专题04圆的基本概念与圆的确定精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的基本概念与圆的确定”核心知识点，从圆的双重定义（动态旋转形成与静态点的集合）切入，系统梳理半径、弦、直径、弧等关键概念，递进讲解点与圆的位置关系判定，深入剖析确定圆的规律（一点、两点、不在同一直线上的三点）及三角形外接圆与外心的性质和位置规律，构建从基础概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于精准提炼高频易错点（如混淆圆与圆面、三点定圆前提等），通过13类分层题型（从基础概念辨析到拔高解答题）培养学生数学眼光（如摩天轮抽象圆的应用）和数学思维（外心坐标计算的推理），课中辅助教师针对性教学，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

专题04圆的基本概念与圆的确定精讲学案 圆的双重定义（基础核心） 动态定义：平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的封闭曲线叫做圆。 静态定义：圆是平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。 核心本质：圆心定位置、半径定大小，二者缺一不可。 圆的关键基础概念（选择填空高频） 半径：圆心到圆上任意一点的线段。 弦：连接圆上两点的线段；直径是圆中最长的弦。 直径：经过圆心的弦。 弧：圆上两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆。 点与圆的位置关系（必考判定） 点在圆内：点到圆心距离＜半径 点在圆上：点到圆心距离＝半径 点在圆外：点到圆心距离＞半径 确定圆的核心规律（本节重中之重） 一点：无数个圆（圆心任意） 两点：无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上 三点：不在同一直线上的三点，确定唯一一个圆 关键点：三点共线，无法确定圆 三角形外接圆 & 外心（核心考点） 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆。 2. 外心：三角形三边垂直平分线的交点。 3. 外心性质：到三角形三个顶点距离相等（等于外接圆半径）。 位置规律： 锐角三角形：外心在三角形内部 直角三角形：外心在斜边中点 钝角三角形：外心在三角形外部 （老师重点强调、学生高频丢分） 1. 混淆圆与圆面：圆只指圆周曲线，不包含内部区域。 2. 误以为“弦就是直径”：直径一定是弦，弦不一定是直径。 3. 记混三点定圆前提：必须强调不在同一直线上，少这句话直接扣分。 4. 两点定圆时，找不准圆心轨迹（垂直平分线）。 5. 外心概念混淆：外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点。 6. 直角三角形外接圆半径不会速算：R=斜边，极易遗忘。 7. 判断点与圆位置关系时，搞反距离与半径的大小关系。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★★ 题型五 求小圆绕图形一圈自转圈数 ★★ 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 题型七 确定圆心 ★★ 题型八 求能确定圆的个数 ★★ 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十二 由外心的位置判断三角形的形状 ★★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 拔高题 解答题7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路：紧扣定义判断：圆是圆周曲线；区分半径、弦、直径、弧、半圆；牢记：直径是最长弦、弦不一定是直径、半圆不是弧的全部。 1．将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 2．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 3．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，则，即可求解． 【详解】解：， ∴． ∵， ∴，， ∴． 题型二：求圆中弦的条数 解题思路：找出所有连接圆上两点的线段，直径属于弦，不重复、不漏数，逐条统计即可。 4．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路：圆内任意一点，过该点的直径就是最长弦，直接找直径长度即可。 7．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 8．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 9．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________ ． 【答案】 8 5或 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 10．如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，作于H．首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题； 【详解】解：连接、、，作于H．    ∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点，，P分别是，，的中点． ∴，，， ∴，， 当是直径时，的值最大，最大值为6， ∴的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路：已知半径/直径，直接套公式：周长 C=2 r，面积 S=r2，看清题目求周长还是面积。 11．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键．由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选：B． 12．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 13．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. 题型五：求小圆绕图形一圈自转圈数 解题思路：总路程=外围图形周长，自转圈数=外围总周长 ÷ 小圆周长，只算外围滚动距离，不包含内部。 14．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 15．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 16．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【答案】(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 题型六：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路：顶点在圆心、两边为半径的角是圆心角；同圆中可根据半径相等、角度等量代换简单计算。 17．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 18．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 19．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 20．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型七：确定圆心 解题思路：在圆上任意取两条弦，分别作弦的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为圆心。 21．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 22．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 23．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 题型八：求能确定圆的个数 解题思路：1点无数圆、2点无数圆（圆心在中垂线）、不共线3点唯一圆、共线3点不能定圆。 24．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 25．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 26．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 题型九：三角形外接圆的概念辨析 解题思路：过三角形三顶点的圆为外接圆；圆心是外心，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 27．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 28．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 29．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型十：求三角形外心坐标 解题思路：找两条边，分别求出两边垂直平分线解析式，联立求交点，交点坐标就是外心坐标。 30．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 设的外心P的坐标为，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出、，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵抛物线关于y轴对称， ∴的外心在y轴上， 设的外心P的坐标为，连接，则有， 对于二次函数，当时，， 当时， ∴ ∴， 则，， 在中，，即 解得：， ∴的外心P的坐标为， 故选：A． 