第3章 1.2 比例的其他性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦比例的基本性质、合比性质、等比性质及比例中项，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到几何证明的递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|比例基本性质、合比性质、等比性质|选择填空为主，如性质辨析题，培养抽象能力| |技能应用|等比性质推广、比例中项、线段计算|结合生活情境（如《燕几图》拼图），发展应用意识| |综合拓展|比例性质几何证明|探究题与证明题，提升推理能力，衔接后续相似三角形学习|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 1相似多边形 第2课时比例的其他性质 课时目标 理解并掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质及比例中项的概念，能准确运用这 些性质进行比例式的变形与推导。 2. 能熟练运用比例的各种性质进行线段长度的计算，解决涉及比例中项的几何计算问题， 提升运算的准确性。 3. 初步体会比例性质在几何证明中的简单应用，能利用比例性质说明线段之间的数量关 系，为后续学习相似三角形打下基础。 课时目录 知识点01：比例的基本性质 知识点02：比例的合比性质 知识点03：比例的等比性质 知识点04：等比性质的推广与应用 1/10 知识点05：比例中项的概念与计算 知识点06：利用比例性质进行线段长度计算 知识点07：比例性质在几何证明中的简单应用 知识点01：比例的基本性质 a=C（b≠0，d≠0) 比例的基本性质：在比例bd 中，两个外项的积等于两个内项的积，即 ad=bc。 反之，若ad=bc(a,b,cd≠0)，则可推出bd、cd等多种比例形式。 该性质是比例变形的核心依据，常用于将比例式化为等积式，或将等积式化为比例式。 x_5 x2 例如：由34可得4x=15:反之，由3x=2y可得y3。 1.(2425九年级上·上海期中)若aC=bd,则下列比例式中不正确的是() ad a b C.dc b c B.b c D.ad 2.(2425六年级下·上海期中)如果一个三角形的一条边是a,且a边上的高为m,另一条边是b,且b 边上的高为n,那么下列式子中未必成立的是() 22 m n A.a:b=n:m B.a:m=b:n C.am bn D.b a 3.(25-26九年级上·北京期中)如果4x=5y,写出一个比例式 7m=9n(n≠0) 4.(2026江苏扬州一模)如果 则n:ns 知识点02：比例的合比性质 a=C(b≠0，d≠0，b±d≠0) a±b_c±d 合比性质：若bd 则bd。 该性质表明，在比例式两边的分式中，分子加上（或减去)分母，所得新分式仍相等。 2/10 a+b c+d a-b c-d 应用时需注意符号，常见变形有：bd、bd。 a3a+b3+58a-b3-52 例如：己知b5,则b=55,b=5=5。 x=2 5.(25-26八年级下重庆期末)若y3,则下列各式中一定成立的是() x-11 x+13 x+y 5 A.y3 B.3y=2x C.y+14 D.y3 6.(25-26八年级下·山东威海期末)若a:b=3:4,则下列选项正确的是() a-b 1 A.3a=4b B.a+b=7 C atb =7 a-b D.b=-4 b-a 7.(25-26八年级下山东济南期末)已知2=3？则代数式b的值为 x2 2x+y= 8.(2026江苏苏州三模)若y3,则2x-y 知识点03：比例的等比性质 a+c+...+m a 等比性质：若b后…=6+1++n≠0) n ,则b+d+…+nb 该性质表明，若多个比例相等，则其分子之和与分母之和的比等于原比例。 x-y-2 x+y+z_x x+y+2_x 应用时必须确保分母之和不为0。例如：若234，则2+3+42，即92。 x=y=2+0 4x+z 9.(25-26八年级下山东烟台期末)若234，则y 的值是 ace 3 a-2c+3e 10.(25-26九年级下黑龙江大庆期中)若bd∫4，则b-2d+3f 1.(2526九年级上四川宜宾期中)已知号=4≠0，a+2c=26:则6的值为一 a b c 12.（24-25九年级上上海期中)已知a五、c满足筲4写0.求“2a+6的值. a b c a+3b-c 3/10 知识点04：等比性质的推广与应里 昏北性质常没参数进行推广：芳方乃 ，则a=bk,c=d,代入原式可简化计 算。 推广应用： a c =2 a+2c_2b+4d=2 已知连比求比值：如bd-,则a=2b,c=2d,故b+2db+2d ； 处理比例分配问题：如已知xy:z=23:4,可设x=2k,y=3k,z=4k,再代入其他条件求 解。 a c aa+c 13. (2026浙江杭州一模)我们知道“若6=d,则6=b+d ”，下列生活场景可以用这个知识解释最 贴切的是() A.小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B.配制一种盐水，盐和水的质量比是：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度 是否不变 C.一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D.一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是 否不变 a=b=c 14.(25-26八年级下山东烟台期中)己知a,b,c为。ABC的三边，且b+ca+ca+b,则△ABC的形 状是一 a b c 15 .(25-26八年级下山东烟台期中)一个三角形的三边长a,bc满足2=34，周长是27cm’则这个 三角形的最长边的长度是一 .b5 a-2b 16.(2026四川达州模拟预测)若a3,则b 知识点05：比例中项的概念与计算 a b 若三个量a、b、c满足比例式bc，则称b是a和c的比例中项。 由比例基本性质可得b=ac(b>0时，b=√ac)。 4/10 线段的比例中项：若线段b是线段a和c的比例中项，则b=ac,此时b为正数，即 b=√ac。 17.(25-26九年级上·上海阶段检测)已知：b是a、c的比例中项，那么下列等式正确的是() a c bc A.b-a B.ab C.a2=bc D.c2=ab 18.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)己知a=4,b=9,c是a,b的比例中项，则c= 19.(25-26九年级上·上海浦东新期中)已知线段b是线段a和线段c的比例中项，且b=4cm,c=8cm, 则线段a=cm. 20.(25-26九年级上全国周测)定义：若6=。，则b叫做a,c的比例中项.从1,2，，20这20个正整 a,b,c） b a.c 数中，每次取3个不同的数，组成一个有序实数对 ,使为的比例中项，则不同的有序实数 (a,b,c 共有 对. 知识点06：利用比例性质进行线段长度计算 综合运用比例性质计算线段长度的常见题型： AB 3 己知比例式求线段：如已知CD4,CD=8cm,则AB=4x8=6cm。 已知比例中项求线段：如线段a=4cm,c=9cm,则比例中项b=V4×9=6cm。 AB AD 2 AB+BC 2 利用等比性质求线段：如BCDE3,且AB+BC=10cm,则BC+DE3,即 102 BC+DE3,解得BC+DE=15cm。 解题关键：先统一单位，再根据已知条件选择合适的性质进行变形计算。 21.(25-26九年级下·河北邯郸阶段检测)北宋的《燕几图》是七巧板的前身.一共有七张桌子，其中两 张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形 图中给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是4：5.设长桌、中桌 5/10 和小桌桌面的长分别为4，b,c.嘉嘉经过研究，得出结论：(1)=20：②6=C.下列判断正确 的是() 屏山 A.①②都对B.①②都错 C.①对，②错 D.①错，②对 22.(25-26九年级下安徽毫州期中)已知三条线段a,b,c,其中b是a,c的比例中项，如果a=6, c=24,则b的值为 23.(2026河南新乡一模)小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩 站在一根实际长度为l5cm的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为3cm和24cm, 则小男孩的实际身高为， 米. a b c 24.(25-26八年级下山东烟台期中)已知：236，且a-b+2c=22· (1)求a、b、c的值： (2)添上一个数，使得a、b、c、四个数能构成比例式，那么m可以是一： 3)若四条线段a,b,c,d为成比例线段，则线段d的长为 知识点07：比例性质在几何证明中的简单应里 比例性质在几何证明中主要用于推导线段之间的数量关系，常见简单应用： AB EF 证明线段成比例：通过比例性质将等式变形，如要证CDGH，,可转化为证AB:GH= CD·EF。 AB =1 AB EB AE EB 证明线段相等：若CD,则AB=CD;或利用合比性质，若CDFD且CDFD,则 AB-AE_EB-EB=0 CD FD AB=AE。 ABAD AB+BC AD+DE 处理比例线段问题：如已知BCDE,结合合比性质可推出BC DE,即 6/10 AC AE BCDE。 证明时注意规范书写，每一步变形需注明依据（如“由比例基本性质得”、“由合比性质 得”)。 25.(25-26九年级上·安徽合肥期末)如果线段a=32cm,b=8cm,线段c是a和b的比例中项，求线段 c的长度， 26.(25-26九年级上安徽安庆期末)已知线段a,b满足a:b=l:4,3a+2b=44,若线段c是线段a,b 的比例中项，求线段C的长。 27.(25-26九年级上浙江绍兴期末)已知线段a=3cm,b=12cm. a)若线段a,bc,d满足67c=2cm,求线段d的长度： (2)若线段k是线段a,b的比例中项，求线段k的长度. 28.(25-26八年级上·福建福州期末)综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目 探究比例的性质 的 1.在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比.例如，如果 先用同一个长度单位测量得两条线段AB,CD的长度分别为，n,那么这两 AB m 条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或CD-n·其中，线段AB, m A _-k 知识储 CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把，表示成比值k,那么C 备 即AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数值的比 2. =C 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即bd,那 么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.反过来，如果四 a c 条线段a,b,c,d成比例，那么bd一定成立. 猜想性 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题(a,b,c,d都是不 质 为0的数)： 7/10 a c ①如果bd,那么ad=bc: a c a b ②如果6d,那么cd ③如果bdf atcte-k: -号=k(其中6+d+了≠0)，那么b+d+了 a=c a+b_c+d ④如果方a,那么6=d· (1)该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真 证明猜 命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了 想 困难.请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； (2)四个数a,b,c,d成比例，其中a=3,d=6,且b=c,求b的值： 解决问 AB_BC_AC_2 题 (3)△ABC和ADEF中，已知DE=EF=DF=3,ADEF的周长与△ABC的 周长的差为6，求△DEF的周长. 