第3章 1.1 成比例线段与相似多边形 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习针对北师大九年级上册“成比例线段与相似多边形”课时，以“基础巩固-情境应用-综合拓展”分层设计，覆盖7个核心知识点，从概念理解到实际应用再到综合推理，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线段比、成比例线段等单一概念|以选择填空考查定义辨析（如成比例线段判断），强化抽象能力与运算能力| |情境应用|比例尺、相似性质的实际应用|结合生活场景（如古籍长度测量、地图测绘），培养模型意识与应用意识| |综合拓展|相似判定与性质综合|通过解答题（如相似证明、长度计算），发展推理能力与几何直观|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时成比例线段与相似多边形 课时目标 理解线段的比和成比例线段的概念，能根据线段的长度判断四条线段是否成比例，并 掌握比例的基本性质。 2. 掌握比例尺的含义，能运用比例关系进行图上距离与实际距离的换算，解决简单的测 量与绘图问题。 3. 理解相似多边形和相似比的定义，能运用“对应角相等、对应边成比例”的性质判断 两个多边形是否相似，并求相似比。 课时目逯 知识点01：线段的比的概念 知识点02：成比例线段的定义 知识点03：比例尺的计算与应用 知识点04：相似多边形的定义 1/10 知识点05：相似比（相似系数）的概念 知识点06：相似多边形的性质 知识点07：相似多边形的判定（定义法） 知识点01：线段的比的概念 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做这两条线段的比。若线段AB的长度为m, AB m 线段CD的长度为n,则AB与CD的比记为AB:CD或CD,比值为n。 注意： 求线段的比必须先统一长度单位： 线段的比是数量的比，没有单位： 线段的比与度量顺序有关，AB:CD与CD:AB互为倒数。 2 例如：线段AB=4cm,CD=6cm,则AB:CD=4:6=2:3,比值为3。 1.(25-26八年级下山东泰安期末)四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中a=3、b=2、c=6, 则d的值为() A.3 B.4 C.6 D.7 2.(25-26八年级下山东泰安期末)已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d,使得 这四条线段成比例，这条线段的长度不能是() A.2 B.4.5 C.18 D.8 3.(25-26八年级下·山东淄博期末)已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b=5cm, c=10cm,则d为() 25 4 A.4cm B.2cm C.5cm D.5cm 4.(25-26八年级下·四川成都期中)下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 c.a=2,b=V5,c=2V5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 2/10 知识点02：成比例线段的定义 ac 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即bd(或a:b=c:d),那 么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，d叫做α、b、c的第四比例项。若比例式为 a_b bc,则b叫做a和c的比例中项，此时b2=ac。 注意：判断四条线段是否成比例，需先将单位统一，再按顺序排列验证比值是否相等，或 验证“外项积等于内项积”。 46 例如：线段a=2cm、b=4cm、c=3cm、d=6cm,因23，故这四条线段成比例。 5.(2026河北沧州模拟预测)嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展.他想了解一本古籍的长度， 在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示.回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为7cm和l3Cm,笔的 实际长度为l4cm,则该古籍的实际长度为() 诗 经 A.6.5cm B.13cm C.18cm D.26cm 6.(2425九年级上·吉林长春阶段检测)下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是() A.3cm、4cm、5cm、8cm B.0.1cm、0.3cm、3cm、9cm C.12cm、15cm、45cm、60cm D.1cm、3cm、4cm、6cm 7.(25-26九年级上广东河源期末)已知a,b,c,d成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm 则d的长为()cm A.3 B.4 C.5 D.6 8.(25-26九年级上湖南衡阳期中)现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4,3,2，a,若这四 条线段是成比例线段，则a的值为一 知识点03：比例尺的计算与应用 3/10 比例尺 图上距离 比例尺是图上距离与实际距离的比，即 实际距离，通常写成1：k的形式(k为正整 数)。根据比例尺可进行三类计算： 已知实际距离求图上距离：图上距离=实际距离×比例尺； 已知图上距离求实际距离：实际距离=图上距离÷比例尺； 己知图上距离和实际距离求比例尺。 注意：计算时必须统一单位，通常将实际距离化为厘米计算。 例如：地图上比例尺为1：5000000，量得A、B两地的图上距离为3cm,则实际距离为 1 3÷ =15000000cm=150am 5000000 9.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)小华在某游乐园APP的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长 度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1：1000，那么排队区域的实际长度约米。 10.(25-26九年级上·上海阶段检测)上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为1：4000000的地图 上，两地的图上距离约厘米 11.(25-26九年级上·四川广安·阶段检测)如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离 是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米， 12.