专题06点与圆.直线与圆的位置关系精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦点与圆、直线与圆的位置关系核心知识点，从点与圆的d与r定量判定，到直线与圆的交点数量及d与r双重判定，再到切线判定（两种方法）、性质（辅助线构造直角）及切线长定理，构建递进式学习支架。 资料亮点在于直击7大失分点（如误用距离、证明步骤缺失），24类题型分星级难度，解题思路清晰（如切线证明分有/无公共点），结合磨豆腐设备等实例培养数学眼光与推理能力，课中助教师系统授课，课后学生可针对性练习查漏补缺。

专题06点与圆.直线与圆的位置关系精讲学案 点与圆三种位置关系定量判定 设圆半径r，点到圆心直线距离为d：d>r点在圆外；d=r点在圆上；d<r点在圆内；可正向判断点位，也可根据点位反向求解半径取值范围。 直线与圆三种位置关系双重判定 结合交点数量+圆心到直线垂直距离d对比半径r： ①相交：2个交点，d<r，直线称作割线； ②相切：1个交点（切点），d=r，直线称作切线； ③相离：无交点，d>r。 切线判定定理（证明切线两大固定方法） 定理内容：直线经过半径外端点，且垂直于这条半径，直线为圆的切线。 证明套路：①有明确公共点：连接圆心与公共点，证明连线和直线垂直；②无明确公共点：过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 切线性质定理（几何计算核心辅助线） 圆的切线垂直于经过切点的半径；题目出现切线，直接连接圆心、切点，直接构造90°直角，用于勾股定理、角度换算。 切线长定理 圆外一点向圆引出两条切线，两条切线长度相等；该点与圆心的连线，平分两条切线的夹角、平分圆心与两切点的圆心角。 拓展实操：过圆外一点作圆的两条切线尺规作图方法 以圆心和圆外点连线为直径作圆，与原圆交点即为切点，连接切点与外点得到切线。 （课堂着重强调，直击失分点，直白易懂） 1. 判断直线与圆位置关系时，误用直线上任意一点到圆心的线段长度，必须使用圆心到直线的垂线段长度d对比半径。 2. 书写切线证明步骤时，只写垂直于半径，或是只写直线过半径端点，两个条件缺一不可，步骤缺失直接扣除证明题步骤分。 3. 区分线段、直线与圆的交点情况：线段和圆只有一个交点，不代表线段所在直线与圆相切，容易直接判定为相切出错。 4. 使用切线性质解题时，习惯性遗漏“连接圆心与切点”这条关键辅助线，无法构造直角三角形，整道题无法推进。 5. 位置关系大小记反：相交记成d>r、相离记成d<r，直接导致取值范围、位置判断全部错误。 6. 切线长概念混淆：把圆上任意一点到外点的线段直接当成切线长，只有圆外点到切点的线段才是切线长。 7. 切线判定混用定义法：仅凭“一个交点”肉眼判断相切，几何证明题中不能直接用交点数量证明切线，必须用定理或者距离法证明。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★ 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★ 题型九 切线的应用 ★★ 题型十 有关切线的概念辨析 ★★ 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十二 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十三 切线的性质定理 ★★★ 题型十四 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十六 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十七 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十八 三角形内心有关应用 ★★★ 题型十九 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型二十 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型二十一 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十二 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十三 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型二十四 圆与函数的综合 ★★★★ 拔高题 解答题10题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：判断点与圆的位置关系 解题思路：先计算出点到圆心的距离d，再将d与半径r作大小对比；d>r→点在圆外，d=r→点在圆上，d<r→点在圆内。 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为______（写出一个即可）． 3．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 题型二：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路：根据点在圆内、圆上、圆外，写出距离与半径对应的不等关系式，解不等式，确定半径r的取值范围。 4．点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 6．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 题型三：点与圆上一点的最值问题 解题思路：连接定点和圆心，得到线段长L；圆上到定点最远的距离为L+r，最近距离为L-r，两个极值点都在两点连线与圆的交点上。 7．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 8．左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 9．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 题型四：判断直线和圆的位置关系 解题思路：过圆心向已知直线作垂线段，求出垂线段长度d；对比半径r：d>r直线与圆相离，d=r直线与圆相切，d<r直线与圆相交。 10．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 11．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 12．已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 题型五：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题思路：先算出圆心到直线的垂直距离d，再根据相交、相切、相离的条件列出r和d的不等式，解出半径的取值范围。 13．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 14．在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 15．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 题型六：由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题思路：结合半径数值，利用三种位置对应的数量关系：相切d=r、相交d<r、相离d>r，写出距离的取值范围。 16．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 17．直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______． 18．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 解题思路：分两种相切位置：圆心在直线两侧；先算出初始圆心到直线的距离，再分别算出两种相切位置下圆心的位置，最后计算前后圆心平移的长度。 19．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 20．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 题型八：求直线平移到与圆相切时运动的距离 解题思路：先求出圆心到原直线的距离，直线向圆靠近会出现左右（上下）两次相切，分别算出两次平移的线段长度，两个结果都要写全。 22．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 23．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 24．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 题型九：切线的应用 解题思路：题目给出切线，立刻连接圆心与切点，构造直角；再利用勾股定理、直角三角形两锐角互余，计算线段长度与角度。 25．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 26．如图，在矩形中，线段平分交边于点F，点E为边上一动点，连接，若在点E移动的过程中，点B关于所在直线的对称点有且只有一次落在线段上，则_____________． 27．如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 题型十：有关切线的概念辨析 解题思路：严格抓住定义：直线和圆有且只有1个公共点才是切线；区分“整条直线相切”和“线段只和圆有一个交点”，后者不能判定为直线相切。 28．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 29．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 30．如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 题型十一：判断或补全使直线为切线的条件 解题思路：对照切线判定的两个必要条件：①直线经过半径的外端点；②直线垂直于这条半径。缺哪一条就补哪一条，两个条件缺一不可。 31．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 32．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 33．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 题型十二：证明某直线是圆的切线 解题思路：①有明确公共点：连接圆心和公共点，证明这条半径和已知直线互相垂直；②没有公共点：过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。 34．如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 35．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 36．如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2． 嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．” 淇淇说：“图中的直线与圆相切．” 下列判断正确的是（    ）       A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 题型十三：切线的性质定理 解题思路：只要出现切线，就连接圆心与切点，得到90°直角；把角度、边长问题放到直角三角形中，用勾股定理或者互余角进行计算。 37．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 39．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十四：切线的性质和判定的综合应用 解题思路：先用判定方法证明直线是切线，再利用切线性质得到直角；结合三角形全等、勾股定理，完成线段与角度的连续推导。 40．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 41．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 42．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型十五：应用切线长定理求解 解题思路：圆外一点引圆的两条切线，两条切线长度相等；利用相等线段进行等量替换，简化三角形、四边形的周长计算。 43．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 44．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 45．如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 题型十六：应用切线长定理求证 解题思路：多次使用切线长相等，把多条分散的线段进行等量代换，完成线段相等、周长等量关系的证明。 46．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 47．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 48．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型十七：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：通用公式S=(a+b+c)r；直角三角形可简化为r=（c为斜边），代入边长直接求内切圆半径。 49．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 50．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 51．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十八：三角形内心有关应用 解题思路：内心是三条角平分线的交点，到三角形三边距离都相等；利用角平分线得到相等角，进行角度推导与边长计算。 52．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 53．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 54．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 题型十九：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：使用面积公式S= Cr（C为三角形周长，r为内切圆半径），变形得到r=，代入面积和周长求值。 55．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 56．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 57．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 题型二十：三角形内切圆与外接圆综合 解题思路：外心是三边垂直平分线交点，内心是角平分线交点；分开利用内外心的性质分别求出外接圆半径、内切圆半径，再进行综合计算。 58．正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是（    ） A． B． C． D．1 59．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 60．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 题型二十一：圆内知识综合 解题思路：整合垂径定理、圆周角定理、切线性质；先找到相等角和相等线段，再依靠勾股定理列出方程，求解未知边长。 61．三角形的外接圆： 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的_________． 2）这个三角形叫做这个圆的__________． 3）三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的________． 作图：三角形三边中垂线的交点． 性质：到三角形三个顶点的距离_______． 一个三角形的外接圆有_____个？ 一个圆的内接三角形有______个？ 62．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 63．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 题型二十二：圆与三角形的综合 解题思路：把切线、内心、外心的圆性质，和三角形全等、相似、勾股定理结合；分步推导角度，再列方程求解线段长。 