第3章 2.1 相似三角形的概念及判定定理1 课时同步训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大数学九年级上册“探索三角形相似的条件（第1课时）”同步练，以“概念理解-技能应用-综合探究”分层设计，通过基础辨析、规范证明、跨情境应用构建知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|相似三角形定义、表示方法、对应元素识别|选择/填空题（如第1-4题）辨析概念，强化对应关系识别，培养抽象能力| |技能应用|AA判定定理、直角三角形相似特例|证明题（如第21-24题）规范推理步骤，结合平行四边形等背景，发展推理意识| |综合探究|相似与全等关系、实际情境应用|尺规作图（如第14题）、动态问题（如第28题），融合空间观念与创新意识，体现数学语言表达|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 2 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的概念及判定定理1 ▌课时目标 1. 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法，能准确识别相似三角形的对应角、对应边和相似比。 2. 掌握相似三角形的判定定理1（AA判定），能运用该定理判定两个三角形相似，明确直角三角形相似的特例。 3. 理清相似三角形与全等三角形的内在联系，能规范书写三角形相似的证明过程，体会从特殊到一般的数学思想。 ▌课时目录 知识点01：相似三角形的定义 知识点02：相似三角形的表示方法 知识点03：相似三角形对应元素的识别 知识点04：相似三角形判定定理1（AA） 知识点05：直角三角形相似的判定 知识点06：利用AA判定定理证明三角形相似 知识点07：相似三角形与全等三角形的关系 ▌知识点01：相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的相似比（相似系数）是对应边的比值，用k表示。 当k＝1时，相似三角形即为全等三角形，因此全等是相似的特例。 该定义与相似多边形的定义一致，是判定相似三角形的根本依据。 1．（2026·黑龙江大庆·三模）下列说法正确的是（    ） A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【详解】解：如图，已知是的边上的中线，且． ∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 因此A正确； 若一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，两个三角形内角不对应相等，不相似，因此B错误； 平移后两组对应点的连线平行或在同一直线上，不是一定平行，因此C错误； 对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直且相等的四边形不一定是正方形，因此D错误． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 4．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点02：相似三角形的表示方法 相似用符号“∽”表示，书写时对应顶点的字母必须放在对应位置。 例如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，表示∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角，AB与DE、BC与EF、CA与FD是对应边。 相似关系不具有顺序性，△ABC∽△DEF与△DEF∽△ABC均成立，但对应顶点需始终保持对应。 5．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 6．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件_求证：． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】略 ▌知识点03：相似三角形对应元素的识别 识别对应元素的核心规则： 对应角：相似三角形中位置对应的角相等，即∠A＝∠D、∠B＝∠E、∠C＝∠F； 对应边：对应角的对边为对应边，如∠A的对边BC与∠D的对边EF是对应边； 相似比：若△ABC∽△DEF，则相似比，此时△DEF与△ABC的相似比为。 识别对应元素是后续计算与证明的基础，需严格遵循对应位置原则。 9．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形中，，，点为边上的动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，以及矩形的性质，难度不大． （1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，由等面积法得出的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】略 ▌知识点04：相似三角形判定定理1（AA） 两角分别相等的两个三角形相似，简称“AA判定”或“两角对应相等的两个三角形相似”。 该定理由平行线分线段成比例的基本事实推导得出，可直接用于判定。 由于三角形内角和为180°，两个角对应相等时第三个角必然相等，因此仅需验证两组角相等即可满足相似的判定条件，无需额外验证边的比例关系。 13．（2026·吉林·二模）某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【答案】见解析 【分析】根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先作，再作即可，由于，则，故，再由得到是等边三角形，则，那么，则，再由即可证明． 【详解】解：如图，点即为所求； 15．（2026·河北张家口·三模）如图，，点在的延长线上，射线平分． (1)尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的性质，先作线段的垂直平分线，该垂直平分线与射线的交点即为所求的点，此时点到、两点的距离相等，满足的条件； （2）先利用等腰三角形等边对等角的性质，由推出；再根据角平分线的定义得到；接着利用三角形外角的性质，得出是的外角，因此∠，结合角平分线的结论进一步推出；然后结合作图得到的，再次利用等边对等角得到，从而推导出且；最后根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）证明：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵为的外角， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 ▌知识点05：直角三角形相似的判定 直角三角形有一个公共的直角（90°），因此其相似判定可简化为：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 该结论是AA判定在直角三角形中的特例，应用时只需找到一个锐角对应相等即可，无需额外验证其他条件。 注意本节课不涉及边的比例判定，仅通过角的条件判定直角三角形相似。 17．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 18．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 20．（25-26九年级上·陕西西安·期中）尺规作图：已知，，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的性质，需要确保两个三角形的对应角相等，过点C作交于点D即可． 【详解】解：如下图： 过点C作交于点D， ∴， ∴在和中， ， ∴． ▌知识点06：利用AA判定定理证明三角形相似 规范证明步骤： 1. 在两个三角形中分别找出两组相等的角； 2. 书写证明过程：先注明“在△ABC和△DEF中”，再列出角相等的条件（如∠A＝∠D，∠B＝∠E）； 3. 写出判定结论：∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似），注意对应顶点与已知条件一致。 例如：已知∠A＝50°，∠B＝60°，∠D＝70°，∠E＝50°，可推得∠C＝70°＝∠D，因此△ABC∽△EDF（对应顶点A→E，B→F，C→D）。 21．（25-26九年级上·江西景德镇·阶段检测）如图，在中，，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定等知识，推导出，进而证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 23．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】略 ▌知识点07：相似三角形与全等三角形的关系 全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况： 1. 全等三角形一定相似，相似比k＝1； 2. 相似三角形不一定全等，仅当相似比为1时才全等。 判定逻辑上，三角形全等的ASA、AAS判定是AA判定的特殊形式（要求对应边相等而非成比例），体现了从特殊到一般的数学推广思想。 解题时需注意区分两种判定的适用场景，避免混淆。 25．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 【详解】和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 26．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）各有一个角为的两个直角三角形一定（   ） A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两个直角三角形都有一个角为，因此两组角对应相等的两个三角形相似，又因为边的大小未知，无法保证全等，即可作答． 【详解】解：∵两个直角三角形都有一个角为， ∴ 两个直角三角形相似（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∵边的大小未知，无法保证全等， ∴两个三角形不一定全等， 故选：B． 27．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． (2) 证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 28．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，将矩形沿虚线进行分割，分割后可以将得到的两个三角形进行拼接，得到的新图形如图2所示． (1)如图3，在中，，对进行分割，分割线垂直于， ①证明； ②将分割成4个全等的三角形，请在图4中画出分割线； (2)对如图5所示的四边形进行分割，将其拼成一个平行四边形，请设计一种方案． 要求： Ⅰ．在四边形中画出分割线，再标出各个分割后的图形序号（类似图1）； Ⅱ．在方框中画出拼接后的平行四边形的示意图（类似图2）； Ⅲ．拼接后各部分均不重叠、无缝隙、无剩余； Ⅳ．本题将综合考虑“分割次数”给分． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴， 又∵， ∴； ②如图所示： (2)如图所示：或 【分析】（1）①利用相似三角形的判定定理证明即可； ②如图所示，取的三边中点，再进行分割； （2）方法1：如图1所示，取的中点M，的中点N，的中点P，的中点Q，沿进行分割，再进行拼接得到图2． 方法2：如图2所示，取的中点M，的中点N，的中点P，的中点Q，沿进行分割．再将与分别沿进行分割，且，，拼接后得到图4． 【详解】（1）解：①略 ②略； （2）解：略 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 3．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 4．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 二、填空题 5．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 三、解答题 9．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图1，先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到．过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：； （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明：如果不相似，请说明理由； 阅读上述内容，完成以下任务： (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． (3)如图3所示，小华将矩形纸片换成正方形纸片，探究过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，并延长交于点，连接．已知正方形纸片的边长为，改变点在上的位置（点不与点重合），当时，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点D、Q、A三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 解：，理由如下： 作的斜边上的中线， 则， 由题意得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，结合，即可得证； （2）作的斜边上的中线，证明为等边三角形，得出，求出，结合即可得证； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由折叠的性质，得，，，， 又∵ ， ． 分两种情况： ①当点在线段上时． ， ，． ， ， ； ②当点在线段上时． ， ，． ， ， ． 综上所述，的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 2探索三角形相似的条件 第1课时相似三角形的概念及判定定理1 课时目标 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法，能准确识别相似三角形的对应 角、对应边和相似比。 2. 掌握相似三角形的判定定理1(AA判定)，能运用该定理判定两个三角形相似，明 确直角三角形相似的特例。 3.理清相似三角形与全等三角形的内在联系，能规范书写三角形相似的证明过程，体会 从特殊到一般的数学思想。 课时目录 知识点01：相似三角形的定义 知识点02：相似三角形的表示方法 知识点03：相似三角形对应元素的识别 知识点04：相似三角形判定定理1(AA) 1/14 知识点05：直角三角形相似的判定 知识点06：利用AA判定定理证明三角形相似 知识点07：相似三角形与全等三角形的关系 知识点01：相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 相似三角形的相似比（相似系数）是对应边的比值，用k表示。 当k=1时，相似三角形即为全等三角形，因此全等是相似的特例。 该定义与相似多边形的定义一致，是判定相似三角形的根本依据。 1.(2026黑龙江大庆·三模)下列说法正确的是() A.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形相似 C.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 2.(25-26九年级上河南许昌·期末)如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形： D 3.(25-26九年级上四川成都阶段检测)将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写 出一个与△ADE相似而不全等的三角形 (填写一个即可) B 4.(25-26九年级上河南南阳阶段检测)如图，在ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于 点E,请写出图中的一对相似三角形： 2/14 D 知识点02：相似三角形的表示方法 相似用符号“∽”表示，书写时对应顶点的字母必须放在对应位置。 例如△ABC与△DEF相似，记作△ABC一△DEF,表示∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F 是对应角，AB与DE、BC与EF、CA与FD是对应边。 相似关系不具有顺序性，△ABC一△DEF与△DEF一△ABC均成立，但对应顶点需始终保持 对应。 5.(25-26九年级上：广西梧州期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,对角线AC交BD于点O,则 图中相似的三角形是() A.△ABC∽△CDO B.△ABCP△DCA C.△CODABOA D.△BCOn△DAO 6.(25-26九年级上·安徽池州期末)如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC 边上，连接DE,DF,EF,且∠DEF=60° (I)求证：△BDE∽△CEF」 (2)添加一个条件_求证：△BDE≌△CEF. 7.(25-26九年级上福建漳州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD1AB于点D,M在边AC上， BM与CD交于点E,作MN⊥BM交AB于点N. 3/14 M (I)求证：∠BCD=∠A: (2)求证：△AMN∽△CBE 8.(25-26九年级上陕西安康期末)如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AC、BC的中点， 连接DE,F是BC延长线上一点，连接DF,∠F=∠B,求证：△CDE∽△DFE. D 知识点03：相似三鱼形对应元素的识别 识别对应元素的核心规则： 对应角：相似三角形中位置对应的角相等，即∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F: 对应边：对应角的对边为对应边，如∠A的对边BC与∠D的对边EF是对应边： k=AB 1 相似比：若△ABC一△DEF,则相似比DE,此时△DEF与△ABC的相似比为k。 识别对应元素是后续计算与证明的基础，需严格遵循对应位置原则。 9.(25-26九年级上河南许昌·期末)如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=4,AC=6,将△ABC沿图示 中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() B B D 100° 100% 4/14 10.(25-26九年级上河南南阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的 平行线交AC于点E.若∠BCD=∠A,则图中的相似三角形共有() E D A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 11.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,点P为AB边上的动点， DP交AC于点Q, C (I)求证：△APO∽△CD0: (2)当PD⊥AC时，求DQ的长. 12.(25-26九年级上北京平谷期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，以AC为边作△ACE,∠ACE=90°， 过点B作DE⊥CE.交BC的延长线于点D.求证：△ABC∽aCED 知识点04：相似三角形判定定理1(44) 两角分别相等的两个三角形相似，简称“AA判定”或“两角对应相等的两个三角形相 似”。 5/14 该定理由平行线分线段成比例的基本事实推导得出，可直接用于判定。 由于三角形内角和为180°，两个角对应相等时第三个角必然相等，因此仅需验证两组角相 等即可满足相似的判定条件，无需额外验证边的比例关系。 13.(2026·吉林·二模)某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体AB上BC,幕布 EC⊥BC,物体通过小孔O成像，物体成像后的顶端与点E重合，底端落在点D处.求证 △DEO∽△ABO 0 D B 14.(2026陕西安康模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，用尺规作图法在BC上分别取点E, F(点E位于点F的左侧)，使得△ABE∽△CAF,(保留作图痕迹，不写作法) A B∠ 15.(2026河北张家口·三模)如图，AC=AD,点B在CA的延长线上，射线AM平分∠BAD. M B (I)尺规作图：在射线AM上求作点P,连接BP,使AP=BP.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证：△ABP∽△CDA, 16.(2026:广东广州·二模)己知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,其中∠B=72°. (1)求∠BDC的度数： (②)将aDBC绕点D逆时针旋转至△DEF,其中点B的对应点E落在BC边上，先用尺规作出△DEF (要求保留作图痕迹)，后标记EF与AC的交点G,求证：△CEG∽△BDE, 6/14 知识点05：直鱼三鱼形相似的判定 直角三角形有一个公共的直角(90°)，因此其相似判定可简化为：有一个锐角相等的两个 直角三角形相似。 该结论是AA判定在直角三角形中的特例，应用时只需找到一个锐角对应相等即可，无需 额外验证其他条件。 注意本节课不涉及边的比例判定，仅通过角的条件判定直角三角形相似。 17.(2026河北石家庄·一模)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°.嘉嘉想用尺规作图法，在 △ABC的边上找一点P,使得△ABC∽△ACP.其中不能实现的是() B 18.(2026上海宝山二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边的中点，沿着过点D的某条 直线将△ABC剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有()种不同的剪法。 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 19.(24-25九年级上·浙江宁波期中)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三 角形为 (填一个即可)· 7/14 D 20.(25-26九年级上陕西西安期中)尺规作图：己知Rt△ABC,∠C=90°，在AB边上求作一点D, 使△ACD∽△ABC.(不写作法，保留作图痕迹) 知识点06：利用AA判定定理证明三角形相似 规范证明步骤： 在两个三角形中分别找出两组相等的角： 书写证明过程：先注明“在△ABC和△DEF中”，再列出角相等的条件（如∠A=∠D, ∠B=∠E); 写出判定结论：∴.△ABC一△DEF(两角分别相等的两个三角形相似)，注意对应顶点与己 知条件一致。 例如：己知∠A=50°，∠B=60°，∠D=70°，∠E=50°，可推得∠C=70°=∠D,因此 △ABC一△EDF(对应顶点A→E,B→F,C→D)。 21.(25-26九年级上·江西景德镇阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点PD分别是BC、AC边 上的点，∠APD=∠B.求证：△ABP∽△PCD. 22.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD于F, BD与AE、AF分别相交于点G、H.求证：△ABE∽△ADF. 8/14 H G B C 23.(25-26九年级上江西期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角平分线，BE是 腰AC边上的高，垂足为点E.求证：△ACD∽aBCE D 24.(25-26九年级上·湖南永州期中)已知：如图，C是AB上一点，AD⊥AB,CE⊥AB,CD∥BE, 求证：△ACD∽△CBE. 知识点07：相似三鱼形与全等三角形的送系 全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况： 全等三角形一定相似，相似比k=1; 相似三角形不一定全等，仅当相似比为1时才全等。 判定逻辑上，三角形全等的ASA、AAS判定是AA判定的特殊形式（要求对应边相等而非 成比例)，体现了从特殊到一般的数学推广思想。 解题时需注意区分两种判定的适用场景，避免混淆。 25.(25-26九年级上全国单元复习)如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似 三角形（不包括全等）共有() 9/14 ◇G A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 26.(25-26九年级上湖南岳阳期中)各有一个角为30°的两个直角三角形一定() A.全等 B.相似 C.既全等又相似 D.无法确定 27.(25-26九年级上陕西西安·阶段检测)将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所 有的点、线在同一平面内)，求证： (I)△ABE-△DCA: RC=2BE.CD 28.(2026福建厦门模拟预测)如图1，将矩形沿虚线进行分割，分割后可以将得到的两个三角形进行拼 接，得到的新图形如图2所示. (1 ① ② ② B 图1 图2 图3 图4 (1)如图3，在△ABC中，∠C=90°，对△ABC进行分割，分割线DE垂直于AC, ①证明△ADEAACB: ②将△ABC分割成4个全等的三角形，请在图4中画出分割线： (②)对如图5所示的四边形ABCD进行分割，将其拼成一个平行四边形，请设计一种方案 要求： 10114 I.在四边形ABCD中画出分割线，再标出各个分割后的图形序号（类似图1）； Ⅱ.在方框中画出拼接后的平行四边形的示意图（类似图2)； Ⅲ.拼接后各部分均不重叠、无缝隙、无剩余： Ⅳ.本题将综合考虑“分割次数”给分. 图5 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东课后作业)如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6,AC=8.将△ABC沿图中的 DE剪开.剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() 人60° B E A 60 B 人60° 人60°人60° D 2 4 E E D D C ∠60° 60° D 5 B 2.(2425九年级上河南新乡·期中)下列各组图形一定相似的是() A.有一个角相等的等腰三角形 B.有一个角相等的直角三角形 C.有一个角是100°的等腰三角形 D.有一个角是对顶角的两个三角形 11/14 ABCD(∠D=90) 3.(25-26九年级下·吉林长春·开学考试)将四边形 按如图所示的折纸方法展开后，下 列结论不一定正确的是() D D A 折叠 折叠 展开 G B E A.AF‖BC B.AF⊥DE C.△ADG∽ADCE D.AB=FC 4.(25-26九年级上·江西九江期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过AC上一点D作直线DE交 △ABC的直角边于点E,使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作() A B A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 二、填空题 5.(23-24九年级上广西崇左期末)如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A,B重合），连接CD 只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是一（写出一个即可）· B 6.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则图中与 △ABC相似的三角形是 B 7.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任一点，连接BE,过点E 12/14 作BE的垂线交BC的延长线于点F,交CD于点P，则图中共有对相似三角形. B 8.(2425九年级上浙江杭州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AB,AC上， AD<AE,连接CD,BE,交于点F.若CD=BE,则图中与△ABE相似的三角形是 A D E B 三、解答题 9.(2026陕西榆林·三模)如图，已知△ABC,请用尺规作图法在边AB、AC上分别作点D、E,连接 DE,使得△ADE一△ABC,且AE=AB.(保留作图痕迹，不写作法) 10.(25-26九年级上河南南阳·期中)【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内 容。 如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折.设折痕为MN；如图2，再把点B叠在折痕 线上，得到△ABE.过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折 痕PQ B E P B (1)求证： A 0 图1 图2 △PBE∽△QAB (2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明：如果不相似，请说明理由： 13114 阅读上述内容，完成以下任务： (I)求证：△PBE∽△QAB (2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由， (3)如图3所示，小华将矩形纸片换成正方形纸片，探究过程如下： D 图3 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM, BM,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,改变点P在AD上 的位置（点P不与点A、D重合），当FQ=lCm时，直接写出AP的长. 14/14