专题10等可能条件下的概率精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦等可能条件下的概率核心知识点，从古典概型判定（有限结果、等可能性、互斥无重叠）切入，系统梳理概率公式、列举法（直接列举、列表、树状图）、几何概率、频率定义、游戏公平性及放回与不放回试验区分，构建从概念到方法再到应用的递进学习支架。 该资料亮点在于标注高频失分点（如忽略等可能性），按难度星级分类12类题型并附解题思路，结合转盘、七巧板等生活实例，培养学生数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言（模型意识、应用意识），课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺强化练习。

专题10等可能条件下的概率精讲学案 1. 等可能试验判定条件 试验所有结果是有限个、每一个基本事件发生的可能性大小完全相等、全部结果互斥无重叠，同时满足三点才属于古典概型（等可能概率模型），不满足则不能用列举法计算概率。 2. 概率基础公式 P(A)=，取值范围0 P(A)1；必然事件概率P=1，不可能事件概率P=0，随机事件概率介于0到1之间。 3. 直接列举法（枚举法）适用场景 基本事件数量较少时，直接逐条写出所有结果，数出符合条件事件数量，代入概率公式计算；适用于单次抛掷、单次抽取、单次转盘试验。 4. 列表法解题适用场景 适用于两步独立随机试验（先后摸球、两次掷骰子、先后抽卡片），横向、纵向分别表示两次试验所有结果，表格格子为全部等可能结果，直接数有效格子数量算概率，避免结果遗漏、重复。 5. 树状图法核心优势 可用于两步、三步及以上多步骤概率问题，从起点逐层分支画出每一步所有可能情况，完整罗列全部基本事件，是多阶段概率题型首选解题方法，做到不重不漏统计事件数。 6. 几何型概率（面积概率）计算逻辑 试验结果均匀分布在几何图形（转盘、方格、区域）内，概率等于目标区域面积÷整体图形总面积；均分转盘可直接用扇形份数之比替代面积比值简化计算。 7. 概率的频率定义 大量重复同一试验时，事件发生的频率会在某个固定常数附近稳定摆动，这个常数就是事件的理论概率；试验次数越多，频率越贴近真实概率，可用频率估算未知概率。 8. 游戏公平性判断依据 分别算出游戏双方获胜的概率，双方获胜概率相等则游戏公平；概率不相等，游戏不公平；若要求修改游戏规则，通过调整得分规则、增减试验道具，让双方获胜概率一致即可。 9. 放回试验与不放回试验区分关键点 放回抽样：前后两次试验道具总数、种类不变，两次试验相互独立；不放回抽样：第二次总数量减少，可用列表、树状图明确区分两种模型，是计算高频易错点。 （课堂着重标注，学生高频失分） 1. 判断古典概型时忽略“等可能性”，直接套用公式计算概率（如骰子质地不均匀、转盘不等分直接计算）。 2. 列表、画树状图时混淆放回、不放回抽样模型，造成基本事件总数统计错误。 3. 多步骤试验只列举部分结果，出现事件重复、遗漏，分子分母计数出错。 4. 几何概率直接用线段长度、圆心角度数代替面积计算，公式使用错误。 5. 判断游戏公平只对比获胜次数，不计算概率直接下结论，答题逻辑不完整扣分。 6. 混淆频率与概率：单次、少量试验的频率直接等同于事件固定概率。 题型 考察方向 难度 题型一 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型二 根据概率公式计算概率 ★★ 题型三 根据概率作判断 ★★ 题型四 已知概率求数量 ★★★ 题型五 几何概率 ★★★ 题型六 列举法求概率 ★★ 题型七 列表法或树状图法求概率 ★★★ 题型八 游戏的公平性 ★★★ 题型九 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★ 题型十 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型十一 概率在比赛中的应用 ★★★ 题型十二 概率的其他应用 ★★★ 拔高题 解答题5题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：列举随机实验的所有可能结果 解题思路： ①先分清是一步试验还是多步试验； ②一步试验：有序逐条写出全部基本结果，做到不重复、不遗漏； ③两步及以上试验：区分先后顺序，有序写出结果，（红，白）和（白，红）算作两种不同结果； ④区分放回与不放回：放回可以重复选取同一个物体，不放回不能重复选取同一个物体。 1．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 2．学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案________（按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要________． 3．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 题型二：根据概率公式计算概率 解题思路： ①先判定试验是等可能试验，满足结果有限、每种结果可能性相等； ②统计全部等可能结果总数n； ③统计事件A包含的结果个数m； ④代入公式P(A)=，最后将分数化为最简分数。 4．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 5．科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 6．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 7．有五张正面分别标有数，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程的解是正整数的概率为（     ） A． B． C． D． 题型三：根据概率作判断 解题思路： ①先计算出事件的理论概率； ②概率越接近1，事件发生的可能性越大；概率越接近0，事件发生的可能性越小； ③只有大量重复试验，频率才会稳定在概率附近，不能用少数几次试验的实际结果否定概率。 8．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 9．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 10．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 题型四：已知概率求数量 解题思路： ①设未知量为x； ②用含x的式子表示出符合条件的数量与总数量； ③把代数式代入概率公式，列出分式方程； ④解方程后检验，结果必须是正整数，舍去不符合实际意义的解。 11．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 12．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 13．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：几何概率 解题思路： ①确认所有结果均匀分布在几何区域内； ②分别计算目标区域的度量（面积、圆心角、线段长度）和整个区域的度量； ③概率=目标区域度量÷整个区域的度量； ④等分转盘可直接用扇形份数之比代替面积之比，简化计算。 14．如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 15．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 16．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 17．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 题型六：列举法求概率 解题思路： ①适用场景：只进行一次操作的一步随机试验； ②逐条枚举所有等可能结果，统计总结果数与符合条件的结果数； ③代入概率公式计算并约分。 18．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 19．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 20．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 题型七：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①两步试验优先用列表法，两步及以上多步试验优先用树状图； ②画图时严格区分放回与不放回，保证所有结果等可能； ③数出总结果个数n和符合条件的结果个数m； ④代入概率公式求值，避免重复、漏数结果。 21．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 22．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 23．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 24．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 题型八：游戏的公平性 解题思路： ①分别算出双方获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平； ③修改规则时，可调整得分分值，让双方获胜得分期望值相等。 25．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 26．A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”． 27．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（    ） A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2） 题型九：利用概率计算随机事件发生的平均次数 解题思路： ①先求出单次试验中该事件发生的概率P； ②总试验次数 × 单次发生概率 = 事件发生的平均次数； ③列式计算并整理结果。 28．已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为_______次． 29．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 30．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型十：概率在转盘抽奖中的应用 解题思路： ①先算出每一个奖项对应的扇形占整个转盘的比例，即对应奖项的中奖概率； ②结合奖项奖金，可计算平均收益； ③比较不同转盘各奖项概率，判断中奖机会大小。 31．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 32．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 33．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 题型十一：概率在比赛中的应用 解题思路： ①把每一局比赛的胜负转化为等可能结果； ②用树状图列举多局比赛所有胜负组合； ③统计选手获胜的所有情况，算出各自获胜概率； ④根据概率大小预判比赛胜负可能性。 34．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 35．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 36．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型十二：概率的其他应用 解题思路： ①把实际问题转化为古典概型或几何概型； ②先梳理所有等可能的基本事件，做到不重不漏； ③套用对应方法求出事件概率； ④结合概率数值，对实际问题作出合理分析与决策。 37．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 38．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 39．小明所在的班有名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作．请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同． 解答题 1．盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 2．为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次游戏所用电子转盘被均匀划分为8个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8个区域分别标注有：剪纸、皮影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则对双方公平 3．小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 4．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 5．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10等可能条件下的概率精讲学案 1. 等可能试验判定条件 试验所有结果是有限个、每一个基本事件发生的可能性大小完全相等、全部结果互斥无重叠，同时满足三点才属于古典概型（等可能概率模型），不满足则不能用列举法计算概率。 2. 概率基础公式 P(A)=，取值范围0 P(A)1；必然事件概率P=1，不可能事件概率P=0，随机事件概率介于0到1之间。 3. 直接列举法（枚举法）适用场景 基本事件数量较少时，直接逐条写出所有结果，数出符合条件事件数量，代入概率公式计算；适用于单次抛掷、单次抽取、单次转盘试验。 4. 列表法解题适用场景 适用于两步独立随机试验（先后摸球、两次掷骰子、先后抽卡片），横向、纵向分别表示两次试验所有结果，表格格子为全部等可能结果，直接数有效格子数量算概率，避免结果遗漏、重复。 5. 树状图法核心优势 可用于两步、三步及以上多步骤概率问题，从起点逐层分支画出每一步所有可能情况，完整罗列全部基本事件，是多阶段概率题型首选解题方法，做到不重不漏统计事件数。 6. 几何型概率（面积概率）计算逻辑 试验结果均匀分布在几何图形（转盘、方格、区域）内，概率等于目标区域面积÷整体图形总面积；均分转盘可直接用扇形份数之比替代面积比值简化计算。 7. 概率的频率定义 大量重复同一试验时，事件发生的频率会在某个固定常数附近稳定摆动，这个常数就是事件的理论概率；试验次数越多，频率越贴近真实概率，可用频率估算未知概率。 8. 游戏公平性判断依据 分别算出游戏双方获胜的概率，双方获胜概率相等则游戏公平；概率不相等，游戏不公平；若要求修改游戏规则，通过调整得分规则、增减试验道具，让双方获胜概率一致即可。 9. 放回试验与不放回试验区分关键点 放回抽样：前后两次试验道具总数、种类不变，两次试验相互独立；不放回抽样：第二次总数量减少，可用列表、树状图明确区分两种模型，是计算高频易错点。 （课堂着重标注，学生高频失分） 1. 判断古典概型时忽略“等可能性”，直接套用公式计算概率（如骰子质地不均匀、转盘不等分直接计算）。 2. 列表、画树状图时混淆放回、不放回抽样模型，造成基本事件总数统计错误。 3. 多步骤试验只列举部分结果，出现事件重复、遗漏，分子分母计数出错。 4. 几何概率直接用线段长度、圆心角度数代替面积计算，公式使用错误。 5. 判断游戏公平只对比获胜次数，不计算概率直接下结论，答题逻辑不完整扣分。 6. 混淆频率与概率：单次、少量试验的频率直接等同于事件固定概率。 题型 考察方向 难度 题型一 列举随机实验的所有可能结果 ★★ 题型二 根据概率公式计算概率 ★★ 题型三 根据概率作判断 ★★ 题型四 已知概率求数量 ★★★ 题型五 几何概率 ★★★ 题型六 列举法求概率 ★★ 题型七 列表法或树状图法求概率 ★★★ 题型八 游戏的公平性 ★★★ 题型九 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★ 题型十 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型十一 概率在比赛中的应用 ★★★ 题型十二 概率的其他应用 ★★★ 拔高题 解答题5题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：列举随机实验的所有可能结果 解题思路： ①先分清是一步试验还是多步试验； ②一步试验：有序逐条写出全部基本结果，做到不重复、不遗漏； ③两步及以上试验：区分先后顺序，有序写出结果，（红，白）和（白，红）算作两种不同结果； ④区分放回与不放回：放回可以重复选取同一个物体，不放回不能重复选取同一个物体。 1．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口， 故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择， 分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径． 2．学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案________（按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要________． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【详解】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 3．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 题型二：根据概率公式计算概率 解题思路： ①先判定试验是等可能试验，满足结果有限、每种结果可能性相等； ②统计全部等可能结果总数n； ③统计事件A包含的结果个数m； ④代入公式P(A)=，最后将分数化为最简分数。 4．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵口袋中装有3个白球和4个黄球， ∴球的总个数为， ∴摸到白球的概率为. 5．科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种， ∴选到弱酸性溶液的概率为． 6．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 【答案】 【分析】通过列举所有等可能结果，利用概率公式计算所求概率，概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：每辆汽车都有左转、直行、右转3种等可能的选择，三辆汽车的所有选择结果可通过树状图列举得到． ∵总共有种等可能的结果，三辆车都直行的结果只有1种， ∴三辆车直行的概率是． 7．有五张正面分别标有数，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程的解是正整数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先整理一元一次方程得到，再找出所有a的取值中，使得方程的解为正整数的a的个数，最后根据概率公式计算概率，得到正确选项． 【详解】∵ ， 展开得：， 移项合并同类项得：， a的所有等可能取值为，共5种， 逐个验证得： 当时，，不是正整数，不符合； 当时，方程无解，不符合； 当时，，是正整数，符合； 当时，，不是正整数，不符合； 当时，，是正整数，符合． 因此符合条件的结果共2种， 根据概率公式得使关于x的方程的解是正整数的概率为． 题型三：根据概率作判断 解题思路： ①先计算出事件的理论概率； ②概率越接近1，事件发生的可能性越大；概率越接近0，事件发生的可能性越小； ③只有大量重复试验，频率才会稳定在概率附近，不能用少数几次试验的实际结果否定概率。 8．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 【答案】D 【分析】分别求出各选项事件的概率，即可作答． 【详解】总计有球：（个）， 则摸到红球的概率为：， 则摸到白球的概率为：， 则摸到黄球的概率为：， 则摸到蓝球的概率为：， 经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大， 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 9．