(25-26九年级上·上海阶段检测)在比例尺为1：500000的地图上，如果A、B两地的距离是3.4厘米， 那么这两地的实际距离是 千米 知识点04：相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应顶点的字母通 常写在对应的位置上，如四边形ABCD与四边形AB'CD'相似，记作四边形ABCD∽四边 AB'CD'。 定义包含两个核心条件： 对应角相等； 对应边成比例。 两个条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例都不能判定相似。 例如：矩形与矩形不一定相似（角都相等但边不一定成比例），菱形与菱形不一定相似 (边都成比例但角不一定相等)。 13.(25-26九年级下·安徽毫州期中)下列说法正确的是() 4/10 A.等腰三角形都是相似图形 B.菱形都是相似图形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形D.等边三角形都是相似三角形 14.(25-26九年级上山东青岛期末)下列每个选项中的两个图形一定相似的是() A,两个等腰三角形 B.两个正方形 C.两个矩形D.两个平行四边形 15.(25-26九年级上四川巴中·期末)在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为 1,则新三角形与原三角形相似. 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新 矩形与原矩形相似. 对于两人的观点，下列说法正确的是() 图1 图2 A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对 C.两人都对 D.两人都不对 16.(25-26九年级上河北唐山期末)下列命题中正确的个数为() (1)邻边之比为2的两个平行四边形是相似形；(2)四个角都相等的四边形是相似图形；(3)两个 等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；(4)有两边及第三边上的高对应 成比例的两个三角形相似；(5)两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A.0 B.1 C.2 D.4 知识点05：相似以比（相似系数）的概念 相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数），用字母k表示。若多边形AB1CD1, AB=BC=...=k ∽多边形ABCD2·,且相似比为k,则AB,B,C2 注意： 相似比是有顺序的，多边形AB1CD1…与多边形ABCD2…的相似比为k,则反过来相似 5/10 比为k; 当k=1时，相似多边形实为全等多边形，故全等是相似的特例。 23 例如：两个相似矩形的对应边比为23，则相似比为3或2，需指明对应关系。 17.(25-26九年级上陕西榆林阶段检测)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH,它们的相似比是4：3」 己知AB=12cm,则EF= cm D 18.(2425九年级上河北邯郸期末)已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的周长为6，则 较大四边形的周长为」 19.(24-25九年级上·上海期中)将矩形ABCD沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形 ABCD相似，那么对折后得到的新矩形与矩形ABCD的相似比是 20.(24-25九年级上·上海静安期中)甲图的比例尺为1：10000，乙图的比例尺为1：100，那么甲图与乙图 的相似比是 知识点06：相似多边形的性质 相似多边形的性质由定义直接得出： 对应角相等，即∠A=∠A'、∠B=∠B、…; AB BC 对应边的比相等，即A'BBC,==k (相似比)。 利用性质可解决两类问题： 已知相似比和一边长度，求对应边长度： 已知对应角相等，求未知角的度数。 列如：四边形ABCD四边形AB'CD,相似比为2，若AB=4,则4B'2 2:若∠A =80°，则∠A'=80°。 21.(2026北京海淀·二模)小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变.已知 6/10 该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3：2的矩形.若墙上投影画面的短边长为1.2m,则投影 画面的长边长为() A.0.8m B.1.8m C.2m D.2.4m 22.(2026甘肃白银·一模)为调查某住宅区的实际lm占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘 (如图1)，其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际 物体（如图3）构成相似图形.在本次测绘中，设定数字模型上的lm代表实际距离50m.技术人员 在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为AB=4cm,BC=5cm, CD=7cm DA=4.5cm ABCD ，则该住宅区实际边界四边形 的周长是 C D B B 图1 图2 图3 23.(25-26九年级上山东临沂期末)如图，小军利用复印机将一张长为5cm,宽为3cm的矩形图片放 大，其中放大后的宽为6cm,则放大后的矩形的面积为cm2. 放大 24.(25-26九年级下·江西开学考试)如图，四边形ABCD和EFGH相似，则∠D=」 D E A 118° 78°83 知识点07：相似多边形的判定（定义法） 7/10 根据相似多边形的定义，判定两个多边形相似需同时满足两个条件： 对应角相等： 对应边成比例。 判定步骤： 分别验证各组对应角是否相等： 分别验证各对应边的比是否相等： 两个条件均满足时，方可判定相似。 注意：与三角形相似判定不同，多边形相似没有简化的判定定理（如“AAA”或“AA” 仅适用于三角形)，必须严格按定义验证。 例如：判断两个四边形是否相似，需验证四个角分别相等且四条边对应成比例，缺一不 可。若仅知四个角相等，可能是矩形但不一定相似：若仅知四条边成比例，可能是菱形但 不一定相似。 25.(25-26八年级下·山东青岛期末)如图，下列三个矩形相似的是() 16cm 9cm 12cm 12cm 多 8cm 乙 12cm 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙、丙 26.(23-24九年级下·全国单元测试)在如图所示的三个矩形中，相似的是() 3 A.①② B.②③ C.①③ D,都不相似 27.(25-26九年级上河南洛阳·期中)下列图形中有可能与图相似的是（) B C D 8/10 28.(25-26九年级上福建宁德期中)如图有三个矩形，其中为相似矩形的是() 6 10 丙 乙 甲 A,甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙和丙 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上广西崇左期末)下列各组线段中，能成比例的是() A.5cm,6cm,7cm,8cm B.3cm,6cm,28cm,5cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.12cm,8cm,15cm,10cm ,BC=-4B-k,那么k的值为 2.(25-26九年级上江苏徐州期末)点B把线段4C分成两部分，如果AB=AC () 5+1 5-1 A.2 B.2 C.5+l D.-1 3.(25-26九年级上·福建泉州期末)下列线段a、b、c、d不是成比例线段的是() A.a=1,b=2,c=4,d=8 B.a=0.8,b=4,c=1.2,d=6 C.a=2,b=4,c=3,d=6 D.a=0.1,b=0.2,c=3,d=4 4.(25-26九年级上浙江宁波·期末)如图，菱形ABCD∽菱形EAFC,且相似比为2，则下列说法错误的 是() 9/10 A.B,E,F,D四点共线 B.E为△ABC的重心 C.AB:AC=5:2 D.AE⊥BC 二、填空题 5,.(2526九年级上陕西汉中期末)已知五边形48CD6“五边形48C05.∠E=70,则二的度数 为. 6.(25-26九年级上·陕西汉中期末)若四边形ABCD∽四边形AB'CD,且BC=2,B'C'=12,则四边 形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为一· 7.(25-26九年级上·安徽芜湖期末)命题：“任意两个矩形都相似”是 命题.（填“真”或 “假”) 8.(25-26九年级上陕西汉中期末)线段a,b,c,d是成比例线段，若a=2cm,b=4cm,c=4cm,则 d=】 cm」 三、解答题 9.(25-26九年级上江苏盐城阶段检测)已知线段a,b,c满足a:b:c=2:3:5,且3a+2b-c=14.求 a,b,c的值， 10.(25-26九年级下广西崇左期中)如图，在ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,BF, AE平分∠BAD,CE=DF. (1I)求证：AE⊥BF: 2)若AF=4,四边形ABCD与四边形CEFD相似，求CE的长. 10110 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 1 相似多边形 第1课时 成比例线段与相似多边形 ▌课时目标 1. 理解线段的比和成比例线段的概念，能根据线段的长度判断四条线段是否成比例，并掌握比例的基本性质。 2. 掌握比例尺的含义，能运用比例关系进行图上距离与实际距离的换算，解决简单的测量与绘图问题。 3. 理解相似多边形和相似比的定义，能运用“对应角相等、对应边成比例”的性质判断两个多边形是否相似，并求相似比。 ▌课时目录 知识点01：线段的比的概念 知识点02：成比例线段的定义 知识点03：比例尺的计算与应用 知识点04：相似多边形的定义 知识点05：相似比（相似系数）的概念 知识点06：相似多边形的性质 知识点07：相似多边形的判定（定义法） ▌知识点01：线段的比的概念 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做这两条线段的比。若线段AB的长度为m，线段CD的长度为n，则AB与CD的比记为AB:CD或，比值为。 注意： 1. 求线段的比必须先统一长度单位； 2. 线段的比是数量的比，没有单位； 3. 线段的比与度量顺序有关，AB:CD与CD:AB互为倒数。 例如：线段AB＝4cm，CD＝6cm，则AB:CD＝4:6＝2:3，比值为。 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． ▌知识点02：成比例线段的定义 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a:b＝c:d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。若比例式为，则b叫做a和c的比例中项，此时。 注意：判断四条线段是否成比例，需先将单位统一，再按顺序排列验证比值是否相等，或验证“外项积等于内项积”。 例如：线段a＝2cm、b＝4cm、c＝3cm、d＝6cm，因，故这四条线段成比例。 5．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广东河源·期末）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 8．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． ▌知识点03：比例尺的计算与应用 比例尺是图上距离与实际距离的比，即，通常写成1:k的形式（k为正整数）。根据比例尺可进行三类计算： 1. 已知实际距离求图上距离：图上距离＝实际距离×比例尺； 2. 已知图上距离求实际距离：实际距离＝图上距离÷比例尺； 3. 已知图上距离和实际距离求比例尺。 注意：计算时必须统一单位，通常将实际距离化为厘米计算。 例如：地图上比例尺为1:5000000，量得A、B两地的图上距离为3cm，则实际距离为 9．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】 25 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺是解题关键．设实际长度为厘米，根据比例列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴， ∴， 故实际长度为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海·阶段检测）上海与南京的实际距离约320千米，在比例尺为的地图上，两地的图上距离约_____厘米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离． 【详解】解：设图上距离为x厘米，则 ， 所以（厘米）． 上海与南京的图上距离约8厘米． 故答案为：8． 11．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是___________千米． 【答案】17 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． ▌知识点04：相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应顶点的字母通常写在对应的位置上，如四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作四边形ABCD∽四边A′B′C′D′。 定义包含两个核心条件： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例。 两个条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例都不能判定相似。 例如：矩形与矩形不一定相似（角都相等但边不一定成比例），菱形与菱形不一定相似（边都成比例但角不一定相等）。 13．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 15．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，相似图形的判定，相似三角形的判定，根据相似图形的判定定理逐一判断即可，掌握相似图形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）平行四边形邻边比相等但对应角不一定相等，不一定是相似形，错误； （2）四角相等均为但对应边不一定成比例，不一定是相似图形，错误； （3）等腰三角形腰上的高与腰的比等于顶角正弦值，但顶角相等或互补时比相同，而互补时三角形不相似，错误． （4）有两边及第三边上的高对应成比例，高可能在三角形内或三角形外，两三角形不一定相似，错误． （5）直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例，即三边对应成比例，两三角形相似，正确． 综上，正确命题有（5）共1个． 故选：B． ▌知识点05：相似比（相似系数）的概念 相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数），用字母k表示。若多边形A1B1C1D1…∽多边形A2B2C2D2…，且相似比为k，则。 注意： 1. 相似比是有顺序的，多边形A1B1C1D1…与多边形A2B2C2D2…的相似比为k，则反过来相似比为； 2. 当k＝1时，相似多边形实为全等多边形，故全等是相似的特例。 例如：两个相似矩形的对应边比为2:3，则相似比为或，需指明对应关系。 17．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 【详解】解：四边形四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比． 根据相似多边形周长的比等于相似比计算即可得到答案． 【详解】解：设较大四边形的周长为， 由题意得：， 解得：， 较大四边形的周长为， 故答案为： ． 19．（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． ▌知识点06：相似多边形的性质 相似多边形的性质由定义直接得出： 1. 对应角相等，即∠A＝∠A′、∠B＝∠B′、……； 2. 对应边的比相等，即（相似比）。 利用性质可解决两类问题： 1. 已知相似比和一边长度，求对应边长度； 2. 已知对应角相等，求未知角的度数。 例如：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为2，若AB＝4，则；若∠A＝80°，则∠A′＝80°。 21．（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 22．（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 23．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：设放大后的长为， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴放大后的长为， 放大后的矩形的面积． 24．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． ▌知识点07：相似多边形的判定（定义法） 根据相似多边形的定义，判定两个多边形相似需同时满足两个条件： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例。 判定步骤： 1. 分别验证各组对应角是否相等； 2. 分别验证各对应边的比是否相等； 3. 两个条件均满足时，方可判定相似。 注意：与三角形相似判定不同，多边形相似没有简化的判定定理（如“AAA”或“AA”仅适用于三角形），必须严格按定义验证。 例如：判断两个四边形是否相似，需验证四个角分别相等且四条边对应成比例，缺一不可。若仅知四个角相等，可能是矩形但不一定相似；若仅知四条边成比例，可能是菱形但不一定相似。 25．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 26．（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 27．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 28．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲和乙和丙 【答案】C 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，丙、乙、甲相邻两边的比分别为：， ∴甲和丙相似， 故选：C． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段． 根据成比例线段的概念，对各组线段按从小到大排序，计算判断即可． 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等的性质即可求解的度数． 【详解】解：∵五边形五边形． ∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵． ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）若四边形四边形，且，，则四边形与四边形的周长比为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比． 相似多边形的周长比等于相似比，相似比由对应边和的比值确定，据此即可求解． 【详解】解：因为四边形∽四边形， 所以对应边成比例，相似比为， 因为周长比等于相似比， 四边形与四边形的周长比为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 10．（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． / 学科网（北京）股份有限公司 $