1.2 菱形的判定与性质 同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步训练通过基础概念辨析、中档计算应用、提升综合证明的三层设计，覆盖菱形性质与判定全知识点，强化从单一到综合的思维进阶，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（边、角、对角线）、判定定义|以概念辨析题为主（如单选1、10），夯实几何直观| |中档层|性质计算（面积、坐标）、判定应用|结合计算（填空11面积）与情境应用（单选8作图判定），发展运算能力| |提升层|综合证明、动态几何|通过旋转（解答20）、多知识点融合（解答24垂直平分线），培养推理能力与模型意识|

1.2菱形的判定与性质 同步训练 一、单选题 1．关于菱形的性质，以下说法错误的是（　　） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 2．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上， ， ，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．10cm B．20cm C．30cm D．cm 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　） A．9.6 B．4.8 C．10 D．5 5．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　） A．cm B．2cm C．1cm D．2cm 6．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．① 7．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：① ；② ；③ ；④ ，⑤ ．从中随机抽取一张卡片，能判定 是菱形的概率为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形. 乙：分别作 ∠A 与 ∠B 的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形. 对于甲、乙两人的作法，可判断（　　） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若AE＝6，AB＝5，则BF的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．12 10．下列说法中错误的是（　　） A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 二、填空题 11．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为　 　． 12．如图 ， 已知菱形ABCD，E、F分别为 △ABD和△CBD的重心， 如果边AB=5， 对角线BD=6， 那么EF的长为　 　． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为　 　． 14．如图，在四边形 中， ，E，F，G，H分别是 ， ， ， 的中点，要使四边形 是菱形，四边形 还应满足的一个条件是　 　. 15．如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有　 　个． 16．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 　 　cm2． 三、解答题 17．如图，在菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，连接AE，EC，CF和FA．已知AB＝2 ，四边形AECF是正方形，求BD的长． 18．如图，在中，，是的中线，点E是的中点，过点C作CF∥AB交的延长线于点F，连接．请判断四边形的形状，并加以证明． 19．已知线段AC （1）尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长． 20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE． （1）求证：AB=AE； （2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由． 22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E． （1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数． （2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由． 23．如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF. （1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积. 24．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据菱形的性质逐项判断即可。 2．【答案】A 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E， ∵菱形OABC， ∴OC=OA=4 ∵ ， ∴∠OCE=30° ∵OC=4 ∴OE=2 ∴CE= ∴点C的坐标为 . 故答案为：A. 【分析】过C作CE⊥OA，垂足为E，根据菱形的性质可得OC=OA=4，易得∠OCE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE，利用勾股定理求出CE，据此可得点C的坐标. 3．【答案】D 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：分别连接图1与图2中的AC， 在图1中：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB= AC＝10cm， 在图2中，BC=AB＝10cm，∠B=90°， ∴cm， 故答案为：D． 【分析】先求出△ABC是等边三角形，再求出AB= AC＝10cm，最后利用勾股定理计算求解即可。 4．【答案】A 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，，， ∴，AC、BD互相平分， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出BC的长，再结合即可求出AE的长。 5．【答案】B 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解： ∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2cm， ∴OA＝1（cm）， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm）， ∴BD＝2OB＝2（cm）， 故答案为：B． 【分析】由菱形的性质得到AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证明△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝2cm，则OA=1cm，然后由勾股定理求出OB=，即可求解。 6．【答案】A 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①符合题意； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②不符合题意； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③符合题意； ④▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④不符合题意． 故正确的为①③ 故答案为：A． 【分析】根据菱形的证明方法逐项判断即可。 7．【答案】B 【知识点】菱形的判定；概率公式 【解析】【解答】解：① ；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；② ；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定 是矩形；③ ；是 本身具有的性质，无法判定 是菱形；④ ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；⑤ ．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定 是矩形 ∴共有5种等可能结果，其中正确的有2种 ∴能判定 是菱形的概率为 故答案为：B． 【分析】根据菱形的判定方法求解即可． 8．【答案】C 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：甲的作法如图所示， 四边形ABCD是平行四边形 又 垂直平分AC 又 四边形AFCE为平行四边形 又 四边形AFCE为菱形 所以甲的作法正确. 乙的作法如图所示 AE平分 同理可得 又 四边形ABEF为平行四边形 四边形ABEF为菱形 所以乙的作法正确 故答案为：C 【分析】由甲乙的做法，根据菱形的判定方法可知正误 9．【答案】C 【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质 【解析】【解答】解：设交于点，如下图： 由题意可得：，平分，， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 【分析】设交于点，根据题意即可推导出垂直平分，，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再证明结合根据平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，进而得到，根据菱形的判定即可得到平行四边形为菱形，最后根据菱形的性质结合勾股定理即可求解. 10．【答案】B 【知识点】菱形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵四边相等的四边形是菱形 ∴A选项不符合题意 ∵菱形的对角线长度不一定等于边长， ∴B选项符合题意 ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∴C选项不符合题意 ∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ∴选项D不符合题意 故答案为：B． 【分析】根据菱形的判定和菱形的性质，逐项判断即可。 11．【答案】24 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=3， 在Rt△AOB中，BO=， 则BD=2BO=， 故=AC×BD=． 故答案为：24． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2BO，利用勾股定理求出BO=4，即得BD=8，利用=AC×BD计算即可. 12．【答案】 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：连接AE并延长交AB于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，如图 ∵四边形ABCD是菱形 ∴，AC=2OA=2OC，AC⊥BD ∵E点是△ABD的重心 ∴点M是AB的中点 ∴OM是△ABD的中位线 ∴OM∥AD，AD=2OM ∴△OEM∽△AED ∴ ∴AE=2OE 即 同理 ∴EF=OE+OF= 在Rt△AOB中，由勾股定理得： ∴AC=2OA=8 ∴ 故答案为： 【分析】连接AE并延长交AB于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，根据菱形的性质得出，AC=2OA=2OC，AC⊥BD，利用相似得出△OEM∽△AED， ，AE=2OE，同理，在Rt△AOB中，由勾股定理得OA的值，由此得出结论。 13．【答案】16 【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O ∴点O是AC的中点 ∵E为DC的中点 ∴OE为△CAD的中位线 ∴AD=2OE=2×2=4 ∴菱形的周长为：4×4=16 故答案为：16 【分析】由菱形的性质可得点O是AC的中点，从而得出OE为△CAD的中位线，可得AD=2OE=4，根据菱形的四边相等即可求解. 14．【答案】 【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：还应满足 . 理由如下： ，F分别是 ， 的中点， 且 ， 同理可得： 且 ， 且 ， 且 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 即 ， 是菱形. 故答案是： . 【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，由此可推出四边形EFGH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此添加AD=BC即可. 15．【答案】4 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等； ②中，同①的证明方法； ③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明； ④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分． 故有4个． 【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案. 16．【答案】 【知识点】菱形的判定与性质 【解析】【解答】解：过点A作 ， ，垂足分别为E，F，如下图： ∴ 由题意可得： ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ∵纸条的宽都为4cm ∴ 由勾股定理得： ∵ ∴四边形 是平行四边形 在 和 中 ∴ ∴ ， ∴平行四边形 为菱形 重叠部分（图中阴影部分）的面积 故答案为 【分析】先得出 为等腰直角三角形，得出 ，由纸条的宽都为4cm，得出，由勾股定理得出AB的值，由平行线的性质得出四边形 是平行四边形，由全等三角形的性质得出，得出 ，由此得出平行四边形 为菱形，从而得出图中阴影部分的面积。 17．【答案】解：连接AC，与BD交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相垂直且平分， ∵四边形AECF是正方形， ∴ ， ∵点E，F是对角线BD的三等分点， ∴ ， ∴ ， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得 ，即 ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。 18．【答案】证明：四边形BFCD是菱形，理由如下： 在中，∵，是的中线， ∴ ， ∵点是的中点， ∴AE=EF， ∵CF∥AB， ∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE， ∴△ADE≌△FCE， ∴CF=AD， ∴CF=BD=CD， ∵CF∥AB， ∴四边形BFCD是平行四边形， ∵CF=CD， ∴四边形BFCD是菱形． 【知识点】菱形的判定 【解析】【分析】先利用三角形全等的性质得出△ADE≌△FCE，再根据菱形的判定定理即可证出结论。 19．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形； （2）解：∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形， ∴AO＝ 4，DO＝ 3，且∠AOD＝90° 则AD＝ ＝ ＝5． 【知识点】菱形的性质；作图-线段垂直平分线 【解析】【分析】（1）先画出AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理即可求出边长． 20．【答案】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝CF； （2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2， ∴DE＝AE＝AC＝AB＝2， ， ∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝ AC＝2 ， ∴BD＝BE﹣DE＝2 ﹣2． 【知识点】菱形的性质；旋转的性质 【解析】【分析】（1）利用旋转的性质得出AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，再根据AB＝AC，得出AE＝AF，再根据旋转的性质即可得出结论； （2）根据四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2，得出△ABE为等腰直角三角形，从而得出结论。 21．【答案】（1）证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ， ∴∠BCE＝60°，BC=EC． ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACE＝30°=∠ACB． ∵AC=AC， ∴△ACB≌△ACE(SAS)， ∴AB=AE； （2）解：∵△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ， ∴AC=DC，AB=ED， 由（1）可知AB=AE， ∴AE=DE， 若AB=AC，则AC=AE， ∴AC=DC=DE=AE， ∴四边形ACDE是菱形． 【知识点】菱形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1）由△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，得出∠BCE＝60°，BC=EC．而∠ACB＝30°，得出∠ACE＝30°=∠ACB．证出△ACB≌△ACE(SAS)， 即可得出结论； （2）根据△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，AB=AC， 得出AC=DC=DE=AE， 即可得出证明。 22．【答案】（1）解：如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， 由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°， ∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°． （2）解：四边形CDEF是菱形， 理由如下： 如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE， ∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC， ∵BD＝BD，BE＝BC， ∴△DBE≌△DBC（SAS）， ∴∠BED＝∠BCD＝90°， ∴CD＝BD，ED＝BD， ∵F为BD的中点， ∴CF＝BD，EF＝BD， ∴CD＝ED＝CF＝EF， ∴四边形CDEF是菱形． 【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定；旋转的性质 【解析】【分析】（1）由旋转得出∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数； （2）证明△DBE≌△DBC（SAS），得出∠BED＝∠BCD＝90°，有直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半得出CD＝BD，ED＝BD，而F为BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，得出CD＝ED＝CF＝EF，即可得出结论。 23．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD. ∵AE=CF， ∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF. ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形. （2）解：菱形EBFD的面积= . 【知识点】菱形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，根据AE=CF可推出OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，然后结合AC⊥EF以及菱形的判定定理进行证明； （2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行计算. 24．【答案】（1）证明： ∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． （2）解：（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质 【解析】【分析】（1）利用AAS证明，得出 ， 从而得出 四边形BCDE为平行四边形， 再根据 CE⊥BD， 即可得出结论； （2） （ⅰ）根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE， 则 ∠BEO=∠DEO， 再根据平角的定义即可得出答案； （ⅱ）利用AAS证明，即可得出结论。 1 学科网（北京）股份有限公司 $