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级下·安徽毫州期中)下列各组数中，成比例的是() A.3,2,7,6B.3,5,1,10 C.5,2,4,7 D.2,6,1,3 x3 2. (25-26八年级下山东烟台期中)若y4,则下列等式正确的是() x+y_7 x+33 A.y4B.y+44 x=4 C.43 D x-y 3.(25-26九年级上·福建漳州阶段检测)如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折(EF为折痕)，得到两 个小矩形，其中AEED=I:3.若矩形ABFE的长边与短边的比等于矩形ABCD长边与短边的比，则矩 形ABCD的长边与短边的比是() E F A21 c3:1 D5: 8/10 4.(25-26九年级上湖北黄冈阶段检测)已知m、n、P、9依次成比例线段，其中m=2cm,p=5cm, g=10cm,则n的值为() 25 4 A.4cm B.2 cm C.5cm D.5 cm 二、填空题 x-3 x+y= 5.(2026四川成都二模)若y5,则y 6.(2026:广东深圳二模)己知6d3,若a+c=5,且b+d≠0，则b+d= 7.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)已知线段a=12cm,c=3cm,线段x是a、c的比例中项，则x等 于 cm 8 (2O22江苏泰州模拟预测)如图，在四边形ABCD中，M,N分别为AB,CD的中点，AN,BN, DM,CM划分四边形形成的7个区域，面积分别为， 为，5,8，，，5，S,若9=2 S,=8S4= ,则 M B S S S3 S6 三、解答题 a b c 9.(25-26九年级上安徽毫州阶段检测)已知三条线段满足235，且a+b+c=20· (1)求a,b,C的值 (2)若a是b,d的比例中项，求线段d的长. 10.(24-25九年级上浙江温州阶段检测)如图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙. 9/10 图甲 6 图乙 4.5 图丙 10 6 (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图和图 (填“甲”或“乙”或“丙”) (2)改变(1)中未被选择矩形的一边长，使之与(1)中矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案， 并说明理由 10/10 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 1 相似多边形 第2课时 比例的其他性质 ▌课时目标 1. 理解并掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质及比例中项的概念，能准确运用这些性质进行比例式的变形与推导。 2. 能熟练运用比例的各种性质进行线段长度的计算，解决涉及比例中项的几何计算问题，提升运算的准确性。 3. 初步体会比例性质在几何证明中的简单应用，能利用比例性质说明线段之间的数量关系，为后续学习相似三角形打下基础。 ▌课时目录 知识点01：比例的基本性质 知识点02：比例的合比性质 知识点03：比例的等比性质 知识点04：等比性质的推广与应用 知识点05：比例中项的概念与计算 知识点06：利用比例性质进行线段长度计算 知识点07：比例性质在几何证明中的简单应用 ▌知识点01：比例的基本性质 比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即。 反之，若（），则可推出、等多种比例形式。 该性质是比例变形的核心依据，常用于将比例式化为等积式，或将等积式化为比例式。 例如：由可得4x＝15；反之，由3x＝2y可得。 1．（24-25九年级上·上海·期中）若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 2．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一三角形面积不变，结合三角形面积公式推导出，再利用比例的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：设该三角形的面积为， ， ， 根据比例的基本性质，交叉相乘验证各选项： 选项A： ，则，式子成立． 选项B：，则，与不恒等，式子未必成立． 选项C：由且边长、高均不为，可得，式子成立． 选项D：交叉相乘得，式子成立． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如果，写出一个比例式_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用比例的基本性质，将已知的乘积式转化为比例式即可． 【详解】解：已知， 根据比例的基本性质，可得：． 4．（2026·江苏扬州·一模）如果，则___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴. ▌知识点02：比例的合比性质 合比性质：若，则。 该性质表明，在比例式两边的分式中，分子加上（或减去）分母，所得新分式仍相等。 应用时需注意符号，常见变形有：、。 例如：已知，则，。 5．（25-26八年级下·重庆·期末）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 7．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据给出等式得到与的数量关系，再将其代入所求代数式化简计算得到结果． 【详解】解：已知，根据比例的基本性质可得， 整理得， 将代入得： ． 8．（2026·江苏苏州·三模）若，则___________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，通过设参数表示x和y，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． ▌知识点03：比例的等比性质 等比性质：若，则。 该性质表明，若多个比例相等，则其分子之和与分母之和的比等于原比例。 应用时必须确保分母之和不为0。例如：若，则，即。 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 12．（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． ▌知识点04：等比性质的推广与应用 等比性质常设参数k进行推广：若，则a＝bk，c＝dk，代入原式可简化计算。 推广应用： 1. 已知连比求比值：如，则a＝2b，c＝2d，故； 2. 处理比例分配问题：如已知x:y:z＝2:3:4，可设x＝2k，y＝3k，z＝4k，再代入其他条件求解。 13．（2026·浙江杭州·一模）我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【答案】B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知为的三边，且，则的形状是_____． 【答案】等边三角形 【分析】设比值为，利用比例的性质求出的值，再推导得到三边相等，即可判断三角形形状． 【详解】解：设， ∴， ∴， 为的三边， ， ， ∴， ，， ∴①，②， 得：，即， ， 同理可得， ， 是等边三角形． 15．（25-26八年级下·山东烟台·期中）一个三角形的三边长满足，周长是，则这个三角形的最长边的长度是_____． 【答案】 【分析】根据设，，，然后根据周长求出，进而求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长满足， ∴设，，， ∵周长是， ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形的最长边的长度是． 16．（2026·四川达州·模拟预测）若，则____________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ▌知识点05：比例中项的概念与计算 若三个量a、b、c满足比例式，则称b是a和c的比例中项。 由比例基本性质可得（b>0时，）。 线段的比例中项：若线段b是线段a和c的比例中项，则，此时b为正数，即。 17．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：b是a、c的比例中项，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项的概念，解题的关键是明确若是、的比例中项，则满足（即）． 根据比例中项的定义，若是、的比例中项，则、、成比例，即，交叉相乘可得，据此逐一判断选项是否符合该关系． 【详解】解：A、由，交叉相乘得，不符合比例中项定义，此选项不符合题意； B、由，交叉相乘得，符合是、的比例中项，此选项符合题意； C、，不符合比例中项的关系式，此选项不符合题意； D、，不符合比例中项的关系式，此选项不符合题意． 故选：B． 18．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，是，的比例中项，则____． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据比例中项的定义，若c是a和b的比例中项，则，代入a和b的值计算即可． 【详解】解：∵c是a和b的比例中项， ∴． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，且，，则线段______． 【答案】2 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列出等式求解． 【详解】解：由题意，， ∵，， ∴； 故答案为：2． 20．（25-26九年级上·全国·周测） 定义：若，则叫做的比例中项．从这20个正整数中，每次取3个不同的数，组成一个有序实数对，使为的比例中项，则不同的有序实数对共有_____________对． 【答案】22 【分析】首先根据题意确定的可能的取值范围，因为是1到20之间的整数，因此=20，所以的可能取值应该为2到20的所有整数，对的情况逐一分析即可求解．本题主要考查了比例中项的概念，熟记比例中项的概念是解题的关键． 【详解】解：． 当时，不同的有序实数对有2对； 当时，不同的有序实数对有2对； 当时，不同的有序实数对有4对； 当时，不同的有序实数对有6对； 当时，不同的有序实数对有2对； 当时，不同的有序实数对有2对； 当时，不同的有序实数对有4对； 综上所述，不同的有序实数对共有22对． 故答案为：22 ▌知识点06：利用比例性质进行线段长度计算 综合运用比例性质计算线段长度的常见题型： 1. 已知比例式求线段：如已知，CD＝8cm，则AB＝×8＝6cm。 2. 已知比例中项求线段：如线段a＝4cm，c＝9cm，则比例中项b＝＝6cm。 3. 利用等比性质求线段：如，且AB＋BC＝10cm，则，即，解得BC＋DE＝15cm。 解题关键：先统一单位，再根据已知条件选择合适的性质进行变形计算。 21．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．图中给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：（1）；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】C 【分析】设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得． 又， 则． 故①对，②错． 22．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 23．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 【详解】解：设小男孩的实际身高为， 得， 解得， ． 答：小男孩的实际身高为1.2米． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． ▌知识点07：比例性质在几何证明中的简单应用 比例性质在几何证明中主要用于推导线段之间的数量关系，常见简单应用： 1. 证明线段成比例：通过比例性质将等式变形，如要证，可转化为证AB·GH＝CD·EF。 2. 证明线段相等：若，则AB＝CD；或利用合比性质，若且，则故AB＝AE。 3. 处理比例线段问题：如已知，结合合比性质可推出，即。 证明时注意规范书写，每一步变形需注明依据（如“由比例基本性质得”、“由合比性质得”）。 25．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了成比例线段，由比例中项的概念结合比例的基本性质，可得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段是和的比例中项，线段，， ， 又， ． 答：线段的长度是． 26．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知线段，满足，若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查比例线段、比例中项的定义以及一元一次方程的应用．先利用与的比例关系设未知数，代入已知方程求出、的具体值；再根据比例中项的定义计算的长度． 【详解】解：∵， ∴设()，则； 将，代入，得， 解得； ∴，； ∵线段是线段，的比例中项， ∴； ∵是线段长度， ∴(舍去负根)． 27．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 28．（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】 （1）③④都真命题． ③证明：∵， ． ∵， ． ④证明：∵， ． ． ． （2）； （3）18． 【分析】本题主要考查了比例线段、比例的性质、三角形的周长等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可解答； （2）由四个数a，b，c，d成比例，得到，求得，然后代入相关数值计算即可； （3）由，根据比例的性质得到．求得，再结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）四个数a，b，c，d成比例， ∴． ∴， ∵，，且， ． ． （3）∵， ∴． ∴． ∵的周长与的周长的差为6， ， ． ．即的周长为18． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵、、、依次成比例线段，，，， ∴， ∴． 二、填空题 5．（2026·四川成都·二模）若，则_________． 【答案】 【详解】解：设，则（）， 则． 6．（2026·广东深圳·二模）已知，若，且，则_________． 【答案】15 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段，线段x是a、c的比例中项，则x等于______． 【答案】6 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：∵线段x是a、c的比例中项，， ∴， 解得（舍负）， 故答案为：． 8．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，M，N分别为，的中点，，，，划分四边形形成的7个区域，面积分别为，，，，，，，若，，则_____． 【答案】10 【分析】过作的垂线，利用为中点和成比例线段可得中位线关系，从而将四边形的面积表示为，同时用三角形面积公式表示与，由为中点得，相加后代入中位线关系可得，通过等式两边消去公共项和最终得到，代入已知数即得． 【详解】解：过A作于E，过M作于H，过B作于Q， 则， ∴， ∵M为中点， ， ∴H为中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵， ， ， ∵N为中点， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知三条线段满足，且． (1)求，，的值． (2)若是，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质、比例线段，解决本题的关键是根据比例的性质求出线段的长度． (1)设，则，，，根据可得，解方程求出，再根据的值求，，的值； (2)根据比例中项可得：，根据、的值即可求出的值． 【详解】（1）解：设， 则，，， ， ， 解得：， ，，； （2）解：是，的比例中项， ， ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图______和图______．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变（1）中未被选择矩形的一边长，使之与（1）中矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【答案】(1)甲，丙； (2)图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． （1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图乙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵图甲和图乙中，，图丙和图乙中，， ∴图甲和图乙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图丙中，， ∴图甲和图丙的长与宽成比例， 故答案为：甲，丙； （2）解：方案：图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图乙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 ， 解得， ∴图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． / 学科网（北京）股份有限公司 $