31．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 32．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 33．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，推出，得到，点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，连接，，求出，设，求出，过点作，三角函数求出，设，得到只有时，最小为0，即最小为6．当时，即：时，最小，即可得到答案． 【详解】解：如图，是等边三角形， ，， 点、分别从、以相同的速度向、A运动， ， 在和中，， (SAS)， ， ， 点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，， ， 连接，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ，， 过点作， ， 在△中，，， ， ，， 设， ， 只有时，最小为0，即最小为6． 当时，即：时，最小， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型十一：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路：直角三角形：外接圆半径=斜边的一半；等腰、等边三角形利用垂直平分线、勾股定理求外接圆半径。 34．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 35．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 36．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 37．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于 和 的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，,故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆圆心就是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 题型十二：由外心的位置判断三角形的形状 解题思路：外心在内→锐角三角形；外心在斜边中点→直角三角形；外心在外→钝角三角形。 38．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得． 【详解】解：由三角形外心的性质可得： 钝角三角形的外心在其外部， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键． 39．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（    ） A．100° B．120° C．125° D．135° 【答案】C 【分析】利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案． 【详解】解：点为的外心，， ， ， 点为的内心， ， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键． 40．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型十三：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路：先判断三角形类型（锐、直、钝），再直接对应外心在：内部、斜边中点、外部。 41．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在量角器上对应的刻度为，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，所以点是外接圆的圆心，可得，所以可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点在量角器上对应的刻度为， ， 由图可知点是的中点， 点是外接圆的圆心， ， 点、、、四点共圆， ． 42．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 43．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 【答案】B 【分析】先利用格点找出的外接圆的圆心，再判断哪个点在的外接圆上即可． 【详解】解：如图，    由网格可知，点O是和垂直平分线的交点， 即点O是的外接圆的圆心， ， 点M在的外接圆上， ， 船处于位置B时，也一定无触礁危险， 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外心，勾股定理与网格问题等，解题的关键有两个，一是找出的外接圆的圆心，二是掌握同弧所对的圆周角相等． 解答题 1．如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【分析】连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出四个顶点到对角线交点的距离相等，再根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的圆的定义，即可证明四点共圆． 【详解】证明：如图，连接矩形的对角线、，交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴点、、、四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． 2．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 3．如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点即为这个圆的圆心． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求； （2）取格点E，F，作射线交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点O即为所求； 理由：取格点D，连接交于点O， 根据题意得：四边形是矩形， ∴，点O为的中点， ∴点O为的外心； （2）解：如图②中，点P即为所求． 理由：连接，由作法得：平分，点E到的距离为2 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 设点E到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， ∴点E到，的距离相等， ∴点E在的平分线上， ∴点P为，的平分线交点， 即点P为的内心． 5．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理是解题的关键； （1）连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，然后根据坐标系可进行求解； （2）连接，则即为的半径，然后根据勾股定理可进行求解； （3）连接，由题意易得，即，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，如图所示： 由坐标系可知：点M的坐标为； 故答案为； （2）解：连接，则即为的半径， ∵， ∴， 故答案为； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长度为； 故答案为． 6．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 7．“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则 °； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 【答案】（1）45 （2）点的高度为米 （3）写字楼的实际高度约为米 【分析】（1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个轿厢，因此可由求解； （2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为150米，半径为72米，因此点高度为78米，根据，，可得（米，即可求解； （3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则米，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，从而可求解． 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个轿厢， ， 故答案为：． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为米，半径为米， 点高度为米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得： ，， ∴，， ，即， 点的高度为：（米）， 答：写字楼的实际高度约为米． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查解直角三角形的实际应用，圆周角定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的基本概念与圆的确定精讲学案 圆的双重定义（基础核心） 动态定义：平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的封闭曲线叫做圆。 静态定义：圆是平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。 核心本质：圆心定位置、半径定大小，二者缺一不可。 圆的关键基础概念（选择填空高频） 半径：圆心到圆上任意一点的线段。 弦：连接圆上两点的线段；直径是圆中最长的弦。 直径：经过圆心的弦。 弧：圆上两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆。 点与圆的位置关系（必考判定） 点在圆内：点到圆心距离＜半径 点在圆上：点到圆心距离＝半径 点在圆外：点到圆心距离＞半径 确定圆的核心规律（本节重中之重） 一点：无数个圆（圆心任意） 两点：无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上 三点：不在同一直线上的三点，确定唯一一个圆 关键点：三点共线，无法确定圆 三角形外接圆 & 外心（核心考点） 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆。 2. 外心：三角形三边垂直平分线的交点。 3. 外心性质：到三角形三个顶点距离相等（等于外接圆半径）。 位置规律： 锐角三角形：外心在三角形内部 直角三角形：外心在斜边中点 钝角三角形：外心在三角形外部 （老师重点强调、学生高频丢分） 1. 混淆圆与圆面：圆只指圆周曲线，不包含内部区域。 2. 误以为“弦就是直径”：直径一定是弦，弦不一定是直径。 3. 记混三点定圆前提：必须强调不在同一直线上，少这句话直接扣分。 4. 两点定圆时，找不准圆心轨迹（垂直平分线）。 5. 外心概念混淆：外心是垂直平分线交点，不是角平分线交点。 6. 直角三角形外接圆半径不会速算：R=斜边，极易遗忘。 7. 判断点与圆位置关系时，搞反距离与半径的大小关系。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★★ 题型五 求小圆绕图形一圈自转圈数 ★★ 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 题型七 确定圆心 ★★ 题型八 求能确定圆的个数 ★★ 题型九 三角形外接圆的概念辨析 ★★ 题型十 求三角形外心坐标 ★★★ 题型十一 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十二 由外心的位置判断三角形的形状 ★★★ 题型十三 判断三角形外接圆的圆心位置 拔高题 解答题7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路：紧扣定义判断：圆是圆周曲线；区分半径、弦、直径、弧、半圆；牢记：直径是最长弦、弦不一定是直径、半圆不是弧的全部。 1．将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 3．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 题型二：求圆中弦的条数 解题思路：找出所有连接圆上两点的线段，直径属于弦，不重复、不漏数，逐条统计即可。 4．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路：圆内任意一点，过该点的直径就是最长弦，直接找直径长度即可。 7．外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 8．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________ ． 10．如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路：已知半径/直径，直接套公式：周长 C=2 r，面积 S=r2，看清题目求周长还是面积。 11．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 12．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 13．如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 题型五：求小圆绕图形一圈自转圈数 解题思路：总路程=外围图形周长，自转圈数=外围总周长 ÷ 小圆周长，只算外围滚动距离，不包含内部。 14．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 16．如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 题型六：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路：顶点在圆心、两边为半径的角是圆心角；同圆中可根据半径相等、角度等量代换简单计算。 17．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 18．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 19．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 20．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型七：确定圆心 解题思路：在圆上任意取两条弦，分别作弦的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为圆心。 21．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 22．如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 23．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 题型八：求能确定圆的个数 解题思路：1点无数圆、2点无数圆（圆心在中垂线）、不共线3点唯一圆、共线3点不能定圆。 24．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 26．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 题型九：三角形外接圆的概念辨析 解题思路：过三角形三顶点的圆为外接圆；圆心是外心，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 27．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 28．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 29．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 题型十：求三角形外心坐标 解题思路：找两条边，分别求出两边垂直平分线解析式，联立求交点，交点坐标就是外心坐标。 30．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的外心坐标为（    ） A． B． C． D． 31．如图，外接圆的圆心坐标为______． 32．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 题型十一：求特殊三角形外接圆的半径 解题思路：直角三角形：外接圆半径=斜边的一半；等腰、等边三角形利用垂直平分线、勾股定理求外接圆半径。 34．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 35．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 36．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 37．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为（    ）    A． B．2 C． D． 题型十二：由外心的位置判断三角形的形状 解题思路：外心在内→锐角三角形；外心在斜边中点→直角三角形；外心在外→钝角三角形。 38．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，那么这个三角形的形状是________． 39．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（    ） A．100° B．120° C．125° D．135° 40．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型十三：判断三角形外接圆的圆心位置 解题思路：先判断三角形类型（锐、直、钝），再直接对应外心在：内部、斜边中点、外部。 41．如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 43．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，当船航行到点的位置时，此时与两个灯塔间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（　　）    A．位置 B．位置 C．位置 D．位置 解答题 1．如图，四边形是矩形．求证：四点在同一个圆上． 2．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 3．如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 5．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 6．如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 7．“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则 °； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $