3.4相似三角形的性质课时作业（2课时）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形对应线段性质，分层设计从概念理解到综合应用，梯度合理，巩固路径清晰，适配新授课教学，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一对应线段比（中线、角平分线、高）|直接考查概念（如选择1-3、填空5）| |中档|情境应用与图形计算|结合简单图形（如填空8小孔成像、解答10-13）| |提高|综合证明与实际问题|涉及方案设计（如解答19正方形加工）、推理证明（如解答17-18）|

第12课时相似三角形的性质（ 1）——对应线段 一、选择题 1.若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应角平分线的比是(    ) A. B. C. D. 2.若，AE和分别是边BC和上的中线，，，则的值为    A. B. C. D. 3.已知，且，，分别为AB，DE边上的高，则    A. 9 B. C. 3 D. 4.如图1，是一款不锈钢晾衣架实物图，图2是其侧面示意图，已知AD与BC相交于点E，，根据图2中的数据可得x的值为(    ) A. B. 1 C. D. 二、填空题 5.已知，对应边的比为，则相似比为          ，对应高的比为          ，对应中线的比为          ，对应角平分线的比为          . 6.，AD和是它们对应的角平分线，已知，，则与的对应高的比为          . 7.如图，，AD，BE分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，若，则的长为          . 8.如图是小孔成像原理的示意图，已知蜡烛AB的长度为若点O到AB的距离是18cm，点O到CD的距离是6cm，则像CD的长为           9.如图，某校宣传栏后面2m处种了一排树，每隔2m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置垂直距离为3m处的位置，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为          不计宣传栏的厚度 三、解答题 10.已知，BD和是它们的对应中线，，，求BD的长. 11.两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长? 12.如图，AG是的高，点D，E分别在AB，AC上，，垂足为F，且，，求AF的长. 13.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，，，，点P到CD的距离是3m，求点P到AB的距离. 14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且已知，，，，求DE的长. 15.如图，在中，，D，E分别是边AC和AB上的点，且，，求的值. 16.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方? 17.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13 cm，BC边上的高AD为6 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． 求证：∽； 求这个正方形零件的边长． 18.如图，在中，，于点D，AF是的平分线，且交CD于点E，交CB于点 求证： 19.一块直角三角形木板的一条直角边AB的长为，面积为工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计的方案如图1所示，乙设计的方案如图2所示.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数 答案和解析 1.【答案】C  2.【答案】C  3.【答案】C  4.【答案】A  5.【答案】   6.【答案】8：3  7.【答案】  8.【答案】3  9.【答案】6  10.【答案】解：， ，，   11.【答案】解：两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm， 两个相似三角形的相似比为 两个相似三角形对应中线的比为 设较长的中线是 ， 解得 答：较长的中线长为   12.【答案】解：依题意，得 ， ，即，   13.【答案】解：， 点P到AB的距离：点P到CD的距离. 点P到AB的距离： 点P到AB的距离为   14.【答案】解：  ，  ，   .   .   ，  ，  ，  ，   ， 解得  .   15.【答案】解：，， ∽， ，即，   【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题关键. 首先证明和相似，再根据相似得出比例，进而得出结论. 16.【答案】解：如图，，，， ，， ， ∽， ， ， 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．  【解析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的性质是解答此题的关键. 先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算. 17.【答案】【小题1】 证明：四边形EGHF是正方形，∽ 【小题2】 解：设，则，∽，  解得这个正方形零件的边长为   18.【答案】【小题1】 证明：，， ， 【小题2】 由，得， ， ，   19.【答案】解：甲同学设计的方案较好. 理由如下：由，，可得 由题图1，设甲设计的正方形桌面边长为 ，易得 ，即，解得 如图，过点B作斜边AC上的高BH，交DE于点P，交AC于点 ，， ， 设乙设计的正方形桌面的边长为 ，易得 ，即 解得 ， 甲同学设计的方案较好.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第13课时相似三角形的性质（2)一一周长和面积 一、选择题 1.两个相似三角形的周长比是1：2，则其相似比是(】 A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 2.两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形面积的比是()】 A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 3.已知一个三角形的三边长分别为2,3,4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为 () A.8 B.12 C.16 D.20 4.如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 5.如图，在正方形网络中，点A,B,C,D均在格点上，AC与BD相交于点O,则△ABO的面积与 △CDO的面积的比为() A1:2 B.2:3 C.1:4 D.3:4 二、填空题 6.已知△ABC∽△A'B'C',且相似比为1：3，则周长比为_，面积比为 7.已知△ABC一△ABC,且它们的面积比为4：3，则它们的对应高的比为，周长比为 第1页，共1页 8.如果把一个三角形的边同时放大3倍，则它的周长放大倍，面积放大倍 9.如图，将一副三角板如图叠放，BC=1,则△AOB与△COD的面积比为 30 50 三、解答题 10.如图，己知△ACE一△BDE,AC=6,BD=3,C△ACE=18,求C△BDE: 11.已知△ABC一△ABC,且它们的面积比为4：9，其中一个三角形的周长为12，求另一个三角形的 周长 12.如图，若△ADE一△ABC,DE=2,BC=5,SAABC=20,求S△ADE· A D E B 第2页，共1页 AD2 I3,如图，△ADE~△ACB,且AC专若四边形BCBD的面积是I0,求△ADE的面积 E B 14.如图，Rt△ABC一Rt△EFG,EF=2AB,BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相 似？如果相似，试确定其周长比和面积比： E 15.如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△就，△ABC与△就重叠部分（图中阴影部分）的面积是 △ABC面积的一半。已知BC=2,求△ABC平移的距离。 第3页，共1页 16.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB和AC上，且DE/IBC. E (1)若AD:DB=1:1,SAADE=2,求S四边柳 (2若5aAe=5g丝，求PE,A0的值 BC'DB 17.如图，在△ABC和△（中，G,H分别是边BC和EF的中点，已知AB=2DE,AC=2DF, ∠BAC=∠EDF. (1)中线AG与DH的比是多少？ (2)△ABC与△就的面积比是多少？ 18.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB上一点，且AE:BE=3:1,连接DE交AC于点F. 第4页，共1页 (1)求证：△AEF∽△CDF; (2)求△AEF与△CDF的周长之比； (3)如果△CDF的面积为32cm2,求四边形BEFC的面积. 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】1：3 1:9 7.【答案】2：√3 2:V3 8.【答案】3 9 9.【答案】1：3 10【答案】解：：△ACE一△BDE:C△延=BD, C△ACE AC -gc-0 11.【答案】解：依题意，得△ABC与△ABC的周长比为2：3. 其中一个三角形的周长为12， ,另一个三角形的周长为18或8 12.【答案】解：.△ADE一△ABC, 第6页，共1页 S△ABC= SAADE 股 20=25 SAADE 4 16 .S△ADE= 5 1B【谷关】解，？△ADE-△ACB,把号 S△ADE=4 六·SA9 .,四边形BCED的面积是10， 4=S△ADE 9 SAADE+10 .SAADE=8. 14.【答案】解：△BDC和△FHG相似. ,'Rt△ABC一Rt△EFG' 瓷器 ∠G=∠C. AC=2DC'EG=2GH' %器 .∴.△BDC△FHG. .∵EF=2AB 第7页，共1页 0-号 二△BDC与△P1G的周长比和面积比分别为和好 15.【答案】解：根据题意，可知EG/1AB。 ∴.∠GEC=∠B,∠EGC=∠A。 .∴.△GEC一△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 S△Gc=ECP_EC相似三角形的面积比等于相似比的平方)， BC BC 即1-EC2 222 ∴.EC2=2。 .EC=2。 ∴.BE=BC-EC=2-V2, 即△ABC平移的距离为2-√2。 16.【答案】【小题1】 .AD:DB=1:1, .AD:AB=1:2. DE//BC' ∴.△ADE△ABC. 8治r-4 ·S△ABC .S△ADE=1 ·S四边形即B民E 第8页，共1页 SAADE=2' .S四边1 【小题2】 DE//BC, .∴.△ADE一△ABC. :S△ADE=S四边形 .SAADE:S△ABc=1:2. :DE=2,AD-2 BC 2 AB 2 .AD=N2+1. ·BD 17.【答案】【小题1】 解：.'AB=2DE,AC=2DF, ·888-2 ,∠BAC=∠EDF ..△BAC-△EDF. :AGDH分别是△ABC'△兰的中线， AG=AB=2. ·DHDE 【小题2】 由(1)，得△ABC一△乙， SABC 5-肥=46 第9页，共1页 18.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB//CD,∴.∠FAE=∠FCD,∠FEA=∠FDC, ∴.△AEF∽△CDF; 【小题2】 解：'AE:BE=3:1,∴.AE:AB=AE:CD=3:4..'△AEF∽△CDF,.△AEF与△CDF的周长之 比为3：4： 【小题3】 解：△AEF∽ACDE,.==,·SADCF=32,.SAADE=24,SAAFF=18, :Sa=Sa=32+24=56::四边形BEC的面积为56A-S6A=56-18=38(cm2). 第10页，共1页