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断获胜概率大小． 【详解】解：根据垂线段最短可知是四条线段中最短的一条，即点离最近，故站在点投中的概率最大，获胜概率最大． 10．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 题型四：已知概率求数量 解题思路： ①设未知量为x； ②用含x的式子表示出符合条件的数量与总数量； ③把代数式代入概率公式，列出分式方程； ④解方程后检验，结果必须是正整数，舍去不符合实际意义的解。 11．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 12．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 13．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设涂上红色的小扇形的个数为个，根据概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设涂上红色的小扇形的个数为个， 由题意得：， 解得， 所以涂上红色的小扇形的个数为3个， 故选：C． 题型五：几何概率 解题思路： ①确认所有结果均匀分布在几何区域内； ②分别计算目标区域的度量（面积、圆心角、线段长度）和整个区域的度量； ③概率=目标区域度量÷整个区域的度量； ④等分转盘可直接用扇形份数之比代替面积之比，简化计算。 14．如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：指针落在红色区域的概率是：. 15．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 16．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，如图，可见卖油的技艺之高超，若铜钱直径，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆和正方形的面积，然后求出几何概率． 【详解】解：铜钱圆的面积为， 正方形的面积为， ∴油恰好落入孔中的概率是． 17．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 题型六：列举法求概率 解题思路： ①适用场景：只进行一次操作的一步随机试验； ②逐条枚举所有等可能结果，统计总结果数与符合条件的结果数； ③代入概率公式计算并约分。 18．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 19．五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 20．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 题型七：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①两步试验优先用列表法，两步及以上多步试验优先用树状图； ②画图时严格区分放回与不放回，保证所有结果等可能； ③数出总结果个数n和符合条件的结果个数m； ④代入概率公式求值，避免重复、漏数结果。 21．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 22．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 【答案】/ 【分析】根据分式定义确定能组成分式的条件，计算所有等可能结果数和符合条件的结果数，代入概率公式计算． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果， ∵分母中含有字母的式子是分式，和是常数，和是含字母的整式， ∴只有分母为或时，能组成分式，因此能组成分式的结果共种， ∴能组成分式的概率为． 23．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 24．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与取出的2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 白 白 红 红 白 白白 白红 白红 白 白白 白红 白红 红 红白 红白 红红 红 红白 红白 红红 ∵共有12种等可能的结果，取出的2个球的颜色不相同的有8种情况， ∴取出的2个球的颜色不相同的概率为． 题型八：游戏的公平性 解题思路： ①分别算出双方获胜的概率； ②若双方获胜概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平； ③修改规则时，可调整得分分值，让双方获胜得分期望值相等。 25．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是（    ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法评价 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式和游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，解题的关键是熟练掌握概率公式以及列举出所有的等可能情况． 两个骰子同时抛出，列举出所有可能情况，利用概率公式分别求出甲赢和乙赢的概率，再比较即可． 【详解】根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知，共有36种等可能的结果，其中出现两个5点的结果有1种，出现一个4点和一个6点的结果有2种， 甲赢的概率为，乙赢的概率为， 这个游戏对乙有利． 故选：C. 26．A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数"_____来表示这个“散度”． 【答案】覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一） 【分析】依题意设计出可以确定石子离散程度大小的方案即可． 【详解】解：如图，分别作圆覆盖5点，所作圆的最小半径即可作为“数”表示这个“散度”： 故答案为：覆盖5点的圆的最小半径． 【点睛】本题考查游戏规则的设定，是开放性题目，故答案不唯一，设定满足题目条件要求即可． 27．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（    ） A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2） 【答案】A 【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可． 【详解】解：A选项中6个连续的砖墙无论甲先拿几块对方都能拿到最后一块，后面的两个1块的砖墙需要拿两次，符合题意； B选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完， ∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意； C选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这6块连续墙砖的最后一块，然后拿3块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块；不符合题意； D选项同理B，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完， ∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查推理能力，根据游戏规则总结砖墙的变化规律是解题的关键． 题型九：利用概率计算随机事件发生的平均次数 解题思路： ①先求出单次试验中该事件发生的概率P； ②总试验次数 × 单次发生概率 = 事件发生的平均次数； ③列式计算并整理结果。 28．已知事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每1000次发生的次数约为_______次． 【答案】100 【分析】本题考查了概率的意义，先明确概率的意义，再用总试验次数乘以事件A发生的概率，即可得到平均每100次发生的次数． 【详解】解：∵事件A发生的概率为， ∴大量重复做这种试验事件A平均每1000次发生的次数是． 故答案为：100． 29．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 30．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型十：概率在转盘抽奖中的应用 解题思路： ①先算出每一个奖项对应的扇形占整个转盘的比例，即对应奖项的中奖概率； ②结合奖项奖金，可计算平均收益； ③比较不同转盘各奖项概率，判断中奖机会大小。 31．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 32．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 33．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 题型十一：概率在比赛中的应用 解题思路： ①把每一局比赛的胜负转化为等可能结果； ②用树状图列举多局比赛所有胜负组合； ③统计选手获胜的所有情况，算出各自获胜概率； ④根据概率大小预判比赛胜负可能性。 34．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 35．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 36．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 题型十二：概率的其他应用 解题思路： ①把实际问题转化为古典概型或几何概型； ②先梳理所有等可能的基本事件，做到不重不漏； ③套用对应方法求出事件概率； ④结合概率数值，对实际问题作出合理分析与决策。 37．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 38．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 39．小明所在的班有名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作．请你设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同． 【答案】可利用抽签法设计方案，具体为：将名同学编号，在张完全相同的纸条上分别写上对应的编号，放入不透明容器中搅匀后随机抽取，抽到编号对应的同学即为选中，每名同学被选中的概率均为，符合要求． 【分析】根据公平性和操作合理性原则设计方案即可． 【详解】解：已知班级共有名同学，若要让每名同学被选中的概率相等，只要设计的方案能保证每个同学被选中的机会均等即可，如抽签法、摇号法、随机数法等． 解答题 1．盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 2．为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次游戏所用电子转盘被均匀划分为8个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8个区域分别标注有：剪纸、皮影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则对双方公平 【答案】不公平． 理由如下： 因为转盘被等分成8个扇形，所以共有8种结果，且每种结果出现的可能性相同． 其中指针指向剪纸、皮影、晋剧、面塑的结果有四种，所以童童获胜的概率为； 其中指针指向刺绣、漆器、翼城花鼓的结果有三种，所以年年获胜的概率为； 因为，所以这个游戏不公平． 修改规则：指针指向剪纸、皮影、晋剧童童获胜；指向刺绣、漆器、翼城花鼓年年获胜． 【详解】略 3．小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，即可求解； （2）根据概率的意义，即可求解； （3）设阴影区域面积为S，设整个图案面积为，先求出内圆面积为，由（1）得：，再由，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为； （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为． 4．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) 解：游戏公平，理由为： 抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字比6大的有种，抽到所印数字比6小的有种， ∴抽到所印数字比6大的概率为；抽到所印数字比6小的概率为； 故小明和小亮到社区服务的可能性相同，游戏公平． 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）分别计算出小明和小亮到社区服务的概率，然后比较两概率的大小可判断此游戏是否公平． 【详解】（1）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到印有6的卡片的有种， ∴抽到印有6的卡片的概率为； （2）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字为偶数的有种， ∴抽到所印数字为偶数的概率为； （3）略 5．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $