1.1.2空间向量的数量积运算（教学课件）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角、定义、性质、投影及应用等核心内容。通过起重机做功、教学楼楼梯等情境导入，类比平面向量知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以数学抽象为核心，通过类比迁移构建空间向量体系，结合几何体例题与真题训练，强化直观想象与数学运算素养。学生能深化知识理解与应用，教师可借助系统资源提升教学效率，落实核心素养培养。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量 的数量积运算 ·选择性必修第一册· 学习目标 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 目录 CATALOG 01.空间向量数量积 03.应用新知 02.空间向量的投影 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.1.2空间向量的数量积运算 01 空间向量数量积 导入新知1：工地起重机做功 起重机斜拉建材，拉力F、位移s异面，做功W=|F||s|cosθ。 提问1：功是数量还是向量？两向量运算得实数，平面向量中该运算名称是什么？ 提问2：平面向量数量积公式是什么？空间异面向量能否套用同类运算？ 追问：平面向量夹角、数量积、投影知识，能否类比拓展至三维空间？ 导入新知2：教学楼楼梯立体生活情境引入 教学楼走廊、楼梯走向为异面空间向量，楼梯推力、行进位移形成立体作用效果。 提问1：异面的走廊、楼梯斜线如何定义夹角？平面向量求夹角方法能否用于空间？ 提问2：推力带来的有效行进效果是数值，能否仿照平面数量积计算？ 追问：能否借助平面向量知识，推导空间向量夹角与数量积运算规则？ 学习新知 类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 平面向量的夹角 空间向量的夹角 b a . O B α A b a . O B α A 探究1 学习新知 类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 证明垂直关系 求线段长度 求夹角大小 探究2 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量数量积的概念辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 02 空间向量的投影 1.1.2空间向量的数量积运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 学习新知 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？ 平面向量的投影 两个非零向量a，b， ＝a， ＝b，过A和B分别做 在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到 ，称上述变换为向量a向向量b的投影， 叫向量a在向量b上的投影向量. ＝|a|cos〈a，b〉 b a A B D C A1 B1 b a . O N M M1 探究3 学习新知 空间向量的投影 如图1.1-11(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量 的投影，得到与 向量共线的向量 ， ，向量 称为向量 在向量上 的投影向量． (1) 图1.1-11 探究4 在空间，向量向向量投影有什么几何意义？ (2) 图1.1-11 类似地，可以将向量向直线投影 （图1.1-11(2))． 学习新知 如图1.1-11(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角． 空间向量的投影 A B (3) 图1.1-11 探究5 在空间，向量向平面投影有什么几何意义？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 学习新知 类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 空间向量的数量积满足如下的运算律： （交换律）； , ； （分配律）. 请同学们课后给出运算律的证明 探究6 学习新知 1.对于三个均不为0的数 ，若 ，则 ．对于向量 ， ， ，由 ，你能得到 吗？如果不能，请举出反例． 设 是非零向量，且 ，求证： O B C A 思考 学习新知 思考 2. 对于三个均不为0的数 ，若 ，则 (或 )．对于向量 ， ，若 ，能不能写成 （或 ）的形式？ 3. 对三个不为0的数 ,有 ,对于向量 , , , 成立吗？为什么? 2. 不能！因为没有定义向量的除法运算. 3. 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c 和 a(b·c) 分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求空间向量的数量积、空间向量的加减运算 03 应用新知 1.1.1空间向量及其线性运算 应用新知 A B C D 应用新知 A B C D 应用新知 规律方法 (1)已知向量的模和夹角 利用 并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积 先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． 求数量积的两种情况及方法 应用新知 l m n g 分析 应用新知 l m n g 04 题型强化训练 1.1.2空间向量的数量积运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 方法总结 空间向量数量积运算的求解方法 利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. 利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; 利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; 代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 重要题型专练 题型二 利用数量积求异面直线所成的角 重要题型专练 方法总结 利用数量积求异面直线所成角 重要题型专练 题型三 利用数量积求线段长度 重要题型专练 方法总结 空间向量的模有两种方法 05 真题感知 1.1.2空间向量的数量积运算 真题感知 真题感知 真题感知 真题感知 真题感知 06 小结及随堂练习 1.1.2空间向量的数量积运算 和数量积的定义 课堂笔记 和数量积的定义 课堂笔记 课堂小结 作业 巩固作业：教科书第10页习题第8，10题。 拓展作业：证明空间向量数量积的运算律。  1.1.2空间向量的数量积运算 作业答案 8. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 作业答案 作业答案 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量 ， ， ，满足 ， ，则 ； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量 ，由 ，则 ； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足，且， 但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误；故选：A 2.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知 为坐标原点，点 ，点 ，则 （   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【详解】已知为坐标原点，点，点， 则，， 所以. 故选：B 3.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱 中， ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】 . 4.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量 ， ，若 ，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 【详解】由于，则， 即， 解得. 故选：A 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知 ，则 （   ） A．12 B． C．8 D． 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 6.（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥 的所有棱长都为 分别是 的中点，则 （　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【详解】分别是的中点，且，即，又三棱锥的所有棱长都为， 任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 【详解】由投影向量的公式，在上的投影向量为. 故选：A 8.（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 9.（24-25高一下·山西大同·期末）已知向量 满足 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 10.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知正方体 的棱长为1，若 ， ， ，则 （    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【详解】由题意知 ， ， 两两互相垂直，故 ， 又 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，． 求：（1）； （2）的长（精确到0.1）． 解析：（1） ； （2） ，所以． 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，． 求：（1）； （2）的长（精确到0.1）． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与 平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由， ，得到，那么就能解决此问题． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线， ，上取非零向量，，，． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 因为，，所以． 求：（1）；（2）；（3）． 例题1：如图，正方体的棱长为1，设，，， 解析：（1）； （2）； （3）． 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； 解析：四面体ABCD的所有棱长都等于a， ， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 任意两条棱所在直线的夹角为， （1） ； （2）； 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； （3），则直线AC与直线AB所成角就是 直线FG与直线BA所成角， ； 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； 例题3：如图，在正三棱柱中， A.60° B.90° C.105° D.75° 解析：设，则．，， ． ．与所成的角为90°．故选：B 若，则与所成角的大小为（ ） 例题4：如图，在平行六面体中，， ，，，．求： （1）； （2）的长； 解析：（1）； （2）， ，所以，即的长为； 一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解； 二是坐标法，即利用公式|a|＝. 【详解】由于，所以，即， 所以，解得.. 故选：B. 1.（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【详解】因为，， 所以 . 故选：C. 2. （25-26高二上·北京·期中）如图， 在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【详解】在直四棱柱中， ，，, .故选：B. 3.（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 4.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选题）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 故选：ACD. 1．空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示： 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·| ||||；                   ④(λ)·= ； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 2．投影向量 （1）在空间，向量向向量投影： 如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影： 如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 解析：已知：平面，是平面的斜线，且， 平面于点，且．求证： 证明：如图，，且， ，， ，． 又，，， ，，． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 证明：设，，， 分别为，的中点， ， 又，分别是，的中点， ， ，∴四边形是平行四边形． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 又在和中， ，，， ，． ， 又，， ，，． 又，， ，∴四边形为矩形． $