专题09四分位数.箱线图与数据离散程度精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦四分位数、箱线图与数据离散程度核心知识点，系统梳理四分位数划分逻辑（排序、中位数Q2及Q1/Q3计算）、箱线图五数结构（最小值、Q1、Q2、Q3、最大值），以及极差、方差、标准差等离散程度度量方法，构建从数据整理到分析应用的完整学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如村超赛事得分、足球联赛队服尺码）培养数据意识，通过11种分层题型（基础到拔高）提升运算能力与推理意识，错误警示（如四分位数计算步骤、方差跳步）帮助规范思维。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过题型训练与解答题巩固，有效查漏补缺。

专题09四分位数.箱线图与数据离散程度精讲学案 四分位数划分逻辑 将原始数据从小到大排序，先算出整体中位数Q2，以中位数为界限把数列分为左右两部分，中位数不参与左右两组运算；左侧数据的中位数为下四分位数Q1，右侧数据的中位数为上四分位数Q3。三个四分位数把有序数据平均分为四段，每一段数据占整体25%，直观划分数据高低区间。 四分位距 公式：IQR=Q3-Q1，用来刻画中间半数数据的波动大小，不受最大、最小极端值影响，稳定性远超极差，常用来甄别数据异常值。 箱线图五数绘图结构 绘图必备五个关键值：最小值、Q1、Q2、Q3、最大值。矩形箱体左右端点对应上下四分位数，箱体内部竖线标记中位数，箱体向两侧延伸线段连接最值。可直接横向对比多组数据集中位置、波动大小、数据偏态，是统计综合题常考图表。  极差 公式：极差=最大值−最小值，计算简便，仅依靠两端极值判断数据波动范围，缺点是极易被极端值干扰，仅能粗略判断数据跨度。 方差（核心考点） 公式：s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 固定计算步骤：①求数据平均数；②计算单个数据与平均数差值；③差值平方；④求平方数平均值得到方差。 判定规则：两组平均数相近时，方差越大，数据波动剧烈、稳定性差；方差越小，数据分布平稳整齐。 标准差 为方差开算术平方根，计量单位和原始数据统一，实际描述数据波动时更贴合现实场景，稳定性判断规则和方差完全一致。 统计量选用逻辑（应用题得分关键） 需要规避极端值分析数据分布：选用四分位数、四分位距、箱线图； 快速粗略看数据跨度：选用极差； 平均数一致，对比数据稳定性、整齐度：选用方差、标准差。 1.求四分位数不先排序，直接截取数字计算，结果全部错误。 2.分割数据时把中位数划入左右分组，造成Q1、Q3计算错误。 3.混淆四分位距和极差公式，用最值之差计算四分位距。 4.方差计算跳步，忘记先求平均数，或是差值未平方直接运算。 5.两组平均数差距悬殊时，直接利用方差对比稳定性，结论无效。 6.绘制箱线图遗漏中位数标线、端点数值标注不全，图表要素缺失扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 求四分位数 ★★ 题型二 画箱线图 ★★★ 题型三 求方差 ★★ 题型四 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型五 根据方差判断稳定性 ★★ 题型六 运用方差做决策 ★★★ 题型七 求极差 ★ 题型八 已知极差求未知数据 ★★ 题型九 标准差 ★★ 题型十 求离差平方和 ★★ 题型十一 离差平方和的应用 ★★★ 拔高题 解答题6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求四分位数 解题思路：①将全部数据由小到大依次排序；②计算整体中位数Q2，中位数不纳入左右两侧数组；③左侧所有数据取中位数得到下四分位数Q1；④右侧所有数据取中位数得到上四分位数Q3；Q1、Q2、Q3将整体数据划分为四段，每段数据占比25%。 1．某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 2．已知某班数学素养测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为______． 3．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 题型二：画箱线图 解题思路：①算出五数：最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值；②绘制横向数轴标注刻度；③画出矩形箱体，左右端点对应Q1与Q3，箱体中间画竖线标记中位数；④从箱体左右两端分别作线段延伸至最小值、最大值，完成箱线图绘制。 4．下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 5．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 6．为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是(     ) A．这组数据的第一四分位数是 B．这组数据的第三四分位数是 C．这组数据的中位数是 D．这组数据的最小值是，最大值是 题型三：求方差 解题思路：①计算这组数据的平均数；②逐项计算每个数据与平均数的差值；③将全部差值进行平方运算；④把所有平方结果相加得到离差平方和；⑤用离差平方和除以数据总个数n，得到方差s2。 7．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 8．某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 9．若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 题型四：利用方差求未知数据的值 解题思路：①设未知数据为未知数，列出含有未知数的平均数表达式；②把平均数与未知数一同代入方差计算公式，列出方程；③化简方程求解未知数；④将解代回原式验算方差数值，舍去不符合题意的解。 10．已知数据A：1，2，3，；数据B：3，4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差小，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．2 D．0 11．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 12．为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 题型五：根据方差判断稳定性 解题思路：①前提条件：两组数据平均数相等或差值很小才可对比；②方差数值越大，数据波动幅度大，稳定性差；③方差数值越小，数据分布集中，波动小，稳定性强；④答题写明对比依据+稳定性结论。 13．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 14．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 15．某校在中秋佳节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的主题活动，结合中秋赏月、制饼的传统习俗，规定每个月饼的标准质量为150g．甲、乙两名同学各制作了5个月饼，质量统计如图所示．下列说法正确的是（   ） A．甲同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 B．乙同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 C．甲、乙两名同学做的月饼质量稳定性相同 D．无法比较稳定性 题型六：运用方差做决策 解题思路：①分别计算各组数据平均数与方差；②平均数更高，整体平均实力更强；③平均数接近时，选取方差更小的组别，稳定性更好；④结合题干场景，综合整体水平与稳定性给出明确决策结论。 16．粮食生产是河南的一张王牌，今天的河南，用全国的耕地，生产了全国的小麦、的粮食，每年调出原粮和制成品600亿斤以上．河南某县随机从甲、乙、丙、丁四个品种的小麦中各称量了10亩，每亩产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示．明年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的小麦品种进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 500 495 470 495 1.1 2.8 1.5 1.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 17．学校组织甲、乙、丙、丁四名运动员参加市运会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 /秒 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_______去参赛，更有把握取得优异成绩． 18．立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动，甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 242 239 242 242 方差 2.85 7.05 5.36 1.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型七：求极差 解题思路：①在数组中直接找出最大值和最小值；②套用公式：极差=最大值-最小值；③极差仅体现数据整体跨度，只受两个极值影响，仅做粗略波动判断。 19．一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（   ） A．12 B．9 C．7 D．8 20．已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 21．已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，则极差为________，方差为________． 22．某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（    ） 身高 人数 A．个， B．， C．， D．个， 题型八：已知极差求未知数据 解题思路：①设未知数，结合极差公式列式；②分两种情况讨论：未知数为整组最大值、未知数为整组最小值；③分别计算取值；④把结果放入原数据验证最值关系，剔除不合理答案。 23．中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 24．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 25．下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型九：标准差 解题思路：①先完整算出该组数据的方差；②对方差结果作算术平方根运算，得到标准差；③标准差单位和原始数据单位一致，稳定性判断规则和方差完全相同。 26．数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为______． 27．某校有甲、乙两个合唱队，两队队员的平均身高都为，标准差分别是、，且，则两个队的队员的身高较整齐的是（    ） A．甲队 B．两队一样整齐 C．乙队 D．不能确定 28．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 29．如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 题型十：求离差平方和 解题思路：①先求解数据的平均数；②逐个计算单个数据减去平均数的离差；③每一个离差单独平方；④把全部平方数值累加求和，最终结果为离差平方和，是计算方差的前置基础。 30．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 31．一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 32．甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 33．对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是（     ） A．使组内数据差异最小 B．使组内数据差异最大 C．使组内数据没有差异 D．使组间数据差异最小 题型十一：离差平方和的应用 解题思路：①相同平均数条件下，离差平方和总和越大，整体数据偏离平均值越明显，波动越大；②用于对比两组数据整体偏差总量、实验误差大小；③结合数值大小，说明数据整齐度、误差高低，完成数据分析结论。 34．某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 35．10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 36．已知甲、乙、丙、丁、戊个地区居民年人均可支配收入分别为，，，，（单位：万元）．若把这个地区分为两组，如表是种分法的组内离差平方和．根据居民年人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，最优的分组方法是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．{丁}，{丙，甲，乙，戊} B．{丁，丙}，{甲，乙，戊} C．{丁，丙，甲}，{乙，戊} D．{丁，丙，甲，乙}，{戊} 解答题 1．为了解八年级男生1分钟跳绳水平，某校从八（1）班和八（2）班各随机抽取了20名男生进行测试．相关数据（单位：次）如下： 八（2）班20名男生跳绳成绩如下： 85，90，90，95，100，105，105，110，110，115，120，120，120，125，130，130，135，140，145，150． 根据以上信息，回答下列问题： (1)根据八（1）班成绩箱线图，求该班抽取的20名男生跳绳成绩的最大值和最小值之差； (2)求八（2）班这组跳绳成绩的中位数与众数； (3)以这两个班抽取的样本为参考，学校要求设定一个跳绳次数作为优秀标准次数，使得每个班至少的男同学达到优秀，这个标准次数最高可以设为多少次？ 2．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 3．某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：185，191，190，192，196，198； 乙：183，195，198，185，195，196． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 方差 甲 192 191.5 乙 192 33.3 (1)填空：____，____； (2)从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由． 4．周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 5．科研人员选出5株不同的植物，在同等实验条件下，测量了它们的高度（单位：)，分别为13，15，18，20，22，将其分成和两组，求这种分组情况的组内离差平方和． 6．5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09四分位数.箱线图与数据离散程度精讲学案 四分位数划分逻辑 将原始数据从小到大排序，先算出整体中位数Q2，以中位数为界限把数列分为左右两部分，中位数不参与左右两组运算；左侧数据的中位数为下四分位数Q1，右侧数据的中位数为上四分位数Q3。三个四分位数把有序数据平均分为四段，每一段数据占整体25%，直观划分数据高低区间。 四分位距 公式：IQR=Q3-Q1，用来刻画中间半数数据的波动大小，不受最大、最小极端值影响，稳定性远超极差，常用来甄别数据异常值。 箱线图五数绘图结构 绘图必备五个关键值：最小值、Q1、Q2、Q3、最大值。矩形箱体左右端点对应上下四分位数，箱体内部竖线标记中位数，箱体向两侧延伸线段连接最值。可直接横向对比多组数据集中位置、波动大小、数据偏态，是统计综合题常考图表。  极差 公式：极差=最大值−最小值，计算简便，仅依靠两端极值判断数据波动范围，缺点是极易被极端值干扰，仅能粗略判断数据跨度。 方差（核心考点） 公式：s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 固定计算步骤：①求数据平均数；②计算单个数据与平均数差值；③差值平方；④求平方数平均值得到方差。 判定规则：两组平均数相近时，方差越大，数据波动剧烈、稳定性差；方差越小，数据分布平稳整齐。 标准差 为方差开算术平方根，计量单位和原始数据统一，实际描述数据波动时更贴合现实场景，稳定性判断规则和方差完全一致。 统计量选用逻辑（应用题得分关键） 需要规避极端值分析数据分布：选用四分位数、四分位距、箱线图； 快速粗略看数据跨度：选用极差； 平均数一致，对比数据稳定性、整齐度：选用方差、标准差。 1.求四分位数不先排序，直接截取数字计算，结果全部错误。 2.分割数据时把中位数划入左右分组，造成Q1、Q3计算错误。 3.混淆四分位距和极差公式，用最值之差计算四分位距。 4.方差计算跳步，忘记先求平均数，或是差值未平方直接运算。 5.两组平均数差距悬殊时，直接利用方差对比稳定性，结论无效。 6.绘制箱线图遗漏中位数标线、端点数值标注不全，图表要素缺失扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 求四分位数 ★★ 题型二 画箱线图 ★★★ 题型三 求方差 ★★ 题型四 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型五 根据方差判断稳定性 ★★ 题型六 运用方差做决策 ★★★ 题型七 求极差 ★ 题型八 已知极差求未知数据 ★★ 题型九 标准差 ★★ 题型十 求离差平方和 ★★ 题型十一 离差平方和的应用 ★★★ 拔高题 解答题6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求四分位数 解题思路：①将全部数据由小到大依次排序；②计算整体中位数Q2，中位数不纳入左右两侧数组；③左侧所有数据取中位数得到下四分位数Q1；④右侧所有数据取中位数得到上四分位数Q3；Q1、Q2、Q3将整体数据划分为四段，每段数据占比25%。 1．某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 【答案】A 【分析】解题思路为先将数据从小到大排序，再计算下四分位数的位置，根据分位数的计算规则得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序：， 数据个数， 方法一：，向上取整数为，即下四分位数为排序后的第个数据，是； 方法二：这组数据的中位数是第个数据，为，下四分位数为前三个数据的中位数，即为． 2．已知某班数学素养测试成绩（满分100分）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为______． 【答案】60 【详解】解：由箱线图可得：这组数据的下四分位数为. 3．2026年“闽超杯”福建省城市足球联赛正如火如荼进行，某市参赛足球队22名队员的队服尺码统计如下，其下四分位数是（    ） 队服尺码（cm） 170 175 180 185 190 对应人数（人） 2 7 6 4 3 A．185 B．180 C．175 D．170 【答案】C 【详解】解：方法一：∵总共有个数据，下四分位数对应分位数， ∴下四分位数位置， ∵不是整数， ∴根据规则向上取整，得下四分位数是排序后的第个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为； 方法二：∵总共有个数据， ∴前半部分共个数据，，向上取整为6， ∴前半部分的中位数为第6个数据， 将数据从小到大排列，前个数据为，接下来个数据为，即第到第个数据都是， ∴第个数据为， 即下四分位数为． 题型二：画箱线图 解题思路：①算出五数：最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值；②绘制横向数轴标注刻度；③画出矩形箱体，左右端点对应Q1与Q3，箱体中间画竖线标记中位数；④从箱体左右两端分别作线段延伸至最小值、最大值，完成箱线图绘制。 4．下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查箱线图的基本概念，只需明确箱线图能体现的统计量，即可判断选项． 【详解】解：∵箱线图由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量绘制得到， ∴可以直接从箱线图中获得中位数、最大值、最小值，众数是一组数据中出现次数最多的数， 箱线图无法体现数据出现的次数，因此不能直接从箱线图中得到众数， 故选：A． 5．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 【答案】80 【详解】解：由箱线图可知，第一四分位数为80. 6．为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是(     ) A．这组数据的第一四分位数是 B．这组数据的第三四分位数是 C．这组数据的中位数是 D．这组数据的最小值是，最大值是 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是，A选项错误； 这组数据的第三四分位数是，B选项错误； 这组数据的中位数是，C选项错误； 这组数据的最小值是，最大值是，D选项正确． 题型三：求方差 解题思路：①计算这组数据的平均数；②逐项计算每个数据与平均数的差值；③将全部差值进行平方运算；④把所有平方结果相加得到离差平方和；⑤用离差平方和除以数据总个数n，得到方差s2。 7．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 8．某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的定义计算结果． 【详解】解：首先整理六天的最高气温数据：，，，，，，共个数据， 计算这组数据的平均数：， 根据方差的定义，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入计算得： ． 9．若一组数据的平均数为10，方差为4，那么数据的平均数和方差分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当数据中每个数变为原数的倍再加时，新平均数为乘原平均数加，新方差为乘原方差，利用规律直接计算即可. 【详解】解：∵原数据的平均数为，方差为， ∴新数据的平均数为； 新数据的方差为. 题型四：利用方差求未知数据的值 解题思路：①设未知数据为未知数，列出含有未知数的平均数表达式；②把平均数与未知数一同代入方差计算公式，列出方程；③化简方程求解未知数；④将解代回原式验算方差数值，舍去不符合题意的解。 10．已知数据A：1，2，3，；数据B：3，4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差小，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据方差的意义知：数据：1，2，3，4及数据：0，1，2，3的方差与数据B的方差相同，分别计算当x=5和x=2时数据A的方差即可确定答案． 【详解】当x=4或x=0时，数据：1，2，3，4、数据：0，1，2，3及数据B的平均数分别为2.5，1.5及4.5，根据方差的计算公式可得这三组数据的方差相等，均为； 当x=5时，数据A的平均数为2.75，则方差为： 当x=2时，数据A的平均数为2，则方差为： 故正确的是C 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义． 11．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 【答案】 【分析】根据方差的定义，对比方差标准公式可得到这组数据的数据个数和平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解： 这组数据的平均数，数据个数 这组数据的总和为． 12．为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 题型五：根据方差判断稳定性 解题思路：①前提条件：两组数据平均数相等或差值很小才可对比；②方差数值越大，数据波动幅度大，稳定性差；③方差数值越小，数据分布集中，波动小，稳定性强；④答题写明对比依据+稳定性结论。 13．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均成绩相同时，比较方差大小即可判断成绩稳定性． 【详解】解：∵四人平均成绩均为8环， 又∵， ∴成绩最稳定的是丁． 14．如图是甲、乙两家快递公司一周的业务量的折线统计图．观察图形，若甲、乙两家公司这一周的业务量的方差分别是和，则__________（填“>”，“<”或“=”），可知业务量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两组数据的离散程度，根据方差的意义：方差越小，数据越稳定，即可得出结论． 【详解】解：由折线统计图可知，甲公司业务量的折线起伏较大，数据波动较大，乙公司业务量的折线起伏较小，数据波动较小． 因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据波动越大，方差越大，数据波动越小，方差越小． 所以． 因为乙公司业务量的方差较小，所以乙公司的业务量更稳定． 15．某校在中秋佳节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的主题活动，结合中秋赏月、制饼的传统习俗，规定每个月饼的标准质量为150g．甲、乙两名同学各制作了5个月饼，质量统计如图所示．下列说法正确的是（   ） A．甲同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 B．乙同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 C．甲、乙两名同学做的月饼质量稳定性相同 D．无法比较稳定性 【答案】B 【详解】解：观察统计图，可知乙同学的数据相对甲同学的数据的波动较小，所以乙同学做的月饼质量比较稳定． 题型六：运用方差做决策 解题思路：①分别计算各组数据平均数与方差；②平均数更高，整体平均实力更强；③平均数接近时，选取方差更小的组别，稳定性更好；④结合题干场景，综合整体水平与稳定性给出明确决策结论。 16．粮食生产是河南的一张王牌，今天的河南，用全国的耕地，生产了全国的小麦、的粮食，每年调出原粮和制成品600亿斤以上．河南某县随机从甲、乙、丙、丁四个品种的小麦中各称量了10亩，每亩产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示．明年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的小麦品种进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 500 495 470 495 1.1 2.8 1.5 1.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数和方差，掌握平均数和方差的意义是解题的关键． 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标； 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵从平均数可知：甲乙丁丙，从方差看，甲与丁的方差相等且最小， ∴甲品种产量既高又稳定； 故选A． 17．学校组织甲、乙、丙、丁四名运动员参加市运会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 /秒 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_______去参赛，更有把握取得优异成绩． 【答案】丙 【分析】要选出更有把握取得优异成绩的运动员，结合100米项目特点，先根据平均成绩判断整体成绩优劣，100米项目用时越短成绩越好，再根据方差判断成绩稳定性，方差越小成绩越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：在100米项目中，平均成绩越小，代表运动员整体成绩越好． 比较四名运动员的平均成绩，可得， 甲、丙的平均成绩小于乙、丁的平均成绩， 因此优先考虑甲、丙两人． 方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为，丙的方差为，，因此丙的成绩更稳定． 综上，甲、丙的平均成绩相同，但丙的成绩更稳定，应推选丙参赛． 18．立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动，甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 242 239 242 242 方差 2.85 7.05 5.36 1.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先筛选出平均成绩好的选手，再比较方差得到符合要求的人选． 【详解】解：∵ 乙的平均数为，小于甲、丙、丁的平均数， ∴ 乙平均成绩更低，先排除乙， ∵ 甲、丙、丁的平均数相同，平均成绩水平一致， 又∵ 三人的方差满足，丁的方差最小， ∴ 丁的发挥最稳定，满足成绩好且发挥稳定的要求， 因此应该选择丁． 题型七：求极差 解题思路：①在数组中直接找出最大值和最小值；②套用公式：极差=最大值-最小值；③极差仅体现数据整体跨度，只受两个极值影响，仅做粗略波动判断。 19．一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（   ） A．12 B．9 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查极差的定义，熟练掌握极差的定义是解题的关键，根据极差的定义：一组数据中最大数减去最小数的值，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得：这组数据中最大数为：，最小数为：3， ∴这组数据的极差为：， 故选：A． 20．已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 【答案】（答案不唯一，其中一个） 【分析】此题考查了极差，分情况讨论，当��是数据中最小的数时，当x是数据中最大的数时，当��是数据中既非最大也非最小的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：①当��是数据中最小的数时，，解得； ②当��是数据中最大的数时，解得； ③当��是数据中既非最大也非最小的数时，此时这组数据的极差为也符合题意， ∴此时整数可以是0或1． 故答案为：（其中一个）． 21．已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，则极差为________，方差为________． 【答案】 9 9 【分析】根据中位数的定义求得，再根据方差和极差的定义进行求解即可． 【详解】解：由这组数据的中位数为1，可得：， ∴这组数据中最大数为6，最小数为， ∴这组数据的极差为：， ∵这组数据的平均数为：， ∵方差为：， 故答案为：9；9． 【点睛】本题考查中位数的定义、方差和极差，熟练掌握中位数的定义、方差和极差的定义是解题的关键． 22．某仪仗队名队员的身高（单位：）如下：则这个队队员的身高的极差和众数分别是（    ） 身高 人数 A．个， B．， C．， D．个， 【答案】C 【分析】本题考查了极差和众数的定义，掌握极差和众数的定义是解答本题的关键． 根据极差和众数的定义解答即可． 【详解】解：极差是：， 出现了次，出现的次数最多，则众数是， 故选：C． 题型八：已知极差求未知数据 解题思路：①设未知数，结合极差公式列式；②分两种情况讨论：未知数为整组最大值、未知数为整组最小值；③分别计算取值；④把结果放入原数据验证最值关系，剔除不合理答案。 23．中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近5次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这5次考试数学成绩的（    ） A．平均数和中位数 B．方差或极差 C．众数或中位数 D．平均数或众数 【答案】B 【分析】根据方差、极差的意义即可解答． 【详解】解：老师最关注小明数学成绩的稳定性，由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差或极差． 故选：B． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数，离散程度的统计量有极差，方差，标准差，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 24．甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【详解】解：箱线图中，数据的波动越大，说明数据离散程度越高， 气温的极差（最高温与最低温的差值）越大． 观察图形可得：甲地气温的极差（整体跨度）大于乙地，气温分布更分散， 因此5月气温波动较大的是甲地． 25．下列命题中，真命题是（    ） ①若，则 ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则的值是6 ④已知点，在一次函数的图象上，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值即可求出y的值即可判断①；根据两直线的位置关系即可判断②；根据极差的定义即可判断③；根据一次函数的增减性即可判断④． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确； ③若一组数据2，4，，-1的极差为7，则或 则的值是6或-3，说法错误； ④一次函数中，则随增大而减小，而，则故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，两直线的位置关系，极差的定义，一次函数的增减性等等熟知相关知识是解题的关键． 题型九：标准差 解题思路：①先完整算出该组数据的方差；②对方差结果作算术平方根运算，得到标准差；③标准差单位和原始数据单位一致，稳定性判断规则和方差完全相同。 26．数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为______． 【答案】 【分析】本题考查求标准差，根据平均数求出的值，根据标准差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 27．某校有甲、乙两个合唱队，两队队员的平均身高都为，标准差分别是、，且，则两个队的队员的身高较整齐的是（    ） A．甲队 B．两队一样整齐 C．乙队 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据标准差的定义：方差的算术平方根，因此标准差越小，代表方差越小，即越稳定，由此求解即可． 【详解】解：∵＞， ∴＞， ∴乙队的队员的身高较整齐 故选C． 【点睛】本题主要考查了标准差，解题的关键在于能够熟练掌握标准差的定义． 28．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 29．如图，下列结论中，不正确的是（    ） A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大 C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大 【答案】D 【分析】观察折线统计图，比较两组数据的波动程度．波动越大，方差和标准差越大，稳定性越差；波动越小，方差和标准差越小，稳定性越好． 【详解】解：由图象可知，组数据的波动幅度明显大于组数据的波动幅度， 方差和标准差是衡量数据波动大小的量，波动越大，方差和标准差越大， 组数据的方差和标准差较大，组数据的方差和标准差较小， 数据波动越小越稳定， 组数据比较稳定， 结论A、B、C正确，D错误． 题型十：求离差平方和 解题思路：①先求解数据的平均数；②逐个计算单个数据减去平均数的离差；③每一个离差单独平方；④把全部平方数值累加求和，最终结果为离差平方和，是计算方差的前置基础。 30．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【答案】 【分析】根据离差平方和的分解规则，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，已知总离差平方和与组内离差平方和，作差即可得到组间离差平方和. 【详解】解：. 31．一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据离差的定义求出这组数据的平均数，再根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：∵数据与的离差为， ∴， 解得， 又∵数据，，，的平均数为， ∴， 整理得， 解得． 32．甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算结果． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 33．对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是（     ） A．使组内数据差异最小 B．使组内数据差异最大 C．使组内数据没有差异 D．使组间数据差异最小 【答案】A 【分析】离差平方和反映组内数据的差异程度，离差平方和越小，组内数据差异越小，据此可得答案． 【详解】解：∵离差平方和是衡量组内数据离散程度（即数据差异大小）的统计量，离差平方和的数值越小，说明组内数据的差异越小， ∴遵循“组内离差平方和最小”原则的目的是使组内数据差异最小． 题型十一：离差平方和的应用 解题思路：①相同平均数条件下，离差平方和总和越大，整体数据偏离平均值越明显，波动越大；②用于对比两组数据整体偏差总量、实验误差大小；③结合数值大小，说明数据整齐度、误差高低，完成数据分析结论。 34．某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 35．10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 【答案】方式3 【详解】解：根据分组合理性的判断规则，组内离差平方和越小，组内数据越集中，分组越合理． 比较三种分组方式的组内离差平方和大小可得：， 方式3的组内离差平方和最小，因此方式3分组较为合理． 36．已知甲、乙、丙、丁、戊个地区居民年人均可支配收入分别为，，，，（单位：万元）．若把这个地区分为两组，如表是种分法的组内离差平方和．根据居民年人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，最优的分组方法是（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A．{丁}，{丙，甲，乙，戊} B．{丁，丙}，{甲，乙，戊} C．{丁，丙，甲}，{乙，戊} D．{丁，丙，甲，乙}，{戊} 【答案】C 【分析】本题要求根据组内离差平方和最小的原则确定最优分组，只需比较4种分法的组内离差平方和，找出最小值对应的分组即可，先将数据排序对应各间隔的分组即可得到结论． 【详解】解：首先将5个地区的年人均可支配收入从小到大排序，得 ，对应顺序为丁，丙，甲，乙，戊． 排序后4个间隔依次对应选项A，B，C，D的4种分组． ∵ 4种分组的组内离差平方和分别为 ，，，， 可得 是其中的最小值， 对应第3个间隔，分组为{丁，丙，甲}，{乙，戊}， ∴ 最优分组为选项C． 解答题 1．为了解八年级男生1分钟跳绳水平，某校从八（1）班和八（2）班各随机抽取了20名男生进行测试．相关数据（单位：次）如下： 八（2）班20名男生跳绳成绩如下： 85，90，90，95，100，105，105，110，110，115，120，120，120，125，130，130，135，140，145，150． 根据以上信息，回答下列问题： (1)根据八（1）班成绩箱线图，求该班抽取的20名男生跳绳成绩的最大值和最小值之差； (2)求八（2）班这组跳绳成绩的中位数与众数； (3)以这两个班抽取的样本为参考，学校要求设定一个跳绳次数作为优秀标准次数，使得每个班至少的男同学达到优秀，这个标准次数最高可以设为多少次？ 【答案】(1)73 (2)中位数为次，众数为120次 (3)130次 【分析】（1）根据箱线图的信息可得答案； （2）根据中位数和众数的定义可得答案； （3）求出两个班级的第三四分位数即可得到答案． 【详解】（1）解：由箱线图可知，该班抽取的20名男生跳绳成绩的最大值为155，最小值为82， ∴最大值和最小值之差为； （2）解：八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩按照从小到大排序后，第10个数为115，第11个数为120， ∴八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩的中位数为（次）； ∵八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩中，120次的人数最多， ∴八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩的众数为120次； （3）解：， ∴八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩的第三四分位数为排序后（从小到大）第15个数和第16个数的平均数，即为次， 八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩排序后（从小到大）的后10个数为120，120，120，125，130，130，135，140，145，150，这10个数的中位数为次； 综上所述，八（2）班抽取的20名男生跳绳成绩的第三四分位数为130次 由箱线图可知，八（1）班抽取的20名男生跳绳成绩的第三四分位数为130次， ∴要使得每个班至少的男同学达到优秀，这个标准次数最高可以设为130次． 2．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【答案】(1)50 (2)49 (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【分析】（1）根据平均数求解公式列式求解即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）根据平均数和方差的意义分析判断，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）略 3．某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：185，191，190，192，196，198； 乙：183，195，198，185，195，196． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 方差 甲 192 191.5 乙 192 33.3 (1)填空：____，____； (2)从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)选择甲同学参赛． 理由：甲、乙两人的平均数相同，均为192． ，即甲的方差小于乙的方差， 甲同学的成绩更加稳定． ∴应选派甲同学参加比赛． 【分析】（1） 根据方差公式计算甲的方差；将乙的成绩从小到大排列后取中间两数的平均值求中位数． （2）平均数相同时，方差越小表示成绩越稳定，据此作出选择． 【详解】（1）解：甲的平均数，由方差公式： ． 将乙的成绩从小到大排列：183，185，195，195，196，198． 共个数据，中位数为第个与第个数据的平均值， ． （2）略 4．周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】(1)22 (2) 解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． (3)周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【详解】（1）解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． （2）略 （3）解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 5．科研人员选出5株不同的植物，在同等实验条件下，测量了它们的高度（单位：)，分别为13，15，18，20，22，将其分成和两组，求这种分组情况的组内离差平方和． 【答案】10 【分析】先分别计算两组数据的组内平均数，再计算每组每个数据与组平均数的差的平方和，将两组的平方和相加即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：第一组数据为13，15，第二组数据为18，20，22， ∴第一组平均数为：，第一组的组内离差平方和为：； 第二组平均数为：，第二组的组内离差平方和为：， ∴总的组内离差平方和为：． 6．5个城市冬季平均气温如下表： 城市 郑州 成都 南昌 广西 广州 平均气温 2 4 8 10 12 按气温由低到高的顺序，将它们分成两组共有4种方案，如下表： 方案 第一组 第二组 组内离差平方和 方案① {2} {4，8，10，12} 35 方案② {2，4} {8，10，12} ？ 方案③ {2，4，8} {10，12} 20.67 方案④ {2，4，8，10} {12} 40 (1)请计算出方案②的组内离差平方和． (2)为使得组内差异最小，应该选择方案____________． 【答案】(1) (2)② 【分析】（1）根据组内离差平方和的公式计算即可得出结果； （2）根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方案②的组内离差平方和为； （2）解：∵， ∴为使得组内之间差异最小，应该选择方案②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $