第3章 5.1 图形的位似 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以7个核心知识点为框架，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念识别到作图操作再到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|位似定义、中心、比与性质|选择填空题为主，如位似图形识别（题1-4）、中心判断（题5-8），强化概念辨析| |技能应用|位似作图与特征|作图题（题21-24），规范作图步骤，培养空间观念与操作能力| |综合拓展|位似与相似关系、实际应用|综合解答题（题25-28），结合坐标系与生活情境（如视力表题8），发展推理能力与应用意识|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 5 图形的位似 第1课时 图形的位似 ▌课时目标 1. 理解位似图形的定义，能准确识别位似中心，明确位似是相似的特殊形式，掌握位似比即相似比的本质。 2. 掌握位似图形的核心特征（对应边平行或在同一直线上、对应点连线交于一点），能利用位似性质进行简单的线段长度计算。 3. 能按给定位似比放大或缩小简单图形，规范作图步骤，体会位似变换在图形缩放中的应用价值。 ▌课时目录 知识点01：位似图形的定义 知识点02：位似中心的概念 知识点03：位似比（相似比）与位似图形的性质 知识点04：位似图形的特征 知识点05：位似图形与相似图形的关系 知识点06：利用位似放大或缩小图形 知识点07：位似图形的识别与判定 ▌知识点01：位似图形的定义 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于同一点，那么这两个图形叫做位似图形。该点是位似中心。位似图形首先是相似图形，其次满足“对应点连线共点”的附加条件。 例如：△ABC与△A'B'C'相似，且直线AA'、BB'、CC'都经过点O，则△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心。 1．（25-26九年级下·广西钦州·阶段检测）如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． ∴C符合题意． 2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 故选：． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． ▌知识点02：位似中心的概念 位似中心是位似图形对应点连线的交点，是位似变换的固定点。位似中心的位置有三种情况： 1. 在两个图形的同侧（如光源在外）； 2. 在两个图形之间（如投影在两图形中间）； 3. 在两个图形的异侧（如中心投影的放大与缩小）。 位似中心可以在图形外部、内部或顶点上，但必须是唯一确定的公共点。 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查求位似中心坐标，涉及正方形性质、图形与坐标、平行线性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记位似图形定义及位似中心的作法是解决问题的关键． 7．（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． ▌知识点03：位似比（相似比）与位似图形的性质 位似比即位似图形的相似比，是对应边的长度之比。若原图形上一点P与位似中心O的连线OP，在位似图形上对应点为P'，则位似比（或，取决于放大还是缩小）。 性质： 1. 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例）； 2. 对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3. 对应线段平行（或在同一直线上）。 9．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限．将顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点，则关于与的关系说法正确的是（    ）    A．与关于点位似，相似比为 B．与关于点位似，相似比为 C．与关于点位似，相似比为 D．与关于点位似，相似比为 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案． 【详解】解：∵将顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点，， ∴关于与的关系正确的是与关于原点位似，相似比为3：1． 故选：D． 11．（2026·江苏镇江·二模）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 12．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，若在网格中建立坐标系，点A的坐标为，已知与位似，坐标原点为位似心， 且位似比为，则点C的对应点的坐标为______. 【答案】 【分析】本题考查的是求解位似图形的对应点的坐标，熟练的画出已知图形关于原点的位似图形是解本题的关键，先画图，再根据在坐标系内的位置可得其坐标. 【详解】解：如图， ∴的对应点的坐标为, 故答案为： ▌知识点04：位似图形的特征 位似图形区别于一般相似图形的核心特征： 1. 对应点连线必须经过同一点（位似中心）； 2. 对应边互相平行（或在同一直线上）； 3. 对应角相等，且对应顶点的排列顺序一致（如顺时针或逆时针对应）。 反例：两个全等的正方形，若对应点连线不共点，则它们是相似图形但不是位似图形。 13．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·河北沧州·三模）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 15．（2026·浙江温州·三模）如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 16．（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【答案】9 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． ▌知识点05：位似图形与相似图形的关系 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 位似是相似的特殊情形，增加了“对应点连线共点”的约束条件。 例如：所有正方形都相似，但只有那些对应点连线交于一点的正方形才是位似图形。 17．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 18．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 19．（2026·山西阳泉·三模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 20．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． ▌知识点06：利用位似放大或缩小图形 已知图形F和位似中心O，按位似比k作位似图形F'的步骤： 1. 连接OA、OB、OC…（取图形F的关键顶点A、B、C…）； 2. 在射线OA上截取OA'＝k·OA（若k＞1为放大，0＜k＜1为缩小）； 3. 同理在OB、OC…上截取OB'＝k·OB，OC'＝k·OC…； 4. 顺次连接A'、B'、C'…，所得图形F'即为所求位似图形。 注意：若k为负值，则对应点在位似中心的另一侧，形成反向位似图形（初中阶段通常只考虑正向位似）。 21．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 22．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 23．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 24．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到； （2）解：以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，分别延长、、到点、、，使得、、，得到放大后的． ▌知识点07：位似图形的识别与判定 判定两个图形是否位似的步骤： 1. 先判断是否相似（对应角相等、对应边成比例）； 2. 若相似，再验证对应点连线是否交于同一点； 3. 若满足以上两点，则为位似图形，该交点为位似中心。 示例：判断四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是否位似。 首先验证∠A＝∠A'，∠B＝∠B'…且， 再检查直线AA'、BB'、CC'、DD'是否交于同一点O。 若均满足，则它们是位似图形。 25．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】(1)；图见解析 (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到 如图，即为所求． （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 26．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；可以求得的面积是_______． (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， (3)和是位似图形，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图，根据割补法求面积即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； ． 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求图形， ∵， ∴，即； 故答案为：； （3）解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 27．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）综合实践： 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】(1)P； (2)或， (3)是位似三角形，位似中心为点 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （3）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P． 故答案为：P； （2）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （3）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 28．（24-25九年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影    B．位似    C．图形的全等 (2)如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． (3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，位似； （1）由得到，即可说明一点透视运用的数学原理是位似； （2）由结合得到，再由得到，结合求出 （3）过作交于，于，先根据等腰三角形和平行线得到，即可得到，再由得到，结合得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），， ∴， ∴一点透视运用的数学原理是位似， 故选：B； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：，理由如下： 如图，过作交于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 二、填空题 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_________． 【答案】 【分析】由题意易得，且相似比为，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·甘肃平凉·二模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 7．（2026·四川成都·二模）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 8．（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】(1)线段为所求： (2) 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【详解】（1）略． （2）解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 5图形的位似 第1课时图形的位似 课时目标 理解位似图形的定义，能准确识别位似中心，明确位似是相似的特殊形式，掌握位似 比即相似比的本质。 