 14．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $