1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量课件—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量共线与共面的定义、充要条件及应用，通过平面向量共线知识类比导入，以“空间向量共线是否适用平面充要条件”等问题驱动，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题链引导探究，结合例1三点共线判断、跟踪训练1多方法证明向量共线等实例，培养数学思维中的逻辑推理与数学语言表达能力。课堂小结系统梳理方法，分层练习巩固应用，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

共线向量与共面向量 第一章　1.1.1　第2课时 学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.理解并掌握向量共线和向量共面的充要条件.(重点) 3.会用向量共线和向量共面的充要条件解决一些简单的立体几何问题.(难点) 我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 导语 3 01 空间向量共线的充要条件 问题 1 提示　对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　　，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 知识梳理 a=λb 方向向量 (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 注意点 7 　 (1)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是 A.+= B.-= C.= D.||=|| √ 例1 8 解析： 对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，都有+=，选项A错误； 若-=，则+=， 而+=，据此可知=， 即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误； 若=，则A，B，C三点共线，选项C正确； 若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误. 9 (2)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且P，B，C三点不共线，=α+β(α，β∈R)，则α+β=1是A，B，C三点共线的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 10 解析： 充分性：若α+β=1， 则=(1-β)+β，即-=β(-)， 即=β，显然，A，B，C三点共线； 必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ，λ∈R， 故-=λ(-)， 整理得=(1+λ)-λ，又，不共线， 所以α=1+λ，β=-λ，则α+β=1. 故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件. 11 向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，=+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O，=x+y(x+y=1). 反思感悟 12 　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 跟踪训练1 方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，∴=- =+)-+) =-)=-)=. ∴∥，即与共线. 解： 13 　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 跟踪训练1 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=++ =++. ① 又∵=+++ 解： 14 　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 跟踪训练1 =-+--， ② ①+②得2=， ∴∥，即与共线. 解： 15 02 空间向量共面的充要条件 问题 2 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 问题 3 提示　如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb. 对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？ 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______ 　　　　或　　　　　，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 (1)定义：平行于同一个　　　的向量. (2)三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　　　的有序实数对(x，y)，使　　　　　. 知识梳理 平行于 平面α 在平面α内 平面 唯一 p=xa+yb 注意点 三个向量共面的充要条件中，向量a，b不共线. 20 　 (课本例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证：E，F，G，H 四点共面. 例2 因为====k， 所以=k，=k，=k，=k. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+， 证明： 21 　 (课本例1)如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证： E，F，G，H 四点共面. 例2 因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-) =-+-=+. 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面. 证明： 22 (1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 例2 设=a，=b，=c， 则=b-a， ∵M为线段DD1的中点， ∴=c-a， 又∵AN∶NC=2∶1， 证明： 23 (1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 例2 ∴==(b+c)， ∴=-=(b+c)-a =(b-a)+=+， ∴，，为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 证明： 24 (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 例2 ①充分性 ∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z， ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z，∴点P与A，B，C共面. 证明： 25 (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 例2 ②必要性 ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使=m+n， -=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n， 证明： 26 (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 例2 ∵=x+y+z，且，，不共面， ∴x=1-m-n，y=m，z=n， ∴x+y+z=1. 证明： 27 向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O，=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，点O不在平面ABC内，则有=x+ y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 反思感悟 28 　(1)已知O为平面ABC外一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++，则m的值为 A.-1 B.2 C.-2 D.-3 跟踪训练2 √ 解析： 由=-=m++， 得=m+2+， ∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m+2+1=1，∴m=-2. 29 (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互 相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量，，共面. 因为M在BD上，且BM=BD， 所以==+. 同理=+. 所以=++ =++ =+=+. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. 证明： 30 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的充要条件. (3)空间向量共面的充要条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 31 03 随堂演练 1 2 3 4 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则下列向量中与向量平行的向量是 A. B. C. D. 解析： 由长方体ABCD-A1B1C1D1， 可得AD∥BC∥B1C1，AD=BC=B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥DC1，又E，F分别为AB，BB1的中点， 所以AB1∥EF，所以EF∥DC1，所以∥. √ 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 √ 1 2 3 4 √ 解析： A选项中，3-1-1=1，四点共面； C选项中，=--， ∴点M，A，B，C共面. 1 2 3 4 3.已知不共线向量e1，e2，e3，=e1-2e2+e3，=-5e1-6e2+4e3，=7e1+2e2-2e3，则一定共线的三个点是 A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R √ 1 2 3 4 解析： 若∥，则存在唯一实数λ1使得=λ1， 即e1-2e2+e3=λ1(-5e1-6e2+4e3)， 所以无解， 所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若∥，则存在唯一实数λ2使得=λ2， 即7e1+2e2-2e3=λ2(-5e1-6e2+4e3)， 1 2 3 4 解析： 所以无解， 所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； =+=-4e1-8e2+5e3， 若∥，则存在唯一实数λ3使得=+=λ3， 即-4e1-8e2+5e3=λ3(7e1+2e2-2e3)， 所以无解， 1 2 3 4 解析： 所以，不共线，则O，Q，R三点不共线； =+=2e1-4e2+2e3=2， 所以∥， 又点P为两向量的公共点，所以O，P，R三点共线. 1 2 3 4 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面 CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　　 . - 解析： 如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D， 且EF=A1D， ∴=，即-=0，∴λ=-. 04 课时对点练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是 A.，， B.，， C.，， D.，， √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由正方体的性质可得，=，由图形(图略)易知，，共面. 16 2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵=+=2a+4b=2， ∴A，B，D三点共线. 16 3.下列命题中正确的是 A.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb B.向量a，b，c共面即它们所在直线共面 C.-=是a，b共线的充要条件 D.空间中任意两个向量共面 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 若a∥b，当b=0，a≠0时，不存在实数λ，使a=λb，A错误； 空间中三个向量共面是指这三个向量能平移到同一平面内，而不是说它们所在的直线在同一平面内，B错误； 由a，b共线可知a，b方向相同或相反，当a，b同向时，+=， 当a，b反向时，=，故a，b共线不能推出|a|-|b|=|a+b|，C错误； 空间中任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，D正确. 16 4.已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m，n，p不共面.若a∥b，则x+y等于 A.-13 B.-5 C.8 D.13 解析： ∵a∥b且a≠0， ∴设b=λa(λ∈R)，则(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp， 又m，n，p不共面， ∴解得∴x+y=-5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列向量中不共面的一组向量为 A.a-b，b+c，c+a B.-a+c，-b-c，a+b C.a+b，b-c，a+c D.a+b，a-b，c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 对于A，a-b+(b+c)=c+a，所以a-b，b+c，c+a是共面向量； 对于B，-a+c+(-b-c)=-a-b=-(a+b)，所以-a+c，-b-c，a+b是共面向量； 对于C，a+b-(b-c)=a+c，所以a+b，b-c，a+c是共面向量； 对于D，令a+b=x(a-b)+yc(x，y∈R)，即a+b=xa-xb+yc， 则显然方程组无解，故a+b，a-b，c不是共面向量. 16 √ 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 得=++=++， 即=t=t+t+， 由N为AM与平面BDA1的交点， 则N，B，D，A1四点共面， 则t+t+=1，所以t=. 13 14 15 16 7.(多选)下列命题中为真命题的有 A.若p=xa+yb(x，y∈R)，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb(x，y∈R) C.若=x+y(x，y∈R)，则M，P，A，B四点共面 D.若M，P，A，B四点共面，则=x+y(x，y∈R) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由空间向量的共面定理可知，A和C是真命题； 对于B，当a与b共线，且p与a，b不共线时，满足p与a，b共面，但不存在x，y∈R，使p=xa+yb成立，故B是假命题； 对于D，当M，A，B三点共线且P与M，A，B不共线时，满足M，P，A，B四点共面，但不存在x，y∈R，使=x+y成立，故D是假命题. 16 8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R， 使得=λ. ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k=-8. 16 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E=EB，点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，则=　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=+=+， 设D1F=λFC1(λ∈R)，又D1E=EB， 所以4=+，即=+， 因为A，E，F三点共线，所以+=1，解得λ=，即=. 16 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令=a，=b，=c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 所以=-=b-a， =+=a+c， =++=-a+b+c. 13 14 15 16 证明： 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设=λ+μ， 则-a+b+c=λ+μ =(μ-λ)a+λb+μc， 13 14 15 16 证明： 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以解得 所以=2+， 所以向量，，共面. 13 14 15 16 证明： 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又向量，，过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面. 13 14 15 16 证明： 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么点M必 A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： =+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6(-)-4(-) =11-6-4，又11-6-4=1， 于是M，B，A1，D1四点共面， 所以点M必在平面BA1D1内. 16 12.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间中一点，且满足=λ+μ，λ，μ∈，则 A.当λ=1时，点P在棱BB1上 B.当μ=1时，点P在棱B1C1上 C.当λ+μ=1时，点P在线段B1C上 D.当λ=μ时，点P在线段BC1上 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 当λ=1时，=+μ，即-=μ，所以=μ，则∥，又μ∈[0，1]，故点P在棱CC1上，故A错误； 同理当μ=1时，∥，故点P在棱B1C1上，故B正确； 当λ+μ=1时，μ=1-λ，所以=λ+，即=λ，又λ∈[0，1]，，有公共点B，所以点P在线段B1C上，故C正确； 当λ=μ时，=λ=λ，又λ∈[0，1]，，有公共点B，故点P在线段BC1上，故D正确. 16 13.已知向量a，b，c不共面，则使向量m=2a-b，n=b+c，p=xa+5b+3c共面的实数x等于 A.-4 B.-3 C.-2 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 解析： 因为m，n，p共面，所以存在实数s，t，使得p=sm+tn=s(2a-b)+t(b+c)=2sa+(t-s)b+tc=xa+5b+3c， 所以解得 14.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3.求证：B，G，N三点共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取CD的中点E，连接AE，BE(图略)， 因为M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心， 所以点M在BE上，点N在AE上， 设=a，=b，=c， 因为M为△BCD的重心， 证明： 14.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3.求证：B，G，N三点共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以=+=+×+) =++) =+-+-) =++)=(a+b+c). 因为GM∶GA=1∶3， 证明： 14.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3.求证：B，G，N三点共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以==(a+b+c)， 所以=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c， 同理得=+=++)=-a+b+c=， 所以∥， 又BN与BG有公共点B，所以B，G，N三点共线. 证明： 15.如图，点O是棱长为2的正四面体PABC底面ABC的中心，过点O的直线交棱AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线交于点Q，与棱PB的延长线交于点R，则++=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： =+=++)=+-+-) =++)=·+·+·； 因为O，S，Q，R四点共面，故++=1，又||=||=||=2，即++=. 16 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，=-++ ，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 方法一　因为=-++， 则15=-+3+4， 即15=--+3+3 +4+4， 即9=-+3+4， 所以=-++， 因为-++=1， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 则在平面ABC内存在一点D， 使得=-++成立， 即=，所以=， 即=，则=， 又三棱锥P-ABC的体积为15， 则VA-MBC=VP-ABC=×15=9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 方法二　延长PM交平面ABC于点D(图略)，则可设=λ(λ≠0)， 所以λ=-++(λ≠0)， 所以=-++， 又因为A，B，C，D四点共面， 所以-++=1， 解得λ=，所以=， 所以=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 又三棱锥P-ABC的体积为15， 所以VA-MBC=VP-ABC=×15=9. $