2. 掌握位似图形的核心特征（对应边平行或在同一直线上、对应点连线交于一点），能 利用位似性质进行简单的线段长度计算。 3. 能按给定位似比放大或缩小简单图形，规范作图步骤，体会位似变换在图形缩放中的 应用价值。 课时目录 知识点01：位似图形的定义 知识点02：位似中心的概念 知识点03：位似比（相似比）与位似图形的性质 知识点04：位似图形的特征 1/18 知识点05：位似图形与相似图形的关系 知识点06：利用位似放大或缩小图形 知识点07：位似图形的识别与判定 知识点01：位似图形的定义 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于同一点，那么这两个图形叫做位似图 形。该点是位似中心。位似图形首先是相似图形，其次满足“对应点连线共点”的附加条 件。 例如：△ABC与△AB'C相似，且直线AA、BB、CC都经过点O,则△ABC与△AB'C是 位似图形，点O是位似中心。 1.(25-26九年级下·广西钦州阶段检测)如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图 案设计中一定用到的图形变换是() A.平移 B.旋转 C.位似 D.轴对称 2.(25-26九年级上：山西晋城期末)下列是相似图形但不是位似图形的是() 3.(25-26九年级上福建漳州期末)下列图形中，不是位似图形的是() 2/18 (25-26九年级上江苏扬州期末)下列各组的两个图形中，不是位似的为() B 知识点02：位似中心的概念 位似中心是位似图形对应点连线的交点，是位似变换的固定点。位似中心的位置有三种情 况： 在两个图形的同侧（如光源在外）； 在两个图形之间（如投影在两图形中间）； 在两个图形的异侧（如中心投影的放大与缩小)。 位似中心可以在图形外部、内部或顶点上，但必须是唯一确定的公共点。 5.(25-26九年级上河北保定·期末)如图，在平面直角坐标系xO少中，△AOB与△CDE位似，则下列对 两位同学说法的判断正确的是()， 4 3 2 0 123 4 嘉嘉：△AOB与△CDE的相似比为2：1， 3/18 4,4) 淇淇：位似中心为 A.只有嘉嘉正确B.只有淇淇正确C.两人都正确 D.两人都不正确 6.(25-26九年级上浙江金华期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC和正方形 EFGH的边FG都在'轴上，且点E的坐标分别为 1,2)(5,4) .若正方形ABCD与正方形EFGH 是位似图形，则位似中心的坐标是() y年 E OB C F A.（-3,0) B.(3,0) c.(0,-3) D 7.(25-26九年级上浙江温州期末)在如图所示的4×5的方格中，A,B,C,D是格点，线段AB是由线段 CD位似放大得到的，则它们的位似中心可以是() P4 B A,点B B点月 C点 D.点B 8.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图，△ABC与△ABC是位似图形，则位似中心为() B 4/18 A.点D B.点E C.点F D.点G ■知识点03：位似比（相以处比）与位以图形的性质 位似比即位似图形的相似比，是对应边的长度之比。若原图形上一点P与位似中心O的连 OP OP' 线OP,在位似图形上对应点为P',则位似比OP'(或OP,取决于放大还是缩小)。 性质： 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例)： 对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 对应线段平行（或在同一直线上）。 9.(23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，已知点 O(0,0)A(6,0)B(0,8) 以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE,则位似中心的坐标为() D C 6 A.(0,0) B.,) c.1,2) D.(2,2) 10.(24-25九年级上山西运城期中)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角项点B在x轴正半轴 上，点A在第一象限.将△OAB顶点A,B的横、纵坐标都乘3，得到点A,B',则关于△OAB与 △OAB的关系说法正确的是() V 5/18 A.△OA'B与△OAB关于 点0,0)位似，相似比为l:3 B.△01B与01B关于点O,3)位似，相似比为l:3 C.△04B与0AB关于点0,3)位似，相似比为31 D.△0AB与0AB关于点0,0)位似，相似比为3：1 11.(2026江苏镇江·二模)如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3， ∠0CD=120°，C0=CD,若B(-2,0) ,则点C的坐标为 12.(23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段检测)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点 均在格点上，若在网格中建立坐标系，点A的坐标为 -3,2)），已知△MBC与△4BC位似，坐标原点 为位似心，且位似比为：2，则点C的对应点C的坐标为 知识点04：位似图形的特征 位似图形区别于一般相似图形的核心特征： 对应点连线必须经过同一点（位似中心）； 对应边互相平行（或在同一直线上）： 对应角相等，且对应顶点的排列顺序一致（如顺时针或逆时针对应）。 反例：两个全等的正方形，若对应点连线不共点，则它们是相似图形但不是位似图形。 13.(2026浙江丽水·模拟预测)如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为53，点A, 6/18 B的对应点分别为点A',B'.若AB=15,则A'B的长为() B A B 甲 乙 A.6 B.9 C.10 D.25 14.(2026·河北沧州·三模)一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶 点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个项点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 y*= 15.(2026浙江温州·三模)如图，以△ABC的顶点A为位似中心，作△ABC的位似图形△ADE.若 ∠C=35°，则∠E=_°.， 16.(25-26九年级下四川自贡·期中)如图，△ABC与△A'B'C位似，位似中心为点O,OC':OC=2:3, △A'B'C'的面积为4，则△ABC的面积为 B B 知识点05：位以图形与相似图形的送系 7/18 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 位似是相似的特殊情形，增加了“对应点连线共点”的约束条件。 例如：所有正方形都相似，但只有那些对应点连线交于一点的正方形才是位似图形。 17.(2026内蒙古通辽模拟预测)如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若 OA:AD=2:1,则△ABC与△DEF的面积比是() A.4:1 B.4:9 C.2:1 D.2:3 18.(25-26八年级下山东淄博期末)如图，△ABC与aDEF位似，点O为位似中心，若OC=2OF, △ABC的周长为8，则△DEF的周长为() E D B A.1.5 B.2 C.3 D.4 19.(2026山西阳泉三模)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O,且OA:AD=1:2,则 △ABC与△DEF的周长比为() D E A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:1 20.(25-26八年级下吉林期末)如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O,OB:OE=2:3, 若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 8/18 D A B 知识点06：利用位以放大或缩小图形 已知图形F和位似中心O,按位似比k作位似图形F'的步骤： 连接OA、OB、OC…(取图形F的关键顶点A、B、C…); 在射线OA上截取OA'=kOA(若k>1为放大，0<k<1为缩小)； 同理在OB、OC…上截取OB=kOB,OC'=kOC…; 顺次连接A'、B、C…,所得图形F即为所求位似图形。 注意：若k为负值，则对应点在位似中心的另一侧，形成反向位似图形（初中阶段通常只 考虑正向位似)。 21.(2026河北邢台二模)作图要求：如图，以O为位似中心，作△ABC的位似△AB'C',使△ABC与 △AB'C 2:1 的位似比为·下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是() A A B B B OA OB OC 2 OA OB OC 2 OA'OB'OC1 OA'OB'OC1 小明的作法 小亮的作法 A.只有小明正确 B.只有小亮正确 C.小明和小亮合到一起才正确 D,小明和小亮都不正确 9/18 22.(2026河北保定·二模)如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1.△ABC与△A'B'C是一 对位似三角形，且点B和点B是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置() A.有2个，一个在网格中，一个在网格外B.有且只有1个，在网格外 C.有2个，均在网格中 D.没有在网格中的 23.(2026·安徽马鞍山：二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个 顶点和点O都是格点. (1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△4BC,请你画出△4BG. (2)以O为位似中心， 作△4B,G,使△M,C与MBC 的相似比为2. ®)用无刻度直尺过点C向4C自垂线段G CD 24.(2026安徽池州二模)如图，在平面直角坐标系中，△A0B的顶点坐标分别为 A(2,1)0(0,0) B(1,-2) 10/18 1)画出将4A0B △A,OB 向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的 ②)以原点0为位似中心，位似比为：2，在y轴的左侧，画出将 AOB A,02B2 放大后的 知识点07：位似图形的识别与判定 判定两个图形是否位似的步骤： 先判断是否相似（对应角相等、对应边成比例）； 若相似，再验证对应点连线是否交于同一点： 若满足以上两点，则为位似图形，该交点为位似中心。 示例：判断四边形ABCD与四边形AB'CD'是否位似。 AB BC 首先验证∠A=∠A',∠B=∠B…且A'B'BC 再检查直线AA'、BB、CC、DD'是否交于同一点O。 若均满足，则它们是位似图形。 25.(25-26九年级上河南郑州期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 (-2,1) B(-4,-1),C(-3,-3) 将点4B,C的横坐标、纵坐标都乘2，得到点B,C 11/18 R (I)请写出点A,B,C的坐标，并在所给的坐标系中画出△A'B'C; (②)△AB'C'与△ABC位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由. 26.(25-26九年级上·山东济南·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别为0(0,0)， A(2,1)B(1,-2) (Q)画出△OAB △0AB 上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的 ；可以求得 △OA,B 的面积 是 ②)以原点0为位似中心，在y轴的右侧画出△01B 位似图形 04B,使它与a01B的相似比为21， B, 点坐标是 △OAB,△OA,B2 (3)判断 和 是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理 由 27.(25-26九年级上·上海宝山阶段检测)综合实践： 12/18 结合教材图形给出 九年级第一学期教材第2页 新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到 ABCD AB,C2D. 四边形 ;放大四边形ABCD,得到四边形 如图，对于两个多 A 边形，如果它们的 对应顶点的连线相 B A1 D 图形的放大或缩小，称 交于一点，并且这 P 点与对应顶点所连 线段成比例，那么 这两个多边形就是 为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相 位似多边形，这个 AB,CD A B2C2 D2 同的图形.图中，四边形 和四边形 都与四边形 点就是位似中心. ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形， 或者就说是相似形. (1)填空：在上图中位似中心是点 (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 1,0),点B的坐标为 .0),点P是第一象限内的一 15 个点且点P的纵坐标是4·联结PO、PB'如果把aPOB沿OB翻折，所得四边形POP'B恰为菱形， 若在直线x=1上存在点Q,使△QAB与△POB相似，求出点Q的坐标. 3)若(2)中点Q位于x轴上方，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐 标 28.(24-25九年级下山西朔州期中)阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间 13/18 感和深度感.其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都 汇聚于消失点.几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视 点透视，又叫平行透视.适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失 点.如图1，视线CA,DB汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O),AB∥CD 两点透视，又叫成角透视.适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失 点.如图2，视线AE与BF汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M,视线AC与 视线BD汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N,EF∥AB∥CD 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点.如图3，视线AE与BF汇聚 (相交)于视平线的点M处（消失点M),视线AC与视线BD汇聚（相交）于视平线 的点N处（消失点N,视线FE,BA,DC汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P 处（消失点P)· 0 一视平线 视平线 视平线 M 图1 图2 图3 （一点透视) (两点透视) (三点透视) 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是 (只有一个选项符合题意) A.平行投影B.位似C.图形的全等 2)如图2，两点透视画法中，若ME=EA,AC:CN=5:4,EF=2,求CD的长. 3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若BD=DN,PA=CA,∠BAN=60°，猜想AB与 CD的数量关系，并说明理由. D 图4 课时训练 14118 一、选择题 1.(24-25九年级上·山东日照·阶段检测)方框中的两个图形不是位似图形的是（) A B 2.(2425九年级上贵州六盘水·期末)下列图形变化属于位似的是() D 3.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，三角板（△ABC)在手电筒（点O)发出的光源的照射下形 成了投影，三角板与其投影的三角形（△A'B'C')是位似图形，若OC:CC'=4:5,则三角板的面积与 其投影的三角形的面积比是()， A B A.4:5 B.4:9 C.16:25 D.16:81 4.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是 位似图形，位似中心为点0.若点C(B,0 ,C的对应点为点C(60,已知点B82 ,则点A的坐标 为() 15118 A.（5-3) B.（4,2) c.（6,-3) D.（4,- 二、填空题 OB 3 5.(2026辽宁沈阳·一模)如图，△ABC与ADEF是位似图形，点O是位似中心，BE5,若S.c=18, ADEF= 则 D 6.(2026甘肃平凉二模)如图，在平面直角坐标系xO少中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心是原点O 若点12,2），C(82）,4C-3,则点C的坐标为一 B A 7.(2026四川成都二模)如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若 OE 2 EA3,四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长为一· 16/18 B D 8.(2026山西吕梁二模)如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E与右下角的“E”是位似图形，位 AB 3 似中心为点0，已知CD2,0C=3.6cm,则AC的长为 cm' 424目sU目42 4.4目盟0目4.25 4.5m层wD官C5.5 三、解答题 9.(25-26八年级下·江苏苏州期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了 以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC 3 B -2 -5.-4-3-2-19 1 2345 2引 -3 4 (I)以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE(点F、E分别为 A、C的对应点)，在网格内画出线段EF. (2②)若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 10.(25-26七年级下江西新余期末)己知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 (0,3) B(3,4)C(2,2) 17118 一++ + 图1 图2 图3 (1)在图1中画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△4BC: (2)在图2中作出△4BC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的 △A,BC2 3)在图3中作出以点 P(1,1) 为位似中心，把△1BC各边放大2倍后得到的△4B,G 18/18