64．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 65．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 66．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二十三：圆与四边形的综合 解题思路：结合圆内接四边形对角互补、切线长相等，搭配平行四边形、矩形、正方形的边角性质，完成线段与角度的等量转化。 67．已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 68．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 69．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二十四：圆与函数的综合 解题思路：把平面直角坐标系中的坐标转化为线段长度；求出圆心到直线的距离，利用相切条件d=r建立方程，求解函数中的字母参数。 70．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 71．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 72．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． 解答题 1．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 2．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 3．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 4．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 5．阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 6．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 7．如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 8．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 9．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 10．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06点与圆.直线与圆的位置关系精讲学案 点与圆三种位置关系定量判定 设圆半径r，点到圆心直线距离为d：d>r点在圆外；d=r点在圆上；d<r点在圆内；可正向判断点位，也可根据点位反向求解半径取值范围。 直线与圆三种位置关系双重判定 结合交点数量+圆心到直线垂直距离d对比半径r： ①相交：2个交点，d<r，直线称作割线； ②相切：1个交点（切点），d=r，直线称作切线； ③相离：无交点，d>r。 切线判定定理（证明切线两大固定方法） 定理内容：直线经过半径外端点，且垂直于这条半径，直线为圆的切线。 证明套路：①有明确公共点：连接圆心与公共点，证明连线和直线垂直；②无明确公共点：过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 切线性质定理（几何计算核心辅助线） 圆的切线垂直于经过切点的半径；题目出现切线，直接连接圆心、切点，直接构造90°直角，用于勾股定理、角度换算。 切线长定理 圆外一点向圆引出两条切线，两条切线长度相等；该点与圆心的连线，平分两条切线的夹角、平分圆心与两切点的圆心角。 拓展实操：过圆外一点作圆的两条切线尺规作图方法 以圆心和圆外点连线为直径作圆，与原圆交点即为切点，连接切点与外点得到切线。 （课堂着重强调，直击失分点，直白易懂） 1. 判断直线与圆位置关系时，误用直线上任意一点到圆心的线段长度，必须使用圆心到直线的垂线段长度d对比半径。 2. 书写切线证明步骤时，只写垂直于半径，或是只写直线过半径端点，两个条件缺一不可，步骤缺失直接扣除证明题步骤分。 3. 区分线段、直线与圆的交点情况：线段和圆只有一个交点，不代表线段所在直线与圆相切，容易直接判定为相切出错。 4. 使用切线性质解题时，习惯性遗漏“连接圆心与切点”这条关键辅助线，无法构造直角三角形，整道题无法推进。 5. 位置关系大小记反：相交记成d>r、相离记成d<r，直接导致取值范围、位置判断全部错误。 6. 切线长概念混淆：把圆上任意一点到外点的线段直接当成切线长，只有圆外点到切点的线段才是切线长。 7. 切线判定混用定义法：仅凭“一个交点”肉眼判断相切，几何证明题中不能直接用交点数量证明切线，必须用定理或者距离法证明。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★ 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★ 题型九 切线的应用 ★★ 题型十 有关切线的概念辨析 ★★ 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十二 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十三 切线的性质定理 ★★★ 题型十四 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十六 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十七 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十八 三角形内心有关应用 ★★★ 题型十九 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型二十 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型二十一 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十二 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十三 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型二十四 圆与函数的综合 ★★★★ 拔高题 解答题10题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：判断点与圆的位置关系 解题思路：先计算出点到圆心的距离d，再将d与半径r作大小对比；d>r→点在圆外，d=r→点在圆上，d<r→点在圆内。 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为______（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为2，点在外， ∴， ∴的长可以是4． 故答案为：4（答案不唯一）． 3．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 题型二：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路：根据点在圆内、圆上、圆外，写出距离与半径对应的不等关系式，解不等式，确定半径r的取值范围。 4．点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 【答案】 5 12 【分析】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识． （1）设的半径为，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案； （2）连接，由切线的性质可得，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）设的半径为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5； （2）如图，连接， 与相切于点， ，，， ． 故答案为：12． 