3.4相似三角形的性质 课时练习 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学“相似三角形的性质”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-思维提升”分层设计，通过梯度化题型构建从性质理解到动态应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对应角相等、对应边比例、周长/面积比|单选题1-5直接考查性质，填空题10-11强化比例计算，夯实概念理解| |中档|相似判定与性质综合、图形变换应用|单选题6-9结合网格/动态情境，填空题12-14涉及矩形/角平分线中的相似，提升推理能力| |提升|动态问题、分类讨论、实际应用|解答题17-21含点移动相似分类、面积等分探究，培养模型意识与创新思维|

3.4相似三角形的性质 课时练习 一、单选题 1．已知 ，点C对应点F，若 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 2．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（　　） A． ＝ B． ＝ C．AC2＝AD•AB D． ＝ 3．已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC=4，CD=2，则BC=（　　） A．2 B． C． D．4 5．如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（　　） A． B． C． D． 6．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　） A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么 的值为（　　） A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24 8．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　） A．没有发生变化 B．放大了10倍 C．放大了30倍 D．放大了100倍 9．两个相似三角形面积比是 ，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（　　） A．12 B．12或24 C．27 D．12或27 二、填空题 10．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是　 　 11． 如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为　 　. 12．如图， 平分 且 ，则当 　 　时， . 13．如图所示，在矩形ABCD中， ， ，点E在对角线BD上，且 ，连结AE并延长交DC于点F，则 　 　. 14．如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， ， ，则 的长为　 　． 15．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为　 　． 三、解答题 16．如图，已知 ， ， ，求 的度数． 17．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？ 18．如图，已知 的边BC=16，高AD=8，矩形EFGH的边FG在 的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，且FG=6，求边EF长 19．已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：∠ACB的度数及DE的长。 20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC=15，BC=10，求EG的长． 21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm2？ （2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？ （3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：在 中， ， ∵ ， ∴ =75°， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，进而根据相似三角形对应角相等得出∠F的度数. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD， ∴ ＝ ， ＝ ， ， ∴AC2＝AD•AB， ∴A、B、C成立，不符合题意； D错误，符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解. 3．【答案】A 【解析】【解答】∵ ，相似比为 ∴ 与 的面积比为 ， 故答案为：A． 【分析】根据 ，相似比为 ，求面积比即可。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△BDC， ∴ ∴ 解之：BC=. 故答案为：B. 【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得BC2=CD·AC，代入计算求出BC的长. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意； B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意； C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意； D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ； 故答案为：D. 【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D. 6．【答案】C 【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米， 根据题意得： ， 解得 ， ； ②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米， 根据题意得： ， 解得 ， ； ③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米， 根据题意得： ， 解得 ， . 故答案为：C. 【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵DE∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴S△BDE=4S△ADE， 又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE， ∴4S△ADE= S△EBC-S△ADE， ∴ ， 故答案为：C. 【分析】因为三角形ABE和三角形BEC同高，所以根据AE：EC=1：4可得S△ABE：S△CBE=1：4，S△ABE=S△CBE，由平行线分线段成比例动力可得比例式AD：DB=AE：EC=1：4，于是可得S△ADE：S△BDE=1：4，由图形的构成得S△BDE=S△ABE-S△ADE，代入计算整理即可求解. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10：1， ∴根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比， ∴三角形的周长被放大了10倍. 故答案为：B. 【分析】由相似三角形的性质可知其周长比等于相似比，据此即可判断. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵两个相似三角形面积比是 ， ∴两个相似三角形周长比是2：3， 当较大三角形的周长为18时， 较小三角形的周长为18× =12； 当较小三角形的周长为18时， 较大三角形的周长为18× =27； 故答案为：D. 【分析】 根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意，分两种情况讨论，即当较大三角形的周长为18时，当较小三角形的周长为18时，分别列比例式解答即可． 10．【答案】36 【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似， 经检验： 符合题意； 故答案为： 【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果. 11．【答案】10 【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x， 两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9， 两个相似三角形的周长比为2：3， ， 解得， ， 这两个三角形的周长和为 ， 故答案为：10. 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵△ABD∽△DBC ∴ ∵AB=2，BC=3， ∴ ∴ 故答案为： 【分析】由相似三角形的对应边的比相等可得，把已知的线段AB、BC的值代入比例式计算即可求解. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ∴ ， 解得： ， 则 ， ∴ . 故答案为： . 【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解： ， ， 即 ①， ， ， 即 ②， ①②， 得 ， ， ， 解得 ． 故答案为： 【分析】根据相似三角形的性质可得，，再将两式相加即可求解。 15．【答案】135° 【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠BAC＝∠EDF， 又∠EDF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°． 故答案是：135°． 【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。 16．【答案】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可． 17．【答案】解：设经过 秒后 和 相似. 则 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ① 与 边是对应边，则 ， 即 ， 解得 ， ② 与 边是对应边，则 ， 即 ， 解得 . 综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似. 【解析】【分析】设经过 秒后 和 相似. ， ，分两种情况：① 与 边是对应边，② 与 边是对应边进行讨论即可. 18．【答案】解：设AD与EH相交于点P， ∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥FG且EH=FG=6， ∴△AEH∽△ABC， ∵AD⊥BC， ∴AP⊥EH， ∴ = ， 设EF=x，则PD=EF=x， ∵AD=8，AP=8-x，BC=16， ∴ = . ∴x=5， ∴EF=5． 【解析】【分析】根据矩形性质得出EH∥FG，EF=PD，EH=FG=6，得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形高之比等于相似比，得出关系式，代入求出即可． 19．【答案】解：△AED中已知， ∵∠A=56°，∠ADE=40°， ∴∠AED=84°． ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ACB=∠AED=84°， ． ∴ = ． ∴DE=7.2（cm） 答：∠ACB的度数是84°，DE是7.2 cm。 【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等，据此进行解答即可。 20．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，DE=DC，∴ ，∵AC=15，BC=10，∴ ，∴CD=6，即正方形CDEF的边长为6，∵EF∥AC，∴△EFG∽△DAG，∴ ，∴ ，解得：EG= ．故EG的长是 ． 【解析】【分析】根据条件可得DE∥BC，DE=DC，可得对应边成比例，即可确定CD的值，然后根据EF∥AC，可得△EFG∽△DAG，利用相似三角形的性质可得关于EG的方程，解方程即可. 21．【答案】（1）解：设经过t秒，PBQ的面积等于8cm2， 由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm， ∵PBQ的面积等于8cm2， ∴ ×2t×（6﹣t）＝8， 解得，t1＝2，t2＝4， 答：经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2； （2）解：设经过m秒，△ABC与△PBQ相似， 当△ABC∽△PBQ时， ，即 ， 解得，m＝ ； 当△ABC∽△QBP时， ，即 ， 解得，m＝ ， 答：经过 秒或 秒，△ABC与△PBQ相似； （3）解：线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分， 理由如下：假设经过n秒线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分， 则 ×2n×（6﹣n）＝ ×6×8× ， 整理得，n2﹣6n+12＝0， ∵△＝36﹣4×12＝﹣12＜0， ∴原方程无解， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分． 【解析】【分析】（1）分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可作答； （2）根据题意进行分类讨论即可作答； （3）根据题意，分别列出两部分图形的面积，建立方程并整理讨论方程是否有解即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $