第3章 4.1 相似三角形中对应线段的性质 课时同步训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形对应线段性质，分层设计从单一性质理解到综合推理应用，通过基础辨析、计算应用、几何证明三阶进阶，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对应高、中线、角平分线性质|选择/填空题辨析性质（如命题真假判断），夯实概念理解| |提升层|性质综合表述与计算|结合相似比求线段长度（如小孔成像情境题），强化运算能力| |综合层|几何证明应用|解答题证明线段关系（如利用中线、高性质推导），发展推理能力|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中对应线段的性质 ▌课时目标 1. 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，能运用面积法和平行线性质进行简单的性质推导。 2. 能综合运用相似三角形对应线段的性质进行线段长度的计算，规范书写解题过程，体会“由一般到特殊”的性质探究思路。 3. 能运用对应线段的性质解决简单的几何证明问题，厘清相似三角形性质与判定之间的逻辑关联，提升推理能力。 ▌课时目录 知识点01：相似三角形对应高的比等于相似比 知识点02：相似三角形对应中线的比等于相似比 知识点03：相似三角形对应角平分线的比等于相似比 知识点04：相似三角形对应线段性质的综合表述 知识点05：利用对应线段性质求线段长度 知识点06：相似三角形对应线段性质在几何证明中的应用 ▌知识点01：相似三角形对应高的比等于相似比 内容：相似三角形对应高的比等于相似比。 证明思路：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'。 由相似得∠B＝∠B'，又∠ADB＝∠A'D'B'＝90°， 故△ABD∽△A'B'D'（AA）， 因此。 结论：相似三角形所有对应高的长度比均等于相似比k。 1．（2025·上海松江·一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，在中，是边上的中线，如图所示，延长至点，使得，连接，可得，同理，延长至点，使得，连接，，可证，由此可证，可判定①；如图所示，在中，，是边上的高，由此可判定②；由此即可求解． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形的周长比为，其中较小的三角形一边上的高是6厘米，那么另一个三角形对应边上的高是______厘米． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，对应边上的高比也等于相似比，因此列出比例式求解． 【详解】解：设另一个三角形对应边上的高为厘米． 由相似三角形的性质，得， 即， 解得． 故答案为：9． 3．（23-24九年级上·福建宁德·阶段检测）两个相似三角形的对应中线之比是，其中较大的三角形一边上的高是10厘米，那么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比，从而求得另一边的比即可． 【详解】解：两个相似三角形对应中线之比为， 两个相似三角形对应高之比为， 较大三角形一边上的高为10厘米， 较小三角形的对应边上的高为（厘米）， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果两个相似三角形的周长之比是，其中小三角形一边的高为12厘米，那么大三角形对应边上的高为________厘米． 【答案】27 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的高线比也等于相似比，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设大三角形对应边上的高为， 由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：27． ▌知识点02：相似三角形对应中线的比等于相似比 内容：相似三角形对应中线的比等于相似比。 证明思路：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的中线。 由相似得，且∠B＝∠B'。 因D、D'为中点， 故BD＝BC，B'D'＝B'C'，则。 结合∠B＝∠B'，得△ABD∽△A'B'D'（SAS）， 因此。 结论：相似三角形所有对应中线的长度比均等于相似比k。 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）下列命题中，假命题是（   ） A．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边的中线对应成比例的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查命题，三角形相似的判定条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形相似的判定条件逐一分析各选项． 【详解】解：A：两边及其中一边上的高对应成比例，无法保证夹角相等，不一定能构成相似，是假命题，故该选项符合题意； B：若两边及其中一边上的中线成比例，则第三边必成比例，满足相似条件，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意； C：直角三角形斜边中线为斜边的一半，若直角边及斜边的中线成比例，则斜边必成比例，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意； D：两边及第三边中线对应成比例，可推导第三边成比例，满足相似条件，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意． 故选：A． 6．（24-25九年级上·上海·期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，分、、三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵为“中垂三角形”，即于点P， 又∵， ∴ ∴， ∵分别是中线，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，，， 在中， ∴ ∴； 如果是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当时，取中点G，连接，过G作于H， ∵为中点， ∴， ∵G为中点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在； 综上，的长为或． 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，分别是边的中线，则_________． 【答案】/0.5 【分析】连接，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而得到，再由相似三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 分别是边的中线， ∴是的中位线， ， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及中位线的判定与性质、平行线的性质等知识，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为_______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． ▌知识点03：相似三角形对应角平分线的比等于相似比 内容：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 证明思路：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的角平分线。 由相似得∠BAC＝∠B'A'C'，故∠BAC＝∠B'A'C'，即∠BAD＝∠B'A'D'。 又∠B＝∠B'，故△ABD∽△A'B'D'（AA）， 因此。 结论：相似三角形所有对应角平分线的长度比均等于相似比k。 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如果两个相似三角形的两条对应边的长分别是20cm和25cm，其中一个三角形最大内角的平分线长是12cm，那么另一个三角形最大内角的平分线长是_． 【答案】或 【分析】可求出相似三角形的相似比，再通过对应角的角平分线的比等于相似比即可求出三角形最大内角的角平分线长． 【详解】解：设另一个三角形最大内角平分线长是． 若已知角平分线长的三角形是较小的三角形，则由题意，得，解得； 若已知角平分线长的三角形是较大的三角形，则由题意，得，解得． 综上所述，另一个三角形最大内角的平分线长是或． 故答案为：或. 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，平分，那么________度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，四边形内角和，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用角平分线的定义可得，再根据已知易得：，然后利用相似三角形的性质可得，，从而可得，最后利用四边形内角和是进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： ，平分， ， 对角线是它的相似对角线， ， ，， ， ， ， 即， 故答案为： 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若两个三角形相似，相似比为，则它们对应角平分线之比是________；若其中较小三角形的一条角平分线的长为，则另一个三角形对应角平分线的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形相似，相似比为， ∴它们对应角平分线之比是， ∵其中较小三角形的一条角平分线的长为， ∴另一个三角形对应角平分线的长为， 故答案为：，． 12．（22-23九年级下·黑龙江大庆·期末）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴对应的高的比为，设高分别为， ∵对应高之差为， ∴，解得，， ∴两个三角形对应高分别是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边高的比等于相似比是解题的关键． ▌知识点04：相似三角形对应线段性质的综合表述 综合结论：相似三角形的一切对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长等）的比都等于相似比。 核心逻辑：这些线段的比最终都可转化为对应边（如AB与A'B'）的比，因为所有推导都依赖于相似三角形的对应角相等和对应边成比例这两个核心条件。 注意：此性质仅适用于“对应线段”，非对应线段（如一个三角形的高与另一个三角形的中线）不满足该关系。 13．（2026·贵州贵阳·一模）如图，在中，D，E分别是，的中点，则与的相似比是（     ） A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1 【答案】A 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴. 14．（2026·西藏林芝·二模）如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，进而即可求出与的相似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与的相似比为． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）若且，则与的相似比___________，与的相似比___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形中相似比的概念，使用三角形的相似比时一定要说明是哪两个三角形的相似比，分清两个三角形的顺序． 相似三角形的相似比定义为对应边的比例，根据条件与的比值为，可直接确定相似比． 【详解】解：在相似三角形中，相似比是对应边的比例， 与是一对对应边， 且， 因此与的相似比， 与的相似比是前者的倒数， 故， 故答案为，． 16．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是2，则的周长是_____． 【答案】1 【分析】此题考查了相似图形的性质，根据相似图形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵与的相似比是， ∴与的周长比是， ∵的周长是2， ∴的周长为． 故答案为：1． ▌知识点05：利用对应线段性质求线段长度 解题步骤： 1. 判定两个三角形相似，确定相似比k； 2. 识别待求线段属于哪类对应线段（高、中线、角平分线）； 3. 根据“对应线段比＝相似比”列方程求解。 示例：△ABC∽△DEF，相似比为2，△ABC中BC边上的高AG＝6，求△DEF中EF边上的高DH。 解：∵△ABC∽△DEF， ∴，即， 解得DH＝3。 17．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 18．（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 20．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ▌知识点06：相似三角形对应线段性质在几何证明中的应用 应用场景：证明线段成比例或线段相等。 证明思路：通过证明三角形相似得到相似比，再利用对应线段的性质推导目标线段的比例关系。 示例：已知△ABC中AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证。 证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠AED=∠ADB=90°， 又∠BAD=∠DAE， ∴△AED∽△ABD，故； 同理△AFD∽△ACD，得。 若BD=CD（D为BC中点）， 则，即。 21．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 22．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 23．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1．5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 2．（2026·云南丽江·二模）如图，，＝，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，进而证明，从而得到． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 二、填空题 5．（2026·云南红河·一模）如图，若，且，则_____． 【答案】 【分析】先证明，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 7．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【答案】2.4 【分析】先设参数表示、，利用得到线段比例关系，求出表达式，再由列方程求解参数，最后算出长度． 【详解】解：已知，设， ，， ，，， ， ， 由相似三角形对应边成比例： ， 代入，： ， 化简得， 解得， 又， 代入表达式：， ， ， ， ， ，把代入 ． 三、解答题 9．（2026·江苏淮安·二模）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上． (1)在图①中，∶_． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点，使． ②如图③，在上找一点，使． 【答案】(1) (2)①如图所示，点即为所求： ②如图所示，点即为所求： 【分析】（1）根据网格特点证明，结合相似三角形性质求解，即可解题； （2）①连接交于点，证明，再利用相似三角形性质求解即可； ②作点关于对称的点为，连接，交于点，再结合轴对称性质以及对顶角性质分析求解即可． 【详解】（1）解：由网格特点可知，， ， ； （2）解：①，， ， ， ，， ； ②由轴对称性质可知， ， ． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作（保留作图痕迹），与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵ ，， ∴ ， 在 中，， 在 中，， 根据同角的余角相等，得 ． (2)解：①如图所示， ② (3) 或 【分析】 （1）因为，，所以，，利用同角的余角相等证明两角相等；（2）①首先确定中点E的位置，连接，过点A作交于D，连接即可得到所求图形； （2）②利用直角三角形斜边中线性质得到，利用勾股定理和三角形的面积公式可推出，最后再利用勾股定理即可得解； （3）先通过比例关系设和的长度，进而表示出的长度，，利用相似三角形列方程求解的长度即可． 【详解】（1）略 （2）① 略． ②解： ∵，， ∴在中，， ∵是 的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴在中，， 代入得：， 化简得， 设，则， ∴在中，， 解得， ∴ ． （3）解： 在 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ①若 ， 设 ，则，， 代入①得 ， 解得 ， ∴， 解得 （负值已舍）； ②若 ， 设 ，则，， 代入①得 ， 解得 ， ∴代入②得 ， 解得 ； 综上所述， 或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中对应线段的性质 课时目标 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，能运用 面积法和平行线性质进行简单的性质推导。 2.能综合运用相似三角形对应线段的性质进行线段长度的计算，规范书写解题过程，体 会“由一般到特殊”的性质探究思路。 3. 能运用对应线段的性质解决简单的几何证明问题，厘清相似三角形性质与判定之间的 逻辑关联，提升推理能力。 课时目录 知识点01：相似三角形对应高的比等于相似比 知识点02：相似三角形对应中线的比等于相似比 知识点03：相似三角形对应角平分线的比等于相似比 知识点04：相似三角形对应线段性质的综合表述 1/12 知识点05：利用对应线段性质求线段长度 知识点06：相似三角形对应线段性质在几何证明中的应用 知识点01：相似三鱼形对应高的比等于相以比 内容：相似三角形对应高的比等于相似比。 证明思路：己知△ABC一△AB'C,相似比为k,AD⊥BC于D,AD⊥B'C"于D'。 由相似得∠B=∠B',又∠ADB=∠ADB=90°， 故△ABD一△ABD'（AA), AD AB=k 因此A'D'A'B 结论：相似三角形所有对应高的长度比均等于相似比k。 1.(2025上海松江一模)己知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似： ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似. 下列对这两个命题的判断，正确的是() A.①和②都是真命题 B.①和②都是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 2.(25-26九年级上·上海闵行·期中)如果两个相似三角形的周长比为2：3，其中较小的三角形一边上的高 是6厘米，那么另一个三角形对应边上的高是一厘米. 3.(23-24九年级上·福建宁德阶段检测)两个相似三角形的对应中线之比是3：5，其中较大的三角形一边 上的高是10厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米。 4.(24-25九年级上·上海阶段检测)如果两个相似三角形的周长之比是4：9，其中小三角形一边的高为 12厘米，那么大三角形对应边上的高为 厘米. 2/12 知识点02：相似三鱼形对应中线的比等于相以比 内容：相似三角形对应中线的比等于相似比。 证明思路：己知△ABC一△ABC',相似比为k,AD、AD'分别为BC、B'C"边上的中线。 B D AB BC 由相似得A'BBC,=k ,且∠B=∠B'。 因D、D为中点， 1 BD BC 2 B'D= -=k B'C 故BD=2BC,BD'=2B'C',则 2 结合∠B=∠B',得△ABD一△ABD'(SAS), AD AB 因此A'D=AB =k 结论：相似三角形所有对应中线的长度比均等于相似比k。 5.(24-25九年级上·上海宝山阶段检测)下列命题中，假命题是() A.有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 B.有两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似 C.有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D.有两边及其第三条边的中线对应成比例的两个三角形相似 6.(24-25九年级上：上海·期中)在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为 “中垂三角形”，如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB=30°，AB=4,那么 BC的长为一 7.(25-26九年级上河北沧州阶段检测)三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心.如图， EG AE,CF分别是△ABC边BC,AB的中线，则AG 3/12 A G E 8.(24-25九年级下·浙江杭州阶段检测)如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对 应中线之比为 知识点03：相似三鱼形对应鱼平分线的比等王相似以比 内容：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 证明思路：已知△ABC一△AB'C',相似比为k,AD、AD分别为∠BAC、∠B'A'C的角平 分线。 1 由相似得∠BAC=∠B'A'C,故2∠BAC=2∠B'A'C,即∠BAD=∠BAD'。 又∠B=∠B',故△ABD一△ABD'(AA), ADAB=k 因此A'D'AB' 结论：相似三角形所有对应角平分线的长度比均等于相似比k。 9.(25-26九年级上·全国·课后作业)如果两个相似三角形的两条对应边的长分别是20cm和25cm,其中 一个三角形最大内角的平分线长是12cm,那么另一个三角形最大内角的平分线长是_。 10.(25-26九年级上·上海阶段检测)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角 形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形 ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=50°，BD平分∠ABC,那么∠ADC= 度 11.(24-25九年级上·全国随堂练习)若两个三角形相似，相似比为8：9，则它们对应角平分线之比是 若其中较小三角形的一条角平分线的长为6cm,则另一个三角形对应角平分线的长为 cm 4/12 12.(22-23九年级下·黑龙江大庆期末)已知两个相似三角形对应角平分线的比为3：10，且这两个三角形 的一对对应高之差为56cm,则这两个三角形对应高的长分别为 知识点04：相似三角形对应线段性质的综合表述 综合结论：相似三角形的一切对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线、对应周 长等)的比都等于相似比。 核心逻辑：这些线段的比最终都可转化为对应边（如AB与AB)的比，因为所有推导都 依赖于相似三角形的对应角相等和对应边成比例这两个核心条件。 注意：此性质仅适用于“对应线段”，非对应线段（如一个三角形的高与另一个三角形的 中线)不满足该关系。 13.(2026贵州贵阳一模)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，则△ABC与△ADE的相似 比是() A.2:1 B.31 C.41 D.91 14.(2026西藏林芝·二模)如图，△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是 () D A.1:2 B.1:3 C1:9 D.1:4 15.(24-25八年级下全国课后作业)若△ABCn△AB'C且AB:AB'=BC:B'C'=3:2,则△ABC与 △AB'C的相似比k= ,△AB'C'与△ABC的相似比K'= 16.(25-26九年级上：河南安阳阶段检测)△ABC与△AB'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C的相似比 是1：2，若△A'B'C的周长是2，则△ABC的周长是 知识点05：利用对应线段性质求线段长度 5/12 解题步骤： 判定两个三角形相似，确定相似比k: 识别待求线段属于哪类对应线段（高、中线、角平分线）： 根据“对应线段比=相似比”列方程求解。 示例：△ABC一△DEF,相似比为2，△ABC中BC边上的高AG=6,求△DEF中EF边上 的高DH。 解：.△ABC一△DEF, AG AB =2 6 =2 ∴.DHDE,即DH 解得DH=3。 17.(25-26八年级下·重庆沙坪坝期末)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，则对应边上的高之比为 () A.1:1 B.1:2 c.2:1 D.1:4 18.(25-26八年级下·山东淄博·期末)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实 现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'. 设AB=30cm,A'B'=20cm.小孔O到AB的距离为36cm,则小孔O到AB'的距离为 cm B ←-36cm→k?cm-→ 19.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°， 6/12 ∠B=65°，∠AED=75° B I)求证：△ADE一△ABC: 2)已知AD:BD=2:3,AE=5,求AC的长. 20.(25-26八年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且 ∠AED=∠C E D B (I)求证：△AED∽△ACB: (2)若AB=9,AD=6,AC=7,求AE的长. 知识点06：相似三角形对应线段性质在几何证明中的应用 应用场景：证明线段成比例或线段相等。 证明思路：通过证明三角形相似得到相似比，再利用对应线段的性质推导目标线段的比例 关系。 AF AB 示例：已知△ABC中AD为中线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证AEAC。 B 证明：，AD⊥BC,DE⊥AB, 7/12 .∴.∠AED=∠ADB=90°， 又∠BAD=∠DAE, AE AD .△AED一△ABD,故ABBD: AF AD 同理△AFD一△ACD,得ACCD。 若BD=CD(D为BC中点)， AEAF AFAB 则ABAC,即AEAC。 21.(25-26八年级下山东东营期末)如图，在ABCD中，E是BC上一点，连接DE,交对角线AC于 BE 2 点卫，若CE3,AF=4,则CF的长为(） 2 A.5 B c.3 3 D. 22.(25-26八年级下·重庆期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作 DF⊥AE,垂足为点F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= A D B E C AD=1 23.(25-26八年级下重庆沙坪坝期末)如图，在A4BC中，DE∥BC,DB2,点F在BC边上，连 接DF. 8/12 (I)若△ADE的面积为1，求四边形BCED的面积： (2)若DF∥AC,BF=3,求DE的长度. 24.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，作 AE⊥CD于点E,EF∥CB交BD于点F A D B (I)求证：△ACE∽△BAC: a)若1C=io,CE= 1,求EF的长. 课时训练 一、选择题 1.(2026甘肃武威模拟预测)如图，在RteABC中，CD是边AB上的高，若AC=4,AB=10,则 AD的长为() 4 D B A.1.5 B.1.6 C.1.8 D.2.0 AB 2 OA 2.(2026云南丽江二模)如图，AB川CD,CD=3,则oD=(） B D B. D 3-2 9/12 3.(25-26八年级下河南周口期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点M在AB边上，且AM=3BM, 连接DM,点E是DM的中点，过点E作AB的平行线，交BC于点F,则EF的长为() D E 5 A.2 B.2 c.2 D.5 4.(25-26八年级下·山东烟台·期末)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，如果 点A'恰好是△ABC的重心，AB',A'C'分别与BC交于点M,N,那么△A'MN的面积与△ABC的面积 之比是() C O A M B B A. B. 1 c.9 4 D. 二、填空题 DE 2 AD+AE+DE 5.(2026云南红河·一模)如图，若DE∥BC,且BC=3,则AB+AC+BC D 6.(2026重庆模拟预测)如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD=∠B,AC=4,AB=8,则 AD= B 10112 7.(2026辽宁中考真题)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为 AF F,G.若AB=10:CD=15,则DG的值为 8.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB,垂足为D, AD 3 DC4,AB=5,那么CD的长是一 D 三、解答题 9.(2026江苏准安二模)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均 在格点上 图① 图② 图③ (I)在图①中，PC:PB=- (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法. ①如图②，在AB上找一点P,使BP=2 ②如图③，在BD上找一点P,使∠APB=∠CPD 10.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=6,点D在边 BC上（点D不与B、C重合），连接AD,过点C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F, 11/12 A E E D B B 图① 图② (I)求证：∠DCF=∠CAD: (2)如图②，当点E是AB中点时 ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作AD⊥CE(保留作图痕迹)，CE与AD交于点F; ②求线段CD的长： 3)当线段AD被CE分成1：3的两部分时，直接写出线段CD的长， 12112