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 6．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 题型三：点与圆上一点的最值问题 解题思路：连接定点和圆心，得到线段长L；圆上到定点最远的距离为L+r，最近距离为L-r，两个极值点都在两点连线与圆的交点上。 7．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 8．左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【答案】 150 18000 【分析】连接，根据题意可得，则，由勾股定理可得，据此求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值，当有最小值时，有最小值， ∴的最大值为，的最小值为； ∴若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为． 9．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型四：判断直线和圆的位置关系 解题思路：过圆心向已知直线作垂线段，求出垂线段长度d；对比半径r：d>r直线与圆相离，d=r直线与圆相切，d<r直线与圆相交。 10．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 11．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 12．已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 【答案】相离 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 题型五：已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题思路：先算出圆心到直线的垂直距离d，再根据相交、相切、相离的条件列出r和d的不等式，解出半径的取值范围。 13．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 14．在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 15．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 题型六：由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题思路：结合半径数值，利用三种位置对应的数量关系：相切d=r、相交d<r、相离d>r，写出距离的取值范围。 16．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵ 直线与没有公共点， ∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r， ∵， ∴， 故选：D 17．直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______． 【答案】． 【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果． 【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求， 直线与轴、轴分别交于 和点， ∴当时，， ∴点坐标是（0，-2）， ∴当时，， ∴点坐标是（-4，0）， ∴，， ∴， 又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切， ∴,， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键． 18．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 解题思路：分两种相切位置：圆心在直线两侧；先算出初始圆心到直线的距离，再分别算出两种相切位置下圆心的位置，最后计算前后圆心平移的长度。 19．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 20．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 题型八：求直线平移到与圆相切时运动的距离 解题思路：先求出圆心到原直线的距离，直线向圆靠近会出现左右（上下）两次相切，分别算出两次平移的线段长度，两个结果都要写全。 22．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 23．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 24．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 题型九：切线的应用 解题思路：题目给出切线，立刻连接圆心与切点，构造直角；再利用勾股定理、直角三角形两锐角互余，计算线段长度与角度。 25．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 【答案】或/或 【分析】分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：∵直线，为直线上一动点， ∴与直线相切时，切点为， ∴， 当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示： （）； 当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示： （）； ∴与直线相切，OP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟练掌握切线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 26．如图，在矩形中，线段平分交边于点F，点E为边上一动点，连接，若在点E移动的过程中，点B关于所在直线的对称点有且只有一次落在线段上，则_____________． 【答案】：1 【分析】先找到点B关于AE所在直线的对称点H，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，以点A为圆心，AB为半径的圆与DF相切于点H，则点H为点B关于AE所在直线的对称点， ∴AB=AH，AH⊥DF， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠CDF=45°， ∴∠ADF=∠DAH=45°， ∴AH=DH， ∴AD=AH=AB， ∴BC：AB=：1， 故答案为：：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 【答案】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质得： ，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 当线段的长度为最大值时，线段的长度为． 题型十：有关切线的概念辨析 解题思路：严格抓住定义：直线和圆有且只有1个公共点才是切线；区分“整条直线相切”和“线段只和圆有一个交点”，后者不能判定为直线相切。 28．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 29．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 30．如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【答案】D 【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径． 【详解】解：连接OD，OC． ∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴DE是圆的切线．故A正确； ∴DE2=CE?AE 即：36=2AE ∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确； ∵AB是圆的直径． ∴∠ACB=90°， ∵DE垂直于AC的延长线于E． D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴四边形CFDE是矩形． ∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm． 在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确； 在直角△ABC中，AC=16，AB=20， 则∠ABC≠30°， 而D是弧BC的中点． ∴弧AC≠弧CD． 故D错误． 故选D． 题型十一：判断或补全使直线为切线的条件 解题思路：对照切线判定的两个必要条件：①直线经过半径的外端点；②直线垂直于这条半径。缺哪一条就补哪一条，两个条件缺一不可。 31．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 32．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 33．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 题型十二：证明某直线是圆的切线 解题思路：①有明确公共点：连接圆心和公共点，证明这条半径和已知直线互相垂直；②没有公共点：过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。 34．如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理和勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，进而确定角的度数．从而判断位置关系． 【详解】解：在中，，，， ∵，， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． ∴，． 又∵ 是⊙上一点，是⊙的半径， ∴ 与⊙相切． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理和勾股定理的逆定理，解题关键是通过勾股定理的逆定理判断出与垂直，进而根据切线的判定定理得出结论． 35．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 36．如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2． 嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．” 淇淇说：“图中的直线与圆相切．” 下列判断正确的是（    ）       A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，根据圆周角定理，切线的判定方法进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴图线段是圆的直径，故嘉嘉的说法正确； ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴直线与圆相切，故淇淇的说法正确； 综上可得：两人的说法都正确， 故选：． 题型十三：切线的性质定理 解题思路：只要出现切线，就连接圆心与切点，得到90°直角；把角度、边长问题放到直角三角形中，用勾股定理或者互余角进行计算。 37．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 38．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 39．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 题型十四：切线的性质和判定的综合应用 解题思路：先用判定方法证明直线是切线，再利用切线性质得到直角；结合三角形全等、勾股定理，完成线段与角度的连续推导。 40．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 41．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 42．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 题型十五：应用切线长定理求解 解题思路：圆外一点引圆的两条切线，两条切线长度相等；利用相等线段进行等量替换，简化三角形、四边形的周长计算。 43．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 44．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 45．如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 【答案】 12 18 【分析】根据切线的判定以及切线长定理解答即可． 【详解】解：在正方形中，，半圆是以为直径的半圆， ∴直线和直线都是半圆的切线． 又∵与是半圆的切线， ∴，，． 又∵，， ∴的周长 ， 的周长 ． 题型十六：应用切线长定理求证 解题思路：多次使用切线长相等，把多条分散的线段进行等量代换，完成线段相等、周长等量关系的证明。 46．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 47．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 48．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 题型十七：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：通用公式S=(a+b+c)r；直角三角形可简化为r=（c为斜边），代入边长直接求内切圆半径。 49．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 50．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 51．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 题型十八：三角形内心有关应用 解题思路：内心是三条角平分线的交点，到三角形三边距离都相等；利用角平分线得到相等角，进行角度推导与边长计算。 52．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，能熟记以上知识点是解此题的关键． 根据三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的内切圆与三角形的三边都相切，该选项说法正确，不符合题意； B、任何三角形都有唯一的内心（角平分线的交点），因此一个三角形有且只有一个内切圆，该选项说法正确，不符合题意； C、一个圆可以有无数个外切三角形（例如，通过改变与圆相切的直线位置，可以形成不同的三角形），该选项说法错误，符合题意； D、等边三角形的内心与外心重合，因此内切圆与外接圆是同心圆，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 53．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 54．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 题型十九：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：使用面积公式S= Cr（C为三角形周长，r为内切圆半径），变形得到r=，代入面积和周长求值。 55．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 56．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 57．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 题型二十：三角形内切圆与外接圆综合 解题思路：外心是三边垂直平分线交点，内心是角平分线交点；分开利用内外心的性质分别求出外接圆半径、内切圆半径，再进行综合计算。 58．正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据三角形的内切圆与外接圆的性质可直接进行求解． 【详解】解：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴等边三角形的外接圆与内切圆的圆心在同一个点上，即图中的点O， ∴OA为△ABC的外接圆的半径，OE为△ABC的内切圆的半径， ∴AD⊥BC，OE⊥AB， ∴∠BAD=∠CAD=30°， ∴， ∴正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与外接圆，熟练掌握三角形的内切圆与外接圆的性质是解题的关键． 59．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出直角三角形斜边的长度，再根据直角三角形内切圆与外接圆的性质分别计算内切圆半径与外接圆半径即可． 【详解】解：如图所示： 由内切圆性质可知，， ∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴由勾股定理得斜边长为， 则内切圆半径， 再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为． 60．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 题型二十一：圆内知识综合 解题思路：整合垂径定理、圆周角定理、切线性质；先找到相等角和相等线段，再依靠勾股定理列出方程，求解未知边长。 61．三角形的外接圆： 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的_________． 2）这个三角形叫做这个圆的__________． 3）三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的________． 作图：三角形三边中垂线的交点． 性质：到三角形三个顶点的距离_______． 一个三角形的外接圆有_____个？ 一个圆的内接三角形有______个？ 【答案】 外接圆 内接三角形 外心 相等 一 无数 【解析】略 62．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 63．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 题型二十二：圆与三角形的综合 解题思路：把切线、内心、外心的圆性质，和三角形全等、相似、勾股定理结合；分步推导角度，再列方程求解线段长。 64．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 65．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 题型二十三：圆与四边形的综合 解题思路：结合圆内接四边形对角互补、切线长相等，搭配平行四边形、矩形、正方形的边角性质，完成线段与角度的等量转化。 67．已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，连接，在直角中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得． 【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是， 则在直角中，，， ， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算． 68．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 69．如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆内姐四边形性质结合已知求出，从而由圆周角定理求得，，最后由直角三角形锐角互余可得结果． 【详解】解：连接， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理、直角三角形锐角互余；熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解题的关键． 题型二十四：圆与函数的综合 解题思路：把平面直角坐标系中的坐标转化为线段长度；求出圆心到直线的距离，利用相切条件d=r建立方程，求解函数中的字母参数。 70．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 71．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 72．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． 【答案】 【分析】中长度固定，面积随点到直线的距离变化而变化.先求出的长度和直线的解析式，再求出圆心到直线的距离，结合的半径得到圆上点到的最小距离和最大距离，最后根据三角形面积公式计算的取值范围． 【详解】设直线的解析式为，代入坐标得： ，解得， 即直线的解析式为， 过圆心作轴， 把代入中得， 点的坐标为， 已知 ， 设， ， ， ， 的半径， 圆上点到直线的距离的最小值为，最大值为， 由三角形面积公式，其中为点到直线的距离，代入得： 当时， 当时， 故的取值范围为． 解答题 1．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 2．【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，轴对称的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 3．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】(1)直线与相离． (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和半径的取值范围： 先依据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，再用等面积法求出直角三角形的高，通过直线与圆的位置关系，即可求解； 分类讨论：当半径为，，时，与交点的个数，即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：在中， ， 可得， ， 为直角三角形，且． 如图，过点作于点， 则的面积为：， 即， ． ， 直线与相离． （2）解：若线段与半径为的有唯一公共点， 如图所示：    ， 当时，与有两个交点， 当时，与有一个交点， 当时，与有一个交点， 综上所述：的取值范围是或． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合面积法求出点到直线的距离，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键． 4．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 5．阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． （1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：； （3）解：如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 6．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 7．如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1) 解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； (2) 证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定，熟练运用圆的相关定理和特殊四边形的判定方法是解答本题的关键． 8．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又∵， ∴ ∴； (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理的应用； （1）证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； （2）根据（1）可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 【详解】（1）略． （2）解：根据（1）可得 ， ， ； ∴， ，与相切，， ． 在中，， ∴ ∴， ， 在中，． 9．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 10．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $